熱點題型?選填題攻略

專題01集合與邏輯（八大題型）

o------------題型歸納?定方向-----------*>

題型01集合的概念.............................................................................1

題型02集合的關(guān)系.............................................................................1

題型03集合的運算.............................................................................2

題型04集合與函數(shù)、不等式.....................................................................2

題型05集合的運算（字母運算，含文氏圖）......................................................2

題型06充分必要條件...........................................................................3

題型07命題的否定、反證法.....................................................................4

題型08集合難點...............................................................................4

?>-----------題型探析,明規(guī)律------------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、元素與集合的關(guān)系：屬于（€）,不屬于（仁）；

2、對于元素與集合的關(guān)系，牢牢抓住元素是否在集合內(nèi)；

3、集合中元素的特性：確定性，互異性，無序性；

4、解決集合中元素的問題特別注意互異性，有時需要分類討論，或檢驗；

5、集合的表示方法主要有列舉法，描述法，vezm圖法等；

6、充分條件、必要條件的兩種判定方法：

（1）定義法：根據(jù)pnq,qnp進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；

（2）集合法：根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.

7、求參數(shù)問題的解題策略：

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（或

不等式組）求解；

⑵要注意區(qū)間端點值的檢驗.

題型01集合的概念

【典例1一1】.中國國旗上所有顏色組成的集合為.

【典例1-2].已知集合4={〃2,帆},若2eA,貝Ip”=.

【變式1-1].已知0e{2,f_“，則實數(shù)x=.

2

【變式1-21.若集合A={xeZ|-2VXV2},B={y\y=x+l,xGA},則用列舉法表示集合3=

【變式1-3].已知集合"={0』,a+1},若—leM,則實數(shù).

題型02集合的關(guān)系

【典例2-1].已知集合&={2,卜+1|,。+3},且leA,則實數(shù)。的值為.

【典例2-2】.已知集合4={1,3},B={l,a,4},且4=3,則。=.

【變式2-1】.若集合A={l,x},B={l,x2},且A=B,貝ijx=.

【變式2-2].己知集合人={尤）<尤<2},B=[x\x<a\,若AqB,則。的取值范圍是.

【變式2-3].若集合M={0,2,3,7},N={x|x=B,aeM,beM},則集合N的子集最多有個.

題型03集合的運算

【典例3-1】.已知集合4=[4,.），8={2,4,6,8},則AB=.

【典例3-2]].已知集合河={1},N={a,a2},且MuN=N,則實數(shù)。=.

【變式3-1】?己知全集0=11,集合4=卜卜區(qū)1},3={0,1,2},則入B=.

【變式3-2].若集合4=卜?<2卜8={小訓(xùn)，則AB=.

【變式3-3].已知集合4={無卜2Vx<1},^B={x\2a-1<x<a+}},若AB=0,則實數(shù)。的取值范

圍為?

題型04集合與函數(shù)、不等式

【典例4-1].已知集合4={-1,0,1},3={引尤2<2]，則AB=（）

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【典例4-2].設(shè)集合M=,x|x=45+gxl80,左ez1,N==45+'xl80/eZ,,那么（）

A.M=NB.NjMC.M=ND.McN=0

【變式4-1].己知集合4={孫加+2》+2=0}中有兩個元素，則實數(shù)機的取值范圍是.

【變式4-2].已知集合A/={X|J^T<4},N={x|-2〈尤V3,尤eZ},則A/N=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2,3}D.{1,2,3}

【變式4-3].設(shè)集合M={xW=x},N={x|lgxV0},則MN=_.

題型05集合的運算（字母運算，含文氏圖）

【典例5-11.設(shè)集合A、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是（）

A.若AcBnBcC,貝！]A=CB.若=貝IJA=C

C.若AB=BC,則Cg3D.若AuBuBcC,則C13

【典例5-2】.如圖表示圖形陰影部分的是（）

A.(AC)(BC)B.(AB)(AC)

C.(AB)(BC)D.

