第1頁/共1頁2023-2025北京高三一模數(shù)學匯編等比數(shù)列一、單選題1．（2025北京海淀高三一模）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．若，則“是遞增數(shù)列”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025北京西城高三一模）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，前項的乘積為．若，則（

）A．無最小值，無最大值 B．有最小值，無最大值C．無最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值3．（2025北京房山高三一模）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足（是常數(shù)，），則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．若，則數(shù)列是等比數(shù)列B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C．若數(shù)列是常數(shù)列，則D．若數(shù)列是周期數(shù)列，則最小正周期可能為24．（2025北京石景山高三一模）等比數(shù)列中，，設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2025北京順義高三一模）設(shè)為等比數(shù)列，則“存在，使得”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2025北京朝陽高三一模）已知是等比數(shù)列，，，則（

）A． B． C． D．17．（2025北京平谷高三一模）在等比數(shù)列中，，記，則數(shù)列（

）A．無最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．有最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項8．（2025北京延慶高三一模）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為.若，且，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2025北京門頭溝高三一模）某城市為推動新能源汽車普及，第1年在市區(qū)公共區(qū)域建設(shè)了2萬個新能源汽車充電樁，隨著新能源汽車保有量快速增長，以及城市對綠色出行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的持續(xù)投入，每年新建設(shè)的充電樁數(shù)量比上一年增加20%，按照這樣的發(fā)展趨勢，那么該城市第3年在市區(qū)公共區(qū)域新建設(shè)了萬個充電樁；從第1年起，約年內(nèi)，可使該城市市區(qū)公共區(qū)域的充電樁總量達到30萬個（結(jié)果保留到個位）.（參考數(shù)據(jù)：，）10．（2025北京門頭溝高三一模）已知數(shù)列滿足，，給出下列四個結(jié)論：①存在，使得為常數(shù)列；②對任意的，為遞增數(shù)列；③對任意的，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；④對于任意的，都有.其中所有正確結(jié)論的序號是.11．（2025北京豐臺高三一模）已知，，是公比不為1的等比數(shù)列，將，，調(diào)整順序后可構(gòu)成一個等差數(shù)列，則滿足條件的一組，，的值依次為.三、解答題12．（2025北京通州高三一模）已知數(shù)列（N是大于3的整數(shù)）為有窮數(shù)列，定義為“卷積核”數(shù)列滿足：(1)若數(shù)列，卷積核，求數(shù)列B.(2)設(shè)，已知且，，若.求證：數(shù)列B中最大的項為，（表示a，b中的最大值）.(3)已知且不全為0，卷積核，是否存在數(shù)列A，使得數(shù)列B的任意一項均為0?若存在，請寫出一個滿足條件的數(shù)列A；若不存在，請說明理由.13．（2025北京東城高三一模）已知有限數(shù)列滿足.對于給定的，若中存在項滿足，則稱有項遞增子列；若中存在項滿足，則稱有項遞減子列.當既有項遞增子列又有項遞減子列時，稱具有性質(zhì).(1)判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)；①；②.(2)若數(shù)列中有，證明：數(shù)列不具有性質(zhì)；(3)當數(shù)列具有性質(zhì)時，若中任意連續(xù)的項中都包含項遞增子列，求的最大值.14．（2025北京平谷高三一模）對于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.定義變換，若，將變成0，1，若，將變成1，0，得到新的“數(shù)列”.設(shè)是“數(shù)列”，令.(1)若數(shù)列，求數(shù)列；(2)若數(shù)列共有10項，則數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至多有多少對？請說明理由；(3)若為0，1，記數(shù)列中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為.求關(guān)于的表達式.

