第1頁/共1頁2023-2025北京高三一模數(shù)學匯編平面向量的應用一、單選題1．（2025北京石景山高三一模）在中，若，則（

）A． B． C．1 D．22．（2025北京朝陽高三一模）在中，，，點M為所在平面內一點且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．3．（2024北京門頭溝高三一模）在中，，則的面積為（

）A． B．C． D．4．（2023北京東城高三一模）已知正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內部（不含邊界）的動點，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023北京東城高三一模）在中，，，，則（

）A． B．4 C． D．二、填空題6．（2025北京通州高三一模）在中，已知，，.則.7．（2025北京順義高三一模）在中，，，則.8．（2024北京延慶高三一模）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則，的面積為．9．（2024北京石景山高三一模）已知向量滿足，與的夾角為，則當實數(shù)變化時，的最小值為．10．（2023北京房山高三一模）在中，，則；的值為.11．（2023北京朝陽高三一模）在中，，，．（1）若，則；（2）當（寫出一個可能的值）時，滿足條件的有兩個．三、解答題12．（2025北京東城高三一模）在中.(1)求的值及的面積；(2)求證：.13．（2025北京房山高三一模）在中，.(1)求；(2)再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.14．（2025北京豐臺高三一模）在中，．(1)求；(2)若的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求a．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．15．（2025北京西城高三一模）在中，．(1)求的值；(2)若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．16．（2025北京海淀高三一模）在中，已知，．(1)求的值；(2)若為銳角，再從條件①、條件②和條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．17．（2025北京朝陽高三一模）在中，(1)求c的值；(2)已知，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一，求的周長．條件①：；條件②：AB邊上的高為；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．18．（2025北京門頭溝高三一模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)再從以下條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積.條件①：，；條件②：，；條件③：邊上的高，.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.19．（2025北京延慶高三一模）在中，，.(1)求b；(2)再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使為銳角三角形，并求的面積.條件①：；條件②：AB邊上中線的長為；條件③：.注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.20．（2025北京平谷高三一模）在中，.(1)求的大??；(2)再從下列三個條件中，選擇一個作為已知，使得存在且唯一，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：邊上的高為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.21．（2024北京房山高三一模）在中，角的對邊分別為，，，且．(1)求的大??；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：，為銳角；條件②：；條件③：．22．（2024北京海淀高三一模）在中，.(1)求；(2)若，求的面積.23．（2024北京西城高三一模）在中，．(1)求的大?。?2)若，再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求的面積．條件①：邊上中線的長為；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．24．（2024北京東城高三一模）在中，.(1)求；(2)若為邊的中點，且，求的值.25．（2024北京石景山高三一模）在銳角中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)求的取值范圍．26．（2023北京門頭溝高三一模）已知在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.D是AB的中點，，.(1)求∠A的大??；(2)求a的值.27．（2023北京延慶高三一模）在中，，.(1)當時，求和；(2)求面積的最大值.28．（2023北京順義高三一模）在中，．(1)求b；(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求的面積．條件①：；條件②：邊上中線的長為；條件③：．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．29．（2023北京海淀高三一模）在中，．(1)求；(2)若的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求a的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．30．（2023北京西城高三一模）如圖，在中，，，平分交于點，．(1)求的值；(2)求的面積．31．（2023北京石景山高三一模）如圖，在中，，，點在邊上，.(1)求的長；(2)若的面積為，求的長.32．（2023北京平谷高三一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，求的面積．

