2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)

全等三角形解答題專題提升訓(xùn)練

1.如圖，在VABC中，。是邊BC上的點(diǎn)，DEIAC^^E,。尸_1鉆于點(diǎn)F，且DE=DF,CE=BF.求證：AB=AC.

2.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

(1)判斷AB"的形狀，并說明理由：

(2)寫出圖中還有哪些三角形與小OC全等(不要求說理).

3.在正方形AB。中，正方形的邊長(zhǎng)為。，點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AC上，連接￡8,過點(diǎn)E作EF_LBE

交直線AD于點(diǎn)F.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段A。上(不與端點(diǎn)重合)時(shí)，求證：？AFETABE-

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上(不與端點(diǎn)及點(diǎn)。重合)時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，探究線段4B,AE,"的數(shù)量關(guān)系并

證明；

(3)若點(diǎn)P在射線6上且PC=4島，點(diǎn)E從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)F隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).(用

含有。的代數(shù)式表示)

4.如圖，正方形ABCQ中，點(diǎn)E是BC邊上-?點(diǎn)，點(diǎn)尸是8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=DF,連接AE,AF.

(2)連接EF,取EF中點(diǎn)G,連接4G、CG、DG.

①依題意補(bǔ)全圖形，并求NCDG的度數(shù)；

②若DG=4iDF,用等式表示線段BC與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.如圖，在VMC的邊BC上取一點(diǎn)。，以。為圓心，0c為半徑畫0。，。。與邊AE相切于點(diǎn)。，AC=AD.

(1)求證：AC是＜3。的切線；

(2)若tanNCAO=；,求tanZB.

6.如圖，點(diǎn)E,C,D,A在同一條直線上，AB//DF,AB=DE,ZB=ZE.

⑴求證：△ABCiSADEF

(2)若AB=8,CD=2,求EC的長(zhǎng)度.

7.如圖，在VABC中，點(diǎn)D、E分別為BC、4B上一點(diǎn)，連接AD、CE交于點(diǎn)F,若NACE=NBCE=NB,且AD_LCE.

A

⑴當(dāng)AB=2時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

Q)當(dāng)EF=3x,CF=8x時(shí)，求器的值.

8.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這

個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知紙片VABC和VADE中，AB=AD=上,ZABC=ZADE=90°,ZBAC=ZDAE=60°.

【初步感知】

(1)如圖1,在紙片YWE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ATI恰好平分—B4C時(shí)，ED與AC相交于點(diǎn)貝|/加=.

【深入探究】

(2)如圖2,在紙片V4)E繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在VABC的角平分線aw的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)EO交

AC于點(diǎn)F,求的長(zhǎng).

【拓展延伸】

(3)在紙片VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C,D,E三點(diǎn)能否構(gòu)成以ED為直角邊的直角三角形.若能，直

接寫出所有滿足條件的RSCDE的面積；若不能，請(qǐng)說明理由.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

9.如圖，在陽(yáng)AABC中，ZC=90°,OE垂直平分AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)￡>,并且。C=DE.

(1)求4的度數(shù)；

(2)若QB=12,求BC的長(zhǎng).

10.如圖，在VABC中，AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,/是直線EF上

的動(dòng)點(diǎn).

①若ME=1,則點(diǎn)/到AB的距離為

②若NCMD=30。，CD=3,求ABCM的周長(zhǎng)；

⑵若BC=8,且VABC的面積為40,貝!!VCDM的周長(zhǎng)的最小值.

11.如圖，在VMC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)在直線/上，Z1=Z2=Z3,求證：DE=BD+CE.

DAE1

證明：???Za4E=Zl+Z

即Z2+Z=Z1+Z

z=z

(請(qǐng)繼續(xù)完成證明過程)

12.【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A,3分別在射線PN上，過點(diǎn)A垂直的直線與過點(diǎn)8垂直

PN的直線交于點(diǎn)Q,則我們把/A。稱為L(zhǎng)的“邊垂角”.

