高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽市南樂縣豫北名校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由雙曲線即知，則離心率為.故選：C2.的展開式的第4項為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B3.若隨機變量的分布列為，則（）A.12 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】根據(jù)分布列中概率之和為1，列方程得：，即，解得.故選：B4.已知圓心在軸上的圓過點且與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為：由題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由圓過點，所以，解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C5.若隨機變量的所有可能取值為2，4，且，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由分布列的性質(zhì)可知：，所以，所以，故選：A6.已知等差數(shù)列的公差，前項和為，若，則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】因為，所以，所以，即，所以，所以.故選：D7.2025年2月深圳福田區(qū)推出基于DeepSeek開發(fā)的AI數(shù)智員工，并上線福田區(qū)政務(wù)大模型2．0版，該模型能進一步驅(qū)動政務(wù)效能全面躍升．某地也準(zhǔn)備推出20名AI數(shù)智員工（假定這20名AI數(shù)智員工沒有區(qū)別），分別從事三個服務(wù)項目，若每個項目至少需要5名AI數(shù)智員工，則不同的分配方法種數(shù)為（）A.21 B.18 C.15 D.12【答案】A【解析】先每組分5名員工，然后剩余5名分成三組，采用隔板法，五名員工和兩個隔板，共有七個位置，所以不同的分配方法種數(shù)為種.故選：A8.已知盒中裝有9個除顏色外其他完全相同的小球，其中有3個白球，6個紅球，每次從盒中隨機抽取1個小球，觀察顏色后再放回盒中，直到兩種顏色的球都取到，且取到的一種顏色的球比另一種顏色的球恰好多2個時停止取球，則停止取球時取球的次數(shù)為6的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】一共四種情況：（1）前四次，可能是白2紅2（順序任意），然后(i)抽2紅或者(ii)抽2白結(jié)束.（2）前四次也可能是白4，然后抽2紅結(jié)束.（3）前四次還可能是紅4，然后抽2白結(jié)束.取到白球的概率為，取到紅球的概率為，（1）的兩種情況的概率分別為（i），(ii)，（2）（3）前4紅后2白或者前4白后2紅的概率和為：，所以共有總概率為.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，（與點不重合），則下列結(jié)論正確的是（）A.若點，關(guān)于平面對稱，則B.若點，關(guān)于軸對稱，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】對A，若點，關(guān)于平面對稱，則，所以，故A錯誤；對B，若點，關(guān)于軸對稱，則，所以，故B正確；對C，若，則，故C正確；對D，若，則，所以，兩式相減得，故D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.一定偶函數(shù)B.一定有極值C.一定存在遞增區(qū)間D.對任意確定的，恒存在，使得【答案】ACD【解析】對于A，由得，定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以一定是偶函數(shù)，故A正確；對于B，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，沒有極值，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，得或，則在和上單調(diào)遞增，綜上，一定存在遞增區(qū)間，故C正確；對于D，因為，所以的值域即在上的值域，而在上必有大于0的最大值，記該最大值為，則，即對任意確定的，恒存在，使得，故D正確.故選：ACD11.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，點從點處出發(fā)，每次向上或向右移動1個單位長度，直至到達點時停止移動，則下列結(jié)論正確的是（）A.移動的方法共有252種B.僅有4次連續(xù)向上移動的方法有30種C.經(jīng)過點的移動方法有70種D.若對任意，從第次到第次的移動方向相同，則移動的方法有2種【答案】ABD【解析】對A，由題可知，無論怎樣走，一定移動10次，其中5次向上移動，5次向右移動，故移動的方法共有種，故A正確；對B，僅有4次連續(xù)向上移動的方法有種，故B正確；對C，若經(jīng)過點，則前3次向右移動2次向上1次，后7次向右3次向上4次，所以移動的方法有種，故C錯誤；對D，由題可知，當(dāng)時，第1,2次的移動方向相同，當(dāng)時，第3,4,5次的移動方向相同，當(dāng)時，第6,7,8,9次的移動方向相同，因為向右5次，向上5次，所以第次移動方向相同，則移動的方法有2種，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某地高中生的肺活量（單位：）服從正態(tài)分布,若該地有12000名高中生，則其中肺活量低于的高中生的人數(shù)約為______．參考數(shù)據(jù)：．【答案】【解析】因為，所以.所以肺活量低于的高中生的人數(shù)約為：.故答案為：13.若函數(shù)的圖象在處的切線與在處的切線互相垂直，則的一個值為________．【答案】(答案不唯一)【解析】由，可得，所以在處的切線斜率為，在處的切線斜率為由題意：，可設(shè)，則，解得：，，同時取，得，所以的一個值為，故答案為：14.甲、乙、丙三人進行籃球傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，則第4次傳球傳給乙的概率為______．【答案】【解析】前4次傳球接球的情況有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16種，第4次傳球傳給乙的情況有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5種，設(shè)第4次傳球傳給乙的事件為，則故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓經(jīng)過點，且離心率．（1）求的方程；（2）若直線經(jīng)過點且與相切，求的方程．解：（1）由橢圓經(jīng)過點，且的離心率，可得，且，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)過的直線的斜率不存在時，此時，顯然不符合題意，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，因為直線與橢圓相切，所以，整理得，解得，所以的方程為，即.16.如圖，在長方體中，，，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）由長方體可知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，向量，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有，，，，，設(shè)，，，，，因為，所以，解得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，有，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.河南省是我國小麥產(chǎn)量第一大省，約占全國小麥產(chǎn)量的．小麥品種是在河南省廣泛種植的一個品種，某科研基地在實驗田種植的品種小麥?zhǔn)斋@時，隨機取10個該小麥的種子樣本，每個樣本均為1000粒，測得每個樣本的質(zhì)量（稱為千粒重，單位：）分別為40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，記這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．（1）從這10個數(shù)據(jù)中隨機選取3個，記這3個數(shù)據(jù)中大于的個數(shù)為，求的分布列；（2）用這10個樣本中千粒重大于的頻率作為每個樣本千粒重大于的概率，從解：（1），易知40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，中有6個小于等于平均數(shù)，4個大于平均數(shù)，所以的所有可能取值為，0，1，2，3；，，，，所以的分布列為：0123（2）由（1）知：每個樣本千粒重大于的概率為，設(shè)20個樣本中千粒重大于的樣本個數(shù)為,由題意可知：,所以，設(shè)千粒重大于的樣本最有可能是，則，，解得：，故，所以千粒重大于的樣本最有可能是8個.18.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）判斷是否存在，使得，，成等差數(shù)列，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．解：（1）由條件得，所以，又，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）知，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，設(shè)，則．（3）由（1）知，所以，假設(shè)存在，使得，，成等差數(shù)列，則，所以，即，即，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，所以不存在，使得，，成等差數(shù)列.19.若函數(shù)在區(qū)間上有意義，且存在，使得對任意的，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則稱為上的“拋物線型函數(shù)”，其中為在上的峰值．（1）若函數(shù)，試判斷是否是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”；（2）若是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，求證：是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”，并求在區(qū)間上的峰值．解：（1）因為，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，可得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故不是是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”（2）因為，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，但區(qū)間為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時，令得或，若，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函