【變式5-1】.已知全集為U,非空集合A3滿足4U瓦下列各式中，錯誤的是()

A.A(JB=UB.Ac8=0

C.D.AnB^B

【變式5-2】?設(shè)A8是全集U的兩個子集，A^B,則下列式子成立的是()

A.AcBB.A<JB=U

C.AnB=0D.A?B=0

【變式5-3】.已知全集U和集合/、N、P如圖所示，則圖中陰影部分所表示的集合是()

A.Mc(N2P)B.Mc(N2P)

C.M2(N2P)D.Mc(NcP)

題型06充分必要條件

【典例6-1].已知x,yeR,貝『'|.8-了1=1%1+及1''是“孫<?！钡臈l件.

【典例6-2].設(shè)a：1〈尤W4,p：x>m,a是夕的充分條件，則實數(shù)機的取值范圍是.

【變式6-1]."x>y>o”是“尤的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【變式6-2】?已知p:Y-2》-8<0應(yīng):1-。<尤<2。-3,且P是4的充分不必要條件，則實數(shù)。的取值范圍

是.

【變式6-3].已知集合A=<x|log：(x+2)<0卜集合3={x[(x-a)(x-6)<0},若"°=一3"是"A320”

的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍是.

題型07命題的否定、反證法

【典例7-1】?已知命題0任意正數(shù)x,恒有(x+l)e*>l,則命題p的否定為.

【典例7-2】.已知陳述句a：所有的aeA滿足性質(zhì)p,則a的否定形式為.

【變式7-1】.若要用反證法證明“若無2+產(chǎn)=0,則x=O且>=0"，應(yīng)假設(shè)為

【變式7-2】?用反證法證明“若f-2x-3=0,則尸-1或％=3”時,應(yīng)假設(shè).

【變式7-3】.存在xeR,使得〃x)>0的否定形式是()

A.存在xeR,使得B.不存在xeR,使得〃X)WO

C.對任意的D.對任意的xeR,/(x)>0

題型08集合難點

【典例8-1】.若規(guī)定集合E={0」,2,,?㈤的子集{4%,%,%}為E的第％個子集，其中

上=2%+2%+2%++2%,則E的第211個子集是.

【典例8-21.設(shè)集合U“={1,2,3,…，科，〃為正整數(shù)，記/⑺為同時滿足下列條件的集合A的個數(shù):①A=%,

②若尤eA,貝!]2xeA,③若xeN,貝!)2xeX,貝!1/。6)=

【變式8-1].設(shè)4、4、&、L、4是均含有2個元素的集合，且Ac4=0,4八4+尸0(7=1,2,3,,6),

記2=4口4。4。-則8中元素個數(shù)的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【變式8-21.M是正整數(shù)集的子集，滿足：leM,2022eM2023e并有如下性質(zhì)：若a、beM,則

eM,其中[可表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則M的非空子集個數(shù)為.

【變式8-3].已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若aeS,則當(dāng)且僅當(dāng)。=，〃+〃(其中加weS

且或a=p+4(其中p,qeS,p,qeZ*且pwq).現(xiàn)有如下兩個命題:①4&S；②集合

{x|x=3〃+5,"eN}aS.則下列選項中正確的是()

A.①是真命題，②是真命題;B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題;D.①是假命題，②是假命題.

?>----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、填空題

1.（2024.上海奉賢.一模）設(shè)全集。={1,2,3,4},集合A={2,4},則入=.

2.（2024.上海.三模）已知集合4={0』,2},B={X|X3-3X<1},則AB=

3.（2024高三.上海.專題練習(xí)）已知集合/=口|苫+220},N={x|x-l<0},則MN=.

4.（2023?上海長寧?二模）若"x=l”是“x>a”的充分條件，則實數(shù)。的取值范圍為.

