2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷

【人教版】

考試時間：120分鐘；滿分：120分；考試范圍：第16~18章

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共25題，單選10題，填空6題，解答9題，滿分120分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋

面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（24-25八年級?廣東深圳,期中）下列計算中，正確的是（）

A.V2+V3=V5B.3A/2—V2=3

C.V12+V3=4D.V12XV3=6

2.（3分）（24-25八年級?江蘇揚州?期中）如圖，長方形中，AB=3,AD=1,AB在數軸上，若以點4為

圓心，AC的長為半徑作弧交數軸于點M,則點M表示的數為（）

D

-1012

A.V10B.V10-1C.V5D.Vs-1

3.（3分）（24-25八年級?吉林長春?期中）如圖，在AABC中，乙4=38。,AB=4C,點。在AC邊上，以CB、CD

為邊作團BCDE,貝叱E的度數為（）

A.71°B.61°C.51°D.41°

4.（3分）（24-25八年級?山東濟寧?階段練習）要把（2-乃層中根號外的因式移入根號內，下面式子正

確的是（）

A.yjx—2B.V2—xC.-V2—xD.-yjx—2

5.（3分）（24-25八年級?河南開封?期中）如圖，在四邊形ABC。中，=3,BC=y[2,CD=1,AD=V12,

^BCD=90°,則四邊形ABCO的面積為（）

1

D

C.2+2VnD.3+V21

6.（3分）（24-25八年級?湖北十堰?期中）如圖，矩形4BCD中，A8=6,點E是力。上一點，且。E=2,

CE的垂直平分線交C8的延長線于點凡交CD于點、H,連接EF交42于點G.若G是4B的中點，則8c的長

是（）

AED

FB

7.（3分）（24-25八年級?山東東營?期中）己知三角形的三邊長分別為a,b,c,求其面積問題，中外數

學家曾經進行深入研究，古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式S=Jp（p-a）（p-6）（p-c）,其

中「=亨，我國南宋時期數學家秦九韶（約1202—1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公

式S="a2b2_（空于上）2.若一個三角形的三邊長分別為2,3,%則其面積是（）

8.（3分）（24-25八年級?江蘇南通?期中）已知兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重疊部分構成一個四邊

形A8CD,對角線"=8,BD=6,過點。作。H148于點H,則DH的長是（）

A.2.4B.4.8D.9.6

9.（3分）（24-25八年級?四川眉山?期中）如圖，在中，ZC=90°,AC=3,AB=5.如果。、

2

E分別為BC、AB上的動點，那么4。+DE的最小值是（）

10.（3分）（24-25八年級?浙江金華?期中）圖1是一幅“青朱出入圖"，運用"割補術”，通過三個正方形之

間的面積轉化證明勾股定理（口2+。2=02）,如圖2,連結HK,GK,HG,記四邊形。HKG與正方形。H/E的

面積分別為S「S2.若HD=HG,則§的值為（）

青6微）

填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（24-25八年級?黑龍江綏化?期中）已知a+b=—8,ab=1,則的值為.

12.（3分）（24-25八年級?遼寧沈陽?期中）如圖，點。為數軸的原點，點4和B分別對應的實數是1和2.過

點4作射線2D1OA,以點。為圓心，OB長為半徑畫弧，交AD于點C；以點4為圓心，AC長為半徑畫弧，交

數軸的正半軸于點E,則點E對應的實數是.

/ah\B3

O1~2~~f-

13.（3分）（24-25八年級?湖北荊州?期中）如圖，平行四邊形4BCD中，E,P是對角線力C上的兩點，有

如下四個條件：?DE=BF-,（2）AE=FC；③=N2；?AF=EC,如果從中選擇一個作為添加條件,

使四邊形BED尸是平行四邊形，那么這個添加的條件可以是（填寫序號）.

3

B

14.（3分）（24-25八年級?四川成都?期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為L點A,

B,C,D,尸都在格點上，連接AP,CP,CD,貝崛出2—回尸8=

15.（3分）（24-25八年級?浙江麗水?期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線4C1B。，尸為CD上一點,

連接4F交BD于點E,AF1AB,已知/BAG=^ABC=45°,且BC+AG=10V2.

