高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市普通高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，∴.故選：D.2.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：A.3.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為．故選：B．4.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則（）A.2 B.1 C. D.0【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，所?故選：B.5.已知底面半徑為1的圓錐的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)該圓錐的高、母線長(zhǎng)分別為h，l，由題知，則，所以，則該圓錐的側(cè)面積.故選：D6.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（）A.2575 B.3435 C.4345 D.5135【答案】B【解析】由題知.故選：B7.若函數(shù)在時(shí)取得極大值0，則（）A. B.或 C. D.【答案】C【解析】由題知，，由在時(shí)取得極大值，∴，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，由，，所以在上單調(diào)遞減；由，，所以在上單調(diào)遞增；此時(shí)在時(shí)取得極大值，滿足題意，故，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，不符合題意，故舍去；∴，將代入，解得，所以.故選：C.8.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)為的右焦點(diǎn)，連接，，如圖，則四邊形為平行四邊形，∴，由橢圓定義知，，∴，.在中，，∴.在中，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.是的周期B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.奇函數(shù)D.在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】由題知，，所以最小正周期，故A正確；當(dāng)時(shí)，，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上先減后增，故B錯(cuò)誤；為奇函數(shù).故C正確；令，得，，∴，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，均是在區(qū)間上的零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.10.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，前項(xiàng)和為，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列B.存在，使得成立C.當(dāng)時(shí)，最大D.數(shù)列的最大值為【答案】ABD【解析】∵，∴，，則為等差數(shù)列，故A正確；∵，，∴，故B正確；∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，最大，故C錯(cuò)誤；∵，，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，的最大值為，故D正確.故選：ABD.11.已知關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)k的可能取值為（）A. B. C.e D.2e【答案】BCD【解析】由題知，不等式對(duì)任意恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí).直線恒過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線與的圖像相切時(shí)，切點(diǎn)為，∴，解得或，∴直線與的圖象相切時(shí)，切線斜率分別為，，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象與直線，由圖知，要使對(duì)恒成立，則，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題知，，，切線的斜率，∴切線方程為，即.故答案為：.13.已知非零向量，滿足，且在上的投影向量為，則向量，的夾角______.【答案】【解析】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：14.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為_(kāi)_____.【答案】2或【解析】設(shè)C的半焦距為，D為線段的中點(diǎn)，連接.∵，∴，∴是線段的垂直平分線，∴，，由雙曲線的定義知，，∵，∴，∴.∵，，在中，，在中，，∴，化簡(jiǎn)得，解得或.故答案為：2或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公差為d，依題意，，解得，，所以的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，，所以.16.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）∵，，①∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，②①-②，得，∴，又，∴是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，∴，③∴，④③-④，得，∴.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.解：（1）由的定義域?yàn)椋?，若，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，若，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由，得，設(shè)，則，設(shè)，則，則即在內(nèi)單調(diào)遞增，∵，，∴存在，使得，即，即，，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，∴，∵當(dāng)，即時(shí)，，上式取不到等號(hào)，∴時(shí)，.18.如圖,在三棱錐中,P,Q分別是,的中點(diǎn),,.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求三棱錐的外接球的表面積.解：（1）設(shè)O為的中點(diǎn)，如圖，連接，，∵，則，∴，∵P是的中點(diǎn)，∴，.又，則是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴，，∴，∴.∵，平面，平面，平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）知，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)镻，Q分別是，的中點(diǎn)，，則，，，，，，∴，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，∴平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，，，所以，則，∴，∴三棱錐的外接球的表面積為.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?shù)列滿足，若存在數(shù)列滿足，，且，則稱為關(guān)于的對(duì)稱數(shù)列.（1）若，，求數(shù)列關(guān)于的一個(gè)對(duì)稱數(shù)列；（2）已知函數(shù),數(shù)列為數(shù)列關(guān)于的對(duì)稱數(shù)列，且，，證明：；（3）已知函數(shù)，數(shù)列為數(shù)列關(guān)于的對(duì)稱數(shù)列，證明：.解：（1）由題知，數(shù)列是關(guān)于函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱數(shù)列.理由如下：由題知，，定義域?yàn)?，∵?duì)任意，，，，，，∴，∴數(shù)列是關(guān)于函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱數(shù)列.（2）由題知，，∴，∴，即，∵，∴