壓軸專題01二次函數(shù)（線段周長面積問題）

背；

技法全歸納

考法一單線段最值

1.（1）設(shè)函數(shù)表達式上動點坐標(biāo)：設(shè)動點的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)表達式得到動點的縱坐標(biāo).

（2）表示豎直方向的線段長：結(jié)合函數(shù)圖象，用上方點的縱坐標(biāo)減去下方點的縱坐標(biāo)可得線

段長.

（3）表示水平方向的線段長：結(jié)合函數(shù)圖象，用右側(cè)點的橫坐標(biāo)減去左側(cè)點的橫坐標(biāo)可得線

段長.

（4）表示不與坐標(biāo)軸平行的線段長（斜線段）：第一步：以所求線段長為一邊構(gòu)造直角三角

形；第二步：找與其相似的直角三角形（一般情況下，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點構(gòu)成的直角三

角形與其相似）；第三步：利用三角函數(shù)或相似列等量關(guān)系求解.

考法二線段和（差）最值（將軍飲馬）

2.兩定點+一動點（動點在直線上）

（1）兩定點A,B位于直線1異側(cè)：如圖1,連接AB,與直線1的交點即為P,此時PA+PB

的最小值為AB的長；如圖2,作點B關(guān)于直線1的對稱點B，，作直線AB*與直線1的交點

即為P,此時IPA-PB|的最大值為線段AB，的長.

圖1圖2

（2）兩定點A,B位于直線1同側(cè)：如圖3,作點B關(guān)于直線1的對稱點B）連接AB，，與直

線1的交點即為P,此時PA+PB的最小值為AB，的長；如圖4,連接AB并延長，與直線1

的交點即為P,此時IPA-PB|的最大值為線段AB的長.

圖3圖4

3.一定點+兩動點（動點分別在兩條直線上）

（1）如圖L點P是定點，點A,B分別是直線乙，4上的動點，作點P關(guān)于直線4的對稱點

P',作PB_L4于點B，交直線4于點A,此時PA+AB的最小值為線段PB的長.

（2）如圖2,點P是定點，點A,B分別是直線j4上的動點，分別作點P關(guān)于兩直線的對

稱點P和P",連接PP〃，與兩直線交點即為點A,B,此時4PAB周長的最小值為線段PP〃

的長.

圖1

4.兩定點+兩動點（動點分別在兩條直線上）

（1）如圖1,點P,Q是定點，點M,N分別是直線乙，4上的動點，分別作點Q，P關(guān)于直

線乙，4的對稱點Q，和P,連接QT，，與兩直線交點即為點M,N,此時四邊形PQMN周長

的最小值為線段QP+QP的長.

（2）如圖2,點A,B分別是直線4，4上的定點，點M,N分別是直線4，4上的動點，作

點A關(guān)于直線乙的對稱點A*作點B關(guān)于直線4的對稱點B，，連接A，B，交直線4于點M,交

直線4于點N,此時AM+MN+NB的最小值為線段A，B，的長.

圖1圖2

考點三：二次函數(shù)中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：

1）當(dāng)所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下:

一般步驟為：①設(shè)出要求的點的坐標(biāo)；

②通過割補將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；

③列出關(guān)系式求解；

④檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意.

2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.

A

x

3）利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個圖形中，如圖所示:

直線相〃直線〃

==

S/\ABCSAABDSAABE

一般步驟為：①設(shè)出直線解析式，兩條平行直線k值相等;

②通過已知點的坐標(biāo)，求出直線解析式;

③求出題意中要求點的坐標(biāo)；

④檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意.

典題固基礎(chǔ)

例題1.（24-25九年級?江蘇連云港?模擬練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點A（T,4）,與y軸

交于點3,C、。分別為x軸、直線尤=1上的動點，當(dāng)四邊形A3。的周長最小時，則點。的坐標(biāo)

為.

i3

例題2如圖，已知二次函數(shù)/=-5/+5犬+2圖象與x軸交于A,C兩點，與y軸交于點艮

(1)連結(jié)BC,求直線BC的解析式；

(2)點P為該二次函數(shù)圖象在第一象限上一點，當(dāng)ABCP的面積最大時，求P點的坐標(biāo)及ABCP面積的最大

值.

s新題型特3

1.(24-25九年級?江蘇徐州)如圖，二次函數(shù)y=-Y+3x+4的圖象與X軸交于點A、B,與y軸交于點C.點

P是此函數(shù)圖象上在第一象限內(nèi)的一動點，過點尸作PELx軸于點E,交BC于點G,作尸PL3C于點H

(1)點B的坐標(biāo)是，點C的坐標(biāo)是

⑵當(dāng)n哂=6時，求出點尸的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)APFG的周長最大時，求點P的坐標(biāo).

