壓軸專題11阿氏圓模型

背：技法全歸納

知識考點(diǎn)與解題策略

阿氏圓模型

模型解讀

動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即：平面上兩點(diǎn)A、B,動點(diǎn)尸滿足PA/PB=k"為常數(shù)，且際1））,

那么動點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)4、5都在。0外，P為。。上一動點(diǎn)，已知片小。3（即竺=上），連

0B

接PA、PB,則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？最小值是多少呢？

如圖2,在線段06上截取。。使OC=k?r（即9￡=攵），?.?絲=%,??.”="，

OPOBOBOP

PC

VZPOC=ZBOP,:ZOCsxBOP,:.土=k，BPk-PB=PC.

PB

故本題求“PA+hPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+P。的最小值。

其中與A與C為定點(diǎn)，尸為動點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“P4+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在

于如何構(gòu)造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）;點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）；一

內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸響題中，我們見識了“hR4+P5”最值問題，其中P

點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

可典題固基礎(chǔ)

例題1如圖1,在R7A42C中，ZACB=90°,CB=4,C4=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)尸為圓上一動點(diǎn)，連

接AP,BP,求：

?AP+-BP,

2

@2AP+BP,

（3）^AP+BP,

④AP+33P的最小值.

S新題型特3

1.如圖，在RdABC中，ZACB=90°,CB=7,AC=9,以C為圓心、3為半徑作。C,尸為。C上一動點(diǎn),

連接AP、BP,則的最小值為（）

A

c.4+VioD.25/13

2.（23-24九年級上?江蘇徐州?期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，G為正

方形內(nèi)一動點(diǎn)，且GO=1.點(diǎn)P是邊上另一動點(diǎn)，連接尸G、PA,則B4+PG的最小值為

3.（2020?江蘇常州?一模）如圖，在。。中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在。。上，=90°,。4=6,點(diǎn)C在。4上,

且0c=2AC,點(diǎn)。是02的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧4B上的動點(diǎn)，則CM+2OW的最小值為

4.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。。，尸是。。上一動點(diǎn)，則友必十尸8的最小值為

5.如圖所示，ZACB=60°,半徑為2的圓。內(nèi)切于-1CB.尸為圓。上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PM、PN分別

垂直于2CB的兩邊，垂足為M、N,則PM+2PN的取值范圍為.

A

CNB

6.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),8(4,0),尸是第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，OP=2,連接心、BP,則

7.如圖，在VABC中，ZB=9O°,AB=CB=2,以點(diǎn)8為圓心作圓2與AC相切，點(diǎn)尸為圓B上任一動點(diǎn),

則PA+1pC的最小值是

2

8.如圖，在RtVABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形的用上任意一

點(diǎn)，連接BP,CP,則^BP+CP的最小值是.

--------------------------

9.（2020.江蘇南京?二模）如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的

圓上有一個(gè)動點(diǎn)。連接A。、BD、CD,則2AD+38O的最小值是.

10.如圖，已知正方ABC。的邊長為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)尸是圓8上的一個(gè)動點(diǎn)，則PD-gpC的最大

值為.

11.如圖，在邊長為4的正方形ABC。內(nèi)有一動點(diǎn)尸，且BP=6.連接CP,將線段PC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段尸Q.連接CQ、DQ,則goQ+CQ的最小值為

【答案】5

12.（20-21九年級上?江蘇宿遷?期末）問題提出：如圖①，在&AABC中，ZC=90°,CB=4,CA=6,QC

的半徑為2,尸為圓上一動點(diǎn)，連接AP、BP,求AP+12尸的最小值.

2

圖①圖①備用圖圖②

(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上取一點(diǎn)O,使C/A1,

CDCP1PDCD11

則==大^=彳.又/PCANBCP,所以△PCEA45CP.所以二二不二7.所以=所以

CrCB2BPCr22

A尸+；BP=AP+P。.請你完成余下的思考，并直接寫出答案：+尸的最小值為二

(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求gAP+BP的最小值；

(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形C。。中，ZCOD=^0°,0C=6,04=3,OB=5,P是CD上一點(diǎn)，求

2上4+PB的最小值.