參考答案1．D【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)來判斷.【詳解】若是遞增數(shù)列，則對所有的正整數(shù)都成立，充分性：若是遞增數(shù)列，則即恒成立，又，，①若數(shù)列為無窮數(shù)列，若，則，時，，所以；若，則，時，，所以，此時充分性成立；②若數(shù)列為有窮數(shù)列，若，，只需即可，此時充分性不成立.必要性：時，若，有，則不一定成立，故必要性不成立；即時，“是遞增數(shù)列”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.2．D【分析】利用基本量法，可求出公比滿足，根據(jù)前項和與前項積的定義進行討論計算，可以得出有最小值，而有最大值.【詳解】由已知，是等比數(shù)列，，即，可得，若，則，可計算當時，，結(jié)合，可得即為的最小值，同理，當，，當，，可知的最小值為，綜上可得，有最小值.由可得，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，必有滿足對于所有，，因為一定是正負交替出現(xiàn)，可得一定存在最大值.綜上，對于滿足已知條件的等比數(shù)列，滿足有最小值，有最大值.故選：D3．C【分析】當時，得到，當時，得到，數(shù)列不能構(gòu)成等比數(shù)列，可判定A錯誤；當時，求得，可判定B錯誤；若數(shù)列為常數(shù)列，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，可判定C正確；假設(shè)列是周期數(shù)列，且最小正周期為，得到且，結(jié)合，得到，化簡求得，這與矛盾，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，若，可得，即，當且時，兩邊取對數(shù)，可得，即，此時數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列；當時，可得，此時，數(shù)列不能構(gòu)成等比數(shù)列，故A錯誤；對于B中，當時，可得，即，例如：當時，由，可得，又由，可得，此時，所以，當，數(shù)列是不一定是遞增數(shù)列，所以B錯誤；對于C中，若數(shù)列為常數(shù)列，則，因為，即，又因為，所以，所以的取值范圍為，所以C正確；對于D中，假設(shè)數(shù)列是周期數(shù)列，且最小正周期為，即且，因為，可得，所以，則，即，又因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，即，所以，即，這與矛盾，所以數(shù)列的最小正周期不可能是，所以D錯誤.故選：C.4．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出與的關(guān)系，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷甲是乙的什么條件.判斷充分性時，看由甲能否推出乙；判斷必要性時，看由乙能否推出甲.【詳解】已知等比數(shù)列中，若，設(shè)公比為.根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即，解得.再根據(jù)通項公式求，所以由能推出，充分性成立.若，同樣根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即，解得，則.又因為，所以由能推出，必要性成立.由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要條件.故選：C.5．B【分析】根據(jù)題意，舉出反例即可得到充分性不滿足，再由數(shù)列單調(diào)性的定義，即可驗證必要性滿足，從而得到結(jié)果.【詳解】假設(shè)等比數(shù)列的公比，首項，則數(shù)列的項依次為，當時，滿足，但是不是遞減數(shù)列，故充分性不滿足；若為遞減數(shù)列，則對于任意的，必然有，故必要性滿足；所以“存在，使得”是“為遞減數(shù)列”的必要而不充分條件.故選：B6．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比和首項，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出、、，最后計算的值.【詳解】已知，，可得公比.再將，代入通項公式，可得，解得.可得：；；.可得：.故選：A.7．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出，進而結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得，設(shè)，分析可得，進而求解判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，，則，則，設(shè)，則，所以，則時，，即，當時，，即，則，則為最大項，此時為正數(shù)項，且在正數(shù)項中最大；再由,，，因此為最小項.故選：C.8．C【分析】對于B：根據(jù)通項公式可得恒成立，進而可得；對于A：利用B項結(jié)論直接判斷；對于C：根據(jù)等比數(shù)列求和公式分析判斷；對于D：通過通項作差比較即可判斷；【詳解】對于選項B：因為，且對恒成立，則，整理可得恒成立，則，故B正確；對于選項A：因為，故A正確；對于選項C：因為，由B項已得，，則，，而，則，故C錯誤；對于選項D：因為，即，故D正確.故選：C.9．2.888【分析】利用等比數(shù)列的定義，求和公式計算即可.【詳解】由題意可知第3年新建設(shè)萬個充電樁；假設(shè)第年后充電樁總量達到30萬個，則，即，取對數(shù)得，即約8年內(nèi)，可達到要求.故答案為：2.88，810．②③④【分析】若為常數(shù)列，可得，顯然不成立，可判斷①；由，可判斷②；若是等差數(shù)列，可得常數(shù)，得到矛盾；若是等比數(shù)列，根據(jù)遞推公式，得到矛盾判斷③；兩邊平方得，迭代計算可判斷④./【詳解】對于①，若為常數(shù)列，則，根據(jù)遞推公式，可得，進而可得，解得，又，故不存在，使得為常數(shù)列，故①錯誤；對于②，對于，由遞推公式，可得，所以，，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，結(jié)論②正確；對于③，若是等差數(shù)列，則為常數(shù)，可得常數(shù)，則可得是常數(shù)數(shù)列，則，與矛盾，故對任意的，既不是等差數(shù)列，若是等比數(shù)列，則為常數(shù)。根據(jù)遞推公式，即為常數(shù)，則為常數(shù)數(shù)列，則可得，這與矛盾，所以對任意的，不是等比數(shù)列；綜上所述：對任意的，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故③正確；對于④，由，兩邊平方得，故④正確.