5.（2024.上海普陀.二模）已知aeR,設(shè)集合4={1,。,4},集合3={l,a+2},若AB=B,貝lja=

6.（15-16高一上?上海?期中）集合尸={（x,y）|y=Y,xeR},集合Q={（x,y）|y=-Y+2,xeR},則

PQ=

熱點題型?選填題攻略

專題01集合與邏輯（八大題型）

?>-----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01集合的概念.............................................................................1

題型02集合的關(guān)系.............................................................................2

題型03集合的運算.............................................................................3

題型04集合與函數(shù)、不等式.....................................................................5

題型05集合的運算（字母運算，含文氏圖）......................................................6

題型06充分必要條件...........................................................................8

題型07命題的否定、反證法....................................................................10

題型08集合難點..............................................................................11

O----------------題型探析?明規(guī)律----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、元素與集合的關(guān)系：屬于（e）,不屬于（仁）；

2、對于元素與集合的關(guān)系，牢牢抓住元素是否在集合內(nèi)；

3、集合中元素的特性：確定性，互異性，無序性；

4、解決集合中元素的問題特別注意互異性，有時需要分類討論，或檢驗；

5、集合的表示方法主要有列舉法，描述法，ve〃”圖法等；

6、充分條件、必要條件的兩種判定方法：

（1）定義法：根據(jù)P。!，qnp進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；

（2）集合法：根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.

7、求參數(shù)問題的解題策略：

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（或

不等式組）求解；

（2）要注意區(qū)間端點值的檢驗.

題型01集合的概念

【典例1-1】.中國國旗上所有顏色組成的集合為.

【答案】｛紅，黃卜

【分析】根據(jù)集合的定義即可求解.

【解析】中國國旗上所有顏色組成的集合為｛紅,黃｝.

故答案為：｛紅，黃｝.

【典例1-2].已知集合4=｛加,帆｝,若2eA,則加=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)題意結(jié)合元素與集合之間的關(guān)系結(jié)合集合的互異性分析求解.

【解析】因為4=}〃,帆},且2eA,

[m=2[m^2

則?或?,°,解得根=一2.

0網(wǎng)片2[網(wǎng)=2

故答案為：-2.

【變式1-1].已知042,尤2—1},則實數(shù)x=.

【答案】±1

【分析】直接根據(jù)/一1=0求解即可.

【解析】0e{2,x2-l),

x2-1=0,

解得x=±l.

故答案為：±1.

【變式1-2].若集合A={xeZ|-2MXV2},8={y|y=犬+l,xeA},則用列舉法表示集合B=

【答案】{5,2,1}

【分析】根據(jù)題意，分析集合A可得A中的元素，將其元素代入y=x?+l中，計算可得y的值，即可得8的

元素，用列舉法表示即可得答案.

【解析】根據(jù)題意，A={-2,-1,0,1,2},

對于集合B=(y|y=N+i,xeA},

當(dāng)x=±2時,y=5,

當(dāng)彳=±1時，y=2,

當(dāng)x=0時，y=l；

故答案為{5,2,1}

【點睛】本題考查集合的表示方法，注意集合2中x所取的值為A中的元素且必須用列舉法表示.

【變式1-3].已知集合"={0,若—leM,則實數(shù)。=.

【答案】-2

【分析】利用元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于。的等式，解之即可.

【解析】因為集合”={。,1,。+1},若-leM,則=解得a=-2.

故答案為：—2.

題型02集合的關(guān)系

【典例2-1].己知集合4={2,卜+.+3},且leA,則實數(shù)。的值為.

【答案】0

【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)求解即得.

【解析】由集合A={2,|a+1,a+3},且leA,得|。+1|=1或。+3=1,解得。=0或。=-2,

當(dāng)a=0時，A={2,1,3},符合題意，

當(dāng)。=-2時，=1且。+3=1,與集合元素的互異性矛盾，

所以實數(shù)。的值為0.

故答案為：0

【典例2-2】.已知集合4={1,3},B={l,a,4},且則。=.