（1）貝MB的長是；

（2）若2E=2EF,且N4GD+乙BCD=180°,則4F=.

16.（3分）（24-25八年級?浙江金華?期中）如圖，在長方形4BCD中，4B=10,4D=12,點E為邊力。上

的一個動點，把AdBE沿BE折疊，若點A的對應點4剛好落在邊4D的垂直平分線MN上，貝的長為—.

第n卷

三.解答題（共9小題，滿分72分）

17.（6分）（24-25八年級?山東青島?期中）計算：

2

（1）（373-1）（373+1）-（2V3-1）

4

（2）峰-臥忌*

18.（6分）（24-25八年級?重慶沙坪壩?期中）如圖，小區(qū)A與公路/的距離2C=200米，小區(qū)B與公路/

的距離8D=400米，已知CD=800米.

B

A

J

—C--------------------------------Da—I1

⑴政府準備在公路邊建造一座公交站臺。，使。到A、2兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長；

（2）現要在公路旁建造一利民超市P,使P到A、8兩小區(qū)的路程之和最短，求P4+PB的最小值，求出此最

小值.

19.（6分）（24-25八年級?陜西渭南?期中）如圖，點E是團力BCD對角線力C上的點（不與A,C重合），

連接8E,過點E作1BE交CD于點八連接8尸交2C于點G,BE=AD,Z.FEC=Z.FCE.

⑴求證：團4BCD是矩形；

（2）若點E為4C的中點，求NA8E的度數.

20.（8分）（24-25八年級?江蘇淮安?期中）像，4-2百,J圍-代，這樣的根式叫做復合二次根式.有

一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡：

如：V4-2V3=73-2V3+1=J（V3）2-2xV3xl+l2=J（V3-l）2=V3-1,

再如：V5+2V6=73+2V6T1=J（百I+2A/3XV2+（V2）2=J（V3+=遮+/,

請用上述方法探索并解決下列問題：

(1)化簡：79+2V14=

⑵化簡：A/B—4V3=

2

⑶若（魚血―n）=k—6V2,且憶,772,71為正整數，求女的值.

21.（8分）（24-25八年級?陜西西安?期中）如圖1是一架移動式小吊機工作示意圖，吊機工作時是利用吊

5

臂的長度和傾斜角的變化改變起升高度和工作半徑.在某次起重作業(yè)中，學習興趣小組通過測量和咨詢工

人師傅了解到如下信息：如圖2,起重臂AB=1.3m,點B到地面CD的距離BC=DE=2m,點B到4D的距

離BE=1.2m,BE14D于E,BC1CD,AD1CD,求點A地面CD的距離AD的長為多少米？

22.（10分）（24-25八年級?上海浦東新?期中）已知：如圖A4BC是直角三角形，^ACB=90°,點E、F分

（1）證明：線段EF,AF,BE能組成直角三角形；

（2）當D是邊力B上的中點時，判斷：DF、DE的位置關系.

23.（10分）（24-25八年級?河北滄州,期中）嘉琪根據學習"數與式”的經驗，想通過"由特殊到一般"的方

法探究下面二次根式的運算規(guī)律.下面是嘉琪的探究過程，請補充完整：

⑴具體運算，發(fā)現規(guī)律：

特例4：（填寫一個符合上述運算特征的式子）.

（2）觀察、歸納，得出猜想：

如果“為正整數，用含"的式子表示上述的運算規(guī)律為：

⑶證明你的猜想；

6

⑷應用運算規(guī)律：

①化簡：［2023+蠢XV4050=；

②若J^+I=9Jb均為正整數），貝必+6的值為.

24.（12分）（24-25八年級?河北石家莊?期中）如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，四邊形04BC為

矩形，4（0,5）,C（26,0）.點E是。C的中點，動點M在線段4B上以每秒2個單位長度的速度由點A向點8

運動（到點8時停止）.設動點M的運動時間為/秒.

（備用圖）

⑴當f為何值時，四邊形MOEB是平行四邊形?

（2）若四邊形MOEB是平行四邊形，請判斷四邊形MAOE的形狀，并說明理由;

⑶在線段4B上是否存在一點N,使得以。E,M,N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出「的值；若不

存在，請說明理由.