(1)如圖1,CD,BE分別是VABC的兩條高,兩條高交于點(diǎn)尸，根據(jù)定義，我們知道NDBE是/DCE的“邊垂角”或“DCE

是NDBE的“邊垂角”，皿IE的“邊垂角”是;

⑵若NAQB是NAPB的“邊垂角”，則與NAPB的數(shù)量關(guān)系是;

(3)若ZACD是-ABD的“邊垂角”，且鉆=AC.如圖2,BD交AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)。至尸，使DF=CD,連接EF,

且/C4F=45。，寫出BE、CF、CE的數(shù)量關(guān)系并證明.

13.如圖1,在VMC中，AB=AC=5,BC=6,動(dòng)點(diǎn)戶從點(diǎn)C出發(fā)，按C—A—B—C的路徑運(yùn)動(dòng)(回到C點(diǎn)停止),

且速度為每秒2個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為『秒.

(1)在VABC中BC邊上的高長(zhǎng)為;AC邊上的高長(zhǎng)為；

⑵當(dāng)CP_L>iB時(shí)，求，的值；

(3)如圖2,若是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的「的值.

14.定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形.

(1)如圖1,已知四邊形鉆8是箏形，則其對(duì)角線AC與她滿足的關(guān)系是;

(2)如圖2,RtZVlBC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,P為線段BC上一點(diǎn)，將ARIB沿AB向外翻折得AZMB,將“AC

沿AC向右翻折得AE4C,連接DP,若APLDE,判斷四邊形ADPE是否為箏形，請(qǐng)說明理由，并求出PC的長(zhǎng)；

(3)如圖3,四邊形ABCD中，AB=4后，BC=6,8=2百，點(diǎn)E在BC上，ZAED=120°,當(dāng)BE=4時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD的

最大值.

15.如圖，在VABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BD=AC,連接DA并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,連接BE,CE,且___.求證：.

(1)給出下列信息：①②AB=CE；③皮>=8.請(qǐng)從中選擇兩個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，分別

填入橫線上，使之構(gòu)成真命題，并加以證明；

⑵在(1)的條件下，若AD=4,AC=6,求tanZAEC.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)全等三角形解答題專題提升訓(xùn)練》參考答案

1.詳見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)垂直定義可得NCED=NMD=90。，然后利用SAS證明

ABDFMACDE,即可解答.

【詳解】證明：■：DEYAC,DFVAB,

：.ZCED=ZBFD=90°.

在iCDE和7BDF中，

DE=DF,

■NCED=NBFD,

CE=BF,

：.&CDE沿甌F,

ZC=ZB,

二AB=AC

2.(1)ABOC是等腰直角三角形，見解析

(2)VAOB和△COD和△DOA都與ABOC全等.

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的定義，全等三角形的判定.

(1)先根據(jù)正方形的四邊相等即對(duì)角線相等且互相平分的性質(zhì)，可得〃。8=3=48=48=對(duì)，OC=OB,再

根據(jù)等腰三角形的定義即可求解.

(2)先根據(jù)正方形的四邊相等即對(duì)角線相等且互相平分的性質(zhì)，可得々。8=々叱="。。=々8=90。，

AO=OD=OC=OB,再根據(jù)等腰三角形的定義結(jié)合全等三角形的判定即可求解.

【詳解】(1)解：印"是等腰直角三角形，理由如下，

:正方形ABCD,

/.ZAOB=ZBOC=Z.COD=ZAOD=9QP,OC=OB,

ABOC是等腰直角三角形；

(2)解：：正方形AB8,

ZAOB=ZBOC=Z.COD=ZAOD=^r,AO=OD=OC=OBf

；?NAOB和/\COD和△ZXM者B與^BOC全等.

