第1頁（共1頁）2025年江蘇省無錫市梁溪區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）cos60°的值是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運(yùn)算中正確的是（）A．3a+2a＝5a2 B．y3÷y3＝y(tǒng) C．（x3）2＝x6 D．a(chǎn)2?a3＝a63．（3分）下列幾何體都是由5個(gè)棱長為1的正方體組成，它們的左視圖中與其它三個(gè)不同的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列說法正確的是（）A．為了解近十年全國初中生的肥胖人數(shù)變化趨勢，采用扇形統(tǒng)計(jì)圖最合適 B．“煮熟的鴨子飛了”是一個(gè)隨機(jī)事件 C．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能有兩個(gè) D．為了解我省中學(xué)生的睡眠情況，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式5．（3分）已知函數(shù)y＝（m﹣3）x的圖象上兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），當(dāng)x1＞x2時(shí)，有y1＞y2，那么m的取值范圍是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m＜0 D．m＞06．（3分）如圖所示，轉(zhuǎn)盤被等分成四個(gè)扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，0，，轉(zhuǎn)盤停止后指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字都是有理數(shù)的概率是（指針固定向上，當(dāng)指針恰好指在分界線上時(shí)按指針左側(cè)相鄰區(qū)域算）（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，四個(gè)邊長均為1的正方形如圖擺放，其中三個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上的圖象上，則k的值為（）A．5 B．6 C．7 D．88．（3分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一道“以繩測井”的題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，繩多一尺，井深幾何？這道題大致意思是：用繩子測量水井深度，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份（）A．設(shè)井深為x尺，所列方程為3（x+4）＝4（x﹣1） B．設(shè)繩子的長為x尺，所列方程為 C．繩子的長是32尺 D．井深8尺9．（3分）在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿B→C→D以2cm/s的速度運(yùn)動，四邊形ABQP的面積的最大值為（）A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm210．（3分）小毛在滑雪場沿著不同路徑滑冰．如圖中的灰色線條表示4條不同路徑，分別標(biāo)記為P、Q、R、S．請問這4條路徑從最短到最長的正確排列順序是（）A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分。不需寫出解答過程）11．（3分）分解因式：3ab+6b＝．12．（3分）試寫出一個(gè)含a的代數(shù)式，使a不論取什么值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)．13．（3分）一帆船由于風(fēng)向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，這時(shí)它離出發(fā)點(diǎn)有千米．14．（3分）若圓錐的底面圓半徑為4，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為．15．（3分）如圖，已知零件的外徑為10cm，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2，則零件的厚度m等于cm．16．（3分）如圖，利用無人機(jī)測量雕像BF的高度，在點(diǎn)C處測得雕像底部點(diǎn)B的俯角為45°，在點(diǎn)D處測得雕像頂部點(diǎn)F和底部點(diǎn)B的俯角分別為37°和68°，若點(diǎn)C、D與雕像BF均在同一平面內(nèi)米．（參考數(shù)據(jù)：）17．（3分）如圖，一段拋物線：y＝﹣x（x﹣6）（0≤x≤6）記為C1，它與x軸交于兩點(diǎn)O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；…如此變換進(jìn)行下去，若點(diǎn)P（2020，m）在這種連續(xù)變換的圖象上．18．（3分）圖1是一個(gè)高腳杯截面圖，杯體CBD呈拋物線狀（杯體厚度不計(jì)），點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，EF＝2，點(diǎn)A是EF的中點(diǎn)，液面CD＝4，此時(shí)最大深度（液面到最低點(diǎn)的距離），將高腳杯繞點(diǎn)F緩緩傾斜倒出部分液體，當(dāng)∠EFH＝30°時(shí)停止，則液面GD到平面l的距離是；此時(shí)杯體內(nèi)液體的最大深度為．三、解答題（本題共10小題，共96分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（8分）解不等式組．