【答案】3

【分析】利用集合間的基本關(guān)系及元素與集合的關(guān)系計算即可.

【解析】由題意A={L3},B={l,a,4},且4=3,可知3e{l,a,4},所以a=3.

故答案為：3

【變式2-1】.若集合A={l,x},B={l,x2},且A=3,貝口=.

【答案】0

【分析】利用兩個集合相等結(jié)合集合元素的互異性求解即可.

【解析】因為集合4=3,所以x=V解得x=0或1,

當(dāng)x=1時不滿足集合元素互異性的要求舍去，

當(dāng)尤=0時，A=B={l,0},

故答案為：0

【變式2-2】.已知集合4={引1<%<2},B={x\x<a],若A=則。的取值范圍是.

【答案】[2,+8)

【分析】由A=3列不等式求a的取值范圍，

【解析】回集合A={x[l<x<2},B=\x\x<a\,A^B,

06/>2.

回。的取值范圍是[2,+8).

故答案為：[2,+8).

【變式2-3].若集合”={0,2,3,7},N={x|x=M,aeM,beM},則集合N的子集最多有個.

【答案】128

【分析】先求出集合N,再求集合N的子集個數(shù).

【解析】集合"={0,2,3,7},N={x|x=M,aeM,beM},

所以N={0,6,14,21,4,9,49},

則集合N的子集個數(shù)有27=128個.

故答案為：128.

【點睛】本題考查集合子集的個數(shù)，掌握當(dāng)集合中有〃個元素時，子集的個數(shù)為2"，屬于基礎(chǔ)題.

題型03集合的運算

【典例3-1].己知集合4=[4,內(nèi)），B={2,4,6,8},則AB=.

【答案】{4,6,8}

【分析】找出集合A與集合8的公共元素，即可確定出交集.

【解析】因為集合人=[4,包），3={2,4,6,8},

所以A3={4,6,8}.

故答案為：{4,6,8}.

【典例3-2].已知集合”={1},N=[a,a2],且MuN=N,則實數(shù)。=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求。的值.

【解析】MN=N=MjN,。=1或/=i,由互異性，a=-l.

故答案為：-1.

【變式3-1].已知全集0=1<,集合4=卜卜曰},8={0,1,2},則￡2=.

【答案】{2}

【分析】將集合A化簡，即可得到再由交集的運算，即可得到結(jié)果.

【解析】因為A=Wl}={x|TV無V1},則入={*歸<一1或X>1},

且3={0,1,2},所以NB={2}.

故答案為：{2}

【變式3-2].若集合4=卜|?<2卜B={x\x>\\,則AB=.

【答案】{鄧。<4}

【分析】

根據(jù)集合的交運算進行運算即可.

【解析】A={x|04尤<4bB=^x\x>\^,Ar\B-|x|l<x<4j,

故答案為:{x\l<x<4}.

【變式3-31.已知集合4={止2<xVl},集合3=32”-1<尤<〃+1},若A8=0,則實數(shù)。的取值范

圍為■

【答案】（_8,_3]u（l,+e）

【分析】由題意分集合B是否為空集進行討論，結(jié)合Al3=0,列出相應(yīng)的不等式（組），從而即可得解.

【解析】集合A={x|—2<xVl},集合3={x|2a-l<xWa+l},且AB=0,

若3=0,貝U2a—l>a+l,即a>2,此時滿足AB=0,即a>2滿足題意；

若則2a-l?a+l,即a42,此時若要使得AB=0,

則還需2。-1>1或。+1?-2,解得。4-3或a>l,

注意到此時aW2,從而此時滿足題意的。的范圍為aW-3或l<aV2；

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為（-力,-3]口（1,+⑹.

故答案為：（-oo,-3]u（l,+oo）.

題型04集合與函數(shù)、不等式

【典例4-1].已知集合4={-1,0,1},3=卜|尤2<2，},則AB=（）

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1）

【答案】C

【分析】驗證集合A中的元素，是否是集合B中元素，即可求

【解析】因為（一1）2>2,所以一1e3,02<2°,所以0c3,仔<21,所以leB,

所以A3={0,1}.

