熱點題型?解答題攻略

專題01空間向量與立體幾何

?>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01直接求線面角...........................................................................2

題型02根據(jù)條件求線面角.......................................................................3

題型03根據(jù)條件求線線角.......................................................................5

題型04直接求二面角...........................................................................5

題型05根據(jù)條件求面面角.......................................................................6

題型06空間中的距離問題.......................................................................8

題型07存在性問題.............................................................................9

題型08其他問題..............................................................................10

?>----------題型探析?明規(guī)律----------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則

割補法

的幾何體

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

2、求空間幾何體的表面積方法歸納：

(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.

(2)旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.

(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.

3、證明平行關系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵.面面

平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

4、(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.

(2)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質

進行推理論證.

5、(1)利用向量法證明平行、垂直關系，關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?盡可能利用垂直條件，準確寫出相關點

的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素).

(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關定理.

題型01直接求線面角

JT

【典例1-1].（2024?上海?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面叢8,平面ABC。，AD//BC,ZABC=-,

2

PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,點。是AB的中點.

⑴求證：POVCD-,

（2）求直線CP與平面POD所成角的正弦值.

【典例1-21.（2022?上海?模擬預測）如圖所示三棱錐P-A3C,底面為等邊三角形A3C,。為AC邊中點,

（1）求三棱錐P-A8C的體積；

（2）若/為BC中點，求與平面刑C所成角大?。ńY果用反三角數(shù)值表示）.

【變式1-1].（2024?上海徐匯.二模）如圖，D為圓錐的頂點，。是圓錐底面圓的圓心，AE為圓。的直徑,

S.AE=AD=4,VA3C是底面圓。的內(nèi)接正三角形，P為線段。。上一點，且DO=?O.

（2）求直線PB與平面PCE所成角的正弦值.

【變式1-2].（2023?上海普陀?三模）如圖，在四棱錐C-ASED中，正方形A5ED的邊長為2,平面ABED,

平面ABC,且3C_LAC,AC=石，點G,F分別是線段EC,BD的中點.

⑴求證：直線Gb〃平面ABC；

（2）求直線GF與平面由汨所成角的大小.

【變式1-31.（2023?上海虹口?三模）已知圓錐的頂點為S,底面圓心為O,半徑為2,母線SA^SB的長為2及，

NAO3=90。且M為線段A8的中點.

A

⑴證明：平面SOM1平面SAB；

⑵求直線SM與平面SQ4所成角的大小.

題型02根據(jù)條件求線面角

【典例2-1].（2024?上海虹口二模）如圖,在三棱柱48<7-4瓦。1中，CA^CB,。為AB的中點，CA=CB=2,

cq=3.

⑵若CG，平面ABC,點尸在棱AA上，且如，平面2（。，求直線CP與平面耳⑦所成角的正弦值.

【典例2-2].（2024.上海.模擬預測）如圖為正四棱錐P-ABCD,。為底面ABCD的中心.

（1）若AP=5,A。=3應，求cPQ4繞PO旋轉一周形成的幾何體的體積；

⑵若AP=AD,E為PB的中點，求直線即與平面AEC所成角的大小.

【變式2-1].（2024.上海奉賢.三模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是梯形，AD//BC,AB±BC,AB=BC=1,

PA_L平面ABC。，CDLPC.

⑴求證：CD,平面P4C

jr

（2）若二面角P-CD-A的大小為w，求與平面PAC所成的角的大小.（結果用反三角函數(shù)值表示）

【變式2-21.（2024高三下.上海.專題練習）如圖，在圓柱中，底面直徑A3等于母線AD,點E在底面的

（1）求證：AF1DB；

（2）若圓柱與三棱錐D-4狙的體積的比等于3萬，求直線DE與平面所成角的大小.

【變式2-3].（2024?上海.模擬預測）如圖，多面體ABCDEF是由一個正四棱錐A-3CDE與一個三棱錐

F-ADE拼接而成，正四棱錐A-3CDE的所有棱長均為3&，且AR//CD.

（1）在棱DE上找一點G,使得平面ABC,平面A/G,并給出證明；

⑵若AF=^CD,求直線與平面ABC所成角的正弦值.