參考答案1．A【分析】利用正弦定理計算可得.【詳解】因為，即，由正弦定理，所以，所以，又，所以，所以.故選：A2．C【分析】以所在直線為軸，以其上的高線為軸建立平面直角坐標系，設出點的坐標，寫出各個點坐標，利用數(shù)量積的坐標運算，求解問題.【詳解】在三角形中，由余弦定理，故為鈍角；又，故點在三角形底邊的高線上，則以所在直線為軸，以其上的高線為軸建立平面直角坐標系如下所示：又，則，故，；則，設，，故，當且僅當時取得等號；也即的最小值為.故選：C.3．A【分析】先利用余弦定理求出，再利用面積公式求解.【詳解】，解得，則，所以.故選：A.4．D【分析】通過建立合適的直角坐標系，設，得到的軌跡方程，最后得到的表達式，根據(jù)函數(shù)單調性即可得到其范圍.【詳解】以中點為原點建立如下直角坐標系；則，，，設，則，，則，即，則，其中，，則，則，故選：D.5．C【分析】利用余弦定理得到，，利用同角三角函數(shù)基本公式得到，然后利用面積公式求面積即可.【詳解】，，，所以，解得，，因為，所以，.故選：C.6．/【分析】根據(jù)正弦定理求解，即可根據(jù)余弦的二倍角公式求解.【詳解】由正弦定理可得，故，故,故答案為：.7．/【分析】先根據(jù)正弦定理，結合三角形內角和定理，把化成，再結合，利用二倍角公式可得，再判斷角的取值范圍，即可求得.【詳解】根據(jù)正弦定理，.所以，又，所以.所以，所以.因為為三角形內角，所以，所以，所以.又，所以，所以為銳角，所以.故答案為：8．1/【分析】根據(jù)題意，利用正弦、余弦定理求得，再運用三角形的面積公式即可求得結果.【詳解】因為，由正弦定理可得，因為，在中，由余弦定理可得：，所以，解得：；所以，由三角形面積公式可得：，故答案為：；.9．1【分析】根據(jù)題意利用平面向量的幾何特征，可知當時，取得最小值.【詳解】如圖所示：