2.(24-25九年級?江蘇徐州)如圖，拋物線y=--+6x+c與直線y=x+2相交于4(-2,0),8(3,祖)兩點,

與x軸相交于另一點C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是直線4B上方拋物線上的一個動點(不與A3重合)，過點P作直線尸軸于點。，交直線AB

于點E,當(dāng)PE=2￡D時，求P點坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點尸運動到什么位置時，△上48的面積有最大值？

(4)拋物線上是否存在點Af使AABM的面積等于VABC面積的一半？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

3.(24-25九年級?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，己知拋物線丁=52+法+。(。中0)的對稱軸為直線為=-1,且

拋物線經(jīng)過A(l,0),C(0,3)兩點，與x軸交于點股

(1)若直線、="a+〃經(jīng)過8,C兩點，求直線8C和拋物線的解析式；

⑵在拋物線的對稱軸x=-L上找一點M,使MA+MC的值最小，求點M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使ABPC為直角三角形的點P的坐標(biāo).

4.如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于4(-3,0)和3(1,0)兩點，交y軸與點C(0,3),點C,。是二次函數(shù)圖象

上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖像過點8,D.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)求出頂點坐標(biāo)和點D的坐標(biāo)；

⑶二次函數(shù)的對稱軸上是否存在的一點M,使ABOW的周長最?。咳舸嬖?，求出〃點坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

(4)若。是線段8。上任意一點，過點。作軸交拋物線于點P,則點尸坐標(biāo)為多少時，尸。最長？

5.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)一次函數(shù)y=gx+l的圖像與x軸交于點A,二次函數(shù)y=加+bx+c(ow0)的

圖像經(jīng)過點A、原點。和一次函數(shù)y=Jx+1圖像上的點

圖1圖2

⑴求這個二次函數(shù)的表達式；

⑵如圖1,一次函數(shù)y=入+"]"-2"1)與二次函數(shù)，=加+及+。("°)的圖像交于點c(%，x)、

D(x2,y2)(x,<x2),過點C作直線軸于點E,過點。作直線4軸，過點8作8尸，4于點尸.

①%=,%=(分別用含〃的代數(shù)式表示)；

②證明：AE=BF；

(3)如圖2,二次函數(shù)y=a(xTy+2的圖像是由二次函數(shù)>=加+陵+。(。70)的圖像平移后得到的，且與

一次函數(shù)y=；x+l的圖像交于點尸、Q(點尸在點。的左側(cè))，過點尸作直線軸，過點。作直線"Lx

軸，設(shè)平移后點A、8的對應(yīng)點分別為A、B',過點A作于點河，過點8'作B'N，。于點N.

①AM與3W相等嗎？請說明你的理由；

②若AM+35'N=2,求/的值.

6.如圖，拋物線>=辦2+弧+3交x軸于4(3,0),3(-1,0)兩點，交》軸于點C,動點P在拋物線的對稱軸

上.

備用圖

(1)拋物線的函數(shù)表達式為；

⑵當(dāng)以P,B,C為頂點的三角形的周長最小時，求點尸的坐標(biāo)及△PBC周長的最小值.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yn-M+Ax+c,圖象經(jīng)過44,0)、8(0,8)兩點.

(1)求二次函數(shù)的解析式及它的對稱軸；

⑵設(shè)點尸是拋物線上的一個動點，橫坐標(biāo)為機，

①當(dāng)-2<〃/<3,則點p的縱坐標(biāo)y的取值范圍是；

②過點尸做PQ〃y軸，交直線于。，當(dāng)線段PQ=5時，請求出優(yōu)的值.

8.如圖，已知拋物線y=-Y+〃武+3與x軸交于A、8兩點，與丁軸交于點C,點5的坐標(biāo)為(3,0).

(1)求機的值及拋物線的頂點坐標(biāo)；

⑵點。在拋物線上且滿足SAABLGSAABC，求。的坐標(biāo)；

(3)點尸是拋物線對稱軸/上的一個動點，當(dāng)尸A+PC的值最小時，求點尸的坐標(biāo).

9.如圖，二次函數(shù)y=g無2+桁+。的圖象與x軸交于A、8兩點,與y軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(TO),

點C的坐標(biāo)為(0,—3),連接BC.

(2)點尸是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，作尸軸于點Q,交BC于點H,當(dāng)?shù)拈L度最大時，

求點P的坐標(biāo)

10.如圖，拋物線y=/—2x-3與x軸交于點A,B(點A在點8的左側(cè))，與V軸交于點C,P是拋物

線在第四象限上一個動點，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為優(yōu)，過點尸作了軸的垂線，交x軸于點E,交BC于點、F.

（1）用含m的代數(shù)式表示線段PF的長度，并求出其最大值；

⑵若EF:FP=2:3,求點尸的坐標(biāo).

11.如圖，二次函數(shù)>=辦2+法+4的圖象過點A（3,0）和與y軸交于點C.

⑴求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若在該二次函數(shù)的對稱軸上有一點使3M+C0的長度最短，求出M的坐標(biāo).

