PAGEPAGE1考點30數(shù)列求和1．（江蘇省南京市、鹽城市2025屆高三其次次模擬考試）等差數(shù)列中，，前項的和，則的值為______.【答案】【解析】由題得.故答案為：-42．（鹽城市2025屆高三年級第一學(xué)期期中模擬考試）若數(shù)列的首項，且，則=________.【答案】【解析】得且所以即是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列。=n+1，從而3．（江蘇省蘇北六市2025屆高三其次次調(diào)研測試）設(shè)等差數(shù)列{}的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，且，則的值為_______．【答案】【解析】由題意可得解得則4．（江蘇省淮安市等四市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬）已知等差數(shù)列滿意，，則的值為____．【答案】【解析】由題意，，，，所以．5．（江蘇省宿遷市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試）已知等差數(shù)列滿意，則的值為___________．【答案】11【解析】等差數(shù)列滿意,故答案為：11.6．（江蘇省七市2025屆(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三其次次調(diào)研考試）已知集合，從集合中取出個不同元素，其和記為；從集合中取出個不同元素，其和記為．若，則的最大值為____．【答案】44【解析】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小起先取，S=即令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數(shù),m為整數(shù)，則，由基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)m=t=22時取等，∵t為奇數(shù)，∴的最大值在t=22旁邊取到，則t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值為43，所以的最大值為44故答案為447．（鹽城市2025屆高三年級第一學(xué)期期中模擬考試）已知數(shù)列滿意：，.若成等差數(shù)列，，，則=__________.【答案】1【解析】依據(jù)題意,數(shù)列{an}滿意：a1=3,(n?2)，則a2=2a1?3=2×3?3=3，a3=2a2?3=2×3+3=9，a4=2a3+3=2×9?3=15，其中a1、a3、a4為等差數(shù)列的前3項，又由{a

k1}是等差數(shù)列,且k1=1，則有k2=3,k3=4，則k3?k2=1．8．（江蘇省南通市2024年高考數(shù)學(xué)模擬）已知為數(shù)列{an}的前n項和，且，，則{an}的首項的全部可能值為______【答案】【解析】因為，所以，所以，將以上各式相加，得，又，所以，解得或.9．（江蘇省南京師大附中2025屆高三高考考前模擬考試）在數(shù)列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且隨意連續(xù)三項的和都是15，則a2024＝______．【答案】9【解析】由題意可得an+an+1+an+2=15，將n換為an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得數(shù)列{an是周期為3的數(shù)列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案為9.10．（江蘇省南京師范高校附屬中學(xué)2025屆高三5月模擬考試）在數(shù)列中，，且隨意連續(xù)三項的和都是15，則____．【答案】9【解析】由題意可得，將換為，可得，可得數(shù)列為周期為的數(shù)列，，即有，由隨意連續(xù)三項的和都是可得可得，故答案為.11．（江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港))2025屆高三年級第一次質(zhì)量檢測）已知數(shù)列滿意對隨意的，都有，且，其中，．記．（1）若，求的值；（2）設(shè)數(shù)列滿意．①求數(shù)列的通項公式；②若數(shù)列滿意，且當(dāng)時，，是否存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列？若存在，求出全部的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）1011（2）①；②，滿意題意【解析】（1）當(dāng)時，由，得，又，所以，又，所以．（2）由，得，又，所以，又因為，所以，所以，，所以．②由題意，得，，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，所以，即．由于，所以，即．當(dāng)時，，得．當(dāng)時，由(*)，得為奇數(shù)，所以，即，代入(*)得，即，此時無正整數(shù)解．綜上，，．12．（江蘇省淮安市淮安區(qū)2025屆高三第一學(xué)期聯(lián)合測試）已知數(shù)列的前n項和為，且()．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)，()，求數(shù)列的前n項和；（3）設(shè)為實數(shù)，對滿意且的隨意正整數(shù)m，n，k，不等式恒成立，試求實數(shù)的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，，滿意上式，所以；（2）由分段函數(shù)可以得到：，，當(dāng)，時，，故當(dāng)，時，,，所以；（3）由，及得，∵，∴，∵，∴，要恒成立，只要，∴的最大值為.13．