高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省張家口市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故選：A2.某研究中心對治療哮喘的兩種藥物的療效是否有差異進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)，零假設(shè)：兩種藥物的療效無差異，計(jì)算出，根據(jù)下面的小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)表，認(rèn)為“兩種藥物的療效存在差異”犯錯(cuò)誤的概率不超過（）0.10.050.0100050.0012.7063.8416.6357.87910.828A. B. C. D.【答案】A【解析】，，故“兩種藥物的療效存在差異”犯錯(cuò)誤的概率不超過.故選：A3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.135 C. D.1215【答案】B【解析】對有，則，故的系數(shù)為.故選：B.4.已知，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故選：D.5.求整數(shù)的正整數(shù)因數(shù)時(shí)可將其改寫成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，例如，12的正整數(shù)因數(shù)只需分別從，中各選一個(gè)元素相乘即可，則2025的正整數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.8 B.10 C.15 D.16【答案】C【解析】因?yàn)?，所以的正整?shù)因數(shù)只需分別從，中各選一個(gè)元素相乘即可，有種取法，即有個(gè)正整數(shù)因數(shù)．故選：C．6.已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕矗蔬x：B7.過點(diǎn)作兩條直線與曲線（e是自然對數(shù)的底數(shù)）相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則的值為（）A.e B.e C.3 D.3【答案】C【解析】由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，結(jié)合題意，則是上述方程的根，所以根據(jù)韋達(dá)定理得.故選：.8.已知不等式（其中）的解集中恰有三個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)函數(shù)，，因?yàn)?，令，則或，則時(shí)，，或時(shí)，，，在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，至多一個(gè)整數(shù)根；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù)，根據(jù)圖象，只需，，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于一元線性回歸模型的敘述正確的有（）A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，點(diǎn)可以不在樣本中B.對于經(jīng)驗(yàn)回歸直線，增加一個(gè)單位，平均增加個(gè)單位C.殘差平方和越小，模型的擬合效果越差D.若相關(guān)系數(shù)，則與的相關(guān)程度很強(qiáng)【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，回歸直線一定通過樣本點(diǎn)的中心，但樣本點(diǎn)的中心可以不在樣本中，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由及回歸直線的性質(zhì)，增加一個(gè)單位，平均增加個(gè)單位，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，殘差的平方和越小，模型擬合效果越好，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值接近時(shí)，才可以說與的相關(guān)程度很強(qiáng)，但很明顯和的偏差很大，因此與的相關(guān)程度不強(qiáng)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.已知，，下列條件中，能使不等式成立的充分條件有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對A：若，則，不符合要求，故A錯(cuò)誤；對B：若，則，符合要求，故B正確；對C：若，則，符合要求，故C正確；對D：若，取，，則，此時(shí)，不符合要求，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)（均為常數(shù)且）的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的有（）A. B.C.是的極值點(diǎn) D.不等式的解集為【答案】ABD【解析】由，則，又，故，又，即，即有，解得，即，，則，故A、B正確；對C：由恒成立，故單調(diào)遞增，故無極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對D：即為，即，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______．【答案】【解析】由，故，則.故答案為：.13.已知隨機(jī)變量，若期望，方差，則的值為______．【答案】40【解析】由題意得，解得.故答案為：4014.不透明的盒子中裝有大小質(zhì)地相同的4個(gè)紅球、2個(gè)白球，每次從盒子中摸出一個(gè)小球，若摸到紅球得1分，并放回盒子中搖勻繼續(xù)摸球；若摸到白球，則得2分且游戲結(jié)束．摸球次后游戲結(jié)束的概率記為，則______；游戲結(jié)束后，總得分記為，則的數(shù)學(xué)期望______．【答案】；【解析】；的可能取值為，且，則，則，則，則，即，又，故.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若（為函數(shù)導(dǎo)函數(shù)），求在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1），，，則有，化簡得，即的圖象在點(diǎn)處的切線方程為；（2），則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值，又，，故在區(qū)間上的最大值和最小值分別為、.16.小明同學(xué)設(shè)置手機(jī)密碼的六位數(shù)字，準(zhǔn)備將e（）的前6位數(shù)字（1，2，2，7，8，8，）按照一定的順序進(jìn)行設(shè)置．（1）記事件：相同的數(shù)字排在一起，求事件發(fā)生的概率；（2）記事件：只有一組相同的數(shù)字排在一起，求事件發(fā)生的概率；（3）記事件：相同數(shù)字不相鄰且相同數(shù)字之間只有一個(gè)數(shù)字，求事件發(fā)生的概率．解：（1）將相同的數(shù)字排在一起，只需將兩個(gè)2、兩個(gè)8分別看成同一元素，與另外兩個(gè)元素全排列即可，此時(shí)共有種不同排法，任意排列時(shí)共有種不同排法，故；（2）只有一組相同的數(shù)字排在一起，共有種不同排法，則；（3）若兩個(gè)2之間不是8，兩個(gè)8之間不是2，則有種不同排法，若兩個(gè)2之間是8，則必有或的排序，此時(shí)共有種不同排法，故共有種不同排法，則.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)極值；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，令，，令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極小值為，無極大值.（2）由上問得，而，令，解得,此時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞增，令，解得，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，故，，，此時(shí)令，，令，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，，令，，令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.18.已知不透明的盒子中有8個(gè)相同的乒乓球，球上標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，8，有放回地隨機(jī)抽取兩次（每次抽取1個(gè)球），記下球上的數(shù)字，，原點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)．（1）記事件或．求事件發(fā)生的概率．（2）記事件的面積不大于5．求事件發(fā)生的概率．（3）記事件是銳角．事件是銳角三角形．求在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率．解：（1）有8數(shù)字、有8數(shù)字可取，有放回地隨機(jī)抽取兩次（每次抽取1個(gè)球），共有種取法，，，，若，則，即，符合條件的基本事件有8種，若，則，即，符合條件的基本事件有6種，所以；（2）直線方程為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，所以，可得，符合條件的基本事件有，，，，，，，，共35個(gè)，；（3）有8數(shù)字、有8數(shù)字可取，有放回地隨機(jī)抽取兩次（每次抽取1個(gè)球），共有種取法，設(shè)直線與直線垂直，且過原點(diǎn)，因?yàn)?，則直線，其64個(gè)點(diǎn)中，有8個(gè)落在直線上，剩余56個(gè)點(diǎn)中，一半在直線上方，一半在直線下方，要想是銳角，則點(diǎn)應(yīng)在直線下方，其中滿足要求的點(diǎn)有28個(gè)，故是銳角即，與平行且過點(diǎn)的直線方程為，若是銳角三角形，則點(diǎn)落在直線與直線之間，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，應(yīng)在直線上，滿足要求的點(diǎn)有共7個(gè)，所以，所以.19.某臺球選手采用如下方法進(jìn)行障礙球訓(xùn)練：在不透明的盒子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這5個(gè)球除顏色外完全相同，每次擊球前從盒中任取一個(gè)球放置到障礙點(diǎn)，然后用母球擊球．如果障礙球被打進(jìn)，則繼續(xù)從盒子中取球放置到另一個(gè)障礙點(diǎn)，進(jìn)行第二次擊球；如果障礙球沒被打進(jìn)，則繼續(xù)在同一點(diǎn)進(jìn)行第二次擊球；如此反復(fù)進(jìn)行下去，直到5個(gè)球全部被打進(jìn)去為止．假設(shè)該選手在每個(gè)障礙點(diǎn)將球打進(jìn)的概