20．（8分）計(jì)算或化簡：（1）；（2）．21．（10分）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CF∥AB，DE＝EF．（1）求證：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的長．22．（10分）某班以小組為單位開展知識競賽，規(guī)定滿分為10分，9分及以上為優(yōu)秀．有甲、乙兩組同學(xué)，每組各8人，按照1﹣8號進(jìn)行編號小夏對這兩個(gè)小組的成績進(jìn)行了如下分析：平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）方差優(yōu)秀率甲組7.625a74.4837.5%乙組7.6257b0.73c請閱讀上述信息，回答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，請你利用數(shù)據(jù)，從不同角度對甲、乙兩組的成績進(jìn)行比較與評價(jià)．23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，作OE⊥AB交切線DC于點(diǎn)E，連接BC交OE于點(diǎn)F．（1）求證：EC＝EF；（2）若，EF＝2，求⊙O的半徑．24．（10分）在生活和學(xué)習(xí)中，經(jīng)常使用到各種尺寸的打印紙，其中應(yīng)用尺寸最為廣泛的是A號紙．A號紙是一批大小不一但形狀相同的紙張（這里的對折指的是將長邊對折，短邊重合）．即：A0紙對折1次所得的紙張就是A1紙，A1紙對折1次（也就是A0紙對折2次），A4紙實(shí)際上就是A0紙第4次對折的紙張大?。袌D是一些A號紙的長寬數(shù)據(jù)：（1）根據(jù)以上材料，猜測A號紙的長寬之比可能是：；（填選項(xiàng)）A.B.（2）證明（1）中猜想的正確性．（3）現(xiàn)有一長條矩形紙片未裁剪，需確認(rèn)裁切線MN的位置，使得裁切后的紙張符合A號紙的長寬之比，在圖中畫出折疊示意圖并簡要說明折疊方法．25．（10分）勞動創(chuàng)造美好生活．某中學(xué)在植樹節(jié)當(dāng)天開展植樹造林活動，需要采購一批樹苗．據(jù)了解，市場上每棵A種樹苗價(jià)格是B種樹苗價(jià)格的倍，B兩種樹苗共100棵，且B種樹苗的數(shù)量不超過A種樹苗的數(shù)量．樹苗公司為支持該校活動，B兩種樹苗均提供九折優(yōu)惠，求本次購買最少花費(fèi)多少錢．26．（10分）在一次數(shù)學(xué)活動課中，小明對“折紙中的數(shù)學(xué)問題”進(jìn)行探究．【活動1】折疊矩形紙片：第一步：如圖1，把矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，把紙片展平；第二步：點(diǎn)M在AD上，再次沿BM折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處．【活動2】折疊正方形紙片：第一步：如圖2，把正方形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，把紙片展平；第二步：點(diǎn)M在AD上（不與點(diǎn)A，D重合），再次沿BM折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF下方的點(diǎn)N處（1）在活動1中，求證：∠NBC＝30°；（2）在活動2中，若正方形ABCD的邊長為8，PF＝227．（10分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝45°，AD＝4，，BC＝12，沿折線A→B→C運(yùn)動，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動．點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動速度為每秒，在線段BC上的運(yùn)動速度為每秒3個(gè)單位長度．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x秒（0＜x＜9），△DPC的面積為y．（1）請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，若直線y＝3x+m與該函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．28．（10分）同學(xué)們，你們在初三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一定有許多收獲．我在模型上加以創(chuàng)新，你快來試試【Ⅰ．“手拉手”模型】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線BC上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，使AD＝kDE，連接AE，G分別是AE，BD的中點(diǎn)，F(xiàn)G，BE．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，且點(diǎn)D不是BC的中點(diǎn)，k＝1時(shí)，AB與BE的位置關(guān)系是，＝．（2）如圖2，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)α＝60°，時(shí)．【Ⅱ．“黃金三角形”】（3）如圖3，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，較長線段為AC，這個(gè)比值叫黃金比，稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．在求黃金比時(shí)，較長線段的長為x，請你利用定義求出黃金比．（4）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比；②腰與底的比是黃金比．滿足以上兩種情況之一的三角形叫做黃金三角形，設(shè)黃金三角形頂角的角度為2α．請你利用所學(xué)知識，選擇其中一種并畫出圖形