13.(九年級下?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖1,拋物線>=依2+(4+3)》+3(。工0)與無軸交于點(diǎn)4(4,。)，與y

軸交于點(diǎn)8,在x軸上有一動點(diǎn)E(〃?,0)(0<加<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：

C,6

(2)設(shè)APA/N的周長為C-AAEN的周長為a,若射二不求相的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段?！昀@點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE',旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<90°),連接

2

EA、E'B,求石公+百石》的最小值.

14.已知ACDE與VABC有公共頂點(diǎn)C,ACDE為等邊三角形，在VABC中，ZBAC=120°.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時(shí)，連接AD,已知四邊形ABDC的面積為2代，求鉆+AC的值；

⑵如圖2,AB=AC,A、E、。三點(diǎn)共線，連接AE、BE,取BE中點(diǎn)連接AM,求證：AD=2AM-,

(3汝口圖3,AB=AC=4,CE=2,將ACDE以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取DE中點(diǎn)尸，當(dāng)8歹+立A歹的值最小

4

時(shí)，求tan/AB尸的值.

15.如圖1,拋物線＞=〃/+法一4與x軸交于A、5兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,。)，拋

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸使四邊形ABPC的面積為16,若存在，求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,過點(diǎn)8作8斤，3c交拋物線的對稱軸于點(diǎn)尸，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作。C,點(diǎn)。為上的

一個(gè)動點(diǎn)，求正BQ+FQ的最小值.

4

16.如圖，RtAABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF(C、D、E、尸四個(gè)頂點(diǎn)按

逆時(shí)針方向排列)可以繞點(diǎn)c自由轉(zhuǎn)動，且CO=V^,連接A凡BD

(1)求證：△BDC出LAFC

(2)當(dāng)正方形CAM有頂點(diǎn)在線段A8上時(shí)，直接寫出且A。的值；

2

(3)直接寫出正方形8所旋轉(zhuǎn)過程中，且的最小值.

2

17.如圖，點(diǎn)A、8在0。上，且。4=08=6,且OALO8,點(diǎn)C是。1的中點(diǎn)，點(diǎn)。在08上，且。。=

4,動點(diǎn)尸在。。上.求2PC+PO的最小值.

18.如圖1所示，。0的半徑為r,點(diǎn)A、8都在。。外，P為。。上的動點(diǎn)，已知r=kOB.連接PA,

PB,則當(dāng)“小+七尸8”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

A

A

圖1

19.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,C兩點(diǎn)，拋物線y=x?+bx+c

經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B

(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到某一位置時(shí)，四邊形AMBC

面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的。B上一動點(diǎn)，連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時(shí)，PC+gPA的

值最小，請求出這個(gè)最小值，并說明理由.

壓軸專題11阿氏圓模型

技法全歸納

知識考點(diǎn)與解題策略

阿氏圓模型

模型解讀

動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即：平面上兩點(diǎn)A、B,動點(diǎn)尸滿足PA/PB=k（"為常數(shù)，且際1））,

那么動點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)A、5都在。。外，P為。。上一動點(diǎn)，已知片左。3（即&=k），連

0B

接PA、PB,則當(dāng)“PA+hPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？最小值是多少呢？

OPOBOBOP

,：ZPOC=ZBOP,：.APOC^ABOP,二二=左，BPk-PB=PC.

PB

故本題求“PA+hP3”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PO,的最小值。

其中與A與C為定點(diǎn)，尸為動點(diǎn)，故當(dāng)A、尸、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在

于如何構(gòu)造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）;點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）;-

內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“hB4+P3”最值問題，其中P

點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)尸點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

曾典題固基.