故選：c

【典例4-2].設(shè)集合卜=45+■|xl80N='x|尤=45+：*180,4ez1,那么（）

A.M=NB.NjMC.M屋ND.McN=0

【答案】C

【分析】變形表達式為相同的形式，利用集合間的關(guān)系，比較可得.

【解析】由題意得加=，彳卜=45+|xl80,%ez}=kk=（2A+l）x45#eZ},

即M是45的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合，

N=,x|x=45+：xl80，左eZ,={尤卜=（左+1）x45,左eZ},

即N是45的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，

所以A/=N.

故選：C.

【變式4-1].已知集合4=司32+2%+2=（）}中有兩個元素，則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】（一s，O）u]o,￡|

【分析】由題意可知：“/+2x+2=o有2個不同的實數(shù)根，利用△判別式列式求解即可.

【解析】由題意可知：的、2x+2=0有2個不同的實數(shù)根，

HZWO1

則L/lQ八，解得m<7且加

[A=4-8m>02

所以實數(shù)m的取值范圍是（-鞏O）u]o,￡].

故答案為：（-鞏。）①（。,；）.

【變式4-2].已知集合M={x|Jx-l<4},N={尤[-2<xV3,xeZ},則AfN=（）

A.{疝<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】D

【分析】首先求集合M,再求McN.

【解析】Jx-l<4,即0Wx-l<16,得lVx<17,

即M={x|lVx<17},且N={x|-2<x<3,xeZ1,

所以MN={1,2,3}.

故選：D

【變式4-3].設(shè)集合/={中2=元},N={x|lgxW0},則/N=_.

【答案】{1}

【分析】分別求解出集合M和集合N,根據(jù)交集定義求得結(jié)果.

【解析】M={x|尤2=%}={0,1},Af={x|lgx<O}={x|O<x<l）.?.A/cN={l}

故答案為：{1}

【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，涉及到一元二次方程和對數(shù)不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

題型05集合的運算（字母運算，含文氏圖）

【典例5-1】?設(shè)集合A、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是（）

A.若Ac3=BcC,則A=CB.若Au5=5uC,貝!|A=C

C.若AB=BC,則CuBD.若Au8=3cC,則C=3

【答案】C

【分析】關(guān)于這幾個命題真假的判斷，真命題可以根據(jù)集合的運算和運算法則證明，如果命題是假命題,

則可以舉反例.

【解析】對于A,Ac3=3cC,當(dāng)&={1,2},3={1}（={1,2,3}時，結(jié)論不成立，則A錯誤；

對于B,Aufi=BuC,當(dāng)4={1,2},3={3},。={1,2,3}時，結(jié)論不成立，則B錯誤；

對于C,因為AB=B,AB=BC,所以

又B=BIC,所以3=3C,則C=3,則C正確；

對于D,AuB=BnC,當(dāng)4={1}1={1,2},。={1,2,3}時，結(jié)論不成立，則D錯誤；

故選：c

【典例5-2】.如圖表示圖形陰影部分的是()

A.(AC)(BC)B.(AB)(AC)

C.(AB)|(BC)D.(AJB)CC

【答案】B

【分析】由韋恩圖可以看出，陰影部分中的元素滿足"是8的元素且C的元素，或是A的元素"，由韋恩圖

與集合之間的關(guān)系可得答案.

【解析】圖中陰影部分表示元素滿足：是A中的元素，或者是B與C的公共元素

故可以表示為A.(8C),也可以表示為：(AB)(AC).

故選：B.

【變式5-1】?已知全集為U,非空集合A8滿足4M瓦下列各式中，錯誤的是()

A.AuB=UB.AoB=0

C.AuB=BD.Ar>B=B

【答案】C

【分析】根據(jù)非空集合、子集的知識求得正確答案.