2025年江蘇省無錫市梁溪區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ACBDBBBDCD一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）cos60°的值是（）A． B． C． D．【解答】解：cos60°＝．故選：A．2．（3分）下列運(yùn)算中正確的是（）A．3a+2a＝5a2 B．y3÷y3＝y(tǒng) C．（x3）2＝x6 D．a(chǎn)2?a3＝a6【解答】解：A、根據(jù)合并同類項(xiàng)得3a+2a＝4a，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則得y3÷y3＝2，錯誤；C、根據(jù)冪的乘方法則得（x3）2＝x4，正確，故本選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相加得a2?a3＝a4，錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．（3分）下列幾何體都是由5個(gè)棱長為1的正方體組成，它們的左視圖中與其它三個(gè)不同的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，選項(xiàng)的左視圖為，B，選項(xiàng)的左視圖為，C，選項(xiàng)的左視圖為，D，選項(xiàng)的左視圖為，故選：B．4．（3分）下列說法正確的是（）A．為了解近十年全國初中生的肥胖人數(shù)變化趨勢，采用扇形統(tǒng)計(jì)圖最合適 B．“煮熟的鴨子飛了”是一個(gè)隨機(jī)事件 C．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能有兩個(gè) D．為了解我省中學(xué)生的睡眠情況，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式【解答】解：A．為了解近十年全國初中生的肥胖人數(shù)變化趨勢，不符合題意；B．“煮熟的鴨子飛了”是一個(gè)不可能事件；C．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只有一個(gè)；D．為了解我省中學(xué)生的睡眠情況，符合題意，故選：D．5．（3分）已知函數(shù)y＝（m﹣3）x的圖象上兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），當(dāng)x1＞x2時(shí)，有y1＞y2，那么m的取值范圍是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m＜0 D．m＞0【解答】＝解：∵函數(shù)y＝（m﹣3）x的圖象上兩點(diǎn)A（x1，y2）、B（x2，y2），當(dāng)x8＞x2時(shí)，有y1＞y5，∴y隨x的增大而增大，∴m﹣3＞0，解得：m＞4，故選：B．6．（3分）如圖所示，轉(zhuǎn)盤被等分成四個(gè)扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，0，，轉(zhuǎn)盤停止后指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字都是有理數(shù)的概率是（指針固定向上，當(dāng)指針恰好指在分界線上時(shí)按指針左側(cè)相鄰區(qū)域算）（）A． B． C． D．【解答】解：轉(zhuǎn)盤被等分成四個(gè)扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，0，，π，畫樹狀圖得：∵共有16種等可能的結(jié)果，兩個(gè)數(shù)字都是有理數(shù)的有4種情況，∴兩個(gè)數(shù)字都是有理數(shù)的概率是．故選：B．7．（3分）如圖，四個(gè)邊長均為1的正方形如圖擺放，其中三個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上的圖象上，則k的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖所示：依題意得：PD＝3，AD＝1，BC＝4，在Rt△ABC中，AC＝2，由勾股定理得：AB＝＝，∵∠DAC＝∠AOD＝90°，∴∠OAD+∠ADO＝90°，∠OAD+∠BAC＝90°，∴∠ADO＝∠BAC，又∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∴△DAO∽△ABC，∴OD：AC＝OA：BC＝AD：AB，即OD：2＝OA：8＝1：，∴OD＝，OA＝，同理可證：△DAO∽△PDE，∴OD：PE＝OA：DE＝AD：PD，即，∴PE＝，DE＝，∴OE＝OD+DE＝＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝＝3．故選：B．8．（3分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一道“以繩測井”的題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，繩多一尺，井深幾何？這道題大致意思是：用繩子測量水井深度，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份（）A．設(shè)井深為x尺，所列方程為3（x+4）＝4（x﹣1） B．設(shè)繩子的長為x尺，所列方程為 C．繩子的長是32尺 D．