12.（2025九年級?江蘇?專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y=/+6x+c經(jīng)過4（-1,0）、3（3,0）兩點.與y軸交于

點C.

（1）求拋物線的解析式；

⑵點P為拋物線上一點，若^=1。，求出此時點尸的坐標(biāo).

13.（24-25九年級?江蘇泰州）如圖，二次函數(shù)y=-/+bx+c與x軸交于點4T0）和8（5,0）,與>軸交于

點C.

圖1圖2

⑴求二次函數(shù)的表達式和直線BC的表達式；

⑵若點。為二次函數(shù)的頂點，連接由XCD,求的面積.

(3)將(1)中的二次函數(shù)圖像平移，使其頂點與坐標(biāo)原點重合，再將其圖像繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

拋物線G,若拋物線G與直線交于M,N兩點，點尸是拋物線G上位于直線左側(cè)一個動點，連接

PM,PN,求APMN的面積最大值.

14.(24-25九年級?江蘇南通)已知二次函數(shù)》=依2+法+。的圖象與x軸交于A(-l,0),8(3,0)兩點，與y

軸交于點C(0,-6).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵當(dāng)-3<x<2時，求二次函數(shù)y的取值范圍；

4

(3)若尸為二次函數(shù)圖象上一點，且求P點的坐標(biāo).

15.(2024?江蘇蘇州?一模)如圖，已知拋物線y=-Y+px+q的對稱軸為x=-3,過其頂點M的一條直線

>=丘+6與該拋物線的另一個交點為要在坐標(biāo)軸上找一點P,使得△尸的周長最小，則點尸的

A.(0,2)4°D.

16.(24-25九年級?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，開口向下的拋物線與x軸交于點A(TO),S(2,0),與y軸

交于點C(0,4)，點尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一點.

(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)四邊形C45P的面積最大時，求尸的坐標(biāo)及最大面積.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)丁=^2(。＞0)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得

到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè))，OA=1,經(jīng)過點A的一次函數(shù)y=

依+公上40)的圖象與＞軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為。，的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，當(dāng)"慮面積的最大值時，求出此時點E的坐標(biāo);

18.已知拋物線y二辦？+fct+c(a＞0),頂點為(。，0).

(1)求6,c的值.

⑵若。=1時，如圖1,尸為y軸右側(cè)拋物線上一動點，過P作直線軸于點N,交直線/：y=gx+2于

M點、,設(shè)尸點的橫坐標(biāo)為機，當(dāng)2PM=/W時，求機的值.

(3)若a=l時，如圖2,直線y=浜+2與拋物線相交于A,B,當(dāng)43=3四時，求。的面積.

19.如圖，已知拋物線>=加+版+3與x軸交于4-1,0)、8(3,0)兩點，與y軸交于點C,連接BC.

(1)求拋物線的解析式;

⑵若點尸為線段3c上的一動點(不與8、C重合)，PM//y軸，且交拋物線于點M,交x軸于點N,

當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點尸的坐標(biāo).

20.已知：二次函數(shù)>=/+云+。的圖象與x軸交于A,B兩點，其中A點坐標(biāo)為(-3,0),與〉軸交于點C,

點。(-2,-3)在拋物線上.

⑴求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求出R4+PD的最小值；

(3)若拋物線上有一動點。，使三角形A8Q的面積為24,求。點坐標(biāo).

21.(24-25九年級?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖，二次函數(shù)的圖象與無軸交于4(-3,0)和3(1,0)兩點，交y軸

于點C(0,3),連接AC.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)如圖，過點尸作y軸的平行線交AC于點。，求線段尸。的最大值.

壓軸專題01二次函數(shù)（線段周長面積問題）

技法全歸納

考法一單線段最值

1.（1）設(shè)函數(shù)表達式上動點坐標(biāo)：設(shè)動點的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)表達式得到動點的縱坐標(biāo).

（2）表示豎直方向的線段長：結(jié)合函數(shù)圖象，用上方點的縱坐標(biāo)減去下方點的縱坐標(biāo)可得線段長.

（3）表示水平方向的線段長：結(jié)合函數(shù)圖象，用右側(cè)點的橫坐標(biāo)減去左側(cè)點的橫坐標(biāo)可得線段長.

（4）表示不與坐標(biāo)軸平行的線段長（斜線段）：第一步：以所求線段長為一邊構(gòu)造直角三角形；

第二步：找與其相似的直角三角形（一般情況下，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點構(gòu)成的直角三角形與其

相似）；第三步：利用三角函數(shù)或相似列等量關(guān)系求解.

考法二線段和（差）最值（將軍飲馬）

2.兩定點+一動點（動點在直線上）

（1）兩定點A,B位于直線1異側(cè)：如圖1,連接AB,與直線1的交點即為P,此時PA+PB的

最小值為AB的長；如圖2,作點B關(guān)于直線1的對稱點B',作直線AB',與直線1的交點即為P,

此時IPA-PB|的最大值為線段AB，的長.