例題1如圖1,在RT/kABC中，ZACB^9Q°,CB=4,C4=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)尸為圓上一動點(diǎn)，連

接AP,BP,求:

@AP+-BP,

2

?2AP+BP,

(3)|AP+BP,

④AP+33P的最小值.

【答案】①回；②2曲；③冬暑；④2歷.

【分析】①在CB上取點(diǎn)。，使C￡>=1,連接CP、DP、AD根據(jù)作圖結(jié)合題意易證AOCP~APCB,即可

得出=從而推出+=尸。，說明當(dāng)A、尸、O三點(diǎn)共線時(shí)，AP+BD最小，最小值即

為AD長.最后在此△AC。中，利用勾股定理求出A。的長即可；

②由2AP+BP=2(A尸+ggP),即可求出結(jié)果；

21

③在C4上取點(diǎn)E,使CE=q，連接CP.EP.BE.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證△ECP~AP0L,即可得出砂=：AP,

從而推出：AP+BP=EP+BP,說明當(dāng)2、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+3P最小，最小值即為8E長.最后在RfABCE

中，利用勾股定理求出BE的長即可；

④由AP+3BP=3(gAP+BP),即可求出結(jié)果.

【詳解】解：①如圖，在CB上取點(diǎn)。，使8=1,連接CP、DP、AD.

A

?;CD=1,CP=2,CB=4,

.CDCP1

^~CP~~CB~2'

又：ZDCP=NPCB,

"DCP?APCB,

即

BP22

AP+-BP=AP+PD,

2

...當(dāng)A、尸、D三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD最小，最小值即為AZ）長.

:在放△AC。中，AD=yiAC1+CDl=762+12-

，4尸+；8尸的最小值為而'；

②2AP+BP=2(AP+-BP),

2AP+3尸的最小值為2義庖=2庖；

2

③如圖，在CA上取點(diǎn)E,使CE=§,連接。尸、EP、BE.

?：CE=-CP=2,C4=6,

39

.CECP

**CP-CA-3*

又?：/ECP=NPCA,

:?小ECP”PCA,

ppii

即放」AP,

AP33

-AP+BP=EP+BP,

3

，當(dāng)5、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+3P最小,最小值即為防長.

???在中，BE=dBC、CE2=業(yè)+守=笠^.

gAP+BP的最小值為零；

④AP+3BP=3(|AP+BP),

AP+33尸的最小值為3x2亙=2歷.

3

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.正確的作出輔助線，并且理解三

點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵.

練新題型特訓(xùn)

1.如圖，在放AABC中，ZACB=9Q°,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為半徑作。C,P為。C上一動點(diǎn),

連接AP、BP,貝QAP+BP的最小值為（）

C.4+V10D.2年

【答案】B

【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在。1上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質(zhì)

證明BJWIAP+BP=PM+PB>BM,利用勾股定理求出BM即可解決問題.

答案詳解：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.

■:PC=3,CM=\,CA=9,

：.PC2=CM-CA,

.PCCM

??一，

CACP

?.*ZPCM=AACP,

.PMPC_1

?>-PA-AC-3

：.PM=-PA,

3

-AP+BP=PM+PB,

3

"：PM+PB>BM,

在RtABCM中，VZBCM=90°,CM=1,BC=1,

:.BM7f+7。=5夜,

：.^AP+BP>5y/2,

的最小值為5啦.

故選：B.

2.（23-24九年級上?江蘇徐州?期中）如圖，已知正方形A3。的邊長為2,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，G為正

方形內(nèi)一動點(diǎn)，且G9=l.點(diǎn)P是CD邊上另一動點(diǎn)，連接PG、PA,則PA+PG的最小值為.