井深8尺【解答】解：設(shè)井深為x尺，故3（x+4）＝2（x+1），不符合題意；設(shè)繩子的長為x尺，根據(jù)井深度一定，故選項(xiàng)B錯誤；解方程3（x+6）＝4（x+1）得，x＝4，∴井深為8尺，繩長為3×（5+4）＝36尺，不符合題意，符合題意．故選：D．9．（3分）在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿B→C→D以2cm/s的速度運(yùn)動，四邊形ABQP的面積的最大值為（）A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2【解答】解：如圖1，作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，∴∠BFE＝∠AEF＝90°，∴AE∥BF，∵AB∥CD，∴四邊形AEFB是平行四邊形，∴?AEFB是矩形，∴EF＝AB＝6，AE＝BF，∵∠C＝∠D，∴△AED≌△BFC（AAS），∴DE＝CF＝5，∴AD＝BC＝2CF＝6，AE＝BF＝8，∴梯形ABCD的面積S＝＝27，如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合時(shí)，四邊形ABQP的面積最大，∴四邊形ABQP的面積＝27﹣＝18，如圖8，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，點(diǎn)P在AD上時(shí)，∵＝＝，S△PDQ＝，∴S＝27＝，∴當(dāng)t＝時(shí)，S最大＝，因?yàn)?，故選：C．10．（3分）小毛在滑雪場沿著不同路徑滑冰．如圖中的灰色線條表示4條不同路徑，分別標(biāo)記為P、Q、R、S．請問這4條路徑從最短到最長的正確排列順序是（）A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q【解答】解：這4條路徑從最短到最長的正確排列順序是R，P，S，Q．故選：D．二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分。不需寫出解答過程）11．（3分）分解因式：3ab+6b＝3b（a+2）．【解答】解：3ab+6b＝7b（a+2），故答案為：3b（a+6）．12．（3分）試寫出一個(gè)含a的代數(shù)式，使a不論取什么值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)a2+1．【解答】解：由題意：a2+1＞5，故答案為a2+1（答案不唯一）13．（3分）一帆船由于風(fēng)向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，這時(shí)它離出發(fā)點(diǎn)有13千米．【解答】解：由題意得：離出發(fā)點(diǎn)的距離為（千米），∴這時(shí)它離出發(fā)點(diǎn)有13千米；故答案為：13．14．（3分）若圓錐的底面圓半徑為4，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積為20π．【解答】解：由圓錐的底面半徑為4，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積為S側(cè)＝π×7×5＝20π．故答案為：20π．15．（3分）如圖，已知零件的外徑為10cm，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2，則零件的厚度m等于1cm．【解答】解：零件的外徑為10cm，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2，∠AOB＝∠COD，∴由三角形相似的判定可得：△AOB∽△COD，∴AB：CD＝2，∴AB：3＝2，∴AB＝8（cm），∴7+2m＝10，∴m＝1（cm）．故答案為：6．16．（3分）如圖，利用無人機(jī)測量雕像BF的高度，在點(diǎn)C處測得雕像底部點(diǎn)B的俯角為45°，在點(diǎn)D處測得雕像頂部點(diǎn)F和底部點(diǎn)B的俯角分別為37°和68°，若點(diǎn)C、D與雕像BF均在同一平面內(nèi)米．（參考數(shù)據(jù)：）【解答】解：CD延長線與BF延長線交于點(diǎn)E，∠CEB＝90°，∠EDF＝37°，由題意可得：，∴BE＝CE，設(shè)DE＝a（米），∵，∴（米），∵，∴（米），∴（米），∵BE＝CE，∴，∴a＝2，∴（米）．故答案為：．17．（3分）如圖，一段拋物線：y＝﹣x（x﹣6）（0≤x≤6）記為C1，它與x軸交于兩點(diǎn)O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；…如此變換進(jìn)行下去，若點(diǎn)P（2020，m）在這種連續(xù)變換的圖象上8．【解答】解：當(dāng)y＝0時(shí)，y＝﹣x（x﹣6）＝8，解得：x1＝0，x3＝6，∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（7，0）．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（12，8），2020＝168×12+4，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y＝m．∵﹣8×（4﹣6）＝8，∴m＝8．故答案為：8．18．（3分）圖1是一個(gè)高腳杯截面圖，杯體CBD呈拋物線狀（杯體厚度不計(jì)），點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，EF＝2，點(diǎn)A是EF的中點(diǎn)，液面CD＝4，此時(shí)最大深度（液面到最低點(diǎn)的距離），將高腳杯繞點(diǎn)F緩緩傾斜倒出部分液體，當(dāng)∠EFH＝30°時(shí)停止，則液面GD到平面l的距離是10；此時(shí)杯體內(nèi)液體的最大深度為．