高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，又，所以，故選：D．2.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】，故選：B．3.設(shè)向量，，若，則（）A. B. C.5 D.10【答案】B【解析】由向量的模長(zhǎng)公式得，，因?yàn)椋?，則，解得（負(fù)根舍去），故B正確.故選：B．4.設(shè)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C．5.已知曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則（）A2 B.1 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以，所以，可得，故選：C．6.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的正半軸上，則的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以的最大值為.故選：B．7.若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，則的最小值是（）A. B. C.1 D.e【答案】A【解析】由，若在上有極大值，必存在極大值點(diǎn)，即在上有解，即有解，所以有，，，所以有，令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有，當(dāng)時(shí)，，則上，上，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，滿(mǎn)足題設(shè)，故的最小值為.故選：A．8.已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，連接，因?yàn)闉闄E圓的上頂點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，故，解得，設(shè)，，則，，由余弦定理有，即，解得，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，整理得，解得，故B正確.故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，樣本數(shù)據(jù)，，則（）A.的平均數(shù)一定等于的平均數(shù) B.的中位數(shù)一定小于的中位數(shù)C.的極差一定大于的極差 D.的方差一定小于的方差【答案】AC【解析】對(duì)分別求平均數(shù)，均為，故A正確；的中位數(shù)為，的中位數(shù)為，大小關(guān)系不確定，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為2，故B錯(cuò)誤；的極差為，的極差為，故C正確；由，且和的平均數(shù)相等，從而，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，，，過(guò)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，則（）A. B.直線的斜率為C. D.的面積為【答案】ABD【解析】因?yàn)闉?，所以，故A正確；設(shè)，因此，由，從而，直線的斜率為，故B正確；直線的方程為，所以或，因此可求得，，可得，故C錯(cuò)誤；由，得，所以直線的斜率為，方程為，因此，所以的面積為，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若為偶函數(shù)，則C.有且僅有個(gè)使得的最小值為D.若函數(shù)的圖象與的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得，所以，或，由可得，由解得；由可得，即，所以，或，由可得，由可得，綜上所述，或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由三角不等式可得，解得或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，①當(dāng)時(shí)，，可知若與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，只需點(diǎn)在的圖象的下方，即，可得；②當(dāng)時(shí)，，由，可得點(diǎn)在的圖象的下方，此時(shí)的圖象與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與相切時(shí)，有，令，則，可得，解得（舍去）或，可得與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由上知，D對(duì)，故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知具有線性相關(guān)性的變量，設(shè)其樣本點(diǎn)為，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，，則______．【答案】8【解析】由題意可得：，，可知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為過(guò)樣本中心點(diǎn)，則，可得．故答案為：8.13.已知函數(shù)的最小正周期為，若將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象與曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則______．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，故，所以，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象，因?yàn)榈膱D象與曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以或恒成立，化簡(jiǎn)可得或（不是對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立）解得，又，所以．故答案為：.14.在三棱錐中，平面，若，且，則三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】在三棱錐中，平面，，設(shè)，則，以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，整理得，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為，面積的最大值為，三棱錐體積的最大值為，設(shè)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此，所以三棱錐體積的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求；（2）設(shè)為邊的中點(diǎn)，若，，求的面積．解：（1）由正弦定理得，，，，，，，，又；（2）由余弦定理得：，，，，，，解得，的面積為．16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，設(shè)為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面；?）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以．由（1）可知，為平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解．解：（1）易知，①當(dāng)時(shí)，，區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得；②當(dāng)時(shí)，令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）證明：，關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，即，不等式有實(shí)數(shù)解，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，的最小值為，只需證明，，即證，，即證，，令，則，只需證，，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，顯然，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，顯然，在區(qū)間上單調(diào)遞增，的最小值為，即，，，關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解．18.已知等軸雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心均為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)分別在軸和軸上，且焦距均為4．設(shè)兩點(diǎn)分別在上，滿(mǎn)足直線的斜率之積為1，點(diǎn)為上異于的另一點(diǎn)，過(guò)分別作平行于的直線，交于兩點(diǎn)．（1）求雙曲線方程；（2）證明：；（3）設(shè)，，證明：為定值．解：（1）設(shè)，，因此，所以，的方程分別為，；（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，因此，，且，，所以，因此，，，所以；（3）解：由題意，設(shè)點(diǎn)，，，因此，又，從而，整理得，由（2）可知，因此為定值．19.已知無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足以下條件：①，當(dāng)時(shí)，；②若存在某項(xiàng)，則必有，使得（且）．（1）若，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的；（2）若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）設(shè)，求正整數(shù)的最小值．解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，，或，或，，，①若，則或；②若，則或；綜上所述，滿(mǎn)足條件的可能為；（2）先證當(dāng)正整數(shù)時(shí)，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，且，①由（1）得，或，又，，當(dāng)時(shí)，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，且；②假設(shè)當(dāng)（且）時(shí)，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，