數(shù)學(xué)一模擬試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在3.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,m)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$m=$（）A.1B.2C.4D.84.曲線(xiàn)$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線(xiàn)方程是（）A.$y=x+1$B.$y=x-1$C.$y=2x+1$D.$y=2x-1$5.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(0,+\infty)$B.$[0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$(-\infty,0]$6.積分$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.27.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_3=5$，則公差$d=$（）A.1B.2C.3D.48.函數(shù)$y=\cos2x$的最小正周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$4\pi$9.若$x^2+y^2=4$，則$y^\prime=$（）A.$-\frac{x}{y}$B.$\frac{x}{y}$C.$-\frac{y}{x}$D.$\frac{y}{x}$10.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，則$A\capB=$（）A.$\{1,2,3,4\}$B.$\{2,3\}$C.$\{1,4\}$D.$\varnothing$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列向量中，與向量$(1,1)$垂直的有（）A.$(1,-1)$B.$(-1,1)$C.$(1,1)$D.$(0,0)$3.關(guān)于函數(shù)$y=\sinx$，正確的有（）A.周期是$2\pi$B.值域是$[-1,1]$C.是奇函數(shù)D.對(duì)稱(chēng)軸是$x=k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ$4.以下屬于等差數(shù)列性質(zhì)的是（）A.$a_n=a_1+(n-1)d$B.若$m+n=p+q$，則$a_m+a_n=a_p+a_q$C.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$D.$a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}$5.函數(shù)$y=x^3-3x$的極值點(diǎn)可能是（）A.$x=-1$B.$x=0$C.$x=1$D.$x=2$6.計(jì)算積分可能用到的方法有（）A.換元積分法B.分部積分法C.牛頓-萊布尼茨公式D.比較判別法7.已知直線(xiàn)$l_1:y=k_1x+b_1$，$l_2:y=k_2x+b_2$，若$l_1\parallell_2$，則（）A.$k_1=k_2$B.$b_1=b_2$C.$k_1k_2=-1$D.兩直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)8.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x^2+1)$9.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的性質(zhì)有（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為$2a$B.短軸長(zhǎng)為$2b$C.離心率$e=\frac{c}{a}$（$c^2=a^2-b^2$）D.焦點(diǎn)在$x$軸上10.數(shù)列極限存在的判別方法有（）A.單調(diào)有界準(zhǔn)則B.夾逼準(zhǔn)則C.柯西準(zhǔn)則D.比值判別法三、判斷題（每題2分，共10題）1.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。（）2.若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則一定連續(xù)。（）3.向量$\vec{a}=(1,0)$與$\vec=(0,1)$的數(shù)量積為1。（）4.函數(shù)$y=x^4$的單調(diào)遞增區(qū)間是$(0,+\infty)$。（）5.積分$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$。（）6.等比數(shù)列的公比可以為0。（）7.函數(shù)$y=\tanx$的定義域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ$。（）8.若直線(xiàn)斜率不存在，則直線(xiàn)垂直于$x$軸。（）9.函數(shù)$y=\sqrt{x}$是冪函數(shù)。（）10.若$A\subseteqB$，則$A\capB=A$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的極值。答案：先求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-6x$，令$f^\prime(x)=0$，即$3x(x-2)=0$，得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x<0$，$f^\prime(x)>0$；$0<x<2$，$f^\prime(x)<0$；$x>2$，$f^\prime(x)>0$。所以極大值$f(0)=1$，極小值$f(2)=-3$。2.計(jì)算積分$\intxe^xdx$。答案：用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$，則$du=dx$，$v=e^x$。根據(jù)分部積分公式$\intudv=uv-\intvdu$，得$\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C$。3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$d=3$，求$a_5$和$S_5$。答案：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_5=2+(5-1)×3=14$。由求和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，$S_5=\frac{5×(2+14)}{2}=40$。4.求曲線(xiàn)$y=\frac{1}{x}$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線(xiàn)方程。答案：先求導(dǎo)$y^\prime=-\frac{1}{x^2}$，在點(diǎn)$(1,1)$處切線(xiàn)斜率$k=y^\prime|_{x=1}=-1$。由點(diǎn)斜式得切線(xiàn)方程$y-1=-(x-1)$，即$x+y-2=0$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x^2-1}$的定義域、值域及單調(diào)性。答案：定義域?yàn)?x^2-1\neq0$，即$x\neq\pm1$。令$t=x^2-1$，$y=\frac{1}{t}$，$t\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$，值域?yàn)?(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。在$(-\infty,-1)$和$(-1,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,1)$和$(1,+\infty)$上單調(diào)遞減。2.探討數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：數(shù)列可看作特殊函數(shù)，某些數(shù)列極限可借助函數(shù)極限求解。區(qū)別：數(shù)列自變量是正整數(shù)，函數(shù)自變量是實(shí)數(shù)；數(shù)列極限是離散點(diǎn)，函數(shù)極限是連續(xù)變化；數(shù)列極限只有$n\to+\infty$，函數(shù)極限有多種趨近方式。3.分析直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：代數(shù)法：聯(lián)立直線(xiàn)與圓方程，根據(jù)判別式判斷。判別式大于0相交，等于0相切，小于0相離。幾何法：計(jì)算圓心到直線(xiàn)距離$d$，與半徑$r$比較。$d<r$相交，$d=r$相切，$d>r$相離。4.說(shuō)說(shuō)在實(shí)際問(wèn)題中如何建立函數(shù)模型來(lái)求解最值。答案：先分析問(wèn)題，確定變量間關(guān)系設(shè)出函數(shù)。根據(jù)實(shí)際情況確定定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)找極值點(diǎn)，結(jié)合定義域端點(diǎn)值和極值比較大小，從而得出最值，解決實(shí)際問(wèn)題。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.