題型03根據(jù)條件求線線角

【典例3-1].（2024高三.上海.專題練習）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，已知底面ABCD為矩形，側面尸4）

是正三角形，側面上4￡>_L底面ABCRM是棱的中點，AD=2.

B

（1）證明：AM_L平面尸CD

7T

（2）若二面角M-8C-O為:，求異面直線AB與PC所成角的正切值.

【變式3-1】.（2024?上海寶山?二模）如圖，已知點尸在圓柱。。?的底面圓。的圓周上，為圓。的直徑.

(1)求證：BP1\P.

（2）若Q4=2,/BOP=60°,圓柱的體積為16信，求異面直線AP與入出所成角的大小.

題型04直接求二面角

【典例4-1].（2024?上海?一模）三棱柱A8C-A與C中，平面ABC,AAB=BC=1,

朋=2,NABC=90。。為CG中點.

B

⑴求四面體A-ABO的體積：

⑵求平面ABD與ACB,所成銳二面角的余弦值.

【變式4-1】.（2024?上海金山?二模）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其內(nèi)部）以A3

邊所在直線為旋轉軸旋轉120。得到的，點G是。尸的中點，點、P在CEE異面直線族與AD所成的角是30。.

⑵若AB=3,AD=2,求二面角E-AG-C的大小.

題型05根據(jù)條件求二面角

【典例5-1].（2024?上海?模擬預測）如圖，PA.PB、PC為圓錐三條母線，AB=AC.

（1）證明:R4_L3C；

⑵若圓錐側面積為百為底面直徑，BC=2,求二面角3-R4-C的大小

【典例5-2】.（2024?上海?三模）如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB=BC=3瓜R4=P3=PC=AC=6,

點。是AC的中點.

⑴證明：POJ_平面ABC；

⑵點M在棱BC上，且求二面角"-叢-C的大小.

【變式5-11（2024高三?上海?專題練習）如圖,在三棱柱ABC-44G中，平面ACC^，平面ABC,ABLBC,

四邊形ACC,A是邊長為2的正方形.

B

⑴證明：BC_L平面AB耳4；

(2)若直線AC與平面山珥A所成的角為30。，求二面角8-4C-A的余弦值.

【變式5-2】.(2024高三?上海?專題練習)小紅同學利用計算機動畫演示圓柱的形成過程，將正方形ABC。

繞直線A3逆時針旋轉與弧度時,。到達EF的位置,得到如圖所示的幾何體.

B

(1)求證：平面ACF_L平面瓦汨；

(2)若M是。尸的中點，求二面角C-AM-E的正弦值.

【變式5-3].(2023?上海浦東新?模擬預測)如圖，直三棱柱ABC-ABC內(nèi)接于圓柱，AB=AAl=BC=2,

平面ABC，平面A41g出

B,

⑴證明：AC是圓柱下底面的直徑;

⑵若〃為AG中點，N為CG中點，求平面A8C與平面所成二面角的正弦值.

【變式5-4】.(2023?上海奉賢?一模)在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.如

圖，已知四面體P-ABC中，PA_L平面ABC,PA=BC=1.

p

（1）若AB=1,PC=6,求證：四面體P-ABC是鱉膈，并求該四面體的體積;

（2）若四面體尸-ABC是鱉膈，當AC=a（a>l）時，求二面角A—3C-P的平面角的大小.

【變式5-5].（2024?上海黃浦.二模）如圖，在四棱錐尸-ABCZ）中，底面A2CD為矩形，點E是棱尸。上

的一點，依〃平面AEC.

⑴求證：點E是棱的中點；

⑵若PAL平面A2CD,AP=2,AD=2日PC與平面所成角的正切值為g,求二面角D-AE-C的

大小.

題型06空間中的距離問題

【典例6-1].（2023?上海崇明?一模）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABC。，AB//CD,

PA=AB=AD^2,CD=\,ZADC=90°,E,尸分別為PB,AB的中點.

⑴求證：CE〃平面尸AD；

⑵求點B到平面PCF的距離.