3.⑴見解析

(2)AB=Vl4￡+AF或=.證明見解析

(3)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)及互余的關(guān)系即可證明結(jié)論；

(2)過E作P2〃AE,交AD于P,交BC于。，分兩種情況：①當(dāng)當(dāng)E在AO上，②當(dāng)E在。C上，利用正方形的性

質(zhì)，證明AFPEMAEQ3(AAS),由線段的和差關(guān)系可求解；

答案第1頁(yè)，共21頁(yè)

（3）連接BP,作BP_LP2,交AD于。，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，

過點(diǎn)￡作到1,EN分別垂直AB,AD,交于點(diǎn)M,點(diǎn)N,過點(diǎn)E作EG_LEC,交CB的延長(zhǎng)線于G,連接FG,由正

方形的性質(zhì)可得AB=BC=a,NS4C=ZACB=45。="AM=ZR4。，則VABC,AAEM,AAEN,VEGC為等腰直角三角形，

證明AB￡M%FEN（ASA）,AFEG、BEC（SAS）,得四邊形FGCD是矩形，貝ljED=CG=V^EC,可知當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)尸從點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)P時(shí)，EC=PC=4&,,此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)Q重合，F(xiàn)D=QD=WX=4&a.

【詳解】（1）證明：：EF_LBE,

ZF￡B=90°,

又；四邊形的8是正方形，

440=90。，

/.ZFAB=90°

又丁ZAGF=ZEGBf

/.ZAFE=^-ZAGF,

ZABE=900-ZEGBf

???AFE1ABE?

（2）解：鉆=加4￡+4戶或鉆=0的-跖.理由如下：

過E作PQ〃AB,交AD于尸，交5c于Q,如圖1、圖2,

①當(dāng)E在A0上，如圖1,

：?ZABE=NBEQ,由(1)得ZF=ZABE,

ZF=ZBEQf

又???矩形ABQP,

BQ=PA=PE,

二.JPE二△EQB(AA^),

：.EQ=PF,

又NEPF=NEQ8=90。,ZDAC=45°,

APAE=APEA=45°,PA=PE,AP2+PE2=AE2,貝!]AP=PE=苧AE,

AB=PE+EQ=PE+PF=PE+AP+AFf

AB^y[2AE+AF;

答案第2頁(yè)，共21頁(yè)

②當(dāng)E在。C上，如圖2,

*.*NEPF=ZEQB=90°,ZDAC=ZACB=45°,

則君0=C0,PQ=BC,

：.PE=BQ,

/.ZFEP+ZBEQ=90°,ZEBQ+ZBEQ=90°,

/.ZFEP=ZEBQ,

/.△FPE%EQ3（AAS）,

EQ=PF,

同理：AP+PE=y/2AEf

I.AB=PE+EQ=PE+AP-AF,

AB=y/2AE-AF;

綜上所述：AB=y/2AE+AFAB=y/2AE-AF;

（3）解：連接第，作熊_LP0,交AD于Q,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)尸時(shí)，點(diǎn)方與點(diǎn)Q重合,

過點(diǎn)E作硒分別垂直A3,AD,交于點(diǎn)“，點(diǎn)N,過點(diǎn)E作石G_L石C,交CB的延長(zhǎng)線于G,連接對(duì)，如圖

3,

圖3

由正方形的性質(zhì)可得鉆=BC=a,ZBAC=ZACB=45°=ZPAM=ZPAQ,貝iJVABC,,△/㈤V,VEGC為等腰直角三

角形,

EM=EN,ZMEN=9伊=/EMB=/ENF,

*.*BE±EFfH*/BEM+ZNEB=ZNEB+/FEN,

NBEM=NFEN,

：.△BEM^AF￡^（ASA）,

EF=EB,

又???VEGC為等腰直角三角形,

：.ZECG=ZEGC=45°fEG=EC,NGEC=90。,

貝（jZFEG+ZGEB=ZGEB+ZBEC,CG=屈EC,

ZFEG=ZBEC,

答案第3頁(yè)，共21頁(yè)

AFEGMABEC(SAS),

ZFGE=ZECG=45°,FG=BC=CD,

ZFGC=90°,

四邊形FGCD是矩形,則FD=CG=-J2EC,

，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。，

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)/時(shí)，EC=PC=40a,

此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)。重合，F(xiàn)D=QD=^EC=4Ra,

故點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為4#a.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)

等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的

關(guān)鍵.