（江蘇省清江中學(xué)2025屆高三學(xué)情調(diào)研考試）數(shù)列中，，，（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)（），，是否存在最大的整數(shù)，使得隨意的均有總成立？若存在，求出；若不存在，請說明理由.【答案】(1);(2)7.【解析】（1）∵，∴（），∴等差數(shù)列.設(shè)公差為，又，，∴，∴.（2），∴假設(shè)存在整數(shù)滿意總成立，又∴數(shù)列是單調(diào)遞增的∴的最小值，故，即又∴適合條件的的最大值為7.14．（江蘇省南京師范高校附屬中學(xué)、天一、海門、淮陰四校2025屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)調(diào)研測試）設(shè)數(shù)列的首項為1，前n項和為，若對隨意的，均有（k是常數(shù)且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式；（2）是否存在數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”？若存在，求出符合條件的數(shù)列的通項公式及對應(yīng)的k的值；若不存在，請說明理由；（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，，設(shè)，證明：．【答案】（1）；（2）不存在；（3）證明見解析.【解析】（1）因為數(shù)列為“數(shù)列”，則故，兩式相減得：，又時，，所以，故對隨意的恒成立，即（常數(shù)），故數(shù)列為等比數(shù)列，其通項公式為.（2）假設(shè)存在這樣的數(shù)列，則有，故有兩式相減得：，故有，同理由是“數(shù)列”可得，所以對隨意恒成立．所以，即，又，即，兩者沖突，故不存在這樣的數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”．（3）因為數(shù)列為“數(shù)列”，所以，所以，故有，，又時，，故，滿意，所以對隨意正整數(shù)恒成立，數(shù)列的前幾項為：．故，所以，兩式相減得，明顯，故，即.15．（2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期江蘇省常州北郊華羅庚江陰中學(xué)三校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)）已知數(shù)列、，其中，，數(shù)列滿意,，數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）是否存在自然數(shù)，使得對于隨意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）存在，；（3）．【解析】（1）由，即．又，所以.當(dāng)時，上式成立，因為，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故.(2)由（1）知，則.假設(shè)存在自然數(shù)，使得對于隨意有恒成立，即恒成立，由，解得．所以存在自然數(shù)，使得對于隨意有恒成立，此時，的最小值為16.（3）當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.因此．16．（江蘇省揚州樹人學(xué)校2025屆高三模擬考試四）已知無窮數(shù)列的各項都不為零，其前n項和為，且滿意，數(shù)列滿意，其中t為正整數(shù)．求；若不等式對隨意都成立，求首項的取值范圍；若首項是正整數(shù)，則數(shù)列中的隨意一項是否總可以表示為數(shù)列中的其他兩項之積？若是，請給出一種表示方式；若不是，請說明理由．【答案】(1).(2).(3)數(shù)列中的隨意一項總可以表示為數(shù)列中的其他兩項之積.理由見解析.【解析】（1）令，則，即，又，所以；由，得，兩式相減得，又，故，所以．（2）由（1）知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列；數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．故所以①當(dāng)時奇數(shù)時，，即，即對隨意正奇數(shù)恒成立，所以，解得．②當(dāng)時偶數(shù)時，，即，即對隨意正偶數(shù)恒成立，所以，解得．綜合①②得．（3）由數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；數(shù)列是首項為正整數(shù)，公差為1的等差數(shù)列知，數(shù)列的各項都是正整數(shù)．設(shè)，即，所以，取，取，故，不妨設(shè)是偶數(shù)，則肯定是整數(shù)，故當(dāng)是偶數(shù)時，方程的一組解是當(dāng)是奇數(shù)時，方程的一組解是所以數(shù)列中的隨意一項總可以表示為數(shù)列中的其他兩項之積．17．（江蘇省宿遷市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試）已知數(shù)列，其前項和為，滿意，其中，.（1）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的值；（3）若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）依據(jù)題意得到，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，依據(jù)，，，可構(gòu)造方程進而求得參數(shù)值；（3）先求得，由，得，兩式相減得：，化簡得到，再由迭代的方法得到數(shù)列進而證得數(shù)列是等差數(shù)列.