【解析】依題意，全集為U,非空集合48滿足

所以AuB=U、Ac3=0、A<J8=A、AoB-B

所以ABD選項正確，C選項錯誤

故選：C

【變式5-21.設(shè)A,8是全集U的兩個子集，A^B,則下列式子成立的是()

A.AcBB.A<JB=U

C.Ac豆=0D.AfB=0

【答案】C

【分析】根據(jù)子集、補集、并集、交集的知識來求得正確答案.

【解析】依題意，48是全集U的兩個子集，ACB,

A選項，A^~B,所以A選項錯誤.

B選項，AuB=Act7,所以B選項錯誤.

C選項，Ar<B=0,所以C選項正確.

D選項，AB20,所以D選項錯誤.

故選：C

【變式5-3】?已知全集。和集合M、N、尸如圖所示，則圖中陰影部分所表示的集合是()

A.Mc(N2P)B.Mc(N2P)

C.ML＞(NDP)D.MC(NCP)

【答案】B

【分析】根據(jù)圖可得陰影部分在集合M中，不在集合N、P中，進而可得答案.

【解析】解：根據(jù)圖可得，陰影部分在集合M中，不在集合N、P中，

則陰影部分所表示的集合是Mc(NuP).

故選：B.

題型06充分必要條件

【典例6-1].己知尤，yeR,貝i]"|x-yl=|x|+lyl"是"孫＜。"的條件.

【答案】必要不充分

【分析】由己知中x,yeR,根據(jù)絕對值的性質(zhì)，分別討論"|x-y|=|x|+|y|"n"-＜。"，與"沖＜O"n

"|x-yl=|x|+lyl",的真假，然后根據(jù)充要條件的定義，即可得到答案.

【解析】若I尤-yl=|x|+lyl,則x，y異號或xy至少有一個為0,故充分性不成立，

若"呼＜0",則尤，y異號,貝「|x-y|=|x|+|y|"成立，

即"|x-y|=|x|+|y|"是"孫＜0"的必要條件;

即"|x-y|=|x|+|y|"是"孫＜0”的必要不充分條件；

故答案為：必要不充分.

【典例6-2].設(shè)a：1＜XW4,B：x＞m,a是夕的充分條件，則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】(力,1]

【分析】由。是￡的充分條件，根據(jù)對應(yīng)集合的包含關(guān)系，可得實數(shù)機的取值范圍.

【解析】回a：1＜XW4,B：x＞m,a是月的充分條件，

則(l,4]=0,+co),則mWl,

回實數(shù)m的取值范圍是(-s,l].

故答案為：（—』].

【變式6-1]."x>y>0"是的（）

xy

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【分析】應(yīng)用作差法，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的推出關(guān)系即可.

2

,1,1、尤2-IV-1（孫+1）（尤一丫）p八

[解析]由尤---（y）=------------=------------,又x>y>0,

xyxyxy

1111

所以x----（y一—）>0,即尤>y__,充分性成立；

xyxy

當(dāng)時，即（￥[1）（X7）>。,顯然x=2,y=-l時成立，必要性不成立.

Xy孫

故〃%>y>0〃是〃x-L的充分非必要條件.

%y

故選：A

【變式6?2].已知〃:爐―2x-8<0,/l-Q<X<2Q-3,且P是4的充分不必要條件，則實數(shù)〃的取值范圍

是?

【答案】

【分析】根據(jù)不等式所表示的集合的關(guān)系列出不等式，解出即可.

【解析】尤z-2彳一8<0,解得一2cx<4,T^A={X|-2<X<4},B={x\\-a<x<2a-3\,

若P是4的充分不必要條件，則AB,

1—aS—Z7

則有G2、/，且等號不會同時取到，解得。

[2Q—3N42

則實數(shù)。的取值范圍是:,+?[.

故答案為：^+c°y

【變式6-3].已知集合人=卜108]原+2）<0],集合8=卜|（彳一4（％-6）<0},若"a=-3"是"AiB^0"

的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍是.

