浙江大學(xué)線性代數(shù)i期末試卷及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.向量組的秩是（）。A.1B.2C.3D.42.矩陣的行列式為0，說(shuō)明該矩陣（）。A.可逆B.不可逆C.可逆或不可逆D.無(wú)法判斷3.對(duì)于一個(gè)n階矩陣A，下列說(shuō)法正確的是（）。A.A的秩小于nB.A的秩等于nC.A的秩大于nD.A的秩與n無(wú)關(guān)4.線性方程組有解的條件是（）。A.系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩B.系數(shù)矩陣的秩大于增廣矩陣的秩C.系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩D.系數(shù)矩陣的秩大于等于增廣矩陣的秩5.矩陣A的逆矩陣記作（）。A.A'B.A^(-1)C.A^(-2)D.A^(1/2)二、填空題（每題4分，共20分）6.矩陣A的特征值是特征多項(xiàng)式的_________。7.矩陣A的秩等于A的_________個(gè)最大線性無(wú)關(guān)行（列）向量的數(shù)量。8.矩陣A和B的乘積記作_________。9.矩陣A的轉(zhuǎn)置記作_________。10.矩陣A的行列式記作_________。三、計(jì)算題（每題10分，共30分）11.計(jì)算矩陣A的行列式，其中A為：\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]12.求矩陣B的逆矩陣，其中B為：\[B=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}\]13.求矩陣C的特征值和特征向量，其中C為：\[C=\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}\]四、證明題（每題15分，共30分）14.證明：如果矩陣A和B可交換，即AB=BA，則A和B可以同時(shí)對(duì)角化。15.證明：如果矩陣A是正定矩陣，則其所有特征值均為正數(shù)。五、應(yīng)用題（每題15分，共30分）16.已知線性方程組：\[\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+3y+z=2\\3x+y+2z=3\end{cases}\]求該方程組的通解。17.已知矩陣D和向量v，求矩陣D對(duì)向量v的作用結(jié)果，其中D為：\[D=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]v為：\[v=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\]答案一、選擇題1.B2.B3.B4.A5.B二、填空題6.根7.行8.AB9.A^T10.|A|三、計(jì)算題11.矩陣A的行列式為0。12.矩陣B的逆矩陣為：\[B^{-1}=\begin{bmatrix}3&-1\\-1&2\end{bmatrix}\]13.矩陣C的特征值為5和1，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為：\[v_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\quadv_2=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\]四、證明題14.證明略。15.證明略。五、應(yīng)用題16.該方程組的通解為：\[\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\end{bmat