（2）兩定點A,B位于直線1同側(cè)：如圖3,作點B關(guān)于直線1的對稱點B）連接AB）與直線

1的交點即為P,此時PA+PB的最小值為AB，的長；如圖4,連接AB并延長，與直線1的交點

即為P,此時IPA-PB|的最大值為線段AB的長.

圖3圖4

3.一定點+兩動點（動點分別在兩條直線上）

（1）如圖1,點P是定點，點A,B分別是直線4，右上的動點，作點P關(guān)于直線4的對稱點P'，

作PB_L/2于點B,交直線4于點A,此時PA+AB的最小值為線段PB的長.

(2)如圖2,點P是定點，點A,B分別是直線乙，上的動點，分別作點P關(guān)于兩直線的對稱

點P和P〃，連接PP〃，與兩直線交點即為點A,B,此時4PAB周長的最小值為線段PP"的

長.

圖1

4.兩定點+兩動點(動點分別在兩條直線上)

(1)如圖1,點P,Q是定點，點M,N分別是直線八4上的動點，分別作點Q，P關(guān)于直線4,

4的對稱點Q'和P'，連接QTT與兩直線交點即為點M,N,此時四邊形PQMN周長的最小值

為線段Q'P+QP的長.

(2)如圖2,點A,B分別是直線6，4上的定點，點M,N分別是直線上的動點，作點A

關(guān)于直線/2的對稱點A)作點B關(guān)于直線乙的對稱點B)連接A，B，交直線4于點M,交直線4于

點N,此時AM+MN+NB的最小值為線段A，B，的長.

考點三：二次函數(shù)中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：

1)當(dāng)所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下:

一般步驟為：①設(shè)出要求的點的坐標(biāo);

②通過割補將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積和或差;

③列出關(guān)系式求解；

④檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意.

2)用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.

3)利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個圖形中，如圖所示:

直線力〃直線n

S/XABC=S/\ABD=SAABE

一般步驟為：①設(shè)出直線解析式，兩條平行直線k值相等;

②通過已知點的坐標(biāo)，求出直線解析式；

③求出題意中要求點的坐標(biāo)；

④檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意.

等：典題固基礎(chǔ)

例題1.(24-25九年級上?江蘇連云港?模擬練習(xí))如圖，二次函數(shù)〉=。(％-1)2的圖象經(jīng)過點人(-1,4),與y

軸交于點8,C、。分別為無軸、直線無=1上的動點，當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時，則點。的坐標(biāo)

為.

【分析】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，對稱點的確定與求解，三線段和最小問題，分別構(gòu)造定點關(guān)

于X軸，對稱軸的對稱點是解題的關(guān)鍵.先把點A代入解析式，確定函數(shù)的表達式，根據(jù)A2的長是定值，

想使四邊形ABC。的周長最小，只需CB+CD+D4的和最小，為此過點A作對稱軸尤=1的對稱點E,作點

8關(guān)于x軸的對稱點色連接所，交無軸于點C,交對稱軸于點八，此時四邊形A58的周長取得最小值，

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：作點A關(guān)于對稱軸x=l的對稱點E,則E（3,4）,作點8關(guān)于x軸的對稱點尸,

連接跖交x軸于點C,交對稱軸于點。，此時四邊形ABC。的周長取得最小值,

將點A（T4）代入y=-丁得4a=4,

解得：a=l,

???拋物線解析式為y=（x-l『=f-2x+l,

二點8坐標(biāo)為（0,1）,

則點*0,-1）,

設(shè)CD所在直線解析式為y=mx+n,

/、/、[3m+n=4

將E（3,4）,尸（0,-1）代入得〃=,

一5

一"m=—

解得，3,

〃=-1

所以CO所在直線解析式為y=

2

當(dāng)％=1時，y=-,

故答案為:3

13

例題2如圖，已知二次函數(shù)了=-5好+：》+2圖象與x軸交于A,c兩點，與y軸交于點艮

(1)連結(jié)2(7,求直線BC的解析式；

(2)點P為該二次函數(shù)圖象在第一象限上一點，當(dāng)ABCP的面積最大時，求P點的坐標(biāo)及ABCP面積的最大

值.

【答案】(l)y=+2

(2)A3CP面積的最大值為2,此時尸(1,3)

【分析】(1)求出5,C兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解；

131

(2)過尸點作PQ〃，軸交BC于點Q,設(shè)尸億-萬產(chǎn)+了+2),則-z+2),然后構(gòu)建二次函數(shù)，利用

二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

13

【詳解】(1)解：?.?對于y=-5》2+：尤+2,

令龍=0,可得y=2,

.??5(0,2),

13

令y=0,可得/+—尤+2=0,

22

解得x=-l或4,

.?.A(-l,0),C(4,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+2,

4k+2=0,

解得左=I.