4.(1)見解析

⑵①45。，圖見解析；②BC=3BE,證明見解析

【分析】(1)先利用正方形的性質(zhì)，證明=ZB=ZADC=ZDAB=90°,再利用ASA證明尸，然后根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出血￡=卬F，兩邊加上可得結(jié)論成立；

(2)①先利用正方形的性質(zhì)，證明">=CD=BC,ZECF=90%再利用SSS證明AADGMACDG,然后根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得出NCDG=ZA￡>G,再求得NCDG的度數(shù)；

②先寫出結(jié)論，再證明.先證明=再設(shè)DF=ZW=a,然后用“分別表示出CH,CD,從而可得出結(jié)論成

立.

【詳解】(1)證明：?.,正方形AB8,

:.AB=AD,ZB=ZADC=ZDAB=90a.

:.ZB=ZADF=90P.

:BE=DF,

.^ABE=：￡^ADF,

:.ZBAE=ZDAF.

:.ZBAE+ZDAE=ZDAF+ZDAE.

即AFAE=ZDAB=9Q°.

(2)①補(bǔ)全圖形如圖：

FDC

如圖，連接AG,CG.

答案第4頁(yè)，共21頁(yè)

DHC

口正方形ABCD,

AB

:.AD=CD=BC,ZECF=90。.

??,點(diǎn)G是匹中點(diǎn),

:.CG=-EF=FG.

2

?.?NB1E=9O。，點(diǎn)G是竹中點(diǎn)，

/.AG=-EF.

2

:.AG=CG,

\AD=CDfDG=DG,

:.^ADG^CDG.

:.ZCDG=ZADG.

ZCDG=-ZADC=45°

2

②結(jié)論：BC=3BE.

證明：過點(diǎn)G作G"_LCZ）于點(diǎn)H,

ZCDG=45°,

DG=42DH.

DG=42DFf

:.DF=DH.

設(shè)DF=DH=a.

VCG=FGfGH±CF,

CH=FH=2a.

：.AG=CG.

：.CD=3a.

BC=CD=3a,BE=DF=a,

BC=3BE.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，ASA,SSS,全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握上

述知識(shí)并能熟練運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

5.（1）證明見解析；

（2）|.

【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角

形，勾股定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（1）連接。。，證明&4。（7021?！辏?得至l]NOG4=NOZM=90。，即可得出結(jié)論；

答案第5頁(yè)，共21頁(yè)

（2）設(shè)。。與BC的另一交點(diǎn)為F,連接CD交A。于點(diǎn)E,連接DF,證明AAECMAAED,得到NAEC=ZAED=90。，進(jìn)

一步得到“CE=NCA。，設(shè)OC=OD=1,貝!!AD=AC=3,根據(jù)勾股定理得到40=廂，設(shè)OE=x,則CE=3x,根據(jù)勾

股定理得到y(tǒng)+（3療=f,解得OE=坐，再求出奸=羋，證明ABDFSABAO,得到照=黑，設(shè)助=>,則

105DAAO

回

BA=BD+AD=y+3f則上=口2，求得瓦），即可求解.

y+3一瘋

【詳解】（1）證明：連接“，如圖：

OD.LAB,§PZOm=90°,

在加。。和△AOD中，

AC=AD

"OC=ODf

AO=AO

△AOC/AAOD（SSS）,

，ZOCA=ZODA=90°f

OC±ACf

*e?AC是O。的切線；

（2）解：設(shè)。。與BC的另一交點(diǎn)為廣，連接CD交A0于點(diǎn)E,連接DF,如圖:

△AOC*AAOD,

...ZOAC=ZOAD,

在△AEC和AAED,

AC=AD

-ZOAC=ZOAD,

AE=AE

：.△AEC^AAED(SAS),

ZAEC=ZAED=90°,

ZOEC=90P,

ZAOC+ZCAO=90°,ZAOC+ZOCE=90°,

ZOCE=ZCAOf

ori

在RUACO中,tanZC4O=—=-,

設(shè)OC=O￡>=1,貝！］AD=AC=3,

答案第6頁(yè)，共21頁(yè)

AO=>JAC2+OC2=V32+I2=Vib，

,/NOC￡=NC4O,

OF1

tanZ.OCE=----=tanZ.CAO=—,

CE3

設(shè)O￡=%,貝（jC￡=3%,

在RtAOEC中，OE2+CE2=OC2,即％?+⑶7=I2,

解得：戶嚕（負(fù)值已舍去），

：.OE=叵,

10

,.,C/是。。的直徑，

...NCD尸=90。，

ZCDF=ZOECf

OE//DF,

OC=OFf

?M

??DF—2OE=2x-----=,

105

VOE//DF,SPDF//OA,

△BDFs^AO,

,BD_DF

**~BA~~AO'

設(shè)3￡>=y,貝|JBA=BD+AD^y+3f

Vw

I.y_工,

y+3一至

解得：y],

3

???％，

/n814

在RCOOB中，tan=BD=J=3.