25.（12分）（24-25八年級?廣東廣州?期中）在四邊形4BCD中，對角線北、BD相交于點。在線段力。上

任取一點尸（端點除外）,連接P。、PB.點。在8月的延長線上且PQ=PD.

（D如圖1,若四邊形4BCD是正方形.

①求NDPQ的度數；

②探究4Q與。P的數量關系并說明理由.

（2）如圖2,若四邊形4BCD是菱形且乙48c=60°.探究4Q與CP的數量關系并說明理由.

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2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷

【人教版】

參考答案與試題解析

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（24-25八年級?廣東深圳?期中）下列計算中，正確的是（）

A.V2+V3—V5B.3A/2—A/2=3

C.V12+V3=4D.V12XV3=6

【答案】D

【分析】本題主要考查二次根式的加法、減法、乘法、除法運算等知識點，明確二次根式加減乘除運算的

計算法則是解答本題的關鍵.

根據二次根式的加法、減法、乘法、除法運算法則逐項判斷即可.

【詳解】解：A.&和8不是同類二次根式，不能相加減，故選項A錯誤,不符合題意;

B.3V2-V2=2V2,故選項B錯誤，不符合題意；

C.V12-rV3=V4=2,故選項C錯誤，不符合題意；

D.V12XV3=V36=6,故選項D正確，符合題意.

故選：D.

2.（3分）（24-25八年級?江蘇揚州?期中）如圖，長方形中，48=3,AD=1,AB在數軸上，若以點4為

圓心，2C的長為半徑作弧交數軸于點M,則點M表示的數為（）

D___________C

-1012

A.V10B.V10-1C.V5D.V5-1

【答案】B

【分析】本題考查了實數與數軸、勾股定理，由題意可得乙48c=90。，AC=AM,BC=AD=1,再由勾

股定理求出AM=AC=VIU,即可得解.

【詳解】解：由題意可得：/.ABC-90°,AC^AM,2c=40=1,

EL4c=7AB2+BC2=V10,

EL4M=AC=V10,

回點M表示的數為同一1,

8

故選：B.

3.（3分）（24-25八年級?吉林長春?期中）如圖，在△ABC中，乙4=38。,28=AC,點。在江邊上，以C8、CD

為邊作團BCDE,貝此E的度數為（）

A.71°B.61°C.51°D.41°

【答案】A

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，平行四邊形的性質，掌握等腰三

角形的兩個底角相等，平行四邊形的對角相等是解本題的關鍵.根據等腰三角形的性質可求NC,再根據平

行四邊形的性質可求NE.

【詳解】解：在A48C中，=38。，AB=AC,

0ZC=/.ABC=（180°-38°）+2=71°,

團四邊形BCDE是平行四邊形，

0ZF=NC=71°.

故選：A.

4.（3分）（24-25八年級?山東濟寧?階段練習）要把（2-x）區(qū)中根號外的因式移入根號內，下面式子正

確的是（）

A.Vx—2B.V2—xC._V2—xD.-7x-2

【答案】D

【分析】根據非負數才能移入根號內或根號外，變成非負數后，變形化簡即可.

本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握根式的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：根據題意，得％—2>0,

故（2一行層=一0一2）居

=X-2）2=—y/x—2,

故選：D.

5.（3分）（24-25八年級?河南開封?期中）如圖，在四邊形48CD中，AB=3,BC=VLCD=1,力。=V12,

且N8CD=90。，則四邊形力BCD的面積為（）

9

A.B.要C.2+2VHD.3+V21

【答案】A

【分析】本題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢記勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

先由勾股定理求出BD=百，貝。力B2+BZJ2=4。2,再通過勾股定理逆定理得乙4BD=90。，最后由

S四邊形4BCD=ShABD+SABCO即可求解.

【詳解】解：0ZSCD=90°,

SBD=VBC24-CD2=J（V2）2+l2=V3,

^\AB=3,AD=V12,

^\AB2+BD2=AD2,

也乙ABD=90°,

ii

團S四邊形ZBCD=S^ABD+S^BCD=2xBDxAB+-xBCxCD

11

=-xV3x3+-xV2xl

3V3V2

-----1---

22

_3近+近

-2'

故選：A.