設，當時，取得最小值，過點作于點，即可得的最小值為，又與的夾角為，即，易知，所以.即的最小值為1.故答案為：110．/【分析】化簡得到，再根據(jù)正弦定理得到，得到，計算得到答案.【詳解】，，故，，；，則，即，，，則，，.故答案為：；11．（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根據(jù)已知兩邊及一邊的對角求三角形解得情況，建立不等式求出的范圍即可得解.【詳解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.（2）因為,,所以當時，方程有兩解，即，取即可滿足條件（答案不唯一）故答案為：；6.12．(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）由正弦值得，再應用余弦定理列方程求得，最后應用三角形面積公式求面積；（2）由（1）及二倍角余弦公式得，再應用余弦定理求得，結合三角形內角的性質即可證.【詳解】（1）在中,所以是銳角，.由，可得，而，所以，可得，則，故；（2）由（1）易知，則，由（1）及余弦定理有，所以，又，則.13．(1)(2)【分析】（1）應用正弦定理結合兩角和正弦公式計算得出余弦值進而得出角；（2）選擇條件①三角形不存在；選擇條件②應用同角三角函數(shù)關系得出，再應用正弦定理及余弦定理計算求出邊長，最后應用面積公式計算；選擇條件③先應用正弦定理得出，再應用余弦定理得出，最后應用面積公式計算.【詳解】（1）由正弦定理，得.所以.所以.因為，所以.所以.所以.（2）選條件①：，，由余弦定理，得.，不存在；選條件②：.由，可得.由正弦定理，得.由余弦定理，得，整理得.解得，或（舍）.所以的面積.條件③：.因為，且，所以.由余弦定理，得.解得，或（舍）所以的面積.14．(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用余弦定理的推論，將等式進行變形即可求出的值，在由同角三角函數(shù)的基本關系即可求解；（2）選擇條件①時，利用面積公式求出，再利用正弦定理得，聯(lián)立求解即可；選擇條件②：利用面積公式求出，利用，且，所以．進一步得出，再聯(lián)立求解即可；選擇條件③：不符合題意，因為，不可能．【詳解】（1）在中，因為，由余弦定理，得．因為，所以．（2）選擇條件①：因為，所以，．由題意得，所以．因為，，所以．由正弦定理，得，又，解得，所以．選擇條件②：由題意得，所以．因為，且，所以．又，所以，又，解得或．選擇條件③：不符合題意，因為中，，不可能．15．(1)(2)條件選擇見解析，答案見解析【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡可得出的值；（2）對于條件①，利用余弦函數(shù)的單調性求出角的取值范圍，結合三角形的內角和定理推出矛盾，可值條件①，不符合要求；選擇條件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面積公式結合等面積法可求出邊上的高；選擇條件③；求出、的值，利用兩角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，進而可得出邊上的高為，求解即可；【詳解】（1）由正弦定理，且，得，即．由，得．所以．由，得，所以．（2）選擇條件①：因為，且余弦函數(shù)在上單調遞減，故，又因為，從而可得，與三角形的內角和定理矛盾，故①不成立.選擇條件②：由，且，得．由余弦定理，得，解得或（舍）．設邊上的高為，則三角形面積，所以．選擇條件③：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以邊上的高．16．(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）轉化已知條件求得，解得正弦定理，即可求得；（2）對條件①：求得，由其可為鈍角，也可為銳角，從而判定三角形不唯一；對條件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面積；對條件③，求得，由，判定為銳角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面積.【詳解】（1）因為，則，又，，故，也即；又，由正弦定理可得：，解得.（2）由（1）可知，，又為銳角，故，又；若選擇條件①：，由正弦定理可得，解得，此時，可以為銳角，也可以時鈍角，故此時三角形有兩解，不滿足題意，條件①不能選擇；若選擇條件②：，則，由正弦定理，可得；此時，兩角均為銳角，故三角形唯一，且，故三角形的面積；若選擇條件③：，又，解得，因為，又為銳角，故也是銳角，此時，三角形唯一，且，故三角形的面積；綜上所述：條件①不能選；若選擇條件②或③，三角形唯一，且其面積為.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，再結合兩角和的正弦公式化簡求解的值；（2）根據(jù)所選條件，結合正弦定理、三角形面積公式等求出三角形的其他邊，進而求得周長.【詳解】（1）由正弦定理及得．所以．所以．又因為，所以．所以．（2）選條件①：因為，且，所以．因為，所以．所以．又因為，所以．所以．又，所以．所以的周長為．選條件②：因為邊上的高為，所以．又因為，所以．所以．因為，所以．（1）當時，由，得．又，所以．所以．所以的周長為．（2）當時，由，得．又，所以，不符合題意．綜上，的周長為．選條件③：由余弦定理，可得，即。解得或，此時不唯一，不符合要求.18．(1)(2)解答見解析【分析】（1）利用正弦定理：邊化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案；（2）①利用正弦定理可得為銳角或鈍角；②利用基本不等式和三角形的性質可得存在且唯一確定；③利用正弦定理和余弦定理可得存在且唯一確定.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，又，所以，得到，所以.（2）選條件①：，；由（1）知，，根據(jù)正弦定理知，所以存在或兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件；選條件②：，因為，即，又，所以，所以只有成立，存在且唯一確定，所以的面積為.選條件③：邊上的高，；如圖所示，邊上的高，在中，，即，由（1）知，，根據(jù)余弦定理知，，化簡得，得(舍去)或，存在且唯一確定，所以的面積為.19．(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結合三角恒等變換，即可求解；（2）若選擇①②，應用余弦定理結合銳角三角形，即可判斷；若選擇③應用余弦定理及同角三角函數(shù)關系，以及三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）在中，因為，再由可得.所以，即，所以.因為，所以.（2）選擇條件①：，，，由余弦定理得，，因為為銳角三角形，所以不符合題意，不存在三角形；選擇條件②：在中，設點為的中點，則，，中，根據(jù)余弦定理解得，所以，所以，因為，所以為銳角三角形，所以，在中，.選擇條件③：在中，為銳角三角形，因為，所以，所以，，，所以，所以，所以，解得或舍.所以，所以為銳角三角形，所以，在中，.20．(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，結合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理邊角互化求解，（2）根據(jù)三角形存在可知不能選①，選②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面積公式求解，或者利用正弦定理求解，進而根據(jù)和差角公式求解,由面積公式求解，選③根據(jù)高，即可利用選②的方法求解.【詳解】（1）方法一：由正弦定理及，得.①因為，所以.②由①②得因為，所以.所以.因為，所以.方法二：在中，因為，由余弦定理得，整理得所以，所以.（2）若選條件①：；，所以,而，這與矛盾，故不能選①.選條件②：方法一：由余弦定理，得即，解得.所以方法二：由正弦定理，所以，因為，所以，所以.選條件③：邊上的高，所以，以下與選擇條件②相同.21．(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)大邊對大角，結合即可得解；（2）選①，先利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出邊，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.選②，先求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質即可得出三角形的解的個數(shù).選③，先利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形內角和定理及兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）因為，所以，則，所以，因為，所以，所以；（2）選①，，為銳角，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，即，解得（舍去）或，符合條件，所以.選②，，解得或，若，因為，所以，符合條件，若，因為，所以為鈍角，符合條件，所以該三角形有個解，不符合條件.選③，，由正弦定理得，所以，符合條件，所以，所以，所以，所以.22．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉角得到，再利用輔助角公式及特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結果；（2）根據(jù)（1）中及條件，由余弦定理得到，再結合，即可求出，再利用三角形面積公式，即可求出結果.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，得到，即，所以，又因為，所以，得到.（2）由（1）知，所以，又，得到①，又，得到代入①式，得到，所以的面積為.23．(1)(2)答案見解析【分析】（1）借助正弦定理計算即可得；（2）選條件①或③：借助余弦定理與面積公式計算即可得；不可選條件②，不存在這樣的.【詳解】（1）由，得，在中，由正弦定理得，因為，所以，又，所以；（2）選條件①：邊上中線的長為：設邊中點為，連接，則，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），所以的面積為，選條件③：：在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，當時，的面積為．當時，的面積為．不可選條件②，理由如下：若，故為鈍角，則，則，，即，其與為鈍角矛盾，故不存在這樣的.24．(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理可得，結合三角和為及誘導公式可得，即可得答案；（2）在中，由正弦定理可求得，從而可得，在中，利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）解：因為，由正弦定理可得，即，，又因為，所以，解得，又因為，所以；（2）解：因為為邊的中點，，所以,設,在中，由正弦定理可得，即，解得，又因為，所以，

