高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省許平汝名校2025屆高三模擬測試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則是的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.既不充分又不必要條件D.充要條件【答案】A【解析】若，則且，所以或，故當(dāng)時有，而時，不一定是，故是的充分而不必要條件.故選：A.2.若，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】設(shè)，，則，∵，∴，∴，解得，∴，∴.故選：C3.拋物線上不同三點的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，則這三點（）A.到原點的距離成等差數(shù)列 B.到x軸的距離成等差數(shù)列C.到y(tǒng)軸的距離成等差數(shù)列 D.到焦點的距離的平方成等差數(shù)列【答案】C【解析】設(shè)這三點為，，，，因為縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，三點縱坐標(biāo)分別代入拋物線方程得，得，因為三點到y(tǒng)軸的距離為，所以三點到y(tǒng)軸的距離成等差數(shù)列.故選：C【『點石成金』】本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)和等差中項的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態(tài)．圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖做出以下判斷，不正確的是（）

A.圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù) B.圖（2）的眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)C.圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù) D.圖（3）的平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)【答案】C【解析】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）中眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確，C錯誤；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選：C5.已知，且，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，可得，則，，則或，由于，所以，，故選：B6.已知實數(shù)滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】由題設(shè)，則或時，時，，所以在上遞增，在上遞減，且，由，即，而在R上遞增，在R上遞減，顯然，故，所以，又趨向時趨向趨向時趨向，綜上，共有3個零點．故選：D7.如圖，過原點的直線交橢圓于兩點，過點分別作軸、的垂線，且分別交橢圓于點，，連接交于點，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，由，則，即，①由三點共線，則，即，②又因為，即，③將①②代入③得，則.故選：D.8.已知函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以得.進而，故，由于對任意的，當(dāng)時，恒成立，，不妨設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，所以其中，解得.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知，c為實數(shù)，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由題意可得，A項:由單調(diào)遞增，知，故選項A正確；B項:時選項B不正確；C項:由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∵，∴等號不成立，故選項C正確；D項:構(gòu)造函數(shù)，，∴單調(diào)遞增，又，得，故選項D不正確．故選:AC．10.如圖，某電子實驗貓線路圖上有，兩個即時紅綠指示燈，當(dāng)遇到紅燈時，實驗貓停止前行，恢復(fù)綠燈后，繼續(xù)前行，，兩個指示燈工作相互獨立，且出現(xiàn)紅燈的概率分別為，.同學(xué)甲從第一次實驗到第五次實驗中，實驗貓在處遇到紅燈的次數(shù)為，在，兩處遇到紅燈的次數(shù)之和為，則（）A.B.C.一次實驗中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】由題意可知，所以，，故A正確，B錯誤；一次實驗中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故C正確；當(dāng)時，一次實驗中沒有遇到紅燈的概率為，遇到一次紅燈的概率為，遇到兩次紅燈的概率為，故一次實驗中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以，故D正確.故選：ACD.11.如圖，圓錐的底面直徑和母線長均為，其軸截面為，為底面半圓弧上一點，且，，，則（）A.存在，使得B.當(dāng)時，存在，使得平面C.當(dāng)，時，四面體的體積為D.當(dāng)時，【答案】BCD【解析】對于A，，則與不可能垂直，若，則面，則，則面矛盾，A錯．對于B，取中點，則，過作交于點，此時為中點，則面平面，∴平面，對．對于D，如圖建系，，，，，，，，∴，∴，D對．對于C,時，，時，到平面的距離是到平面距離的.，其中表示到平面的距離，是到平面距離，，C對，故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的值為________．【答案】255【解析】由，令，可得，又，上式二項展開的通項為：．令，可得．∴．故答案為:255.13.折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個圓臺的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)，，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是_________，_________.【答案】①.②.【解析】由條可知，，，所以扇形的面積，扇形的面積,所以扇面的面積是；.故答案為：；14.已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】當(dāng)時，，令函數(shù)，依題意，當(dāng)時，恒成立，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，存在，使得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，因此，則，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，且．（1）若，求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）由，得．因為，所以，即．所以．（2）由，得，因為為銳角三角形，所以，則，解得，即的取值范圍為．16.如圖，四棱柱的底面ABCD是邊長為2的正方形，，側(cè)面平面，E是棱BC上一點，平面．（1）求證：E是BC的中點；（2）若（?。┣蠖娼堑挠嘞抑担唬áⅲ┰O(shè)直線與平面交點為P，求的值．（1）證明：連接交于O，連接OE，∵平面，平面，平面平面，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴O是的中點，∴E是BC的中點．（2）解：（?。┻B結(jié)，∵底面ABCD是正方形，∴，又∵側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，∴平面，又平面，∴，，在中，∵，，∴，在中，∵，，∴，又，平面，∴平面，又，∴如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，，，，且，，易知為平面的一個法向量，設(shè)為平面的一個法向量，則，即．不妨設(shè)，則，，可得，∴，∵二面角的平面角是鈍角，設(shè)為θ，故，∴二面角的余弦值為．（ⅱ）設(shè)，又，，則，∴，∴，∵平面，∴，∴，解得，∴．17.已知函數(shù).（1）證明曲線是軸對稱圖形；（2）設(shè)函數(shù)，解不等式（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）證明：由得或，所以函數(shù)的定義域為，因為，，所以，所以關(guān)于對稱，即曲線是軸對稱圖形；（2）解：因為，則，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以在單調(diào)遞增，又，則，即，所以，所以不等式的解集為.18.已知過點的雙曲線的漸近線方程為.如圖所示，過雙曲線的右焦點作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線交的右支于兩點.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，求證：；（3）若以為直徑的圓被直線截得的劣弧為，則所對圓心角的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.（1）解：因為雙曲線的漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點，則，所以雙曲線的方程為，即.（2）證明：由(1)可知，的斜率存在且不為0，所以設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，由題意得，所以，且，所以，所以，即得證.（3）解：由(2)可知恒成立，，所以圓心到的距離，半徑，設(shè)所對圓心角為，則，因為為劣弧，所以，所以，所以，即所對圓心角的大小為定值.19.在前n項和為的等比數(shù)列中，，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，…，是，，…，的任意排列，表示其中同時滿足條件①和②（）的排列的個數(shù)，為數(shù)列的前n項和．（ⅰ）證明：；（ⅱ）證明：能被2整除．解：（1）設(shè)數(shù)列公比為q，由，得，∴，解得或，若，則由，得，∴，與矛盾，∴，若，則由，得，∴，，符合，∴，，∴．故數(shù)列的通項公式為：．（2）（?。撸嗷颍?dāng)，則，，…，各項分別除以2后，恰是，，…，滿足條件①②的排列，其個數(shù)為；當(dāng)，，則，此時，，…，各項分別除以8后，恰是，，…，滿足條件①②的排列，其個數(shù)為；當(dāng)，，設(shè)是該排列中第一個出現(xiàn)的2的偶數(shù)次冪，則前k個數(shù)應(yīng)是2，，，…，，應(yīng)是或．由條件②知，排在后的各數(shù)，要么都小于，要么都大于