4

6.（1）見詳解

（2）6

【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理證明

△ABCgADE尸是解題的關(guān)鍵.

（1）由至〃￡>尸，得ZA=4D石，^ZB=ZE,AB=DEf即可根據(jù)"ASA”證明△ABC當(dāng)ZkOfF；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得麴=龐=8,再根據(jù)線段的和差求解即可.

【詳解】（1）證明：*：AB//DF,

:.ZA=AFDE,

在VABC和ADEF中

ZA=NFDE

AB=DE

NB=NE

答案第7頁(yè)，共21頁(yè)

.".△ABC^A￡>EF(AS4)；

(2)M：由(1)知△ABCgZXO石尸，

.-.AB=DE=8f

■CD=2,

:.CE=DE-CD=S-2=6.

7.（1）CF=1

⑵A

v7CD5

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)，正確做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

（1）由ZBCE=ZB得BE=CE,如圖，作加/〃BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,證明NACE=NBCE==NH=ZE4H得

AH=AC.AE=HE,求出CH=AB=2,然后利用三線合一即可求解；

4EJAI?S

（2）證明AWADC*ASA）得AH=DC,求出AE=HE=5x,BE=CE=llx.證明聞必仁比￡得=；=$=1，進(jìn)而可

￡>CBE11

求中些_色

本出8一5.

【詳解】（1）解：???ZBCE=ZB,

BE=CE.

如圖，作AH/"。交C￡的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

貝(J/H=ZBCE,ZEAH=ZB,

NACE=ZBCE=NB,

NACE=NBCE=NB=ZH=NEAH,

/.AH=AC,AE=HEf

*；CH=CE+HE,AB=BE+AE,

：.CH=AB=2.

AD±CEf

/.CF2cH=1.

(2)在AAHF和△DCb中，

ZH=ZDCF

HF=CF,

ZAFH=ZDFC

：.△AHF'DCF(ASA),

AH=DC,

'：EF=3x,CF=Sx

AE=HE=HF-EF=8x-3x=5x,BE=CE=3x+8x=1lx.

答案第8頁(yè)，共21頁(yè)

VAH//BC,

小AHEs小BCE

.AH_AE_5x_5

**~BC~^E~nx~Uf

?CD_5

**BC-TT,

.BD_6

**CD-5*

8.(1)1；(2)-1+5(3)竽或竽或30

【分析】(1)根據(jù)題意得出NDAM=g/BAC=30。，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解.

(2)過點(diǎn)〃作時(shí)V_LEF于點(diǎn)N,根據(jù)題意證明A&WD是等腰直角三角形，設(shè)MF=2x,則NF=x,勾股定理求得

AD=3x+,得出x=/,即可求解；

(3)證明AABC%ADE(AAS),分兩種情況討論，①當(dāng)NCDE=9O。，②ZDEC=9O。，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理，

以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：(1)VZBAC=ZDAE=m=,AZ)恰好平分NBAC,

ADAM=；NBAC=30°,

,/ZABC=ZADE=90°,

..AM=2DM,

AD=^AM2-DM2=y[3DM，

又,**AD=G,

y/3DM=y/3,

DM=\-

故答案為：1.

