§2-6一維定態(tài)的一般性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)一維定態(tài)的一般性質(zhì)一維束縛定態(tài)的性質(zhì)勢能具有空間反演不變性時(shí)的一維束縛定態(tài)波函數(shù)的宇稱會(huì)證明一維定態(tài)的幾個(gè)性質(zhì)。能利用一維定態(tài)的性質(zhì)解決一些簡單的實(shí)際問題。熟練掌握一維束縛定態(tài)的性質(zhì)。

本節(jié)內(nèi)容

8個(gè)定理定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8一維定態(tài)薛定諤方程設(shè)是一維定態(tài)薛定諤方程的解，則它的復(fù)共軛也是該方程的一個(gè)解，且與對(duì)應(yīng)同一能量本征值。一維定態(tài)薛定諤方程取復(fù)共軛，且考慮到，則定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8對(duì)于一維定態(tài)薛定諤方程，如果和是對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量本征值的兩個(gè)獨(dú)立的解，則有已知上面兩式兩邊分別乘以和，然后相減，得（c是與x無關(guān)的常數(shù)）定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8對(duì)于一維定態(tài)薛定諤方程，能級(jí)的簡并度最大為2。設(shè)對(duì)于同一能量本征值，存在三個(gè)獨(dú)立的波函數(shù)，則上面兩式兩邊分別乘以c2和c1，然后相減，得令，則與假設(shè)矛盾。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8對(duì)一維束縛定態(tài)，所有能級(jí)都不簡并。設(shè)對(duì)于同一能量本征值，存在兩個(gè)獨(dú)立的波函數(shù)，則對(duì)束縛態(tài)則兩者代表同一個(gè)量子態(tài)，因此能級(jí)不簡并。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8一維束縛定態(tài)的本征函數(shù)可以是實(shí)數(shù)。由定理1知：和都是薛定諤方程的解，且對(duì)應(yīng)同一本征值。由定理4知：一維束縛定態(tài)能級(jí)不簡并。所以，和最多相差一常數(shù)因子，即取復(fù)共軛，則取，，則即本征函數(shù)可以取實(shí)數(shù)。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8設(shè)勢能具有空間反演不變性，即。若是一維定態(tài)薛定諤方程的一個(gè)解，則也一定是對(duì)應(yīng)同一個(gè)能量本征值的另一個(gè)解。作代換，則考慮到，得一維定態(tài)薛定諤方程定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8對(duì)于一維束縛定態(tài)，如果勢能具有空間反演不變性，則所有能量本征態(tài)都有確定的宇稱。所以若，則由定理6知：和都是方程的解，且對(duì)應(yīng)同一本征值。由定理4知：一維束縛定態(tài)能級(jí)不簡并。作代換，則若，則偶宇稱奇宇稱則定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8如圖所示，在一維情況下，若U(x)在x0點(diǎn)不連續(xù)，且U1、U2有限，則在x0點(diǎn)及仍連續(xù)。對(duì)方程作運(yùn)算，則第一項(xiàng)第二項(xiàng)又則ABCD提交6-1對(duì)于一維定態(tài)，下列說法正確的是所有能級(jí)不簡并。能級(jí)的簡并度最大為2。能級(jí)的簡并度最大為3。能級(jí)的簡并度最大為4。

單選題1分§2-7自由粒子本征函數(shù)的規(guī)格化和箱歸一化知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)自由粒子自由粒子能量本征函數(shù)的規(guī)格化本征函數(shù)的箱歸一化束縛態(tài)和非束縛態(tài)明白自由粒子的概念。學(xué)會(huì)自由粒子能量本征函數(shù)規(guī)格化的方法。理解一維自由粒子箱歸一化的含義。本節(jié)內(nèi)容1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化自由粒子：運(yùn)動(dòng)過程中不受外力作用的粒子，即。時(shí)令，則一維情況

兩個(gè)特解分別為顯然有；、都不能滿足波函數(shù)有限性的要求。方程無解。1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化時(shí)令，則兩個(gè)特解分別為若k的取值范圍選為從負(fù)無窮到正無窮，其解合并為能量本征值動(dòng)量取值能量本征函數(shù)k>0表示粒子向右運(yùn)動(dòng)k<0表示粒子向左運(yùn)動(dòng)由于k取值連續(xù)，所以能量取值連續(xù)。除基態(tài)外能量本征值二度簡并。1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化困難：本征函數(shù)不是平方可積的波函數(shù)，無法歸一本征函數(shù)的規(guī)格化對(duì)無限擴(kuò)展的平面波只能進(jìn)行所謂的規(guī)格化，即將其規(guī)格化為δ函數(shù)。規(guī)格化常數(shù)

規(guī)格化（“歸一化”）后的波函數(shù)為或也是動(dòng)量算符的本征函數(shù)1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化三維情況

或1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化限定粒子在[-L,L]的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，箱外的波函數(shù)為零。假定粒子動(dòng)量或動(dòng)能算符的本征函數(shù)仍為。一維情況周期性條件：粒子出現(xiàn)在箱兩端的概率相同，即由此得動(dòng)量和能量的本征值都是斷續(xù)的。若L→∞，能級(jí)連續(xù)，與自由粒子能量本征值取值連續(xù)相吻合。1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化波函數(shù)歸一化三維情況1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化束縛態(tài)和非束縛態(tài)連續(xù)譜非束縛態(tài)能量本征函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處不為零，如自由粒子的本征態(tài)斷續(xù)譜束縛態(tài)能量本征函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，如箱中粒子的本征態(tài)ABCD提交6-2一維自由粒子的波函數(shù)為，則它既是動(dòng)量本征函數(shù)，也是能量本征函數(shù)。是動(dòng)量本征函數(shù)，但不是能量本征函數(shù)。是能量本征函數(shù)，但不是動(dòng)量本征函數(shù)。既不是動(dòng)量本征函數(shù)，也不是能量本征函數(shù)。單選題1分1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化例1.設(shè)一維自由粒子的波函數(shù)為，驗(yàn)證它既是動(dòng)量的本征函數(shù)，也是能量的本征函數(shù)。因?yàn)樗运?，初始時(shí)刻波函數(shù)為1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化例2.設(shè)一維自由粒子在初始時(shí)刻處于狀態(tài)，求?；蛘哒f，若系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)為因?yàn)檠Χㄖ@方程的一般解為定態(tài)波函數(shù)的線性疊加，即則t時(shí)刻狀態(tài)為1自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化2本征函數(shù)的箱歸一化該題中，初始時(shí)刻波函數(shù)為，它是能量本征態(tài)，所以例3.設(shè)一維自由粒子的波函數(shù)為，它是無窮多個(gè)平面波的疊加，即無窮多個(gè)動(dòng)量本征態(tài)的疊加。試問它是否是能量本征態(tài)？由于是無窮多個(gè)動(dòng)量本征態(tài)的疊加，所以它也是無窮多個(gè)能量本征