空間向量試題及答案天津

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，則\(\vert\vec{a}\vert\)等于（）A.5B.\(\sqrt{5}\)C.3D.\(\sqrt{3}\)2.已知\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec=(0,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)為（）A.0B.1C.2D.-13.空間向量\(\vec{m}=(1,-1,1)\)與\(\vec{n}=(-1,1,-1)\)的關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.夾角為\(60^{\circ}\)D.夾角為\(120^{\circ}\)4.若\(\vec{a}=(2,x,1)\)，\(\vec=(4,-2,2)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.-1B.1C.-2D.25.已知向量\(\vec{a}=(3,-1)\)，\(\vec=(-1,2)\)，則\(3\vec{a}-2\vec\)等于（）A.\((11,-7)\)B.\((9,-4)\)C.\((7,-1)\)D.\((11,-5)\)6.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(1,2,3)\)關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱的點(diǎn)\(A'\)的坐標(biāo)是（）A.\((-1,-2,-3)\)B.\((1,-2,-3)\)C.\((-1,2,-3)\)D.\((1,-2,3)\)7.若\(\vec{a}=(1,1,0)\)，\(\vec=(-1,0,2)\)，且\(k\vec{a}+\vec\)與\(2\vec{a}-\vec\)垂直，則\(k\)的值為（）A.1B.\(\frac{7}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{1}{5}\)8.已知向量\(\vec{a}=(x,1,2)\)，\(\vec=(1,y,-2)\)，\(\vec{c}=(3,1,z)\)，\(\vec{a}\parallel\vec\)，\(\vec\perp\vec{c}\)，則\(x+y+z\)的值為（）A.-1B.0C.1D.29.向量\(\vec{a}=(2,-3,1)\)在向量\(\vec=(1,0,0)\)方向上的投影為（）A.2B.-2C.1D.-110.已知\(\vec{a}=(1,1,1)\)，\(\vec=(0,1,-1)\)，則\(\vec{a}\times\vec\)（向量積）的模為（）A.\(\sqrt{6}\)B.\(\sqrt{5}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(\sqrt{2}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于空間向量的說法正確的是（）A.零向量與任意向量平行B.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)C.向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)D.相等向量一定是平行向量2.已知向量\(\vec{a}=(1,-1,0)\)，\(\vec=(0,1,-1)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(1,0,-1)\)B.\(\vec{a}-\vec=(1,-2,1)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec=-1\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2}\)3.若\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則（）A.\(x_1y_2-x_2y_1=0\)B.\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}\)（\(x_2,y_2,z_2\neq0\)）C.存在實(shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec\)D.\(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0\)4.以下向量組中，能作為空間向量的一組基底的是（）A.\(\vec{e}_1=(1,0,0)\)，\(\vec{e}_2=(0,1,0)\)，\(\vec{e}_3=(0,0,1)\)B.\(\vec{e}_1=(1,2,3)\)，\(\vec{e}_2=(4,5,6)\)，\(\vec{e}_3=(7,8,9)\)C.\(\vec{e}_1=(1,-1,0)\)，\(\vec{e}_2=(0,1,-1)\)，\(\vec{e}_3=(-1,0,1)\)D.\(\vec{e}_1=(1,1,1)\)，\(\vec{e}_2=(1,0,-1)\)，\(\vec{e}_3=(0,1,-1)\)5.已知空間向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)，\(\vec=(-1,0,2)\)，則（）A.\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角的余弦值為\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\vert\vec{a}-\vec\vert=\sqrt{14}\)C.\(2\vec{a}+\vec=(1,2,4)\)D.\(\vec{a}\)在\(\vec\)方向上的投影為\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)6.關(guān)于空間向量的運(yùn)算，下列正確的有（）A.\((\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})\)B.\(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\)C.\(\vec{a}\cdot(\vec+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec+\vec{a}\cdot\vec{c}\)D.\((\vec{a}\cdot\vec)\vec{c}=\vec{a}(\vec\cdot\vec{c})\)7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知\(A(1,2,3)\)，\(B(-1,0,5)\)，則（）A.\(\overrightarrow{AB}=(-2,-2,2)\)B.\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=2\sqrt{3}\)C.線段\(AB\)中點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,1,4)\)D.與\(\overrightarrow{AB}\)平行的單位向量是\((-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\)8.若向量\(\vec{m}=(a,1,-1)\)，\(\vec{n}=(2,b,2)\)，且\(\vec{m}\perp\vec{n}\)，則（）A.\(2a+b=0\)B.\(a^2+b^2\)的最小值為\(\frac{1}{5}\)C.\(a-b\)的最大值為\(\frac{1}{2}\)D.\(a+b\)的取值范圍是\(R\)9.已知向量\(\vec{a}=(2,-1,3)\)，\(\vec=(-1,4,-2)\)，\(\vec{c}=(7,5,\lambda)\)，若\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)共面，則（）A.\(\lambda=1\)B.\(\lambda=\frac{65}{7}\)C.存在實(shí)數(shù)\(x\)，\(y\)使得\(\vec{c}=x\vec{a}+y\vec\)D.\(3x-2y=1\)10.以下關(guān)于空間向量的數(shù)量積說法正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{a}=\vert\vec{a}\vert^2\)B.\(\vert\vec{a}\cdot\vec\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\)C.若\(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c}\)，則\(\vec=\vec{c}\)D.若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空間向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與\(\vec=(0,1,0)\)的夾角是\(90^{\circ}\)。（）2.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)是兩個(gè)非零向量，且\(\vec{a}\cdot\vec\gt0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為銳角。（）3.空間向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。（）4.若向量\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，則\(\vec{a}\parallel\vec\)的充要條件是\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}\)。（）5.零向量沒有方向。（）6.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(3,2,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=10\)。（）7.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)是空間向量，且\(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c}\)，那么\(\vec=\vec{c}\)。（）8.空間向量\(\vec{a}=(1,-1,1)\)的模為\(\sqrt{3}\)。（）9.向量\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec=(0,2)\)，則\(2\vec{a}+\vec=(2,2)\)。（）10.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(\theta\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知向量\(\vec{a}=(1,2,-1)\)，\(\vec=(-1,0,2)\)，求\(\vec{a}+2\vec\)。-答案：\(\vec=(-1,0,2)\)，則\(2\vec=(-2,0,4)\)，\(\vec{a}=(1,2,-1)\)，所以\(\vec{a}+2\vec=(1-2,2+0,-1+4)=(-1,2,3)\)。2.已知\(\vec{a}=(2,-1,3)\)，\(\vec=(-1,4,-2)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)。-答案：根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式，若\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)。所以\(\vec{a}\cdot\vec=2\times(-1)+(-1)\times4+3\times(-2)=-2-4-6=-12\)。3.求向量\(\vec{a}=(3,4)\)的模。-答案：對(duì)于向量\(\vec{a}=(x,y)\)，其模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。已知\(\vec{a}=(3,4)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。4.已知向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)，求\(\vec{a}\)的單位向量。-答案：先求\(\vec{a}\)的模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\)，\(\vec{a}\)的單位向量\(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})=(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，舉例說明。-答案：空間向量可用于證明線面平行、垂直等位置關(guān)系，如證明線面平行可證直線方向向量與平面法向量垂直。也可求空間角，如異面直線所成角、線面角、二面角等。例如求二面角，可先求出兩個(gè)平面的法向量，再利用向量夾角公式求二面角大小。2.談?wù)勅绾闻袛嗫臻g向量