，直線BC的解析式為y=+2；

（2）解：過P點作尸?！▂軸交BC于點

131

P(t,——t2+—/+2),則Q。,--t+2),

1°311

...PQ=——t2+-t+2+-t-2=——t92+2t,

2222

.-.S=1x4x(-r+2力=-It2+4f=-2(r-I)2+2,

當(dāng)f=l時，ABCP的面積最大，面積的最大值為2,此時尸(1,3).

S新題型特3

1.（24-25九年級上?江蘇徐州?期中）如圖，二次函數(shù)y=-/+3x+4的圖象與x軸交于點A、B,與y軸

交于點C.點P是此函數(shù)圖象上在第一象限內(nèi)的一動點，過點尸作PELx軸于點E,交BC于點、G,作PF1BC

，點C的坐標(biāo)是,

（2）當(dāng)S“PCB=6時，求出點尸的坐標(biāo);

⑶當(dāng)APFG的周長最大時，求點P的坐標(biāo).

【答案】（1）（4,。），（0,4）

（2）。,6）或（3,4）

⑶（2,6）

【分析】本題主要考查考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法

求一次函數(shù)解析式等知識.

（1）分別令＞=0,x=0,即可求解;

（2）利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為y=-x+4,設(shè)點尸的坐標(biāo)為（機，-蘇+3機+4）,則點G的坐

標(biāo)為（私-機+4）,可得PG=-痙+4加，再根據(jù)Lcs=6,建立方程求解即可;

（3）先證得△PfG是等腰直角三角形，可得PF=FG=*PG,設(shè)點尸的坐標(biāo)為（",-/+3〃+4）,則點G

的坐標(biāo)為（〃廠"+4）,可得PG=-〃2+4〃，進而可得△PPG的周長，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】（1）解：當(dāng)y=。時，f；2+3x+4=0,

解得：士=4,%=-1,

3(4,0),4(-1,0),

當(dāng)x=0時，y=4,

.?.點。（0,4）；

故答案為：（4,0）；（0,4）:

（2）解：設(shè)直線BC的解析式為，=履+6,

把點（4,0）,（0,4）代入得:

4k+b=0k=-l

b=4,解得:

b=4

/.直線BC的解析式為y=-x+4,

設(shè)點尸的坐標(biāo)為。f2+3加+4）,則點G的坐標(biāo)為（機-機+4）,

PG=(-府+3m+4)-(—m+4)=—m2+4m,

S/CB-6,

：.-PGxOB=6,

2

即:(-m2+4m)x4=6

解得：機=1或3,

???點P的坐標(biāo)為（1,6）或（3,4）；

(3)解：??,點3(4,0)，點。(0,4),

OB=OC=4,

：.ZOBC=ZOCBf

丁ZBOC=90。,

???ZOBC=Z.OCB=45°,

????石，％軸，PF1BC,

/BEG=NPFG=90。,

：.ZPGF=ZBGE=45°,

???△瓦G是等腰直角三角形，

PF=FG=—PG,

2

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(〃-〃2+3〃+4),則點G的坐標(biāo)為+4),

PG=(-n2+3〃+4)-(-〃+4)=-+4〃,

???的周長=PG+PF+FG

???當(dāng)〃=2時，△尸尸G的周長最大，最大值為4亞+4,此時點尸的坐標(biāo)為（2,6）.

2.（24-25九年級上?江蘇徐州?期中）如圖，拋物線y=-%2+"+c與直線＞二犬+2相交于A（-2,0）,B（3,m）

兩點，與天軸相交于另一點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸是直線AB上方拋物線上的一個動點(不與43重合)，過點尸作直線尸軸于點￡),交直線

于點E,當(dāng)PE=2￡D時，求尸點坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，APAB的面積有最大值？

(4)拋物線上是否存在點M使的面積等于VA3C面積的一半？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=—Y+2x+8

⑵尸。，9)

【分析】(1)把3(3,m)代入y=x+2求出8(3,5),再用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=+2尤+8；

(2)設(shè)尸),-9+2/+8),則即J+2),￡>(f,0),由PE=2DE,可得一及+2r+8-。+2)=2。+2),解出f的值可

得戶的坐標(biāo)為(1,9)；

(3)根據(jù)5必扉=：2￡4。+；尸￡/7列出二次函數(shù)解析式求解即可；

(4)過M作院〃〉軸交直線于K,求出C(4,0),知AC=6,可求出/謝=15,設(shè)“(機，-機'+2機+8),

則K(?v〃+2),可得及長=卜汴+m+&,s=||-m2+/77+6|,根據(jù)AABM的面積等于ABC面積的一半，

有+/"+6|=5xl5,可得—毋+刃+6=3或—+〃?+6=—3,解出加的值可得答案.