(2)解：如圖所示，過點(diǎn)M作相v_L￡F于點(diǎn)N,

???是-ABC的角平分線,

ZABD=-ZABC=45°,

2

AB=AD,

ZADB=ZABD=45°,

答案第9頁(yè)，共21頁(yè)

442)=90。,

又丁ZADE=90°,

ZADE=ZBAD,

/.AB//EF,

：.ZAFD=ZBAC=60°f

...ZNMF=900-ZAFD=30°,

，MF=2FN,

設(shè)MF=2x,貝|JNF=x,

MN=岳,

?.?ZNDM=ZABD=45°f

???△MND是等腰直角三角形，

DN=MN=y/3x,

/.DF=FN+DN=x+y/3x,

???在中，ZAFD=60°f

ZFAD=30°,

AF=2DF,

22

**.AD=\lAF-DF=yl3DF=y/3f

DF=1,

/.X+y/3x=1,

解得：”三",

??MF——14"\/3;

(3)VAB=AD=y/3fZABC+ZADE=90°fABAC=ZDAE=&)0,

/.AABC^AADE(ASA),

AC=AE=2AB=2百,DE=BC=6AB=3,

①當(dāng)NCD￡=90。時(shí)，

ZADE=ZCDE=90°f

：.A,D、C共線，

當(dāng)。在AC上時(shí)，DC=AC-AD=2《S&如圖，

Rt^CD石的面積為:CDQE=；&X3=￥；

如圖所示，當(dāng)。在C4的延長(zhǎng)線上，DC=AC+AD=2&6=36,

答案第10頁(yè)，共21頁(yè)

D

A

EBL

/.R3CQE的面積為gcD.D￡=；x3x3/=券；

②如圖所示，當(dāng)“￡C=90。，

ZAED=90°-ZZM￡=30°,

ZA￡C=60°,

*.*AC=AEf

AAEC是等邊二角形,

??EC=AE=AC=2>/3,

R3CDE的面積為goEC右=gx3x26=3g.

綜上所述,所有滿足條件的R%CDE的面積為竽或竽或36.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性

質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì).熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.(1)30°

⑵18

【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，比較

簡(jiǎn)單.

(1)連接AD,根據(jù)。石垂直平分AB得出NC=Z/?=90。，AD=BD,根據(jù)8=0石，得出AD是的角平分線，

即可得NC4D=miB=ZB,根據(jù)4=90。和三角形內(nèi)角和定理得出ZB=NGW=〃4B=30。；

(2)根據(jù)D石4=30。，得出?！?6,根據(jù)角平分線定理得出DC=Q石=6,即可得5。=8+3。=18.

【詳解】(1)解：連接AD,

C

AEB

*.*OE垂直平分AB于點(diǎn)E,

/.ZC=ZAED=90°,AD=BD,

ZDAB=ZB,

又,:CD=DE,

???AD是-CAB的角平分線,

答案第11頁(yè)，共21頁(yè)

ZCAD=ZDAB,

/.NCAD=ZDAB=/B,

\*ZC=90°,

ZJB=^CAD=ZDAB=30°?

(2)解：VDEJ.AB,4=30。，

BD=2DE=12f

DE=6,

AD平分/CAB,ZC=90°,DELAB,

DC=DE=6,

BC=CD+fiD=18.

10.(1)①1;②18；

(2)VCDM的周長(zhǎng)最小值為14.

【分析】本題考查了軸對(duì)稱求最短距離，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的

性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)①由MDUC,。是的中點(diǎn)，則“。垂直平分5C,連接出，又AB=AC,則A,M,。三點(diǎn)共線，由角平

分線性質(zhì)即可求解；

②由題意可知=MD平分N3MC,可判斷/CM是等邊三角形，再求解即可；

(2)連接AZ),AM,由E尸垂直平分AC,貝！=又AB=AC,。是5c的中點(diǎn)，所以W3C,由AM+MA4),

則A,M,。三點(diǎn)共線，此時(shí)△CMD的周長(zhǎng)的值最小，此時(shí)△CMD的周長(zhǎng)值最小，最小值為AD+CD.