【答案】b>-l

【分析】分別求出關(guān)于A、8的不等式，通過AB#0”,求出6的范圍即可.

【解析】解：4={九|1嗎（"+2）<:0}齡|龍>-1},

a=-3

B={x\{x-a)(x-￡>)<0}=(-3,b)或(6,-3),

由"AB手0",得b>—l,

故答案為：b>-l.

【點睛】本題考查了充分必要條件，考查對數(shù)函數(shù)以及解不等式問題，考查集合的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題.

題型07命題的否定、反證法

【典例7-1】.已知命題p：任意正數(shù)x,恒有(x+l)e、>l,則命題p的否定為.

【答案】存在正數(shù)與，使(x0+l)e，l

【分析】含有全稱量詞的否定，改成特稱量詞即可.

【解析】由全稱命題的否定為特稱命題知：

存在正數(shù)4,使(Xo+l)e&41.

故答案為：存在正數(shù)%,使(Xo+I)e-Vl

【典例7-2].已知陳述句a：所有的aeA滿足性質(zhì)p,則。的否定形式為.

【答案】存在。eA不滿足性質(zhì)p.

【分析】用全稱量詞命題的否定形式即得結(jié)果.

【解析】陳述句a是全稱量詞命題，故其否定形式是：

存在a&A不滿足性質(zhì)p.

故答案為：存在aeA不滿足性質(zhì)”

【變式7-11.若要用反證法證明"若無2+^=0,則x=0且y=。"，應(yīng)假設(shè)為

【答案】xwO或工。

【分析】根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法，應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立，求得要證命題的否定，可得

結(jié)果.

【解析】要證命題的結(jié)論為尤=0且y=o,它的否定為無力0或

故答案為：尤力0或y*o.

【變式7-21.用反證法證明"若/一2彳-3=0,則產(chǎn)-1或％=3"時,應(yīng)假設(shè).

【答案】XW-1且XH3

【分析】根據(jù)反證法，假設(shè)原命題的結(jié)論的否定即可.

【解析】"x=-l或x=3"的否定為"xw-1且XH3".

故答案為：xw—1且尤工3

【變式7-3】.存在xeR,使得〃尤)>。的否定形式是()

A.存在xeR,使得/'("WOB.不存在尤eR,使得/(x)(0

C.對任意的xeR,/(x)<0D.對任意的xeR,/(x)>0

【答案】c

【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可.

【解析】"存在xeR,使得了⑺的否定形式是"對任意的xeR,/(x)<0".

故選：C

題型08集合難點

【典例8-1】.若規(guī)定集合E={0,1,2,，科的子集{?,%,%,%,}為E的第七個子集，其中

左=26+2%+2%++2"”，則E的第2"個子集是.

【答案】{0」,4,6,7}

【分析】正確理解左的含義，々=211時，即要先求出滿足2"<211,2前>211的〃=7,即E的第211個子集

應(yīng)含有的元素，計算出211-27=83,再要求滿足2,<83,2向>83的”=6,即E的第211個子集應(yīng)含有的元

素，如此類推即得.

【解析】因27=128<211,28=256>211,則E的第211個子集必包含7,止匕時211—128=83；

又因26=64<83,27=128>83,則E的第211個子集必包含6,此時83—64=19；

X24=16<19,25=32>19,則E的第211個子集必包含4,此時19-16=3；

又2:2<3,2?=4>3,則E的第211個子集必包含1；而2°=1.

綜上所述，E的第211個子集是{0,1,4,6,7}.

故答案為：{0』,4,6,7}.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于仔細閱讀題目所提供的信息，正確理解集合的新定義的含義，

將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.