【詳解】(1)解：把8(3,加)代入y=.x+2得：加=3+2=5,

???8(3,5),

把A(—2,0),3(3,5)代入y=——+—+。得：

J-4—2Z?+c=0

[-9+3b+c=5'

\b=2

解得。,

[c=8

拋物線的解析式為y=-/+2x+8；

(2)解:設(shè)尸產(chǎn)+2f+8),則EQJ+2),D(f,0),

?;PE=2DE,

.,.-r2+2r+8-(r+2)=2(r+2),

解得t=l或r=-2(此時P不在直線A3上方，舍去)；

二.尸的坐標(biāo)為(L9)；

⑶解：S^^PE-AD+^PE-h

^^PE\AD+h)

=-PEx5

2

.,?當(dāng)機=：時，等，

，O

此時尸

(4)解：拋物線上存在點M,使△河1的面積等于VABC面積的一半，理由如下:

過M作研〃y軸交直線AS于K,過點2作3E_LMK,延長A/K交無軸于點尸，如圖:

解得％=-2或%=4,

.?.4—2,0),C(4,0),

.-.AC=6,

???3(3,5),

?*-SvABC=-X6X5=15,

設(shè)+2m+8),則K(m,m+2),

/.MK=|—m2+2m+8—(m+2)|=|—m2+m+6|

：

?S^M=^MK-BE+^MK-AF=^MK(BE+AF)=^MK-\XB-XA\

*,*S/BM=4一根2+加+6,5=總—加2+加+6卜

QVABM的面積等于VABC面積的一半,

/.—I—m2+m+6|=—xl5,

21I2

/.|—m2+m+6|=3,

-m2+機+6=3或-m2+m+6=-3,

解得m=1±恒或機=1±厲，

22

一的坐標(biāo)為（子,匕為或占空，叮當(dāng)或上產(chǎn)，百亙）或占產(chǎn)

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸交點問題，解

一元二次方程，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度.

3.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，已知拋物線,=依2+云+c(awO)的對稱軸為直線x=-l,

且拋物線經(jīng)過A(1,O),C(O,3)兩點，與x軸交于點8.

⑴若直線＞=〃a+〃經(jīng)過8,C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x=-l上找一點使舷4+MC的值最小，求點〃的坐標(biāo)；

⑶設(shè)P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使ABPC為直角三角形的點P的坐標(biāo).

2

【答案】⑴y=x+3,y=-x-2x+3

⑵(T2)

⑶點P的坐標(biāo)為(--2)或(-1,4)或卜，三步1或一1，上產(chǎn)］

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、點的對稱性等;

(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)設(shè)直線BC與對稱軸x=-l的交點為跖則此時MA+MC的值最小，進而求解；

(3)分點B為直角頂點、點C為直角頂點、P為直角頂點三種情況，分別求解即可.

【詳解】(1)拋物線的對稱軸為直線x=-l,且拋物線經(jīng)過A。，。)，

/.8(-3,0),

設(shè)拋物線的表達式為y=a(x-D(x+3),

將C(0,3)代入上式得：3=a(O-l)(O+3),解得。=—1,

，拋物線的解析式為：丁=-(%-1)(%+3)=-爐一2彳+3；

3=〃

把8(-3,0),。(0,3)代入'=〃箕+〃得：

0=—3m+n

n=3

，解得

m=l'

，直線的解析式為y=x+3；

(2)設(shè)直線BC與對稱軸x=-l的交點為則此時MA+MC的值最小,

把x=T代入直線尸*+3得y=2,故M(T,2),

即當(dāng)點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為(-1,2)；

(3)設(shè)P(T。，

?.?3(-3,0),C(0,3),

ABC2=18,PB2=(-1+3)2+/12=4+?2,PC2=(r-3)2+l,

若點B為直角頂點時，貝I]BO?+pg=pc?,

即18+4+產(chǎn)=?-3)2+l,

解得t=-2；

若點C為直角頂點時，貝！JBP+PC?=P*,

BP18+(z-3)2+l=4+r

解得f=4,

若P為直角頂點時，則依2+尸。2=3。2,

4+產(chǎn)+(-3)2+1=18,

解得U延應(yīng)，

2

綜上，點P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-1,4)或-1,藥翌或卜1,

4.如圖，二次函數(shù)的圖像與無軸交于4(-3,0)和3(1,0)兩點，交y軸與點C(0,3),點C,。是二次函數(shù)圖象

上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖像過點B,D.

yyy

(i)求二次函數(shù)解析式；

(2)求出頂點坐標(biāo)和點D的坐標(biāo)；

(3)二次函數(shù)的對稱軸上是否存在的一點使ABOW的周長最??？若存在，求出M點坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

(4)若。是線段上任意一點，過點。作軸交拋物線于點P,則點尸坐標(biāo)為多少時，尸。最長？

【答案】(1)y=-犬-2尤+3

⑵頂點坐標(biāo)為(T4)；點C(0,3)關(guān)于對稱軸的對稱點D的坐標(biāo)為(-2,3)；

⑶存在，Af(-1,2)

⑷點P坐標(biāo)為時，尸。最長.