在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.25．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角求解即可；（2）由（1）可知，所以，所以將轉化為同一個角的三角函數(shù)，最后求其值域即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理邊化角得：，所以，由于在中，，所以，即，又，所以.（2）由（1）可知，所以，所以由于在銳角中，，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.26．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理得，進而求得A；（2）在和中分別使用余弦定理，計算a的值.【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，因為，所以，得，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即，解得：(負值舍去)，則，在中，由余弦定理得：，所以.所以.27．(1)，(2)27【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得，結合可得，進而根據(jù)面積公式即可求解.【詳解】（1）因為且，所以.由正弦定理得，即.所以.所以或.因為，，所以.所以.由，即，解得.（2）因為，

因為，所以.

所以，當且僅當為時，等號成立.所以.所以面積的最大值為.28．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解，（2）根據(jù)題目要求可知只能選擇條件②或③，根據(jù)余弦定理求解，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質求解正弦，進而由面積公式即可求解.【詳解】（1）因為，在△中，由正弦定理，可得：，又因為，所以.（2）選擇條件①；由，，以及余弦定理得，該方程無解，故此時三角形不存在，故不能選擇條件①選擇條件②設邊上的中線為，則，，在△中，由余弦定理得：，因為，，所以，所以△的面積為.選擇條件③方法1：由題設，因為，所以，因為，所以因為，所以，所以，由余弦定理可得：，整理得，解得（舍），因為，，所以，所以△的面積為.方法2：由題設，因為，所以，因為，所以在△中，因為，所以，即，所以，