【解答】解：以A為原點(diǎn)，直線EF為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系由題意得：A（0，0），2），21），21），設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax5+9，將D（2，21）代入得：21＝a×+9，解得：a＝1，∴y＝x5+9．將高腳杯繞點(diǎn)F傾斜后，仍以A為原點(diǎn)，直線AB為y軸，如圖：由題意得：A（0，4），0），0），9），21），21），由題可知，直線l與x軸的夾角為30°，∵l經(jīng)過點(diǎn)F（，4），∴設(shè)直線l的解析式為：y＝x+b，將F（，0）代入，∴y＝x﹣1，又∵GD∥l，∴kGD＝kl＝，∴設(shè)直線GD的解析式為y＝x+p，將D（7，21）代入，∴y＝x+19，∴M（0，19），﹣1），過點(diǎn)M作MP⊥l于點(diǎn)P，∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°，∴∠ANF＝60°，∴MP＝MN?sin60°＝[19﹣（﹣5）]×＝10．過拋物線最低點(diǎn)Q作QL∥l，L為QL于MP的交點(diǎn)，設(shè)直線QL的解析式為y＝x+q，由得：x2﹣x+9﹣q＝0，∵只有一個(gè)交點(diǎn)Q，∴Δ＝6，∴﹣8（9﹣q）＝0，∴q＝，∴ML＝（19﹣）×sin60°＝．故答案為：10，．三、解答題（本題共10小題，共96分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（8分）解不等式組．【解答】解：解不等式4（x+1）≤3x+10，得：x≥﹣2，解不等式x﹣5＜，得：x＜，則不等式組的解集為：20．（8分）計(jì)算或化簡：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣＝3；（2）原式＝1﹣?＝1﹣＝﹣＝﹣．21．（10分）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CF∥AB，DE＝EF．（1）求證：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的長．【解答】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：由（1）可得，△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣7＝1．22．（10分）某班以小組為單位開展知識競賽，規(guī)定滿分為10分，9分及以上為優(yōu)秀．有甲、乙兩組同學(xué)，每組各8人，按照1﹣8號進(jìn)行編號小夏對這兩個(gè)小組的成績進(jìn)行了如下分析：平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）方差優(yōu)秀率甲組7.625a74.4837.5%乙組7.6257b0.73c請閱讀上述信息，回答下列問題：（1）填空：a＝7.5，b＝7，c＝25%；（2）根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，請你利用數(shù)據(jù)，從不同角度對甲、乙兩組的成績進(jìn)行比較與評價(jià)．【解答】解：（1）將甲組的成績從小到大順序排列，中位數(shù)為第4位和第5位的平均數(shù)，∴，乙組的成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是7分，共4次，∴b＝7，乙組的成績9分及以上有3人，∴優(yōu)秀率，故答案為：7.5；7；25%；（2）①甲組成績的優(yōu)秀率為37.5%，乙組成績的優(yōu)秀率為25%，∴從優(yōu)秀率的角度來看，甲組的成績比乙組的成績好；②甲組成績的中位數(shù)為7.5，乙組成績的中位數(shù)為6，∴從中位數(shù)的角度來看，甲組的成績比乙組的成績好；③甲組成績的方差為4.48，乙組成績的方差為0.73，∴從方差的角度來看，乙組的成績比甲組的成績更穩(wěn)定．23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，作OE⊥AB交切線DC于點(diǎn)E，連接BC交OE于點(diǎn)F．（1）求證：EC＝EF；（2）若，EF＝2，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵OC＝OB，∴∠OCF＝∠OBF，根據(jù)切線的性質(zhì)可得：OC⊥DE，∴∠OCE＝90°，∴∠OCF+∠ECF＝90°，∵OE⊥AB，∴∠FOB＝90°，∴∠OBF+∠OFB＝90°∴∠ECF＝∠OFB，又∵∠OFB＝∠CFE，∴∠ECF＝∠CFE，∴EC＝EF．（2）∵，∴OB＝2OF，設(shè)OF＝a，則OC＝OB＝2a，∴OE＝OF+EF＝a+2，由（1）得，EC＝EF＝3，∵由勾股定理可得：OC2+EC2＝OE6∴（2a）2+22＝（a+2）7，∴，a2＝0（舍去），∴，∴⊙O的半徑為．24．（10分）在生活和學(xué)習(xí)中，經(jīng)常使用到各種尺寸的打印紙，其中應(yīng)用尺寸最為廣泛的是A號紙．A號紙是一批大小不一但形狀相同的紙張（這里的對折指的是將長邊對折，短邊重合）．即：A0紙對折1次所得的紙張就是A1紙，A1紙對折1次（也就是A0紙對折2次），A4紙實(shí)際上就是A0紙第4次對折的紙張大?。袌D是一些A號紙的長寬數(shù)據(jù)：（1）根據(jù)以上材料，猜測A號紙的長寬之比可能是：A；（填選項(xiàng)）A.B.（2）證明（1）中猜想的正確性．（3）現(xiàn)有一長條矩形紙片未裁剪，需確認(rèn)裁切線MN的位置，使得裁切后的紙張符合A號紙的長寬之比，在圖中畫出折疊示意圖并簡要說明折疊方法．