第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編函數(shù)的應(yīng)用（二）（人教B版）一、單選題1．（2025北京昌平高三上期末）古生物學(xué)家經(jīng)常利用碳14的含量來(lái)推斷古生物死亡的大致時(shí)間.當(dāng)生物體生存時(shí)，其體內(nèi)的碳14含量會(huì)保持在一定的水平，設(shè)為.當(dāng)生物體死亡后，碳14會(huì)發(fā)生衰變，且碳14含量隨時(shí)間（單位：年）的變化規(guī)律滿足，其中是衰變常數(shù).已知碳14的半衰期約為5730年，即每經(jīng)過(guò)5730年，碳14含量就會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的.現(xiàn)古生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個(gè)古生物化石，經(jīng)測(cè)量該古生物化石碳14含量為.由此可以推斷這個(gè)古生物的死亡時(shí)間點(diǎn)距今所經(jīng)過(guò)的時(shí)間（單位：年）的大致范圍是（

）(參考數(shù)據(jù):，)A． B．C． D．2．（2025北京石景山高三上期末）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）.若該食品在的保鮮時(shí)間是194小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是50小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是（

）A．20小時(shí) B．22小時(shí) C．24小時(shí) D．26小時(shí)3．（2025北京西城高三上期末）在光纖通信中，發(fā)射器發(fā)出光信號(hào)的功率傳輸后會(huì)逐漸變?nèi)?，衰減后的光功率（單位：W）可表示為，其中為起始光功率（單位：W），為衰減系數(shù)，為接收信號(hào)處與發(fā)射器間的距離（單位：km）.已知距離發(fā)射器處的光功率衰減為起始光功率的一半.若當(dāng)距離由km變到km時(shí)，光功率由變到，則（

）A． B． C． D．4．（2025北京東城高三上期末）已知．用表示中的最大值，設(shè)．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2025北京東城高三上期末）近年來(lái)，人工智能快速發(fā)展，AI算法是人工智能的核心技術(shù)之一.現(xiàn)有一臺(tái)計(jì)算機(jī)平均每秒可進(jìn)行次運(yùn)算，在這臺(tái)計(jì)算機(jī)上運(yùn)行某個(gè)AI算法來(lái)生成一個(gè)文案需要次運(yùn)算，則生成這個(gè)文案需要的時(shí)間約為（

）（本題取）A．1秒 B．10秒 C．20秒 D．50秒6．（2025北京東直門(mén)中學(xué)高三上期末）已知函數(shù)，，設(shè)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024北京朝陽(yáng)高三上期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2024北京房山高三上期末）保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財(cái)富，也是經(jīng)濟(jì)財(cái)富，關(guān)系社會(huì)發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，已知過(guò)濾過(guò)程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過(guò)濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量.該工廠某次過(guò)濾廢氣時(shí)，若前9個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過(guò)濾掉，那么再繼續(xù)過(guò)濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．9．（2023北京海淀高三上期末）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．二、填空題10．（2025北京房山高三上期末）已知函數(shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，或；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，；④存在，對(duì)任意，.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.11．（2024北京西城高三上期末）設(shè)，函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，存在最大值；③當(dāng)時(shí)，直線與曲線恰有3個(gè)交點(diǎn)；④存在正數(shù)及點(diǎn)和，使.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

參考答案1．C【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題知，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，故，.令，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，解得.故選：C.2．D【分析】由題意列出方程組，求得參數(shù)，在代入求得保鮮時(shí)間.【詳解】由題意可知，即，解得，即，當(dāng)時(shí)，，故選：D.3．A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型，代入列式，利用指數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】依題意，，則，由、，得，所以.故選：A4．C【分析】按，和三種情況分類(lèi)討論，將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在特定區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以若在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，若即，則，所以在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，矛盾；若，即或時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，或，或，此時(shí)的另一個(gè)零點(diǎn)為或，均不在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)必須且只需即可（如圖所示），即，即，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C5．B【分析】根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算與的商即可得解.【詳解】因?yàn)檫@臺(tái)計(jì)算機(jī)平均每秒可進(jìn)行次運(yùn)算，所以次運(yùn)算需要秒，而，所以.故選：B.6．A【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為，列出不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，作出函?shù)的圖象，如圖所示，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可函數(shù)的值域?yàn)?，設(shè)，若存在，使得成立，即，只需，即對(duì)于，滿足成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.7．A【分析】令，的，設(shè)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上只有一個(gè)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然m為0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，滿足；令，可得，即，設(shè)，要使得函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)解，則滿足或，解得或，即函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，可得，所以“”是“在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.8．A【分析】根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過(guò)濾時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍?個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過(guò)濾掉，所以，即所以．再繼續(xù)過(guò)濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為．故選：A.9．D【分析】先判斷出函數(shù)在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增，計(jì)算出端點(diǎn)值，利用零點(diǎn)存在性定理得到答案.【詳解】定義域?yàn)?，在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增，其中，，，，，由零點(diǎn)存在性定理可得：包含零點(diǎn)的區(qū)間為.故選：D10．①②③【分析】畫(huà)出二次函數(shù)圖象和指數(shù)函數(shù)圖象，根據(jù)的不同取值范圍，分析二次函數(shù)圖象的分布，即可求解.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，由與圖象可知，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，①正確；

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)函數(shù)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，令函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，所以當(dāng)時(shí)，，所以②正確.對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，，，所以對(duì)任意，，，所以，③正確.對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以不存在，對(duì)任意，，④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.11．①②④【分析】對(duì)于①，分成，兩種情況討論在區(qū)間上單調(diào)性；對(duì)于②，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)與的單調(diào)性得出此時(shí)無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，利用特殊值，得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)于④，令，，進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減顯然成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故①成立；對(duì)于②，如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為，所以存在最大值，最大值為，故②正確；

對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為，所