第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編等差數(shù)列一、單選題1．（2025北京通州高三一模）已知等差數(shù)列滿足：，且，則（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．20232．（2025北京東城高三一模）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列，其中的三項(xiàng)為，則的公差可以為（

）A． B． C．4 D．33．（2025北京豐臺(tái)高三一模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024北京東城高三一模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024北京海淀高三一模）已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.若，公差，則m的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．76．（2024北京門頭溝高三一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．54 B．63C．72 D．1357．（2024北京豐臺(tái)高三一模）已知公差為的等差數(shù)列滿足：，且，則（

）A． B． C． D．8．（2023北京海淀高三一模）在等差數(shù)列中，，則（

）A．9 B．11 C．13 D．159．（2023北京順義高三一模）已知是無(wú)窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則“為遞增數(shù)列”是“存在使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2023北京門頭溝高三一模）已知數(shù)列滿足，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列每一項(xiàng)都滿足；②數(shù)列的前n項(xiàng)和；③數(shù)列每一項(xiàng)都滿足成立；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿足.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④11．（2023北京朝陽(yáng)高三一模）已知項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列滿足，．若，則k的最大值是（

）A．14 B．15 C．16 D．1712．（2022北京通州高三一模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．60 B．70 C．120 D．140二、填空題13．（2025北京房山高三一模）已知是等差數(shù)列，且，則的通項(xiàng)公式.14．（2025北京平谷高三一模）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，其前項(xiàng)和是，且.給出如下結(jié)論：①；②若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是；③存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列；④，使得當(dāng)時(shí)，總有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.15．（2025北京平谷高三一模）《張邱健算經(jīng)》是公元5世紀(jì)中國(guó)古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中記載著這樣一個(gè)問(wèn)題：“有個(gè)女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個(gè)月（按30天計(jì)）共織了440尺，推算第10天該女子織了尺布.”16．（2024北京西城高三一模）在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為，的最小值為.17．（2024北京延慶高三一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石)塊，則上層有扇形石板塊．18．（2023北京東城高三一模）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，為其前n項(xiàng)和.若是公差為的等差數(shù)列，則，.三、解答題19．（2025北京西城高三一模）如圖，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且滿足與均是公差不為的等差數(shù)列．…………若根據(jù)條件，能求出數(shù)表中所有的數(shù)，則稱能被確定．(1)已知，分別根據(jù)下列條件，直接判斷數(shù)表能否被其確定：條件“已知”；條件“已知”．(2)設(shè)條件“任意給定數(shù)表中的個(gè)數(shù)”，能被確定，證明：的最小值為；(3)設(shè)條件“已知集合或其中中的任意個(gè)元素”，求的最小值，使得能被確定．20．（2025北京豐臺(tái)高三一模）已知無(wú)窮遞增數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，記數(shù)列為數(shù)列的自身子數(shù)列.(1)若，寫出數(shù)列的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)；(2)證明：；(3)若數(shù)列與是公差分別為，的等差數(shù)列.（i）證明：；（ii）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21．（2024北京延慶高三一模）已知數(shù)列，記集合.(1)若數(shù)列為，寫出集合；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．22．（2023北京房山高三一模）如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”.且任意項(xiàng)，，求正整數(shù)k的最大值；(3)已知項(xiàng)數(shù)為（）的數(shù)列是“速增數(shù)列”，且的所有項(xiàng)的和等于k，若，，證明：.23．（2023北京東城高三一模）已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿足下列條件：①；②.則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì).(1)若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；(2)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得；(3)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求的最大值.24．（2023北京石景山高三一模）若無(wú)窮數(shù)列滿足以下兩個(gè)條件，則稱該數(shù)列為數(shù)列.①，當(dāng)時(shí)，；②若存在某一項(xiàng)，則存在，使得（且）.(1)若，寫出所有數(shù)列的前四項(xiàng)；(2)若，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在所有的數(shù)列中，求滿足的的最小值.