6.（3分）（24-25八年級?湖北十堰?期中）如圖，矩形/BCD中，AB=6,點后是40上一點，且DE=2,

CE的垂直平分線交CB的延長線于點尸，交CD于點、H,連接EF交于點G.若G是48的中點，則的長

10

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【分析】過點E作EP1BC于點尸，證明四邊形2BPE和四邊形CDEP為矩形，得出CD=EP=6,DE=CP=

2,根據證明ZkAEGmABFG,得出力E=BF,又FH垂直平分EC,得出FC=FE,令BC=x,則BP=4E=

BF=x-2,進而BP=4E=8尸=2%—2,FP=2x-4,EF=FC=2x-2,在RtAEFP中，EP2+FP2=

E產，進行求解即可.

【詳解】解：過點E作EP1BC于點P,

Z.A=Z.ABC=乙BCD=ZD=90°,AB=CD=6,

團四邊形4BPE和四邊形COEP為矩形，

又48=6,DE=2,

SCD=EP=6,DE=CP=2,

回G是2B的中點，

國AG=GB=3,

又MDIIBC,

團匕AEG=Z-BFG,

又〃GE=乙BGF,

SAAEG三△BFG(AAS),

團4E=BF,

團F”垂直平分EC,

BFC=FE,

令BC=%,則3尸=%—2,

又回4E=BF=BP,

國BP=AE=BF=x—2,

團FP=2x-4,EF=FC=2%—2,

11

在RtAEFP中，EP2+FP2=EF2,

062+(2x-4)2=(2%-2尸

解得x=6.

故選：A.

【點睛】本題考查矩形的判定和性質，垂直平分線的性質，勾股定理以及全等三角形的判定和性質，解決

本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形求邊長.

7.(3分)(24-25八年級?山東東營?期中)已知三角形的三邊長分別為a,b,c,求其面積問題，中外數

學家曾經進行深入研究，古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),其

中「=手，我國南宋時期數學家秦九韶(約1202—1261)曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公

式S=冰2b2-(空與若一個三角形的三邊長分別為2,3,4,則其面積是()

.3V15口3V15「15「3V15

A.-------b.-------C.—L).------

8224

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的應用，設a=2,b=3,c=4,貝!|p=再根據S=yjp(p-a)(p-b)(p-c)

計算即可得出答案.

【詳解】解：設a=2,b=3,c=4,

故選：D.

8.(3分)(24-25八年級?江蘇南通?期中)已知兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重疊部分構成一個四邊

形A8CD,對角線"=8,BD=6,過點。作。H148于點則DH的長是()

【答案】B

12

【分析】作垂足為F,設47與相交于點。，根據菱形的判定與性質可知。夙0A,最后利用菱

形面積的兩種表示方法即可解答.

【詳解】解：作垂足為F,設/C與BD相交于點。，

團兩張等寬的紙條，DHLAB,

也DF1BC,

@DH=DF,

團4811mADWBC,

團四邊形ZBCO是平行四邊形，

團S平行四邊形ABCD="8-DH=BC-DF,

國DH=DF,

國BC=AB,

回四邊形4BCD是菱形，

11

BOB=0D=-BD=3,OA=OC=-AC=4,AC1BD,

22

EL4B=y/AO2+OB2=5,

SAB-DH^-AC-BD,

2

答：DH的長是4.8；

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理，菱形面積的兩種計算方式,

掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵.

9.（3分）（24-25八年級?四川眉山?期中）如圖，在RtAABC中，Z.C=90°,AC=3,AB=5.如果D、

E分別為BC、4B上的動點，那么4D+DE的最小值是（）

13

A

A24CLC27CL

A.—B.5C.—D.6

55

【答案】A

【分析】延長AC到點F,使得ac=CF,則直線BC是線段4F的垂直平分線，連接DF,BF,于是得到4D=DF,

AB=BF,于是4。+0E就變成了DF+DE,根據點到直線的距離以垂線段最短原理，得到。尸+DE的最小

值就是A4BF的高，過點/作FG14B于點G,求FG即可.

此題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段的性質，勾股定理，根據三角形的面積求高等，熟練掌握以上性

質是解本題的關鍵.

