第四章態(tài)和力學(xué)量的表象§4-1狀態(tài)的表象§4-2力學(xué)量算符的矩陣表示§4-3量子力學(xué)公式的矩陣表示§4-4幺正變換§4-5狄拉克符號§4-6線性諧振子與粒子數(shù)表象

§4-1狀態(tài)的表象知識點教學(xué)目標(biāo)態(tài)矢空間表象概念坐標(biāo)表象和動量表象波函數(shù)的矩陣表示比較態(tài)矢空間和三維空間的異同。熟練掌握波函數(shù)在某表象下的矩陣表示。能熟練寫出波函數(shù)在坐標(biāo)表象和動量表象下的表示。本節(jié)內(nèi)容1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示態(tài)矢空間物理體系的任一微觀狀態(tài)可以用一種抽象的矢量描述，這種抽象的矢量稱為態(tài)矢；全體態(tài)矢構(gòu)成的空間稱為態(tài)矢空間或希爾伯特空間。F表象下的態(tài)矢空間設(shè)力學(xué)量算符滿足本征方程，則構(gòu)成一組正交歸一完備的本征函數(shù)系。以作為態(tài)矢空間的一組基矢（基底），則稱該空間為F表象下的態(tài)矢空間。對任意一個狀態(tài)，有1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示波函數(shù)就是態(tài)矢空間的一個態(tài)矢量展開系數(shù)表示態(tài)矢在un(x)上的投影，稱為波函數(shù)在F表象下的表示用其它任一力學(xué)量算符的正交歸一完備的本征函數(shù)系作為基底，把作展開，有展開系數(shù)表示態(tài)矢在φn(x)上的投影，稱為波函數(shù)在G表象下的表示1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示態(tài)矢空間與三維空間的比較希爾伯特空間三維空間基矢組（基底）基矢組正交歸一條件空間中的矢量矢量展開式矢量在基矢上的投影空間維數(shù)可以有限，也可以無限三維空間性質(zhì)復(fù)空間實空間1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示小結(jié)態(tài)矢空間中的基底相當(dāng)于幾何學(xué)中的坐標(biāo)系；選取不同的基底，相當(dāng)于選取了不同的坐標(biāo)系。在不同基底下得到的物理結(jié)果是相同的。如果基底選取合適，則可能使問題的推導(dǎo)與計算更加簡單。ABCD提交18-1態(tài)矢空間的維數(shù)為一維。為三維。為有限維?？梢杂邢?，也可以無限。單選題1分1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示波函數(shù)在坐標(biāo)表象中的表示顯然，展開系數(shù)就是坐標(biāo)表象中的波函數(shù)，即在本征值為x的基矢上的投影就是它本身。本征值及相應(yīng)的規(guī)格化本征函數(shù)坐標(biāo)算符的本征方程把任意波函數(shù)向本征函數(shù)展開展開系數(shù)1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示波函數(shù)在動量表象中的表示以x為自變量動量算符的本征方程本征值及相應(yīng)的規(guī)格化本征函數(shù)把任意波函數(shù)向本征函數(shù)展開展開系數(shù)由展開假定可知，就是在狀態(tài)上動量取值的概率；展開系數(shù)是波函數(shù)在動量表象中的表示。展開系數(shù)1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示以p為自變量動量算符的本征方程它就是在動量表象中的表示。本征值及相應(yīng)的規(guī)格化本征函數(shù)以p為自變量，通常把狀態(tài)改寫成，則比較兩個結(jié)果，可知付立葉變換1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示例1．證明動量表象中坐標(biāo)算符1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示設(shè)力學(xué)量算符滿足本征方程展開系數(shù)是態(tài)矢在F表象中的表示。把它表示成列矩陣其共軛矩陣矩陣形式的波函數(shù)歸一化條件對任意一個狀態(tài)，有在F表象中的矩陣表示例2．一粒子在一維無限深勢阱中運動的狀態(tài)為1表象2坐標(biāo)表象和動量表象3波函數(shù)的矩陣表示求此函數(shù)在能量表象中的表示。一維無限深勢阱中粒子能量的本征解為ABCD提交18-2體系的波函數(shù)可以用力學(xué)量的本征函數(shù)系展開，即，則波函數(shù)在F表象下的矩陣表示為單選題1分§4-2力學(xué)量算符的矩陣表示知識點教學(xué)目標(biāo)力學(xué)量算符的矩陣表示厄米矩陣自身表象下力學(xué)量算符的矩陣形式能夠計算在某表象下力學(xué)量算符的矩陣形式。能熟練寫出自身表象下力學(xué)量算符的矩陣形式。理解力學(xué)量算符矩陣形式的特點。本節(jié)內(nèi)容1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3說明1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明量子力學(xué)三要素：波函數(shù)，算符，薛定諤方程。上一節(jié)講了波函數(shù)的矩陣表示，為了保證理論體系的一致性，必須實現(xiàn)力學(xué)量算符與量子力學(xué)公式的矩陣表示。算符在G表象下的矩陣形式設(shè)力學(xué)量算符滿足本征方程，以作為基矢張開的空間稱為G表象下的態(tài)矢空間。且力學(xué)量算符滿足算符方程所以對上式做運算，得令1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明所以，G表象下的算符方程的矩陣形式為G表象下力學(xué)量算符的矩陣形式為矩陣元1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明算符在自身表象下的矩陣形式力學(xué)量算符在自身表象下是一個對角矩陣，并且本征值就是對角元素。它的陣跡就是全部本征值之和。1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明厄米矩陣共軛矩陣一般說來，實的對稱矩陣都是厄米矩陣。即矩陣F中關(guān)于對角線對稱的元素互為復(fù)共軛。顯然，力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣。力學(xué)量算符對應(yīng)矩陣的特點厄米矩陣1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明只有知道力學(xué)量

的本征解，才能計算在G表象下的矩陣元。如果

的本征值為連續(xù)譜，則不論在任何具體表象中，任何厄米算符的矩陣元Fmn一定是一個數(shù)，故其可以在公式中隨意移動位置。在不同的表象中，算符的矩陣元可能會不同，但是其本征值不會因表象不同而變化。連續(xù)譜情況下力學(xué)量的矩陣形式構(gòu)成正交歸一完備基矢組。1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明對上式做運算，得令即算符在G表象中的矩陣元1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明例1.求算符在坐標(biāo)表象中的矩陣元。其中，x為變量，、為本征值例2.求在動量表象中的矩陣元?；?算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明例3.求在動量表象中的矩陣元。1算符的矩陣形式2力學(xué)量算符對應(yīng)的矩陣是厄米矩陣3

說明例4.求一維諧振子中，坐標(biāo)算符、動量算符和能量算符在能量表象中的矩陣表示。坐標(biāo)