【變式6-11.（2023?上海楊浦?一模）如圖所示，在四棱錐尸-MCD中，上4,平面ABC。，底面ABC。是

正方形.

Q

(2)設AB=2,若四棱錐尸-ABCD的體積為求點A到平面尸3D的距離.

題型07存在性問題

【典例7-1].(2024?全國?模擬預測)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,

E4_L平面ABC。，E￡>_L平面ABC。，AB=FA=2ED=2.

F

(1)在線段m上是否存在一點G,使得平面即G〃平面CEF?若存在，確定點G的位置；若不存在，請說

明理由.

(2)求二面角B-CF-E的余弦值.

【典例7-1].(2023?上海長寧?三模)已知VABC和V/WE所在的平面互相垂直，ADA.AE,AB=2,AC=4,

NA4c=120。，。是線段3c的中點，AD=y/3.

⑴求證：ADVBE-,

(2)設AE=2,在線段AE上是否存在點尸(異于點A),使得二面角A-M-C的大小為45。.

【變式7-1】.(2024高三.上海?專題練習)如圖，在四面體ABCD中，平面ABC,點”為AB中點,

且A8=AC=2,BC=272>AD=2.

⑵求平面與平面CDM夾角的余弦值；

（3）在直線8D上是否存在點P,使得直線PC與平面CZ泌所成角的正弦值為）？若存在；求空的值；若不

6BD

存在，請說明理由.

題型08其他問題

【典例8-1].（2023.上海普陀?二模）如圖，在直三棱柱ABC-A用G中，AC=4,3c=3,AB=5.

⑴求證：AC±BQ；

⑵設AG與底面ABC所成角的大小為60。，求三棱錐C-A8G的體積.

【典例8-2].（2023?上海閔行?二模）已知正方體A2CD-A瓦G2,點E為AA中點，直線與&交平面CDE

于點

（1）證明：點尸為8。的中點；

⑵若點.為棱A再上一點，且直線MF與平面CDE所成角的正弦值為等,求箸的直

TT

【變式8-1].（2023?上海普陀?一模）圖1所示的是等腰梯形ABC。，AB//DC,AB=2DC=4,ZABC=~,

Jr

（2）若直線PE與平面EBCD所成的角為w，求二面角P-3C-E的大小.

【變式8-2】.（2023?上海嘉定?一模）中國歷史悠久，積累了許多房屋建筑的經(jīng)驗.房梁為柱體，或取整根

樹干而制為圓柱形狀，或作適當裁減而制為長方體形狀，例如下圖所示.

材質確定的梁的承重能力取決于截面形狀，現(xiàn)代工程科學常用抗彎截面系數(shù)w來刻畫梁的承重能力.對于

兩個截面積相同的梁，稱W較大的梁的截面形狀更好.三種不同截面形狀的梁的抗彎截面系數(shù)公式，如下

表所列，

圓形截面正方形截面矩形截面

條件r為圓半徑“為正方形邊長介為矩形的長，6為矩形的寬，h>b

叱=91

抗彎截面系數(shù)W=-r3叱=泮9

i14

(1)假設上表中的三種梁的截面面積相等，請問哪一種梁的截面形狀最好？并具體說明；

(2)宋朝學者李誡在《營造法式》中提出了矩形截面的梁的截面長寬之比應定為3:2的觀點.考慮梁取材于

圓柱形的樹木，設矩形截面的外接圓的直徑為常數(shù)。，如下圖所示，請問〃：6為何值時，其抗彎截面系數(shù)取

得最大值，并據(jù)此分析李誡的觀點是否合理.

o-----------題型通關?沖高考-----------?>

一、解答題

1.(2023?上海?模擬預測)在直四棱柱中，AB//CD,ABLAD,AB=2,AO=3,DC=4

⑴求證：42〃平面Dec.；

(2)若四棱柱ABCD-AAG2體積為36,求二面角\-BD-A大小.

2.（2024.上海楊浦.二模）如圖，P為圓錐頂點，0為底面中心，A,B,C均在底面圓周上，且VABC為

等邊三角形.