【詳解】解：延長4C到點R使得4C=CF,

0ZXCB=90°,

團直線BC是線段4F的垂直平分線，

連接

EL4D=DF,AB=BF,

即W+DE就變成了DF+DE,

根據點到直線的距離以垂線段最短原理，得到。尸+OE的最小值就是AABF的高，

過點尸作FG，力B于點G,

B/.ACB=90°,AC=3,AB=5,

EL4F=2AC=6,BC=y/AB2-AC2=4,

^S^ABF^\AF-BC^^AB-FG,

團6x4=5FG,

24

MG=—.

5

故選：A.

14

10.（3分）（24-25八年級?浙江金華?期中）圖1是一幅“青朱出入圖"，運用"割補術”，通過三個正方形之

間的面積轉化證明勾股定理（。2+。2=02）,如圖2,連結HK,GK,HG,記四邊形。HKG與正方形的

面積分別為S.若HD=HG,則2的值為（）

2S2

圖1

A.-B.

3

【答案】D

【分析】本題主要考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識點，熟練掌

握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

過點H作1CD于點M,根據題意可得四邊形4HMD是矩形，進而證明Rt△DAH=RtADCE（HL）,設CE=

AH=CG=DM=MG=x,則。4=DC=AB=BC=3x,BH=2x,分別表示出S2,然后作比值求解

即可.

【詳解】解：過點"作”"1CD于點M,

=HG,四邊形4BCD是正方形,

MD=MG,四邊形是矩形,

15

??.MD=AH,

???四邊形48CD,四邊形DH/E,四邊形EFGC都是正方形，

DA=DC=AB=BC,

DH=DE=HI=IE,

FG=GC=CE=EF,

乙DAH=乙DCE=乙DEI=90°,

在Rt△D4”和Rt△OCE中，

(DH=DE

iDA=DC'

???Rt△DAH=RtADCE(HL),

??.CE=AH,

.?.CE=AH=CG=DM=MG,

??.CD=CG+DM+MG=3CG=3CE,

設CE=AH=CG=DM=MG=x,

則ZM=DC=AB=BC=3%,BH=2%,

???(DCE=乙EKI=乙DEI=90°,

???(DEC+乙IEK=90°,

乙EIK+乙IEK=90°,

???乙DEC=Z.EIK,

又???DE=EI,

???△DCE三△EK/(AAS),

KE=DC=3x,

BH=CK=2x,BK=CE=%,

四邊形DHKG的面積S'】=|(2%+3x)x3x-1x2%x%-1x2%xx=y%2,

222222

正方形OH/E的面積為：S2=DE=CD+CE=(3x)+x=10x,

112

.Si二置二11

2

"S210x20’

故選：D.

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11.(3分)(24-25八年級?黑龍江綏化?期中)已知a+6=—8,ab=1,則+，的值為

16

【答案】8

【分析】本題主要考查了二次根式的加減混合運算以及求值，根據a+b=-8,ab=1判斷出a<0,b<0,

將J1+化簡再進行加減運算，最后將a+b=-8,ab=1代入求值即可.

【詳解】解：回a+b=-8,ab=1,

國aV0,bV0,

Vab>[ab

ab

byfaba^ab

abab

b^ab+ayfab

ab

(a+b)Vab

一ab，

當a+b=-8,ab=1,原式=-9答^=8,

故答案為：8.

12.（3分）（24-25八年級?遼寧沈陽?期中）如圖，點。為數軸的原點，點4和B分別對應的實數是1和2.過

點4作射線力D1OA,以點。為圓心，OB長為半徑畫弧，交2D于點C；以點4為圓心，4C長為半徑畫弧，交

數軸的正半軸于點E,則點E對應的實數是

【答案】1+V3/V3+1

【分析】本題考查了勾股定理，實數與數軸，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.由題意可知4E=4C,。。=

OB=2,再由勾股定理求出4C=百，貝=然后求出。E=+4E=1+w，即可得出結論.

【詳解】解：?.?點力和B分別對應的實數是1和2,

OA=1,OB=2,

由題意可知，AE=AC,OC=OB=2,

???AD1OA,

17

AOAC=ABAC=90°,

???AC=ylOC2—OA2=V22—l2=y/3,

AE=V3,

???OE=OA+AE=l+s/3,

即點E對應的實數是1+百，

故答案為：l+百.

