北京市月壇中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．123．直線經(jīng)過(guò)直線和直線的交點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上，且，則的面積為（

）A．4 B． C． D．85．已知橢圓，一組斜率的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，，若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．過(guò)定點(diǎn)A的直線與過(guò)定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)與A、B不重合，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．48．實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．若直線與直線平行，則C．直線與直線之間的距離是D．已知，，點(diǎn)在軸上，則的最小值是510．已知圓C：，則下述正確的是（

）A．圓C截直線：所得的弦長(zhǎng)為B．過(guò)點(diǎn)的圓C的最長(zhǎng)弦所在的直線方程為：C．直線：與圓C相切D．圓E：與圓C相交11．已知橢圓，、分別為它的左右焦點(diǎn)，、分別為它的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1B．的最小值為C．若為直角三角形，則的面積為D．的范圍為三、填空題12．已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為.13．已知的方程是的方程是，動(dòng)點(diǎn)到和所引的切線長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．14．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于M，N兩點(diǎn).若，則橢圓的離心率為.四、解答題15．已知的頂點(diǎn)為，，．（1）求過(guò)且平行于直線的直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程．16．已知圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（3）過(guò)點(diǎn)作圓的割線，交圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的直線方程．17．已知橢圓：的離心率為，焦距為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相切，且直線與直線：平行，求直線的斜截式方程.18．已知半徑為的圓C的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若是圓C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍（3）已知，為圓上任意一點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，周長(zhǎng)為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求的方程；(2)直線與交于兩點(diǎn)，（i）求面積的最大值；（ii）設(shè)，試證明點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程．

參考答案1．【答案】C【詳解】直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以.故選C.2．【答案】D【詳解】由題意得，，，，所以．故選D．3．【答案】A【詳解】聯(lián)立，解得，直線與直線垂直，則直線直線的斜率為，所以直線的方程為，整理可得.故選A.4．【答案】C【分析】設(shè)Px,y，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)Px,y，則滿足，取，因?yàn)椋?，即，?lián)立，解得，則的面積，故選C.5．【答案】C【詳解】設(shè)斜率的平行直線與橢圓相交于，且中點(diǎn)為，可得.由，兩式相減得，整理得，可得，即這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為.故選C.6．【答案】C【詳解】設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，由直線方程得，，所以直線必過(guò)定點(diǎn)，由，得，，，因?yàn)橹本€與線段相交，且直線的斜率為，

所以由圖象可知，或，即或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選C．7．【答案】C【詳解】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)A的直線與過(guò)定點(diǎn)B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，有，故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為故選:8．【答案】C【詳解】設(shè)，則與圓有交點(diǎn)，圓心到直線的距離，解得．故選:C．9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線與直線平行，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，直線與直線（即）之間的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知，，點(diǎn)在軸上，如圖取關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)，所以的最小值是5，故D正確；故選AC.10．【答案】AC【詳解】由圓C：，可得，圓心為，半徑為3，所以圓C截直線：所得的弦長(zhǎng)為，故A正確；由圓的性質(zhì)可知過(guò)點(diǎn)的圓C的最長(zhǎng)弦過(guò)圓心，故所在的直線方程，即，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線：與圓C相切，故C正確；由圓E：可知圓心，半徑為7，所以，故圓E：與圓C相內(nèi)切，故D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)A，易知，則，故A正確；對(duì)B，位于橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)最小，且故此時(shí)為等邊三角形，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若為直角三角形，由B知，，所以或，不妨設(shè)，則此時(shí)點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入，得，故的面積為：，故C正確；對(duì)D，,設(shè)則，由得：，故，故，故D正確.故選ACD12．【答案】【詳解】?jī)啥c(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，在直線同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，，，的最小值為．13．【答案】【詳解】設(shè)，點(diǎn)到和所引的切線長(zhǎng)為，：的圓心為，半徑為的圓心為，半徑為則，，，，即．14．【答案】【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，連接，由對(duì)稱(chēng)性可知，則為平行四邊形，則，即，因?yàn)椋瑒t，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以橢圓的離心率為.

15．【答案】（1）（2）【詳解】（1），所以直線AB的斜率為－1，所以過(guò)C且平行于直線AB的直線的斜率也為-1，所以其直線方程為，化簡(jiǎn)得．（2）因?yàn)橹本€AB的斜率為－1，所以直線CD的斜率為1，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線CD的方程為，化簡(jiǎn)得．16．【答案】（1）（2）或（3）或【詳解】（1）解：依題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓的方程為，所以，解得，所以.（2）解：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，符合題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，即．則，解得．切線方程為，即．綜上可得切線方程為：或．（3）解：依題意可得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線方程為，即，因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，即，解得或，所以直線的方程為或.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組即可求解；（2）設(shè)所求直線方程為，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合判別式等于0，求出參數(shù)的值即可得解.【詳解】（1）由題意得，從而可得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為：，聯(lián)立，得，由，得，直線的斜截式方程為：.18．【答案】（1）（2）（3）存在，【詳解】（1）依題可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）若是圓C上任意一點(diǎn)，則表示圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，所以的最大值為，的最小值為：，所以的取值范圍為：（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)，，則，則，當(dāng)，即，（舍去）時(shí)，為定值，

且定值為，故存在定點(diǎn)，且的坐標(biāo)為.19．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析，．【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，即可求解；（2）（?。┲本€與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，并求點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角形的面積公式，以及基本不等式，即可求面積的最大值；（ⅱ）利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的坐