【答案】V13-1/-1+A/13

【分析】本題考查了軸對稱求最短線段，矩形和正方形的性質(zhì)，圓的定義，勾股定理等知識，利用對稱的

性質(zhì)作線段的等量轉(zhuǎn)移是解題關(guān)鍵.作點(diǎn)A關(guān)于直線。的對稱點(diǎn)A,連接OA,以。為圓心，OG長為半

徑作圓，點(diǎn)G在圓上運(yùn)動，OA、CD與。。交于點(diǎn)G'、P',則=AD=AL>=2,G'O=GO=1,

當(dāng)點(diǎn)G、P在G'、尸，位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)0、G、P、4四點(diǎn)共線，RL+PG+GO有最小值為OA長，過點(diǎn)。

作OELAD于點(diǎn)E,求出。4=歷，即可求解.

【詳解】解：,??正方形的邊長為2,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

AD=BC=CD=2,OC=1,NBCD=NCDA=90。,

如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線C。的對稱點(diǎn)AI連接OA,以。為圓心，OG長為半徑作圓，點(diǎn)G在圓上運(yùn)動，OA'

與CD與。。交于點(diǎn)P、G,

則上4=24',AD=AD=2,G'O=GO=1,

.-.PA+PG+GO=PA'+PG+G'O>OA',

當(dāng)點(diǎn)G、尸在G'、戶位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)0、G'、P'、4四點(diǎn)共線，叢+PG+GO有最小值為OA長,

過點(diǎn)。作OE_LAD于點(diǎn)E,則四邊形OCDE是矩形,

,-.DE=OC=l,OE=CD=2,

:.AE=3,

OA!=4OE~+A!E2=V13，

尸A+PG+GO的最小值為屈,

.?.R4+PG的最小值為屈-GO，即屈-1,

故答案為：V13-1.

AE~二D二二予.A'

3.（2020?江蘇常州?一模）如圖，在。。中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在。。上，/AO8=90。，。4=6,點(diǎn)C在。4上,

且OC=2AC,點(diǎn)。是03的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧4B上的動點(diǎn)，則CM+200的最小值為

【答案】4A/10

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用

輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.延長到T,使得3T=03,連接MT,CT.利用相似三角形的性

質(zhì)證明=,求CM+2DM的最小值問題轉(zhuǎn)化為求O0+MT的最小值.利用兩點(diǎn)之間線段最短得到

CM+MT>CT,利用勾股定理求出CT即可解題.

【詳解】解：延長02到T,使得37=03,連接MT,CT.

???點(diǎn)。是05的中點(diǎn),

，OD=DB=3,OT=12,

「?OM2=ODOT,

.0M_OT

'~6D~~6M'

??,ZMOD=ZTOM,

AMODSROM,

'HT~~OT~2,

MT=2DM,

..CM+2DM=CM+MT>CT,

??,OC=2ACf

??.OC=4,

又???在RtZXOCT中，ZCOT=90°,OT=129

CT=y]0C2+0T2=V42+122=4A/10，

CM+2DM>4^10,

CM+2DM的最小值為,

故答案為：45710.

4.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。0,尸是。。上一動點(diǎn),則&B4+PB的最小值為

【答案】2號

【分析】也PA+PB=&（叢+與PB）,利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答.

【詳解】解：設(shè)。。半徑為廠,

DC

0P=r=；BC=2,0B=&r=26,

取OB的中點(diǎn)/,連接P/,

OI=lB=yH,

OP2

BE日嘉乎3,

:?條器,NO是公共角，

:.△BOPs^poi,

?.?—PI=O1=—,

PBOP2

;.Pl=^lpB,

2

：.AP+—PB=AP+PI,

2

...當(dāng)A、P、/在一條直線上時(shí)，AP+立尸8最小,

2

作IELAB于E,

???NA5O=45。，

：.1E=BE=—BI=\,

2

：.AE=AB-BE=3,

.?.A/=732+I2=Vio>

：.AP+也PB最小值=A/=A/10,

2

?；gPA+PB=e（理+惇PB）,

；?忘%+P8的最小值是&4/=血*加=2班.

故答案是25行.

【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形.

5.如圖所示，ZACB=60°,半徑為2的圓0內(nèi)切于—ACB.尸為圓。上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸”、PN分別

垂直于—ACB的兩邊，垂足為“、N,則R0+2PN的取值范圍為.

