工程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)不可能（）A.大于行數(shù)B.小于行數(shù)C.等于行數(shù)D.等于列數(shù)2.線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是（）A.\(|A|\neq0\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)<n\)D.\(A\)為方陣3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的定義是（）A.存在全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.只有全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)D.任意一組數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)都有\(zhòng)(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A-\lambdaE\)（）A.可逆B.不可逆C.秩為\(n\)D.秩小于\(n\)5.若事件\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.\(P(A)+P(B)\)B.\(P(A)P(B)\)C.\(P(A)-P(B)\)D.\(P(B)-P(A)\)6.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(E(X)\)等于（）A.\(\mu\)B.\(\sigma^2\)C.\(\mu^2\)D.\(\sigma\)7.對于\(n\)階方陣\(A\)，若存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，則\(A\)與\(B\)（）A.合同B.相似C.等價D.相等8.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)中元素\(a_{12}^\)為（）A.-3B.3C.-2D.29.設(shè)\(A\)、\(B\)為兩個事件，且\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(A|B)=0.4\)，則\(P(AB)\)為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.510.設(shè)向量\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(3,2,1)\)，則\(\alpha\cdot\beta\)等于（）A.10B.12C.14D.16二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是矩陣的初等行變換（）A.交換兩行B.某行乘以非零常數(shù)C.某行乘以常數(shù)加到另一行D.交換兩列2.線性方程組\(Ax=b\)有解的等價條件有（）A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(b\)可由\(A\)的列向量組線性表示C.\(r(A)<n\)D.\(r(A)>n\)3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)的充分必要條件有（）A.向量組的秩等于\(s\)B.其中任意一個向量都不能由其余向量線性表示C.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)D.向量組中向量個數(shù)小于向量維數(shù)4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，關(guān)于\(A\)的特征值與特征向量，正確的是（）A.不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)B.特征值之和等于\(A\)的主對角線元素之和C.特征值之積等于\(|A|\)D.一個特征值只對應(yīng)一個特征向量5.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)（\(A\)、\(B\)互斥時）6.若隨機變量\(X\)服從二項分布\(B(n,p)\)，則（）A.\(E(X)=np\)B.\(D(X)=np(1-p)\)C.\(P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)D.\(X\)取值為\(0\)到\(n\)的整數(shù)7.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，以下哪些條件能推出\(A\)與\(B\)等價（）A.\(r(A)=r(B)\)B.存在可逆矩陣\(P\)、\(Q\)使得\(PAQ=B\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.\(A\)與\(B\)合同8.以下哪些是正交矩陣的性質(zhì)（）A.\(A^TA=E\)B.\(|A|=\pm1\)C.\(A\)的列向量組是單位正交向量組D.\(A\)的行向量組是單位正交向量組9.已知事件\(A\)、\(B\)，則\(P(A-B)\)可以表示為（）A.\(P(A)-P(AB)\)B.\(P(A)-P(B)\)（當(dāng)\(B\subseteqA\)時）C.\(P(A\overline{B})\)D.\(P(A)P(\overline{B})\)10.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(x)\)具有以下性質(zhì)（）A.\(F(x)\)單調(diào)不減B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.\(F(x)\)右連續(xù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)。（）2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則其中必有一個向量是零向量。（）3.相似矩陣有相同的特征多項式。（）4.若\(A\)、\(B\)為兩個事件，且\(P(A)+P(B)>1\)，則\(A\)與\(B\)一定不是互斥事件。（）5.設(shè)隨機變量\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，則\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)。（）6.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）7.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（）8.對于任意事件\(A\)、\(B\)，都有\(zhòng)(P(A\capB)=P(A)P(B)\)。（）9.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩為\(r\)，則\(r\leqs\)。（）10.正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣也是正交矩陣。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣秩的定義。矩陣\(A\)中非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣\(A\)的秩，記為\(r(A)\)。2.簡述線性方程組有解的判定定理。線性方程組\(Ax=b\)有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣\(A\)的秩等于增廣矩陣\((A|b)\)的秩，即\(r(A)=r(A|b)\)。3.簡述離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義。設(shè)離散型隨機變量\(X\)的分布律為\(P(X=x_k)=p_k\)，\(k=1,2,\cdots\)，若級數(shù)\(\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)絕對收斂，則稱\(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)為\(X\)的數(shù)學(xué)期望。4.簡述特征值與特征向量的定義。設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若存在數(shù)\(\lambda\)和非零\(n\)維列向量\(x\)，使得\(Ax=\lambdax\)，則稱\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(x\)是\(A\)的屬于特征值\(\lambda\)的一個特征向量。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)。齊次線性方程組\(Ax=0\)的解空間由基礎(chǔ)解系生成，通解是基礎(chǔ)解系的線性組合。非齊次線性方程組\(Ax=b\)的通解等于它的一個特解加上對應(yīng)的齊次線性方程組\(Ax=0\)的通解。2.討論概率在實際生活中的應(yīng)用。在風(fēng)險評估、保險定價、質(zhì)量控制等方面有應(yīng)用。如保險定價根據(jù)風(fēng)險發(fā)生概率計算保費；質(zhì)量控制利用概率判斷產(chǎn)品合格情況，以保障生產(chǎn)質(zhì)量。3.討論矩陣的相似對角化的意義和應(yīng)用。意義在于簡化矩陣運算，相似對角陣可方便計算矩陣的冪等。應(yīng)用于解線性微分方程組、動力系統(tǒng)等領(lǐng)域，可使復(fù)雜計算變得簡單。4.討論隨機變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的關(guān)系。分布函數(shù)\(F(x)\)是概率密度函數(shù)\(f(x)\)的變上限積分，即\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\)。概率密度函數(shù)\(f(x)\)是分布函數(shù)\(F(x)\)的導(dǎo)數(shù)（在\(F(x)\)可導(dǎo)點處），二者相互聯(lián)系，共同描述隨機變量