參考答案1．D【分析】根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求出通項(xiàng)，即可得解.【詳解】設(shè)公差為，由，，得，解得，所以，所以.故選：D.2．C【分析】由題意可得只能是常數(shù)數(shù)列或單調(diào)遞增數(shù)列，結(jié)合中的三項(xiàng)為，可求得公差的可能值.【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列，所以只能是常數(shù)數(shù)列或單調(diào)遞增數(shù)列，若中的三項(xiàng)為，則它們?cè)跀?shù)列中的位置只能是排在前，排在后，由，，由同時(shí)是公差的倍數(shù)，所以公差可以為.故選：C.3．A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，分別判斷“”能否推出“”以及“”能否推出“”，進(jìn)而確定兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若，這意味著是數(shù)列中的最大值.因?yàn)槭枪畈粸榈牡炔顢?shù)列，所以該數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)（且二次項(xiàng)系數(shù)不為），其圖象是一條拋物線.當(dāng)是最大值時(shí)，說(shuō)明從第項(xiàng)開(kāi)始數(shù)列的項(xiàng)變?yōu)榉钦龜?shù)，即，且（若，那么，與是最大值矛盾）.所以由“”可以推出“”，充分性成立.若，僅知道第項(xiàng)是非負(fù)的，但無(wú)法確定就是的最大值.例如，當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，那么會(huì)隨著的增大而增大，此時(shí)就不是最大值，即不能推出，必要性不成立.因?yàn)槌浞中猿闪ⅲ匾圆怀闪?，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．A【分析】根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件、必要條件的定義即可解出.【詳解】因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，，此時(shí)顯然單調(diào)遞增，所以可以推出為遞增數(shù)列；當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，不妨取，此時(shí)為遞增數(shù)列，但不滿足，所以為遞增數(shù)列不能推出，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.5．B【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出和的關(guān)系，代入計(jì)算可得m的值.【詳解】由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故選：B.6．B【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出.【詳解】等差數(shù)列中，由，得，解得，而，所以.故選：B7．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接求解即可.【詳解】，，.故選：C.8．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知，解得，所以，所以.故選：C.9．A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：因?yàn)槭菬o(wú)窮等差數(shù)列，若為遞增數(shù)列，所以公差，令，解得，表示取整函數(shù)，所以存在正整數(shù)，有，故充分；設(shè)數(shù)列為5，3，1，-1，…，滿足，但，則數(shù)列是遞減數(shù)列，故不必要，故選：A10．C【分析】由遞推公式，判斷每個(gè)命題的正誤.【詳解】①，，，所以，若，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以，①正確；②，，，，則，所以②不正確；③，所以，累加得，，所以，，所以（，），，故成立，③正確；④，，累乘得，，所以，④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】將遞推公式變形為和分別進(jìn)行累加和累乘，得的取值范圍.11．B【分析】通過(guò)條件，，得到，再利用條件得到，進(jìn)而得到不等關(guān)系：，從而得到的最大值.【詳解】由，，得到，即，當(dāng)時(shí)，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故選：B12．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式并化簡(jiǎn)，可得答案.【詳解】在等差數(shù)列中，，則，故，故選：B13．【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算求出，代入通項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，因代入解得，故.故答案為：.14．①②④【分析】根據(jù)的遞推關(guān)系可得，所以的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而得，即可結(jié)合選項(xiàng)求解.