§4-5狄拉克符號(hào)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)狄拉克符號(hào)的含義右矢和左矢兩個(gè)態(tài)矢的標(biāo)量積基矢組量子力學(xué)的狄拉克符號(hào)表示

領(lǐng)會(huì)右矢和左矢的意義。理解標(biāo)量積的意義。熟悉基矢組的性質(zhì)。能寫(xiě)出力學(xué)量算符、量子力學(xué)方程的狄拉克符號(hào)表示。本節(jié)內(nèi)容1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示數(shù)學(xué)中表示一個(gè)矢量可以不引入坐標(biāo)系或不用其分量表示，而直接用矢量符號(hào)表示。右矢和左矢在量子力學(xué)中表示一個(gè)量子態(tài)也可以不引進(jìn)具體的表象，直接用矢量符號(hào)表示，這就是狄拉克符號(hào)。量子力學(xué)體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)態(tài)矢空間（希爾伯特空間）。態(tài)矢空間分為右矢空間和左矢空間左矢空間的矢量

表示為右矢空間中矢量

表示為1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示例如狄拉克符號(hào)含義坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)本征值為的本征態(tài)動(dòng)量的對(duì)應(yīng)本征值為的本征態(tài)或能量的對(duì)應(yīng)本征值為的本征態(tài)

、的對(duì)應(yīng)本征值分別為、的本征態(tài)力學(xué)量算符滿足的本征方程為代表fn對(duì)應(yīng)的本征態(tài)1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示態(tài)疊加原理注意：右矢和左矢不能疊加。右（左）矢空間中的任意態(tài)矢可以表示成若干個(gè)右（左）矢疊加右矢和左矢互為共軛注意：和都沒(méi)有意義。在同一表象中，和的標(biāo)量積是相應(yīng)分量的乘積之和。（后面證明）1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示標(biāo)量積的定義標(biāo)量積是一個(gè)數(shù)，可以在運(yùn)算中隨意移動(dòng)位置。和的標(biāo)量積為標(biāo)量積的特點(diǎn)標(biāo)量積的共軛比如：在x表象中比如：在Q表象中上式兩邊左乘，得1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示正交歸一性力學(xué)量算符的本征方程為完備性構(gòu)成一正交歸一完備基矢組。比如：或基矢組基矢組的性質(zhì)1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示展開(kāi)系數(shù)所以比如應(yīng)用：證明在同一表象中兩個(gè)態(tài)矢的標(biāo)量積是相應(yīng)分量的乘積之和。在x表象中在Q表象中1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示定義算符該算符對(duì)任何矢量的運(yùn)算，相當(dāng)于把這個(gè)矢量投影到基矢上去，使它變成在該基矢上的分量。所以算符稱(chēng)為投影算符。投影算符性質(zhì)1投影算符是厄米算符，其本征值為實(shí)數(shù)。性質(zhì)2性質(zhì)1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示投影算符的本征值和本征態(tài)設(shè)投影算符的本征方程為則即投影算符的本征值為1和0。當(dāng)時(shí)與表示同一態(tài)，取c=1，則其本征態(tài)為當(dāng)時(shí)凡與正交的態(tài)都是本征態(tài)。結(jié)論：投影算符的本征值為1的本征態(tài)是，本征值為0的本征態(tài)是與正交的態(tài)。1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示算符方程用左乘算符方程兩端，有則令這正是算符方程在Q表象中的表示。所以，算符在Q表象中的矩陣元在Q表象中的本征方程1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示本征方程的狄拉克符號(hào)表示在Q表象中薛定諤方程薛定諤方程的狄拉克符號(hào)表示在Q表象中1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示定態(tài)薛定諤方程在Q表象中平均值公式的狄拉克符號(hào)表示無(wú)表象態(tài)矢在A表象、B表象的變換1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表示基矢變換變換矩陣元設(shè)A表象、B表象的基矢分別為、，則1右矢和左矢2標(biāo)量積3基矢組4算符的狄拉克符號(hào)表示5量子力學(xué)公式的狄拉克符號(hào)表示6表象變換的狄拉克符號(hào)表