【答案】6-26VpM+2PNV6+2石

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形；方法一，PM+2PN=2^PM+PN^,作MHLPN,

=,確定HN的最大值和最小值.方法二，延長〃尸交CB于點(diǎn)E,求得NEPN=60°,得至UPE=2PN,

PM+2PN=PM+PE=ME,當(dāng)ME與。。相切時(shí)，取得最大和最小，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：方法一，作于H,作MF_LBC于尸，

:.NPMC=NPNC=90。,

:.ZMPN=30—NPMC—/PNC—NC=120。,

:.ZMPH=180°-NMPN=60°,

HP=PMcosZMPH=PM?cos60°=-PM,

2

PN+-PM=PN+HP=NH,

2

?:MF=NH,

當(dāng)MP與。。相切時(shí)，MR取得最大和最小,

如圖1,

A

FNB

圖1

連接。尸，OG,OC,

可得：四邊形OPMG是正方形，

：.MG=OP=2,

在MACOG中，

CG=OGtan60°=273,

:.CM=CG+GM=2+2.,

在.RNCMF中,

MF=CM-smZACB=(2+2^)x^-=3+y/j,

2

:.HN=MF=3+y/3,

PM+2PN=2(gpM+PN)=2HN=6+26,

如圖2,

圖2

由上知：CG=26，MG=2,

CM=26-2,

:.HM=Q^fxq=3-6,

:.PM+2PN=2(gpM+/W)=2fflV=6—25

:.6-2J3<PM+2PN<6+2.y/3.

故答案為：6-2^3<PM+2PN<6+2.

、PN分別垂直于ZACB的兩邊,

/.ZAffW=120°,

ZEPN=60°,

：.PE=2PN,

：.PM+2PN=PM+PE=ME,

...當(dāng)ME與。。相切時(shí)，ME取得最大和最小，

連接。尸，作。

可得：四邊形0PMD是正方形，

;.MD=OP=2,

在Rt^CO。中，ZDOC=^AOB=30°,CD=2^3,

:.CM=CD+DM=2+2y/3,

；?ME的最大值為V§CM=2百+6,

故答案為：6-2A/3<PM+2PA^<6+2A/3.

6.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，4。,4),3(4,0),尸是第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，OP=2,連接轉(zhuǎn)、BP,則

BP+^AP的最小值是

【答案】行

0PnA

【分析】取點(diǎn)TQ1),連接尸T,BT.根據(jù)。尸2=OT.Q4,有金=荒，即可證明APOTSAA。尸，即有,

進(jìn)而可得尸T=：PA,則有PB+：PA=PB+PT,利用勾股定理可得W=爐工=舊，則有

小三尸2折，問題得解.

【詳解】解：如圖，取點(diǎn)T(O，D,連接PT,BT.

8(4,0),

■：OP=2,

.'.OP2=OTOA,

.OPOA

一而一而‘

?;/POT=ZAOP,

..△POTSAAOP,

PT=-PA,

2

:.PB+-PA=PB+PT,

2

BT=712+42=#7>

：.PB+PT>y/ll,

:.BP+^AP>4n,（當(dāng)B、P、T三點(diǎn)共線時(shí)取等號）

.?.臺尸+:2臺的最小值為而'.

故答案為：厲.

【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用

輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

7.如圖，在VABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)8為圓心作圓2與AC相切，點(diǎn)尸為圓B上任一動點(diǎn)，

則PA+顯PC的最小值是.

2

【答案】V5

【分析】作8“，AC于"，取8C的中點(diǎn)。，連接PD,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得為。B的半徑，再根

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH=1-AC=V2，接著證明仆BPDSABCP得到尸。=曰PC,所以出+gpC

=PA+PD,而PA+PD>AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、。共線時(shí)取等號），從而計(jì)算出A。得到以+變尸C的最小值.