【詳解】由得，相減可得，由于各項(xiàng)均不為零，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，對(duì)于①，，故正確；對(duì)于②，由于的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，所以，若，則需要，則，故正確，對(duì)于③，，若為等比數(shù)列，則為常數(shù)，則，此時(shí)，故，進(jìn)而可得數(shù)列的項(xiàng)為顯然這不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤，對(duì)于④，若，只要足夠大，一定會(huì)有，則，只要足夠的大，趨近于0，而，顯然能滿足，故，當(dāng)時(shí)，總有，故正確，故答案為：①②④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列單調(diào)性及與數(shù)列有關(guān)的比較大小問(wèn)題．根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和與數(shù)列的項(xiàng)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式時(shí)，注意分析，在處理涉及隔項(xiàng)數(shù)列問(wèn)題，一般要考慮分為奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)分類討論，含參的恒成立或者存在類問(wèn)題，先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求式子的最大值或最小值問(wèn)題來(lái)處理．15．11【分析】記公差為，根據(jù)已知求出再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】由題得每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，首項(xiàng)，記公差為，由題得，所以所以.故答案為：1116．【分析】求出等差數(shù)列的首項(xiàng)，直接求出的通項(xiàng)公式即可，利用數(shù)列的單調(diào)性得最小項(xiàng)為或，利用累加法即可求解.【詳解】由題意，又等差數(shù)列的公差為1，所以；故，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，顯然的最小值是或.又，所以，即的最小值是.故答案為：，17．【分析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再求出即可.【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差，，設(shè)每層有環(huán)，則，，所以，即，即，解得或（舍去），所以，則，即上層有扇形石板塊.故答案為：．18．/0.25【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用與的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由題意知，，由，得，，又等差數(shù)列的公差為，所以，即，解得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，與題意中的相符，所以.故答案為：；.19．(1)數(shù)表不能被確定，數(shù)表能被確定(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)題中定義直接判斷即可；（2）對(duì)于一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若知其中兩項(xiàng)與，便可根據(jù)，求出該等差數(shù)列中的每一項(xiàng)．分析可知，數(shù)表中每一列都至少有兩個(gè)數(shù)已知，由此可得出的最小值；（3）先討論，結(jié)合（1）中的結(jié)論可判斷不成立，再討論，通過(guò)等差數(shù)列的定義進(jìn)行邏輯推理，可推斷出數(shù)表能被確定，由此可得出的最小值.【詳解】（1）數(shù)表不能被確定；數(shù)表能被確定．對(duì)于條件，假設(shè)數(shù)表中每行、每列的公差都相等，均為，則，，，則，、均無(wú)法確定，故數(shù)表不能被確定；對(duì)于條件，因?yàn)?、確定，可以根據(jù)確定，則第二行可以全部確定，對(duì)于第二列，由于確定，結(jié)合可確定第二列的公差，進(jìn)而可求出，則第二列可以全部確定，對(duì)于第三行，由于確定了，結(jié)合可求出第三行的公差，由此可確定，則第三行可以全部確定，對(duì)于第一列，由于確定了、，可以求出第一列的公差，由此可確定，則第一列可以全部確定，綜上所述，數(shù)表可由條件確定.（2）對(duì)于一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若知其中兩項(xiàng)與，便可根據(jù)，求出該等差數(shù)列中的每一項(xiàng)．故對(duì)于數(shù)表中的任意一行（或列），若知道其中的兩個(gè)數(shù)，便可利用條件得到該行（或列）中的所有數(shù)．一方面，若知這個(gè)數(shù)，則無(wú)法求出，故不能得出數(shù)表中所有的數(shù)，所以．另一方面，若知數(shù)表中的任意個(gè)數(shù)，則必存在表中的兩行，且這兩行中至少有兩個(gè)數(shù)已知，于是數(shù)表中這兩行的數(shù)都能被求出，即數(shù)表中每一列都至少有兩個(gè)數(shù)已知，所以數(shù)表中所有的數(shù)都能求出，即能被確定．綜上，的最小值為．（3）當(dāng)時(shí)，若知中的個(gè)數(shù)，則不能求出中所有的數(shù)．當(dāng)時(shí)，已知與中的任意個(gè)數(shù)，則必存在兩個(gè)數(shù)在中位于同一行（記為第行），從而可求出這一行中的所有數(shù)．因?yàn)榕c中至多有兩個(gè)數(shù)在同一行，所以除去第行的兩個(gè)數(shù)外，余下已知的個(gè)數(shù)必在其余的行中．