【解答】（1）解：根據(jù)以上材料，猜測A號紙的長寬之比可能是：，故答案為：A；（2）證明：設(shè)原來A0紙的長為x，寬為y，寬為，∵A0紙和A1紙的長寬比例是相等的，∴x，解得，∴A號紙的長寬之比是；（3）解：如圖所示，將AB沿著AC折疊使得B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，將AC沿著AE折疊使AC與AF重合，將BD沿著AF折疊使得BD與BE重合，MN即為所求裁剪線．由作圖可得，四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD，，由折疊的性質(zhì)得，，BN＝BD＝，∴AM：AB＝．25．（10分）勞動創(chuàng)造美好生活．某中學(xué)在植樹節(jié)當(dāng)天開展植樹造林活動，需要采購一批樹苗．據(jù)了解，市場上每棵A種樹苗價(jià)格是B種樹苗價(jià)格的倍，B兩種樹苗共100棵，且B種樹苗的數(shù)量不超過A種樹苗的數(shù)量．樹苗公司為支持該?；顒樱珺兩種樹苗均提供九折優(yōu)惠，求本次購買最少花費(fèi)多少錢．【解答】解：設(shè)B種樹苗的單價(jià)是x元，則A種樹苗的單價(jià)是，根據(jù)題意得：﹣＝3，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是所列方程的解．20×＝25（元），設(shè)購買m棵B種樹苗，則購買（100﹣m）棵A種樹苗，根據(jù)題意得：m≤100﹣m，解得：m≤50．設(shè)學(xué)校本次購買樹苗共花費(fèi)w元，則w＝20×0.6m+20×，∴w＝﹣2.5m+2250，∵﹣4.6＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝50時(shí)，w取得最小值．答：本次購買最少花費(fèi)2025元．26．（10分）在一次數(shù)學(xué)活動課中，小明對“折紙中的數(shù)學(xué)問題”進(jìn)行探究．【活動1】折疊矩形紙片：第一步：如圖1，把矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，把紙片展平；第二步：點(diǎn)M在AD上，再次沿BM折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處．【活動2】折疊正方形紙片：第一步：如圖2，把正方形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，把紙片展平；第二步：點(diǎn)M在AD上（不與點(diǎn)A，D重合），再次沿BM折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF下方的點(diǎn)N處（1）在活動1中，求證：∠NBC＝30°；（2）在活動2中，若正方形ABCD的邊長為8，PF＝2【解答】（1）證明：∵AE＝BE＝AB，∴BE＝BN，∵∠BEN＝90°，sin∠BNE＝＝，∴∠BNE＝30°，∴∠NBE＝60°，∵∠ABM＝∠NBM，∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBC＝30°；（2）解：連接BP，∵BN＝BC，BP＝BP，∴Rt△BNP≌Rt△BCP（HL），∴NP＝CP，∵PF＝2，DF＝CF＝，∵DP＝DF+FP＝2+4＝4，∵NP＝PC＝CF﹣PF＝2，設(shè)AM＝NM＝x，MD＝8﹣x，∴MD2+DP2＝PM2，即（4﹣x）2+67＝（x+2）2，解得：x＝，∴AM＝．27．（10分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝45°，AD＝4，，BC＝12，沿折線A→B→C運(yùn)動，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動．點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動速度為每秒，在線段BC上的運(yùn)動速度為每秒3個(gè)單位長度．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x秒（0＜x＜9），△DPC的面積為y．（1）請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，若直線y＝3x+m與該函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，過P作PF⊥BC于F，∵AD∥BC，∴PE⊥AD，∴∠BFP＝∠E＝90°，∵AP＝x，∴BP＝5x，∵∠B＝∠EAP＝45°，∴PE＝AP＝xPB＝5﹣x，∴EF＝2，∴y＝S梯形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBC＝×（AD+BC）?EF﹣BC?PF＝×4x﹣；當(dāng)5＜x＜4時(shí)，如圖，則DH＝5，∴y＝PC?DH＝x+，綜上所述，y＝；（2）如圖所示；性質(zhì)：當(dāng)2＜x≤5時(shí)，y隨x的增大而增大；（3）把（0，10）代入y＝6x+m得10＝m，把（5，30）代入y＝3x+m得30＝15+m，∴m＝15，把（5，0）代入y＝3x+m得2＝3×9+m，∴m＝﹣27，∴直線y＝3x+m與該函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，m的取值范圍為﹣27＜m≤10或m＝15．28．（10分）同學(xué)們，你們在初三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一定有許多收獲．我在模型上加以創(chuàng)新，你快來試試【Ⅰ．“手拉手”模型】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線BC上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，使AD＝kDE，連接AE，G分