高中奧數(shù)聯(lián)賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-4x+3)\)的定義域是（）A.\((1,3)\)B.\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)C.\((-1,3)\)D.\([1,3]\)2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\tan\alpha\)的值為（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)3.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=2n+1\)，則\(a_{10}\)的值是（）A.19B.20C.21D.224.過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程是（）A.\(2x-y=0\)B.\(2x-y-4=0\)C.\(x+2y-5=0\)D.\(x+2y-4=0\)5.復數(shù)\(z=3-4i\)的共軛復數(shù)\(\overline{z}\)是（）A.\(3+4i\)B.\(-3+4i\)C.\(-3-4i\)D.\(4-3i\)6.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)8.若\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(\log_2a\gt\log_2b\)D.\(a^{\frac{1}{2}}\ltb^{\frac{1}{2}}\)9.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)10.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.4B.-4C.1D.-1二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln\frac{1-x}{1+x}\)2.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\log_2x\)3.關(guān)于等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，以下說法正確的是（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)B.通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)C.前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.公差\(d\)可以為\(0\)4.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質(zhì)正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e\in(0,1)\)D.焦點坐標為\((\pmc,0)\)，其中\(zhòng)(c^2=a^2-b^2\)5.以下哪些是基本不等式的變形（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)C.\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)D.\(a+b\geq2\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)6.已知復數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），則以下說法正確的是（）A.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)B.\(z\cdot\overline{z}=a^2+b^2\)C.若\(z\)為純虛數(shù)，則\(a=0\)且\(b\neq0\)D.復數(shù)\(z\)在復平面內(nèi)對應的點為\((a,b)\)7.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為\(0\)）的斜率\(k\)和在\(y\)軸上的截距\(b\)分別為（）A.\(k=-\frac{A}{B}(B\neq0)\)B.\(k=\frac{A}{B}(B\neq0)\)C.\(b=-\frac{C}{B}(B\neq0)\)D.\(b=\frac{C}{B}(B\neq0)\)8.以下哪些函數(shù)的值域是\(R\)（）A.\(y=\tanx\)B.\(y=\log_2x\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)9.已知\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則下列向量運算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)(\lambda\inR)\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)10.以下哪些曲線可能是雙曲線（）A.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)B.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)C.\(x^2-y^2=1\)D.\(x^2+y^2=1\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\cosx\)是周期函數(shù)，最小正周期是\(2\pi\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.等比數(shù)列的公比\(q\)不能為\(0\)。（）6.復數(shù)\(z=0\)時，\(|z|=0\)。（）7.橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點在\(x\)軸上。（）8.函數(shù)\(y=x^{\frac{1}{2}}\)的定義域是\(R\)。（）9.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）10.不等式\(x^2-2x+1\gt0\)的解集是\(R\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})\)的最大值和最小值以及取得最值時\(x\)的取值。答案：最大值為\(2\)，此時\(3x-\frac{\pi}{6}=2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解得\(x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{9}(k\inZ)\)；最小值為\(-2\)，此時\(3x-\frac{\pi}{6}=2k\pi-\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解得\(x=\frac{2k\pi}{3}-\frac{\pi}{9}(k\inZ)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求其前\(n\)項和\(S_n\)。答案：根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，將\(a_1=1\)，\(d=2\)代入，得\(S_n=n\times1+\frac{n(n-1)}{2}\times2=n^2\)。3.求過點\((2,-1)\)且與直線\(x-2y+3=0\)垂直的直線方程。答案：已知直線斜率\(k_1=\frac{1}{2}\)，所求直線與之垂直，則斜率\(k=-2\)。由點斜式得\(y-(-1)=-2(x-2)\)，整理得\(2x+y-3=0\)。4.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)的最小值。答案：\(\frac{1}{a}+\frac{1}=(\frac{1}{a}+\frac{1})(a+b)=2+\frac{a}+\frac{a}\geq2+2\sqrt{\frac{a}\times\frac{a}}=4\)，當且僅當\(a=b=\frac{1}{2}\)時取等號，最小值為\(4\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的定義域、值域、單調(diào)性和奇偶性。答案：定義域為\(x\neq\pm1\)。令\(t=x^2-1\geq-1\)且\(t\neq0\)，則\(y=\frac{1}{t}\)，值域為\((-\infty,-1]\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,-1)\)和\((-1,0)\)上單調(diào)遞增，在\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。\(f(-x)=f(x)\)，是偶函數(shù)。2.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，討論它們的離心率之間的關(guān)系。答案：設橢圓方程\(\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1\)，雙曲線方程\(\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1\)，共同焦點為\((\pmc,0)\)。橢圓離心率\(e_1=\frac{c}{a_1}\)，雙曲線離心率\(e_2=\frac{c}{a_2}\)。由\(a_1^2-b_1^2=c^2\)，\(a_2^2+b_2^2=c^2\)可得\(\frac{1}{e_1^2}+\frac{1}{e_2^2}=\frac{a_1^2}{c^2}+\frac{a_2^2}{c^2}=\frac{a_1^2+a_2^2}{c^2}=2\)。3.討論如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值。答案：函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導，若\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)\lt0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞減。當\(f^\prime(x)\)在某點\(x_0\)左右兩側(cè)異號時，\(x_0\)為極值點，左正右負時\(x_0\)為極大值點，左負右正時\(x_0\)為極小值點。4.討論數(shù)列極限存在的條件以及常見求數(shù)列極限的方法。答案：數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)極限存在的條件如單調(diào)有界準則等。常見求極限方法有：利用極限運算法則，對于分式形式約分化簡求極限；對于等比數(shù)列無窮項和，\(|q|\lt1\)時，\(S=\frac{a_1}{