當(dāng)時(shí)，通過(guò)列舉可知：余下已知的2個(gè)數(shù)不在同一列中（所在列分別記為第列和第列）；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谂c中至多有兩個(gè)數(shù)在同一列，所以至少有兩列（記為第列和第列）中含有這已知的數(shù)中的數(shù)．又因?yàn)榈谛械臄?shù)均已得到，所以在第列與第列中均至少知道兩個(gè)數(shù)，故這兩列中所有的數(shù)都可求出，于是數(shù)表中每一行至少有兩個(gè)數(shù)均已得到，從而可求出數(shù)表中所有的數(shù)．綜上，的最小值為．20．(1)1，5，9，13；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)【分析】（1）由自身子數(shù)列定義即可求；（2）由題意可得，設(shè)，即可證明，進(jìn)而命題得證；（3）（i）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及題意可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而命題得證；（ii）分別假設(shè)存在，使和成立，分別推出矛盾，進(jìn)而說(shuō)明，設(shè)，由定義求出，從而得出通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)樗詳?shù)列的自身子數(shù)列為，所以前4項(xiàng)為：，即數(shù)列的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)為1，5，9，13.（2）因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均為正整數(shù)，于是，所以，設(shè)，則，所以.（3）（i）由題得，，又及是遞增數(shù)列，得，即，即，由于對(duì)任意正整數(shù)均成立，則，否則矛盾.所以.（ii）由，若存在，使得，設(shè)，不妨設(shè)，有，則，又，因此與矛盾，所以對(duì)任意，都有.若存在，使得，設(shè)，不妨設(shè)，有，則，又，因此與矛盾，所以對(duì)任意，都有，綜上，對(duì)任意，都有.設(shè)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，又，因此，又，所以.21．(1)(2)不存在，使得成立(3)【分析】（1）根據(jù)題目給出的集合的定義求解即可；（2）使用假設(shè)法，假設(shè)存在，使得，進(jìn)行計(jì)算檢驗(yàn)，從而得出結(jié)論；（3）首先證明時(shí)，對(duì)任意的都有，然后證明除形式以外的數(shù)都可以寫成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，分類討論即可得解.【詳解】（1）由題意可得，，，所以.（2）假設(shè)存在，使得，則有，由于與的奇偶性相同，與奇偶性不同，又，，所以中必有大于等于的奇數(shù)因子，這與無(wú)以外的奇數(shù)因子矛盾，故不存在，使得.（3）首先證明時(shí)，對(duì)任意的都有，因?yàn)?，由于與均大于且奇偶性不同，所以為奇數(shù)，對(duì)任意的都有，其次證明除形式以外的數(shù)，都可以寫成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，若正整數(shù)，其中，則當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，此時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，此時(shí)結(jié)論成立，對(duì)于數(shù)列，此問(wèn)題等價(jià)于數(shù)列其相應(yīng)集合中滿足有多少項(xiàng)，由前面證明可知正整數(shù)不是中的項(xiàng)，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列及數(shù)列的綜合問(wèn)題，考查了求數(shù)列下標(biāo)最值，同時(shí)考查了分類討論的思想，計(jì)算量較大，屬于難題.22．(1)是，理由見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）計(jì)算，，，得到答案.（2）根據(jù)題意得到，，計(jì)算當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得到答案.（3）證明，得到，得到，代入計(jì)算得到證明.【詳解】（1）因?yàn)?，則，，又，故，數(shù)列是“速增數(shù)列”.（2），當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)k的最大值為.（3），故，即；，故，即，同理可得：，，，故，故，，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)題意利用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵.23．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意寫出滿足性質(zhì)的所有數(shù)表，再分別計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意，可知當(dāng)取最大值時(shí)，存在，使得，由數(shù)表具有性質(zhì)可得為奇數(shù)，不妨設(shè)此時(shí)數(shù)表為，再利用反證法證明即可；（3）結(jié)合性質(zhì)可得，，兩式相加可得得，結(jié)合，可得，構(gòu)造數(shù)表，結(jié)合性質(zhì)進(jìn)而可以求解.【詳解】（1）滿足條件的數(shù)