2

【詳解】解：作8HLAC于H,取BC的中點(diǎn)。，連接PD,如圖,

；AC為切線，

為。B的半徑，

VZABC=90°,AB=CB=2,

:.AC=0BA=2近,

；.BH=gAC=④,

：.BP=y[2,

..PBy/2BD1近

'BP~sj2~2

而NPBD=NCBP,

:.△BPDsMCP,

.PD_PB

：.PD=JiPC,

2

：.PA+^±PC=PA+PD,

2

而心+尸。沙。（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、。共線時(shí)取等號），

而小＞=后不=6，

，%+P。的最小值為

即以+[PC的最小值為右.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線

段PO=1pc.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).

2

8.如圖，在RtVABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是48,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的用上任意一

點(diǎn)，連接BP,CP,則［BP+CP的最小值是.

【答案］

【分析】在AB上取一點(diǎn)T,使得連接口叫CT.證明△尸Ai如‘推出篝=冬=?

推出PT=gP5,推出/P8+CP=C尸+PT,根據(jù)尸C+尸mTC,求出CT即可解決問題.

【詳解】解：在A8上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接尸T,PA,CT.

*：PA=2.AT=1,AB=4,

???唐2=4=ATMS

.PAAB

*'AT-PA?

'：APAT=ZPAB,

:.^PAT^^BAP,

,PT_API

??尸3—5，

：.PT=WPB,

：.^PB+CP=CP+PT,

'：PC+PT>TC,

在RjACT中，

'：ZCAT=9Q°,AT=1,AC=4,

CT=yjAT2+AC2=#7，

:.^PB+pc>Jr/,

1PB+PC的最小值為V17.

故答案為后.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)

系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?江蘇南京?二模）如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的

圓上有一個(gè)動點(diǎn)。連接A。、BD、CD,則240+32。的最小值是.

【答案】12^0

2

【分析】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4,先證ADCEsaACD,將轉(zhuǎn)化為DE,從而求得

2

-AD+BD的最小距離，進(jìn)而得出2AD+3BD的最小值.

【詳解】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4

CDAC

~CE~^D

ZECD=ZACD

△DCE^AACD

EDDC_6

AD-AC-9

2

ED二一AQ

3

在^EDB中，ED+DB>EB

.,.ED+DB最小為EB,即ED+DB=EB

：.-AD+DB=EB

3

在RtAECB中，EB=7122+42=4a

：.-AD+DB=4s/10

3

.?.2AD+3DB=12V10

故答案為：12^/10.

【點(diǎn)睛】本題考查求最值問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出△DCEs/XACD.

10.如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)尸是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，則尸PC的最大

值為.

【答案】y

3

【分析】如圖，連接在上取一點(diǎn)使得3M=5,進(jìn)而證明43尸則在點(diǎn)尸運(yùn)動的任

意時(shí)刻，均有尸M=gpc,從而將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值.連接PD,在APAM中，PD-PM<DM,

故當(dāng)M、尸共線時(shí)，為最大值，勾股定理即可求得

3

【詳解】如圖，連接取，在2C上取一點(diǎn)M,使得.二,

AD

3

BP31

BM_2_1>

BC62

BMBP

\-ZPBM=ZCBP

LBPMsABCP

.MPBM\

,PC~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在小PDM中，PD-PM<DM,

當(dāng)。、M,P共線時(shí)，為最大值,

四邊形MCD是正方形

NC=90°

在HtACDM中，DM=SC+MC?=卜+=y

故答案為：—■

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造［PC是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在邊長為4的正方形ABC。內(nèi)有一動點(diǎn)P,且8P=&.連接CP,將線段PC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段尸。.連接CQ、DQ,則《QQ+CQ的最小值為

【答案】5

【分析】連接AC.AQ,先證明△BCPs△AC。得絲="即AQ=2,在AO上取AE=1,證明△QA￡s^DAQ

BP2

得EQ=；QD,故g￡)2+C2=E2+C9CE,求出CE即可.