【分析】(1)由拋物線與無軸的交點坐標(biāo)人(-3,0)和3(1,0),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1),將點

C(0,3)代入求得。的值，即可得到答案；

(2)由y=—(x+3)(尤一1)=一/-2尤+3=-"+1)2+4,得到頂點坐標(biāo)，由拋物線的對稱軸為直線％=-1,得

到點D的坐標(biāo)；

(3)要使ABCM的周長最小，只需MB+MC最小即可，點A和3關(guān)于直線x=-l對稱，連接AC交直線x=-l

于點求出直線AC的解析式，求得交點M的坐標(biāo)即可；

(4)先求直線8D的解析式y(tǒng)=-x+l,設(shè)點尸的坐標(biāo)是?,-/-2/+3),則點。的坐標(biāo)是Q&f+l),表示

出尸。的長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可.

【詳解】(1)解：由拋物線與x軸的交點坐標(biāo)A(-3,0)和3(1,0),設(shè)拋物線的解析式為廣。(彳+3乂彳-1),

將點C(0,3)代入，得：-3a=3,

解得：a=-l,

貝U拋物線的解析式為y=-(x+3)(x—l)=—f-2x+3.

(2)y=—(x+3)(尤一1)=—尤2—2尤+3=—(x+l)~+4,

，頂點坐標(biāo)為(T,4),拋物線的對稱軸為直線x=-1,

點C(0,3)關(guān)于對稱軸的對稱點D的坐標(biāo)為(-2,3)；

(3)存在，要使ABCM的周長最小，只需MB+MC最小即可，

:點4和B關(guān)于直線尤=-1對稱，連接AC交直線x=-1于點

，MB=MA,

則MB+MC=AM+MC2AC,

.?.點M滿足題意，

設(shè)直線AC的解析式為尸丘+旭,把點A(TO)和C(0,3)代入得,

]一3左+m=0

則3，

|m=3

[k=\

解得2，

[m=3

，直線AC的解析式為y=x+3,

設(shè)點M的坐標(biāo)是“(T,〃)，

貝|]〃=-1+3=2,

即點M(-1,2)為所求.

(4)如圖,

設(shè)直線8￡>的解析式為y=PX+q,把點3(1,0)和點。(-2,3)代入得，

[0+4=0

[-2p+q=3'

解得尸；，

Iq=i

二直線8。的解析式為>=-尤+1,

設(shè)點尸的坐標(biāo)是—2,+3),則點Q的坐標(biāo)是Q&T+1),

則尸°=一/一2.+3—(—/+1)=——一/+2=—上+g[+',

a=-l<0,

19

.?.當(dāng)/=一(時，PQ有最大值為

24

-2-+3=，

此時_/_2r+3=_]_g)X(1}T

即點尸坐標(biāo)為,；，皆時，PQ最長.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)幾何綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(2022.江蘇鎮(zhèn)江.中考真題)一次函數(shù)y=；x+l的圖像與X軸交于點A,二次函數(shù)y=加+法+。(。H0)的

圖像經(jīng)過點A、原點。和一次函數(shù)y=gx+l圖像上的點-

圖1圖2

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖1,一次函數(shù)丁=3+九｝>-2九W1)與二次函數(shù)丫=依2+樂+C("0)的圖像交于點0(西,%)、

7

D(x2,y2)(王<龍2)，過點C作直線/Jx軸于點E,過點O作直線軸，過點5作①，4于點尸.

①再=,x2=(分別用含〃的代數(shù)式表示)；

②證明：AE=BF；

(3汝口圖2,二次函數(shù)y=a(xT)2+2的圖像是由二次函數(shù)y=G2+bx+c(aH0)的圖像平移后得到的，且與

一次函數(shù)y=gx+l的圖像交于點p、Q(點P在點。的左側(cè))，過點P作直線軸，過點。作直線

軸，設(shè)平移后點A、2的對應(yīng)點分別為A、B',過點A作于點M，過點3'作B'N，。于點N.

①AM與3W相等嗎？請說明你的理由；

②若AM+33'N=2,求?的值.

【答案】(l)y=f+2x

(2)①-3-'9+也-3+J9+16”；②見解析

44

⑶①A'M=3'N,理由見解析；②3

【分析】(1)通過一次函數(shù)表達式可以求出A、2兩點坐標(biāo)，將A、2、C三點坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式即

可求解；

(2)①通過聯(lián)立關(guān)系式可得：^x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到占,當(dāng)

的值；

②通過A(-2,0),6(-3-J9+1包二0)即可求出A2的長度;

通過嗚》即可求出政的長度;

（3）①通過二次函數(shù)平移前后的表達式可以確定新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移?+1）

個單位，向上平移3個單位得到的，從而可以得到：4。-1,3）,8,+看?）.通過聯(lián)立關(guān)系式可得：

1

（x-r）92+2=1x+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點八點。的橫坐標(biāo)，通過坐標(biāo)

即可表示出AM、B'N的長度.