解析：（1）證明：若，則當(dāng)(),所以，即，所以，又由，，得，，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列．（2）若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為（），當(dāng)時，，即，得，①當(dāng)時，，即，得，②當(dāng)時，，即，得，③②①，得，③②，得，解得．代入①式，得．此時()，所以，是公比為１的等比數(shù)列，故．（3）證明：若，由，得，又，解得．由，，，，代入得，所以，，成等差數(shù)列，由，得，兩式相減得：即所以相減得：所以所以，因為，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列.18．（江蘇省南通市2025屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研測試）若數(shù)列同時滿意：①對于隨意的正整數(shù)n，恒成立；②若對于給定的正整數(shù)k，對于隨意的正整數(shù)n(n＞k)恒成立，則稱數(shù)列是“R(k)數(shù)列”．（1）已知，推斷數(shù)列是否為“R(2)數(shù)列”，并說明理由；（2）已知數(shù)列是“R(3)數(shù)列”，且存在整數(shù)p(p＞1)，使得，，，成等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．【答案】（1）是（2）見解析【解析】試題分析：（1）依據(jù)定義驗證兩個條件是否成立，由于函數(shù)為分段函數(shù)，所以分奇偶分別驗證（2）依據(jù)定義數(shù)列隔項成等差，再依據(jù)單調(diào)性確定公差相等，最終求各項通項，依據(jù)通項關(guān)系得數(shù)列通項，依據(jù)等差數(shù)列證結(jié)論試題解析：（1）當(dāng)為奇數(shù)時，，所以..當(dāng)為偶數(shù)時，，所以..所以，數(shù)列是“數(shù)列”.（2）由題意可得：，則數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.因為，所以，所以，所以①，②.若，則當(dāng)時，①不成立；若，則當(dāng)時，②不成立；若，則①和②都成立，所以.同理得：，所以，記.設(shè)，則.同理可得：，所以.所以是等差數(shù)列.【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.19．（江蘇省興化市楚水試驗學(xué)校、黃橋中學(xué)、口岸中學(xué)三校2025屆高三12月聯(lián)考）已知數(shù)列的滿意，前項的和為，且.（1）求的值；（2）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)，若，求對全部的正整數(shù)都有成立的的取值范圍.【答案】（1）；（2）見解析；（3）.【解析】試題分析：(1)令得(2)因為，所以①.所以②，由②-①，得.因為，所以.所以，即，即即可得證（3）由（2）知，因為，所以數(shù)列的通項公式為.因為，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列.由，所以.所以.探討數(shù)列的單調(diào)性求出最小值，變量分別即可得解.試題解析：（1）令得.（2）因為，所以①.所以②，由②-①，得.因為，所以.所以，即，即，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.（3）由（2）知，因為，所以數(shù)列的通項公式為.因為，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列.由，所以.所以.因為所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列當(dāng)時，，即的最小值為由，所以，而當(dāng)時，在遞減，遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時取得，故.20．（江蘇省蘇州市2025屆高三調(diào)研測試理）在正整數(shù)集上定義函數(shù)，滿意，且．（1）求證：；（2）是否存在實數(shù)a，b，使，對隨意正整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）因為，整理得，由，代入得，，所以．（2）由，，可得．以下用數(shù)學(xué)歸納法證明存在實數(shù)，，使成立．①當(dāng)時，明顯成立．②當(dāng)時，假設(shè)存在，使得成立，那么，當(dāng)時，，即當(dāng)時，存在，使得成立．由①，②可知，存在實數(shù)，，使對隨意正整數(shù)n恒成立．21．（江蘇省南通市2025屆高三最終一卷）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列是特別數(shù)的實數(shù)列，設(shè).（1）請舉出一對數(shù)列與，使集合中有三個元素；（2）問集合中最多有多少個元素？并證明你的結(jié)論；【答案】(1).(2)3個，證明見解析.【解析】（1），則（2）不妨設(shè)，由令，原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程①最多有多少個解.下面我們證明：當(dāng)時，方程①最多有個解：時，方程①最多有個解當(dāng)時，考慮函數(shù)，則假如，則為單調(diào)函數(shù)，故方程①最多只有一個解；假如，且不妨設(shè)由得由唯一零點，于是當(dāng)時，恒大于或恒小于，當(dāng)時，恒小于或恒大于這樣在區(qū)間與上是單調(diào)函數(shù)，故方程①最多有個解當(dāng)時，假如假如為奇數(shù)，則方程①變?yōu)槊黠@方程最多只有一個解，即最多只有一個奇數(shù)滿意方程①假如為偶數(shù)，則方