【詳解】解：如圖，連接AC、AQ,

1/四邊形ABCD是正方形，PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,

：.NACB=NPCQ=45。，

：.ZBCP=ZACQ,cosZACB=—=—,cosZPCQ=—=—,

AC2QC2

???ZACB=ZPCO,

:.XBCPSXNCQ,

.AQ拒

??-

BP2

,:BP=6,

：.AQ=2,

，。在以A為圓心，A。為半徑的圓上,

在A￡>上取AE=1,

AE_1

~AQ~2

：./\QAE^/\DAQ,

嘲J即叫”，

???^DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

連接CE,

CE=ylDE、Clf=5,

???1DQ+C。的最小值為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵

在于能夠連接AC、AQ,證明兩對相似三角形求解.

12.(20-21九年級上?江蘇宿遷?期末)問題提出：如圖①，在R〃ABC中，ZC=90°,CB=4,G4=6,QC

的半徑為2,尸為圓上一動點(diǎn)，連接AP、BP,求+的最小值.

2

圖①圖①備用圖圖②

(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上取一點(diǎn)。，使CA1,

CDCP1PDCD11

貝!J==育又NPCD=ZBCP,所以△PCD^ABCP.所以====7.所以=所以

CrCn2orCr22

AP+^BP=AP+PD.請你完成余下的思考，并直接寫出答案：4尸+38尸的最小值為二

(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求《AP+研的最小值；

(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形CO。中，NCOD=90°,0C=6,(24=3,OB=5,P是CD上一點(diǎn)，求

2R4+PB的最小值.

【答案】(1)后

Q呼

(3)13

【分析】(1)利用勾股定理即可求得本題答案；

2CDCP11

(2)連接CP,在C4上取點(diǎn)￡>,使CD=w，則有/3二二二不，可證APCDSAACP,得到=

即,AP+BP=BP+尸。，從而;AP+3P的最小值為2D；

33

(3)延長0A到點(diǎn)E,使CE=6,連接PE,。尸，可證^OAP^OPE,得到EP=2PA，得到2上4+PB=EP+PB,

當(dāng)E,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，得到最小值.

【詳解】(1)解：如圖連接AD,

VAP+-BP=AP+PD,要使4尸+工2尸最〃、，

22

...當(dāng)AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)AP,。在同一條直線時(shí)，AP+AD最小,

AP+：3尸的最小值為AD,

在吊2X40)中，CD=1,AC=6,

AD=y/AC2+CD2=屈'

A尸+：8尸的最小值為歷，

故答案為：歷；

2

(2)解：如圖連接CP,在C4上取點(diǎn)。，使

.CDCP

…而一演—5'

,:ZPCD=ZACP,

：.APCDS^ACP,

：.PD=-AP

3f

：.-AP+BP=BP+PD,

3

[AP+BP的最小值為BD=JBC?+CD?=2y，

33

故答案為：零；

（3）解：如圖延長Q4到點(diǎn)E,使CE=6,

OE=OC-^-CE=12f

連接尸EOP,

???Q4=3,OB=5,

.OAOP

''~OP~~OE~^'

ZAOP=ZAOPf

:?△OAPsQPE,

AP1

???—_―,

EP2

/.EP=2PA,

2PA+PB=EP+PB,

.?.當(dāng)E,P,8三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值：BE=^OB2+OE2=13-

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形判定及性質(zhì)，最值得確定.

13.（九年級下?江蘇鹽城?階段練習(xí)）如圖1,拋物線>=加+（。+3戶+3（4工0）與無軸交于點(diǎn)A（4,0）,與y

軸交于點(diǎn)8,在x軸上有一動點(diǎn)E（"40）（0<〃z<4）,過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于

點(diǎn)、P,過點(diǎn)P作于點(diǎn)

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：

(2)設(shè)△PMN的周長為C-AAEN的周長為G，若m=5'求機(jī)的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE',旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),連接

E'A.E'B,求+的最小值.