13.（3分）（24-25八年級,湖北荊州?期中）如圖，平行四邊形4BCD中，E,尸是對角線4C上的兩點，有

如下四個條件：①DE=BF；@AE=FC；③=42；@AF=EC,如果從中選擇一個作為添加條件,

使四邊形BEDF是平行四邊形，那么這個添加的條件可以是（填寫序號）.

--------

DC

【答案】②（或③，或④）

【分析】本題考查平行四邊形的判定及性質，全等三角形的判定及性質.

若添加添加①，無法證明四邊形BEDF是平行四邊形.若添加條件②，連接BD,交2C于點O,根據平行四

邊形的性質得到4。=CO,BO=DO,進而得到E。=F0,根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得

證；若添加條件③，根據平行四邊形的性質可證得A/WE三ACBF（ASA）,得到DE=BF,乙AED=MFB,

進而得到DEIIBF,根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；若添加條件④，可根據對角

線互相平分的四邊形是平行四邊形可得證.

【詳解】解：若添加添加①，無法證明四邊形BEOF是平行四邊形.

若添加條件②AE=FC,可得四邊形BED尸是平行四邊形.

理由如下：

連接BD,交4C于點O

入_________

回四邊形力BCD是平行四邊形,

m4。=CO,B0—DO,

18

EL4F=FC,

^AO-AE=CO-CF,即EO=F。，

團四邊形BFDE是平行四邊形.

若添加條件③=42,可得四邊形BEDF是平行四邊形.

理由如下：

回四邊形4BCD是平行四邊形，

EL4D=CB,ADWBC,

SZ.DAE=Z.BCF,

0Z1=42,

0AADEdCBF（ASA）,

WE—BF,/LAED—乙CFB,

0180°-^AED=180°-乙CFB,BRzDEF=乙EFD,

WEWBF,

回四邊形BEDF是平行四邊形.

若添加條件④4尸=EC,可得四邊形BEDF是平行四邊形.

理由如下：

連接BD,交AC于點。

團四邊形4BCD是平行四邊形，

刻。=CO,BO=DO,

[?L4F=EC,

^AF-AO=CE-CO,即FO=E。，

回四邊形BFDE是平行四邊形.

綜上所述，添加的條件可以是②或③或④.

故答案為：②（或③，或④）

14.（3分）（24-25八年級?四川成都?期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,

19

B,C,D,P都在格點上，連接AP,CP,CD,貝附以8—EIPCO=

【答案】45°

【分析】如圖，取C。邊上的格點E,連接AE,PE,易得aBA￡=aPC。證明A4PE為等腰直角三角形，從

而可得答案.

【詳解】如圖，取CD邊上的格點E,連接AE,PE,易得SBAE=aPCD

由題意可得Ap2=PE2=#+22=5,4/=12+3』10.

0AE2=AP2+PE2.

團0APE是等腰直角三角形.

00B4E=45

-SPCD=mB-EBA￡=m￡=45°.

B

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，勾股定理的逆定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵.

15.（3分）（24-25八年級?浙江麗水?期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC_LBD,尸為CD上一點,

連接力F交BD于點E,AFVAB,已知NB4G=^ABC=45°,且8c+AG=10V2.

(1)貝的長是；

(2)若4E=2EF,5./.AGD+乙BCD=180°,則4尸=

【答案】106

20

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，熟

練掌握相關知識是解題的關鍵.

(1)延長49交BC的延長線于點易得△力是等腰直角三角形，可證A/WG三所以=BC+

AG=10V2,即可得解；

(2)由條件易證AAGEmAHCF(ASA),得到FH=4E=2x,所以AH=5x=10,即可求解.

【詳解】解：(1)延長4尸交BC的延長線于點

.-.乙BAH=90°,

??1Z.ABC=45°,

0ZH=90°-/.ABC=45°=Z.ABC,

：.AB=AH,即△是等腰直角三角形，

Z.AHB=45°=Z.BAG,AH=AB,

AC1BD,

??.Z.CAH=90°-/.AEG=N4BG,

在△4BG和中，

^LBAG=^.AHC

AB=AH,

Z.ABG=MAH

[?]△ABG=AHi4C(SAS),

CH=AG,

???BC+AG=10V2,

BC+CH=BH=10V2,

在RtAABH中，AB2+AH2=BH2,

即2aB2=200,

AB=10；

故答案為：10;

(2)-??Zu4GD+乙BCD=180°,Z.FCH+/.BCD=180°,

21

???乙4Go=乙FCH,

vABAG=45°,Z.BAG=^LFHC,

??.Z.EAG=45°=乙FHC,

在AAGE和中，

AEAG=Z.FHC

AG=CH,

zAGD=乙FCH

AGE三△HCF（ASA）,

??.FH=AE,

設E尸=%,貝！JFH=/E=2%,

AH=AE+EFFH=5x=10,

解得：%=2,

???AF=AE+EF=3%=6.