【詳解】(1)解：①。是的中點(diǎn)，

???”￡)垂直平分5C,

連接AM,

*.*AB=ACf

???點(diǎn)A在線段叱的垂直平分線上,

:.A,M,。三點(diǎn)共線，

3平分/HAC,

VMEVAC,ME=\f

???點(diǎn)〃到AB的距離為1,

答案第12頁(yè)，共21頁(yè)

故答案為：1;

②???。是8C的中點(diǎn)，MD1BC,

垂直平分8C,

/.MB=MC,

?，?MD平分N3MC,

，ZBMC=2NCMD=60°,

ABCM是等邊三角形，

BC=BM=MC,

???。是的中點(diǎn)，

BC=2CD=6,

BM=MC=BC=6f

：.出⑦/的周長(zhǎng)為3C+5M+MC=18；

(2)解：連接AD,AM,

;石尸垂直平分AC,

AM=CM,

?：AB=ACf。是5C的中點(diǎn)，

ADLBC,

*.*AM+MD>ADf

???當(dāng)A,M,。三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)△CM。的周長(zhǎng)的值最小，最小值為仞+8的長(zhǎng)，

VBC=S,VABC的面積為40,

AD=10f

是5C的中點(diǎn),

CD=4,

AD+CD=14f

△CM。的周長(zhǎng)最小值為14.

H.見解析

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等

答案第13頁(yè)，共21頁(yè)

的判定方法.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出加。=NC4￡,證明AABDMAC4E(AAS),得出4?=BD,AD=CE,然后證

明結(jié)果即可.

【詳解】證明：???NBAE=N1+NAB￡>,

即Z2+ZC4E=Z1+ZABD,

又?.-=△,

:.ZABD=Z.CAE,

VZ1=Z3,AB=AC,

/.Z\ABD^AC4E(AAS),

AE=BD,AD=CEf

DE=AD+AE=BD+CE.

12.(l)ZDFE

(2)ZAQB=ZAPB或ZAQB+ZAPB=180°

G)BE=CF+CE,證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和定理：

(1)根據(jù)“邊垂角”的定義即可得到答案；

(2)分兩種情況畫出圖形，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及等角的余角相等即可得出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)"AC。交于點(diǎn)G,先證明AABE&ACG(ASA),再證明AAGF%A￡F(SAS),依據(jù)題意得出GF=EC,再證明

AEDF%EDC(SAS),則EF=EC,最后由線段和差結(jié)合等量代換即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解:根據(jù)“邊垂角”的定義，NZME的“邊垂角”是ZDFE;

(2)解：若4。是上4PB的“邊垂角”，分兩種情況

①如圖,■■■^AQB是ZAPB的“邊垂角”，

AQ±PA,BQLPBf

/.ZAQB+Z1=90°,ZAPS+Z2=90°,

?/Z1=Z2,

ZAQB=ZAPBf

②如圖,

?;NAQB是1"8的“邊垂角”,

:.AQ±PA,BQ±PBf

ZPAQ=90°,ZPBQ=90°,

ZPAQ+ZAQB+ZAPB+ZPBQ=360°,

答案第14頁(yè)，共21頁(yè)

ZAQB+ZAPS=180°,

綜上所述，/AQB與NAPB的數(shù)量關(guān)系是^AQB=ZAPB或ZAQB+ZAPB=180°；

(3)解：BE=CF+CE,

證明：延長(zhǎng)"AC。交于點(diǎn)G,

CG±BD,BG±AC,

.?.ZABE+ZAEB=90°,ZAC￡)+Z￡)EC=90o,

?;ZAEB=NDEC,

:.ZABE=ZACFf

BGLAC

:.ZBAE=ZCAG=90°,

AB=ACf

△ABE%ACG(ASA),

/.AG=AE,BE=CG,

?.?NE4c=45。，

ZGAF=90°-ZFAC=45°,

：AF=AF,

AAGF^AAEF(SAS),

:.GF=EF,

CGLBD,

ZEDF=ZEDC=90°f

VDC=DFfED=ED,

：.△EDF^A￡DC(SAS)

:.EF=ECf

:.BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE,

:.BE=CF+CE.

24

13.(1)4,y;

答案第15頁(yè)，共21頁(yè)

⑵果

(3)為■秒或5秒或5秒或1秒.