②由①可得5-'8-15=’,求解即可.

42

【詳解】（1）令y=。，則1+1=0,解得槌=一2,

2

AA（-2,0）,

將點B1肛代入y=gx+l中，解得加=g,

???點B的坐標(biāo)為（《,?）.

24

將A（-2,0）,,。（0,0）代入丁=依2+法+。（。H0）可得：

4〃一2b+<?—0c1

{^-a+^-b+c=^-,解得：<6=2,

424八

八c=0

c=0i

???二次函數(shù)的表達式為y=d+2x.

（2）①：一次函數(shù)y=；x+〃1與二次函數(shù)y=ox2+6x+c（aW0）的圖像交于點C（X［，x）、

。3％）（王<々），

，聯(lián)立關(guān)系式得：—x+n=x~+lx,

整理得：x1+-x-n=G,

2

9

得

解4--3-j9+16z?,_+匕+4〃_-3+J9+16”，

24

—3—19+16〃—3+《9+16”

故答案為:,X->—

424

②當(dāng)〃>1時，CO位于A5的上方，?.?4（一2,0）、Bl

3一3+）+而二+J+4”-?+J+4〃

BF——2V4------12丫4

AE=-2-22

22222

JAE=BF,

9

當(dāng)一時，C。位于45的下方，同理可證.

16

故可得：AE=BF；

（3）方法一：

①???二次函數(shù)y=f+2兄圖像的頂點為,

二次函數(shù)y=（x-y+2的圖像的頂點為億2）,

???新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移?+1）個單位，向上平移3個單位得到的.

4（-2,0）的對應(yīng)點為A（I,3）,叫部勺對應(yīng)點為

91

聯(lián)立關(guān)系式可得：（％-。+2=]%+1,

整理得：-（2/+萬）冗+，+1=。，

815

△=-----,

4

當(dāng)/＞與時，解得：8=竺士巫三亙，*+1+反走,

8p464

,34f+l+V8r-155-V8/-154f+l—j8I5z,、5-y/8t-15

24444

AM=B'N.

②AM+3B'N=2,AM=B'N.

：.A'M=B'N=~,

2

.5—18t-151

??---------——,

42

解得f=3.

方法二：

①設(shè)P、Q平移前的對應(yīng)點分別為P、Q',則P'Q'〃尸Q.

則尸'。'〃48,

B'平移前的對應(yīng)點分別為A、B,

由（2）②及平移的性質(zhì)可知，AM=B'N.

②；直M+3B'N=2,

：.A'M=B'N=~,

2

到y(tǒng)軸的距離為3，點。是y軸與二次函數(shù)y=Y+2x的圖像的交點，

平移后點0的對應(yīng)點即為點Q.

???二次函數(shù)y=W+2尤圖像的頂點為（-1,-1）,

二次函數(shù)y=（x—）2+2的圖像的頂點為億2）,

...新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移。+1）個單位，向上平移3個單位得到的.

.\Q（t+l,3）,將點Q的坐標(biāo)代入y=*+l中,解得f=3.

另解：

AM+3B'N=2,

：.A'M=B'N=-,

2

叫,的對應(yīng)點為8"+|,野

,/B'N=-,

2

???點。的橫坐標(biāo)為r+1,代入產(chǎn);x+i,得y=

++將點。的坐標(biāo)代入y=（x-y+2中，解得f=3.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，聯(lián)立關(guān)系式求交點坐標(biāo)及利用點的坐標(biāo)表示線段的長

度，能夠熟練掌握函數(shù)中表示線段長度的方法，求交點坐標(biāo)的方法，熟練掌握用公式法解一元二次方程是

解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，拋物線y=o?+6x+3交x軸于A（3,0）,3（-1,0）兩點，交V軸于點C,動點尸在拋物線的對稱軸

上.

備用圖

(1)拋物線的函數(shù)表達式為;

⑵當(dāng)以P,B,C為頂點的三角形的周長最小時，求點尸的坐標(biāo)及△PBC周長的最小值.

【答案】(1)>=--+2x+3；

⑵點P的坐標(biāo)為(1,2),△P3C周長的最小值是3忘+W.

【分析】(1)將4(3,0),8(-1析)兩點代入即可求解;

(2)連接8尸、CP、AP,由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP,得至IjBP+CPnAP+CP,當(dāng)C、P、A三點

共線時，△P3C的周長最小，由此求出AC解析式，將P點橫坐標(biāo)代入解析式中即可求解；

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)對稱性求線段最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：：拋物線y=i+6x+3交x軸于