故答案為：6.

16.（3分）（24-25八年級?浙江金華?期中）如圖，在長方形力BCD中，AB=10,AZ）=12,點E為邊/。上

的一個動點，把△ABE沿BE折疊，若點A的對應點4剛好落在邊AO的垂直平分線MN上，貝iJZE的長為—.

【分析】由矩形的性質得到BC=AD=12,8。||ADf^A=^ABC=90°,由線段垂直平分線的性質得到/M=

6,BN=6,由折疊的性質得到：BA'=AB=1(},AE=A'E,由勾股定理求出N4=力BA?一NB?=8,由

矩形的性質得到MN=AB=10,求出M4=2,令/E=%,由勾股定理得到％2=(6-%)2+22,求出久=y,

即可得到4E的長.

【詳解】解：回四邊形/BCD是矩形，

BC=AD=12,BC||AD,/.A=AABC=90°,

回MN垂直平分4D,

22

EIMN垂直平分BC,

AM=^AD=6,NB=1BC=6,

由折疊的性質得到：BA'=AB=10,AE=A'E,

NA'=NBA'2-NB2=8,

???ZX=乙ABN=Z.BNM=90°,

四邊形4MNB是矩形，

MN=AB=10,

MA,=MN-NA'=10-8=2,

令AE=x,

EAr=x,EM=AM—EM=6—%,

???EA,2=EM2+MA,2,

:.x2=(6—%)2+22,

故答案為：y.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質，垂直平分線的性質，勾股定理，圖形折疊的性質等知識，熟

練掌握折疊的性質以及勾股定理是解題關鍵.

第n卷

三.解答題(共9小題，滿分72分)

17.(6分)(24-25八年級?山東青島?期中)計算：

2

(1)(373-1)(373+1)-(2V3-1)

⑵(2舊-臥回號

【答案】(1)13+4V3

(2)1172-5

【分析】本題考查二次根式的混合運算，平方差公式，完全平方公式，解題的關鍵是掌握二次根式的混合

運算法則.

(1)利用平方差公式，完全平方公式計算即可；

23

（2）先計算乘除，再計算加減.

2

【詳解］（1）解：（38_1）（3百+1）-（28一1）

=（3V3）-1-（12-4V3+1）

=27-1-12+4V3-1

=13+4V3；

⑵解：（2g一臥回鬻

=2V12x—x—V27+—V12+

=12V2-V2-3-2

=11V2-5.

18.（6分）（24-25八年級?重慶沙坪壩?期中）如圖，小區(qū)A與公路/的距離4c=200米，小區(qū)B與公路/

的距離8。=400米，已知CD=800米.

B

A

——J-------------------------------n_/

C。

⑴政府準備在公路邊建造一座公交站臺。，使。到48兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長；

（2）現要在公路旁建造一利民超市P,使P到4B兩小區(qū)的路程之和最短，求P2+PB的最小值，求出此最

小值.

【答案】⑴475米

（2）1000米

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，坐標與圖形的性質，勾股定理，確定出。、尸的位置是本題的

關鍵.

（1）設CQ=x,則DQ=800-x,根據4Q=BQ利用勾股定理即可得出結果.

（2）作A關于/的對稱點A,連接48,交/于尸，由對稱性得P4+PB的最小值為線段4B的長，作4E1BE

于點E,在Rt^dBE中，根據勾股定理即可得到結論.

【詳解】（1）解：如圖1,

24

B

A/

_□_____________________□―/

CQD1

圖1

根據題意得：AQ=BQ,

設CQ=x,貝。DQ=800-x,

.-.2002+x2=4002+（800-x）2,

解得％=475,

即CQ的長為475米；

（2）如圖，作點A關于直線/的對稱點4,連接4B,交直線/于點P.