（1）求證：平面PQ4_L平面尸BC；

⑵若圓錐底面半徑為2,高為2后，求點A到平面PBC的距離.

3.（2024?上海閔行?二模）如圖，已知ABC。為等腰梯形，AD//BC,/B4D=120。，平面ABC。,

AB=AD=AP=2.

（1）求證：尸CLAB；

⑵求二面角C-3P—A的大小.

4.（2024?上海松江.二模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為菱形，PDL平面ABC。，E為PD的

中點.

⑴設平面與直線PC相交于點尸，求證：EF//CD-,

⑵若AB=2,DAB=60°,尸。=40，求直線BE與平面PAD所成角的大小.

5.（2024?上海嘉定.模擬預測）如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，|B4|=|AB|=20,E、歹分別為尸2、的

中點，平面AEF與棱PC的交點為G

p

(1)求平面AEGF與平面ABC。所成銳二面角的大??；

(2)若「G=XPC，求力的值.

6.(2023?上海寶山?一模)如圖，在直三棱柱A3C-A4G中，AB=BC=BAC=AAI=2,且。、E分別

(1)證明：AC±BE；

(2)求三棱錐O-ABE的體積；

(3)求直線5。與平面山洱所成角的大小.(結果用反三角函數(shù)值表示)

7.(2024?上海靜安?二模)如圖1所示，ABC。是水平放置的矩形，AB=2也,BC=2.如圖2所示，將

沿矩形的對角線8。向上翻折，使得平面平面BCD.

(1)求四面體ABCD的體積V；

(2)試判斷與證明以下兩個問題：

①在平面BCD上是否存在經(jīng)過點C的直線/,使得/LAD?

②在平面3CD上是否存在經(jīng)過點C的直線/,使得"/AD?

8.(2024?上海奉賢.一模)如圖為正四棱錐尸-ABCD,。為底面ABCD的中心.

⑴圖⑵圖

⑴求證：CD//平面RV,平面PAC_L平面PSD；

2

⑵設E為尸8上的一點，BE=-BP.

在下面兩間中選一個，

①若A￡>=AP=3后，求直線比與平面BED所成角的大小.

②已知平面ECD與平面A3CD所成銳二面角的大小為arctan受，若4。=30，求AP的長.

2

熱點題型?解答題攻略

專題01空間向量與立體幾何

?>----------題型歸納?定方向-----------<>

題型01直接求線面角...........................................................................2

題型02根據(jù)條件求線面角.......................................................................8

題型03根據(jù)條件求線線角......................................................................14

題型04直接求二面角..........................................................................16

題型05根據(jù)條件求面面角......................................................................20

題型06空間中的距離問題......................................................................32

題型07存在性問題............................................................................34

題型08其他問題..............................................................................39

艙-----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則

割補法

的幾何體

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

3、求空間幾何體的表面積方法歸納：

(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.

(2)旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.

(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.

3、證明平行關系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵.面面

平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

4、(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.

(2)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質

進行推理論證.

5、(1)利用向量法證明平行、垂直關系，關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?盡可能利用垂直條件，準確寫出相關點

的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素）.

（2）向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關定理.

題型01直接求線面角

TT

【典例1-1].（2024?上海.三模）如圖,在四棱錐尸-458中，平面巳鉆_1平面筋8,AD//BC,ZABC=-,

PA=PB=3,BC=\,AB=2,AD=3,點。是AB的中點.

BC

⑴求證：POYCD-,

（2）求直線CP與平面POD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）i

【分析】（1）利用面面垂直的性質可得尸OJ■平面ABCD,即得尸O_LCD；

（2）根據(jù)（1）的結論，利用題設建系，依次寫出各相關點的坐標，求出平面尸OD的一個法向量，利用空

間向量夾角的坐標公式計算即得.

【解析】（1）因上4=尸3,點。是A3的中點，則POLAB,

因平面PAB_L平面且平面PABC平面=POu平面P4B,故尸O_L平面A2CD,

又CDu平面ABCD,故PO_LCD.

（2）

如圖，取CD中點E,連接OE,由（1）知尸O_L平面ABCZ）,AD//BC,可得OE/ABC,

因/A2C=],故OELAB,則可分別以加,OE,O尸為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.

又PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,則(7(1,1,0),尸(。,0,2"),0(-1,3,0),

于是，CP=(-1,-1,20),。尸=(0,0,272),OD=(-1,3,0),

.OP-n=2A/2Z=0

設平面POD的一個法向量為"=(%,y,z),貝叫，故可取”=(3,1,0),

OD-n=-x+3y=0

\CP-n\|-3-l|_2

設直線CP與平面POD所成角為0,貝Usin，=|cos<CP,ri）|=

\CP\-\nCy/10xyfi0~5

2

即直線CP與平面POD所成角的正弦值為

【典例1-2】.（2022?上海.模擬預測）如圖所示三棱錐P4BC,底面為等邊三角形ABC,。為AC邊中點,

且尸O_L底面ABC,AP=AC=2

B

（1）求三棱錐P-ABC的體積；

⑵若M為8c中點，求PM與平面也C所成角大?。ńY果用反三角數(shù)值表示）.

【答案】（1）1;

(2)0=arcsin—

4

【分析】（1）由棱錐體積公式計算；

（2）建立空間直角坐標系，用空間向量法二面角.

【解析】（1）底面ABC,ACu底面ABC,則PO_LAC,連接B。，同理

又AO=；AC=1,PA=2,二./O=,22—F=6，

而%ABC=-^x2x2xsin60°=A/3,

所以ABC=gPO.S,ABC=；X^xG=l;

(2)由已知BO_LAC,分別以OB,OC,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

由己知BO=+,

則尸(0,0,8),B/,0,0),C(0,l,0),,

PM=（當,;，-6）,易知平面PAC的一個法向量是=（1,0,0）,

2

m-PM廣2_百r

cos(m,PM)=-T，

y^PM1XK1+3

V44

設PM與平面B4c所成角大小為。，則sin0=3,6e[0,7t],0=arcsin

44

【變式1-11.（2024?上海徐匯?二模）如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面圓的圓心，AE為圓。的直徑,

S.AE=AD=4,VABC是底面圓。的內(nèi)接正三角形，尸為線段。。上一點，且。0=通尸0.

（2）求直線尸3與平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）由勾股定理可得R4JLPC,PAYPB，由此即可證明;

（2）方法一：建立空間直角坐標系，求解以及平面尸CE的法向量為“，利用向量的坐標運算得線面夾

角即可；方法二：利用體積相等求解點B到平面PCE的距離，即可得P8與平面PCE所成角.

【解析】（1）證明：由題意得G4=OF=OC=2,AB=BC=AC=26,

DO=VZM2-6M2=2A/3，P。=~~~DO=V2，

o

PA=PB=PC=-JPO2+AO2=V6,

在,以C中，P^+PC2=AC2,得姑_LPC,

同理可得尸3,又PBPC=P,PB,PCu平面P3C,故平面尸3C.

（2）（方法一）如圖所示，以0為坐標原點，OE、OD為y、z軸正方向建立空間直角坐標系，

則點8（后1,0）,C（一招,1,0）,尸（0,0,應）,E（0,2,0）,故馥=（后1,0）,CP=（73,-1,72）,BP=（-欄,-1,也）,

設平面PCE的法向量為n=（%,%z）,

n-CE=y/3x+y=0y=-J3x__

則n<I—,令X=1,可得〃=（1,,

nCP=y/3x-y+V2z=0z=，2y

因此直線網(wǎng)與平面PCE所成角的正弦值"

5

（方法二）PE=>JPO2+OE2BE=CE=dAE，-AC2=2,

則SgcE=百，SPCE=^B.

記點B到平面PCE的距離為d,因為力一BCE=yB-PCE，

所以1則”=回，

3BCE3RE5

設直線依與平面尸CE所成角為e,sine」力,

PB5

因此，直線尸3與平面PCE所成角的正弦值為好.

5

【變式1-2].（2023?上海普陀?三模）如圖，在四棱錐C-ABED中，正方形ABED的邊長為2,平面ABE。，

平面ABC,且3C，AC,AC=JL點G,尸分別是線段EC,3。的中點.