故答案為：②③④.11．（答案不唯一）【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的通項公式表示各項，調(diào)整順序后借助等差中項的概念建立等量關(guān)系求得的值，令可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列，，的公比為，則等比數(shù)列為，不妨設(shè)調(diào)整順序后的等差數(shù)列為，則，∵，∴，解得或（舍），令，則，，∴滿足條件的一組，，的值依次為.故答案為：（答案不唯一）.12．(1)(2)證明見解析(3)存在，理由解析【分析】（1）要算，從開始往后選三項與進行點積即可，（2）方法一：由可知數(shù)列的首尾項相同，成對稱結(jié)構(gòu)，且，從一直遞增到中間項，再對稱地遞減，要證明數(shù)列中最大的項就從中間項開始點積，即可求證，方法二：利用作差法即可證明.（3）方法一：當為偶數(shù)時，存在數(shù)列:符合題意，當為奇數(shù)時，利用反證法求證得為常數(shù)列，產(chǎn)生矛盾得解.方法二：利用反證法即可證明.【詳解】（1）,,所以數(shù)列（2）方法一：依題意有當時，由又則，即當時，，當時，記，由即當時，，綜上可得：數(shù)列B中最大的項為.方法二：由已知可得.當時，，因為>0,所以當時，，因為<0,所以因為所以因為所以所以所以當時，,所以數(shù)列中最大的項為或或.因為所以因為所以所以.（與無法比較大小，假設(shè)，當時數(shù)列B的最大值為，當時，數(shù)列B的最大值為；當時，數(shù)列B的最大值為.）綜上，數(shù)列中最大的項為或.（3）方法一：當為偶數(shù)時，取數(shù)列的通項，此時對,有，故當為偶數(shù)時，存在數(shù)列，使得數(shù)列的各項為0，當為奇數(shù)時，設(shè)且，下面用反證法證明不存在數(shù)列，使得數(shù)列的各項為0，假設(shè)存在數(shù)列，使得數(shù)列的各項為0.為了更好地描述，我們記中不存在的，則對任意的，有，上式相減可得，即數(shù)列中的奇偶項分別為等差數(shù)列，設(shè)，且有,進而又由知，故，整理可得進而代入可得，故，則，取，有，即，故，因為，故，由知,故只能為的常數(shù)列，不符合題意，假設(shè)不成立，綜上，當為偶數(shù)時，存在數(shù)列:符合題意.方法二：①當N為偶數(shù)時，存在數(shù)列A使得數(shù)列B的任意一項均為0，此時可令②當N為奇數(shù)時，不存在數(shù)列A使得數(shù)列B的任意一項均為0，證明如下：假設(shè)存在數(shù)列A使得數(shù)列B的任意一項均為0因為所以，，，…,，.所以，，，，.所以,所以,所以所以因為所以.與不全為0矛盾.所以假設(shè)不成立.13．(1)數(shù)列①具有性質(zhì)，數(shù)列②不具有性質(zhì)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)判斷即可；（2）利用反證法，假設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，則數(shù)列中存在項遞增的數(shù)列和項遞減數(shù)列，分析可知，存在在中恰出現(xiàn)一次，不妨記為，記，則必有，再根據(jù)數(shù)列遞增，遞減，推導(dǎo)出，推出矛盾，從而說明結(jié)論成立；（3）由（2）知，數(shù)列中恰有一項既是的項，也是的項，記，所以，，對數(shù)列項數(shù)最多的子列進行分析，可知遞增子列的項數(shù)最多為，所以，，然后對為奇數(shù)和偶數(shù)進行分類討論，求出的最大值，并通過構(gòu)造數(shù)列確定的最大值能取到，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）數(shù)列①：具有性質(zhì)；數(shù)列②：不具有性質(zhì).理由如下：對數(shù)列①，記該數(shù)列為，該數(shù)列有項遞增子列：，該數(shù)列有項遞減子列：，故數(shù)列①具有性質(zhì)；對于數(shù)列②，記該數(shù)列為，該數(shù)列有項遞增子列：，該數(shù)列沒有項遞減子列，故數(shù)列②不具有性質(zhì).（2）假設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，則數(shù)列中存在項遞增的數(shù)列和項遞減數(shù)列，因為，所以為，為，所以對任意的，在中至少存在一項，因為中有項，所以存在在中恰出現(xiàn)一次，不妨記為，記，則必有，因為遞增，遞減，所以，數(shù)列中排在前面的項至少有，共項，排在后面的項至少有，共項，因為數(shù)列中有項，所以是第項，即.這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，即數(shù)列不具有性質(zhì).（3）當數(shù)列具有性質(zhì)時，記數(shù)列的項遞增子列為為和項遞減子列為，由（2）知，數(shù)列中恰有一項既是的項，也是的項，記，所以，，所以數(shù)列的前項由組成，因為，所以項數(shù)最多的遞增子列只能是或，所以遞增子列的項數(shù)最多為，數(shù)列的后項由組成，所以項數(shù)最多的遞增子列是或，所以遞增子列的項數(shù)最多為，所以，，因為，所以當為奇數(shù)，時，有最大值，所以，構(gòu)造數(shù)列，該數(shù)列具有性質(zhì)，且滿足任意連續(xù)的項中，都包含項的遞增子列；當為偶數(shù)，時，有最大值，所以，構(gòu)造數(shù)列，該數(shù)列具有性質(zhì)，且滿足任意連續(xù)的項中，都包含項的遞增子列，綜上所述，.14．(1)(2)至少有19對，理由見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)變換的定義，逆向推導(dǎo)即可；（2）根據(jù)中每個1和0在中的對應(yīng)情況，即可求解和證明；（3）對參數(shù)分類討論，結(jié)合變換的定義以及等比數(shù)列求和，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由變換的定義可得.（2）數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至多有19對.證明：對于任意一個“數(shù)列”中每一個1在中對應(yīng)連續(xù)四項，在中每一個0在中對應(yīng)的連續(xù)四項為，因此，共有10項的“數(shù)列”中的每一個項在中都會對應(yīng)一個連續(xù)相等的數(shù)對，在中若出現(xiàn)連續(xù)兩項的數(shù)對最多，對于中的每一個第項和第項之間產(chǎn)生一個連續(xù)相等的數(shù)對