B

A/

「'、、」「/

C；/PD

?

A''E

圖2

則4P=A'P,

AP+BP=A'P+BP,

:P4+PB的最小值為48,

如圖，作4E1BE于點E,

在RtA48E中，

A'E=CD=800米，BE=BD+DE=BD+CA'=BD+AC=400+200=600米，

A'B=y/AE2+BE2=V8002+6002=1000米，

PA+PB的最小值為1000米.

19.（6分）（24-25八年級,陜西渭南?期中）如圖，點E是團4BCD對角線力C上的點（不與A,C重合），

連接BE,過點￡作EF1BE交CD于點F.連接BF交力C于點G,BE=AD,乙FEC=LFCE.

25

⑴求證：團4BCD是矩形；

(2)若點E為4C的中點，求乙4BE的度數.

【答案】⑴證明見解析

(2)30°

【分析】(1)先由平行四邊形的性質得到4。=BC,則BE=BC,由等邊對等角得到NECB=NCEB,則可

證明4FE8=4BCD=90°,進而可證明平行四邊形4BCD是矩形；

(2)由矩形的性質得到BE=CE=|4C,AABC=90°,則可證明△BCE是等邊三角形，得到NCBE=60。,

貝/BE=30°.

【詳解】(1)證明：回四邊形力BCD是平行四邊形，

SAD=BC,

0BF=AD,

回BE=BC,

回乙ECB=乙CEB,

^Z.FEC=乙FCE,

團NFEC+乙CEB=乙FCE+乙BCE,

^BEF=乙BCF,

MF1BE,

國乙FEB=乙BCD=90°,

團平行四邊形ZBCD是矩形；

(2)解：國四邊形4BCD是矩形，點E為力C的中點，

5\BE=CE=-AC,/.ABC=90°,

2

團BE=CE=BC,

I21ABCE是等邊三角形，

國KCBE=60°,

^ABE=30°.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，平行

四邊形的性質等等，熟知矩形的性質與判定定理是解題的關鍵：

20.(8分)(24-25八年級,江蘇淮安?期中)像54-2b，，聞-候，這樣的根式叫做復合二次根式.有

26

一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡：

如：V4-2V3=V3-2V3+1=J(V3)2-2xV3xl+l2=J(V3-l)2=V3-1,

再如：V5+2V6=73+2V6TI=J(V3)2+2V3XV2+=J(V3+用=W+VL

請用上述方法探索并解決下列問題：

⑴化簡：V9+2V14=

⑵化簡：Vs—4V3=

⑶若-7?)=k—6V2,且k,ni,n為正整數，求k的值.

【答案】⑴夕+或

(2)V6-V2

(3)11或19.

【分析】此題考查化簡二次根式，完全平方公式的應用，準確變形是解題的關鍵.

(1)利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；

(2)利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；

(3)利用完全平方公式，結合晨m、〃為正整數求解即可.

【詳解】(1)解：79+2V14=J(V7)2+2xV7xV2+(四『=J(V7+V2)2=夕+或；

故答案為：V7+V2

(2)A/8—45/3=V6—2XV12+-2=^(V6)2—2XV6XV2+(V2)=J(V6-V2)=V6-V2；

故答案為：V6—V2

(3)0(V2m—n)=k-6V2

02m2—2y[2mn+n2=k—6y12,

團k=27n2+九2,2mn=6,,

曲nn=3

又團k、m、〃為正整數，

0m=l,n=3,或者m=3,幾=1,

團當m==3時，k=2m2+n2=2xl+32=11；

當7n=3,n=1時，k=2m2+n2=2x32+I2=19.

27

齦的值為:11或19.

21.（8分）（24-25八年級,陜西西安?期中）如圖1是一架移動式小吊機工作示意圖，吊機工作時是利用吊

臂的長度和傾斜角的變化改變起升高度和工作半徑.在某次起重作業(yè)中，學習興趣小組通過測量和咨詢工

人師傅了解到如下信息：如圖2,起重臂4B=1.3m,點B到地面CD的距離BC=DE=2m,點B到4D的距

離BE=1.2m,BELAD^E,BC1