【典例8-2],設(shè)集合U”={1,2,3,…為正整數(shù),記/⑺為同時滿足下列條件的集合A的個數(shù):①A3%,

②若xeA,貝！12尤任A,③若xeX,則2了任印，則/(16)=

【答案】256

【分析】任取偶數(shù)XC4,將無除以2,若商仍為偶數(shù)，再除以2,L,經(jīng)過上次后，商必為奇數(shù)，此時商

為m,從而x="2*,的x是否屬于A,由加是否屬于A確定，求得/(〃)的表達式，即可求解.

【解析】任取偶數(shù)xe。,，將x除以2,

若商仍為偶數(shù)，再除以2,L,經(jīng)過七次后，商必為奇數(shù)，此時商為機，

從而x=其中加為奇數(shù)，左eN*,

由題意知，若meA,則xeA等價于％為偶數(shù)；

若利0A,則xeA等價于左為奇數(shù)，

所以x是否屬于A,由“，是否屬于A確定，

設(shè)Q,“是L中所有奇數(shù)的集合，所以/(")是?！钡淖蛹瘋€數(shù)，

當(dāng)"為偶數(shù)(或奇數(shù))時，U“中奇數(shù)的個數(shù)為。(或半)，

所以/⑺=<2不為偶數(shù),所以/(16)=28=256.

2虧,〃奇數(shù)

故答案為：256.

【變式8-1］.設(shè)A、4、A3、L、4是均含有2個元素的集合，且AC4=0,4「4+1=0。=1,2,3,,6),

記8=4口4口4口-口4，則B中元素個數(shù)的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】設(shè)4、X?、L、尤“(〃24)是集合8互不相同的元素，分析可知〃24,然后對〃的取值由小到大進

行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.

【解析】解：設(shè)小馬、L、招(〃")是集合B互不相同的元素，若力=3,則Ac4w0,不合乎題意.

①假設(shè)集合B中含有4個元素，可設(shè)AH%,%｝，則4=4=4=｛玉,及｝，

A=A=4=｛玉，％｝，這與4c4=0矛盾；

②假設(shè)集合8中含有5個元素，可設(shè)A=4=｛/％｝，4=4=｛&，%｝，

A=｛$,占｝,&=｛孫&｝,4=｛*七｝，滿足題意.

綜上所述，集合B中元素個數(shù)最少為5.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查集合元素個數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對集合元素的個數(shù)由小到大

進行分類，對集合中的元素進行分析，驗證題中條件是否成立即可.

【變式8-21.M是正整數(shù)集的子集，滿足：leM2022eM2023eM,并有如下性質(zhì)：若。、beM,則

,其中［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則M的非空子集個數(shù)為.

【答案】22。。_1

【分析】根據(jù)題意，先判斷M中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2,可得2,3,2021eM,從而求出再

根據(jù)子集的個數(shù)與集合元素個數(shù)之間的關(guān)系即可得答案.

【解析】由題意可知：若%,y^M｛x<y),貝ijx+l,九+2,…，>-1均屬于

而事實上，若y—中x+iv￡±2<^±￡<'，

2V2

所以x+14

故［X,y］中有正整數(shù)［后鏟］,

從而“中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2,

故2,3,…，2021eM,

若022024,p&M,則有2023eM,與2023eM矛盾，

當(dāng)。=》=2022時，J},

當(dāng)。=6=1時，則忙J1，

所以［器?。輤［1,2022］,

所以M={1,2,-?,2022）,

所以非空子集有2?_1個.

故答案為：22022-1.

【點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新

的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的

遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新

定義的要求，“照章辦事"，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.

【變式8-3］.已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若aeS,則當(dāng)且僅當(dāng)a=根+a（其中私"eS

且"w"），或。=。+4（其中p,geS,0,qeZ*且〃wq）.現(xiàn)有如下兩個命題:①4GS；②集合

{x|x=3〃+5,〃wN}uS.則下列選項中正確的是（）

A.①是真命題，②是真命題；B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題；D.①是假命題，②是假命題.

【答案】C

【分析】根據(jù)集合s的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合S的定義先判斷5eS,3nsS,再由VxeA,

有x=3a+5,3neS,5eS且3