【答案】(1)。=-：3.直線AB解析式為產(chǎn)-；3x+3；

4-4

(2)2

⑶也

3

【分析】(1)令產(chǎn)0,求出拋物線與冗軸交點(diǎn)，列出方程即可求出〃，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線A8解

析式；

PN6

(2)由APNMs^ANE,推出丁=—,列出方程即可解決問題；

AN5

42

(3)在y軸上取一點(diǎn)M使得0%=1,構(gòu)造相似三角形，可以證明AM就是的最小值.

【詳解】(1)令y=0,貝!J〃/+(〃+3)x+3=0,

(x+1)(ax+3)=0,

?一十3

a

?拋物線產(chǎn)"2+(。+3)x+3(存0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),

VA(4,0),B(0,3),

設(shè)直線A3解析式為廣質(zhì)+。，則，：；：b=0，

「b7-____3

解得，4,

b=3

3

???直線A3解析式為廣qx+3；

9

\PM.LABfPE±OA,

：./PMN=/AEN,

,：NPNM=NANE,

:?叢PNMS^ANE,

..O

,G5

.PN_6

??=一,

AN5

■:NE//OB,

.AN_AE

??商一質(zhì)’

AN=—(4-m),

4

3o

v拋物線解析式為y=-+：x+3,

44

3933

PN=——m2+—m+3-(——m+3)=——m2+3m,

4444

32；

——m+3m(

?_A___=9

*,55，

解得m=2或4,

經(jīng)檢驗(yàn)x=4是分式方程的增根,

m=2；

4

(3)如圖2,在y軸上取一點(diǎn)的使得連接AM,在AM上取一點(diǎn)E使得OF=OE.

2

此時(shí)AE'+^BE'最小(兩點(diǎn)間線段最短，A、M\E共線時(shí))，

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值問題等知識,

2

解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM就是+的最小值.

14.已知ACDE與VABC有公共頂點(diǎn)C,ACDE為等邊三角形，在VABC中，/B4c=120。.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時(shí)，連接A。，已知四邊形ABQC的面積為26，求AB+AC的值；

⑵如圖2,AB=AC,A、E、。三點(diǎn)共線，連接AE、BE,取BE中點(diǎn)連接AM,求證：AD=2AM^

(3)如圖3,AB=AC=4,CE=2,將ACDE以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取DE中點(diǎn)F,當(dāng)8歹+走A歹的值最小

4

時(shí)，求tan/ABP的值.

【答案】(1)2后

(2)見解析

小136

45

【分析】(1)延長AC到T,使得CT=54連接DT,過點(diǎn)。做DN，AT于N,證明AABD^TCD(SAS),

得出ZM=DT,ZADB=NTDC,證明A/MT為等邊三角形，設(shè)AN=TN=x,得出

SGAT=次.DN=必=26，求出x的值即可得出答案；

(2)延長54到〃使得=連接以7、CH,證明AACD絲AHCE(SAS),得出=證明40

為ABHE的中位線，得出“石=24欣=加，即可證明結(jié)論；

(3)連接CP,過點(diǎn)A作AG,3c于點(diǎn)G,以點(diǎn)C為圓心，CT為半徑作圓，在AC上截取CM,

4

連接MF,證明AC?SAC4F,得出必.=空=走，即句0=立人尸，得出8尸+立人尸=8/+根，連

AFCF444

接與G)C交于一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)/在此點(diǎn)時(shí)，M+RVf最小，即3尸+且A/最小，過點(diǎn)M作肱V，3c于點(diǎn)N,

4

過點(diǎn)A作于點(diǎn)。，求出AQ,8。即可得出答案.

【詳解】(1)解：延長AC到T,使得CT=B4連接DT,過點(diǎn)。做ONLAT于M如圖所示：

?.,△CDE為等邊三角形，ZB4c=120。，

DB=DC,NBDC=60°,

四邊形ABAC中，/3DC+/OC4+/C4B+/ABD=360。,

ZABD+ZACD=ZDCT+ZACD=180°,

：.ZABD