【分析】⑴根據(jù)等腰三角形的三線合一定理可知BE=CE=3,ZAEB=ZAEC=90°,利用勾股定理可求A￡=4,再利

用三角形的面積公式可得:X6X4=?5XBD,從而可求BD的長(zhǎng)；

⑵過點(diǎn)C作CP_LAB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知EQ=PC=。利用勾股定理定理求出AP4可得：04+"=/,

再根據(jù)點(diǎn)戶運(yùn)動(dòng)的速度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，；

⑶當(dāng)AACP是等腰三角形時(shí)分：當(dāng)AC=PC=5時(shí)、當(dāng)AP=AC=5時(shí)、當(dāng)AP=PC時(shí)，共四個(gè)滿足條件的點(diǎn)，根據(jù)情況

求解.

【詳解】（1）解：：,在VABC中，AB=AC=5,BC=6,AE±BC,

.-.BE=CE=-BC=3,ZAEB=ZAEC=90°,

2

:.AE=y]AC2-EC2=>/52-32=4,

S=-BCAE=-ACBD,

“ABCC22

—x6x4=—x5xBD.

22

24

:.BD=—,

5，

故答案為：4,y;

（2）解：如下圖所示，過點(diǎn)。作CPLAB,

???S4ABe=1ACBD=|ABPC,

24

:.BD=PC=—.

5

在狡中，AP=43—0產(chǎn)=/一（引=1,

732

/.CA+AP=5+-=—,

55

32c16

/./=—+2=---

55'

(3)解：如下圖所示,

當(dāng)AC=PC=5時(shí)，是等腰三角形,

過點(diǎn)。作CF_LAB,

__7

由⑵可知F『，

7

..FP=AF=-,

5'

14

AP=2AF=—,

5，

AC+AP=5+—=—

55

竺+2=羽秒;

510/

答案第16頁(yè)，共21頁(yè)

A

BEC

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，AP=AC=5f

:.AC+AP=10f

.」=10+2=5秒；

如下圖所示，當(dāng)AC=PC=5時(shí)，

?；BC=6,

:.BP=BC-PC=6-5=lf

:.AC+AB+PB=5+5+l=ll,

，r=li+2=：秒；

如下圖所示，當(dāng)⑷3=PC時(shí)，

過點(diǎn)尸作尸尸UC,貝l|AF=CF=；4c=]

由⑴可知BE=CE=3,A￡=4,

設(shè)尸￡=%,貝！］PC=3+%,

在RGAPE中，AP=y/pE2+AE2="+/=&+16，

.'.-\A?+16=x+3f

解得：％=（；

6

:.BP=BE-PE=3一一7=—11,

66

:.AC+AB+PB=5+5+—11=—71,

66

綜上所述，若△AC?是等腰三角形，，的值為卷秒或5秒或2秒或弓秒.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，是三角形綜合題，解決本題

的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論的思想，分情況解答.

14.(1)AC垂直平分B3

⑵*3

(3)873

答案第17頁(yè)，共21頁(yè)

【分析】(1)由箏形可得=BC=CD,即AC垂直平分ED；

(2)由折疊的性質(zhì)可得A￡>=AP=AE,PH=DH,PC=CE,ABLDP,AC±PE,由等腰三角形的性質(zhì)可得AP垂直

平分DE,即￡>P=PE,可證四邊形ADPE是箏形，由面積法可求PC的長(zhǎng)；

(3)由折疊的性質(zhì)可得AB=AG=4C,BE=GE=4,CE=EH=2,CD=DH=2幣,NBEA=NGEA,NCED=NHED,可證

NGHE=90。,由勾股定理可求GH的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】(1)解：；四邊形鉆8是箏形，

AB=AD,BC=CD,

AC垂直平分BD;

故答案為：AC垂直平分BD;

(2)解：四邊形ADPE是箏形，理由如下：

如圖2,設(shè)AB與。戶交于點(diǎn)H,

圖2

由折疊的性質(zhì)得4>=”=鉆，AB垂直平分DP,AC垂直平分PE,

:?PH=DH,PC=CE,ABLDP,AC±PEf

AP工DE,

?I布垂直平分。石，

DP=PE,

???四邊形?配是箏形，

VDP=PE,PH=DHfPC=CE,

：.PH=PC,

VZACB=90°fAC=3,BC=4f

AB=y]AC2+BC2=5

XX

sARP=2-AC2BP=-ABPH

/.3(4-CP)=5CP,

3

???c尸=]；

(3)解：如圖