⑴求證：直線G/〃平面ABC；

（2）求直線GF與平面瓦汨所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）連接AE可得G尸為AC的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明；

（2）利用四棱錐C-ABEO的結構特征以及線面垂直的判定定理，建立以B為坐標原點的空間直角坐標系,

利用空間向量和線面角的位置關系，即可求得直線GF與平面所成角的大小為;.

0

【解析】（1）根據(jù)題意可知，連接AE,則AE交3。與尸；如下圖所示：

在八4位中，尸為AE的中點，又點G是線段EC的中點,

所以Gf7/AC,

又GF<z平面ABC,ACu平面ABC,

所以直線Gb〃平面ABC；

（2）由平面ABED_L平面ABC,且平面ABED、平面ABC=AB,

又四邊形ABED是正方形，所以又3Eu平面

所以BE,平面A3C；

過點B作直線y平行于AC,又BCLAC,

所以以8為坐標原點，分別以直線BC,直線，，直線BE為x，y，z軸建立空間直角坐標系；如下圖所示:

由正方形A5E。的邊長為2,BC±AC,AC=6可得，BC=1；

所以B（0,0,0）,C（l,0,0）,E（0,0,2）,r>（l,6,2）；

=（0,0,2）,￡D=（1,73,0）；

又點G,/分別是線段ECBO的中點，所以6[3,0,1）,尸[3，#,1

即GF=0*,0

設平面CDE的一個法向量為〃=（x,y,z）；

n?BE=2z=0_

所以，可得z=o,令％=解得y=—i；

n?ED=x+Jr3y=0

設直線G廠與平面所成的角為仇問0卷,則

nGF

sin^=cos(?,GF解得。=J;

2，0

IT

所以直線G尸與平面由汨所成角的大小為七.

0

【變式1-31.（2023?上海虹口?三模）已知圓錐的頂點為S,底面圓心為O,半徑為2,母線SA、S8的長為2忘,

4403=90。且M為線段A8的中點.

⑴證明：平面平面SA&

⑵求直線SM與平面SQ4所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）arctan

【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明線面垂直再由面面垂直判定定理證明即可;

（2）由線面角定義求線面角求正切再求角即可.

【解析】（1）因為40=5。,M為A3中點，所以

因為SOI?平面AOB,ABu平面AOB,

所以且OMSO=O,OMu平面SOM,SOu平面SOM,

所以AB_L平面SOM,

又因為ABu平面5AB,所以平面SAB_L平面SOM.

s

設AO的中點為N,連接MN、SN,則肱V〃03,

因為OA_LO3,所以。4_LMV,

因為SO_L底面AOB,所以SO_LMN,SOu平面SQ4,OAu平面SQ4,OAOS=O,

所以的V_L平面SQ4,

所以ZMSN即是直線SN與平面SCM所成角.

因為圓錐的底面半徑為2,母線長為20，所以高SO=2,

得SNf,MN=l.

因為SNLMN,

所以tan/A?N=g^=好，

SN5

所以/MSN=arctan~

5

題型02根據(jù)條件求線面角

【典例2-1].（2024?上海虹口?二模）如圖，在三棱柱A2C-A用G中，CA^CB,。為AB的中點，CA=CB=2,

⑴求證：AC1〃平面

⑵若CC1,平面ABC,點尸在棱AA上，且陽，平面BC。，求直線CP與平面瓦⑦所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）連接BG，交BC于點E,連接OE,即可得到ACJ/DE,從而得證；

（2）建立空間直角坐標系，設點P的坐標為（2,0,f）（0WfW3）,由陽，平面耳CO,則DPOg=0即可求

出"從而確定尸點坐標，再由空間向量法計算可得.

【解析】（1）連接8G，交用C于點E,連接OE,

。為A3的中點，在平行四邊形BB&C中E為BG的中點,

:.DE是ABC的中位線，可得ACJ/DE,

（^人6也平面片。，。石（=平面8。。，

.-.AG〃平面片CD；

(2)因為CG，平面ABC,AC,BCu平面ABC,所以CG^AC,CC,1BC,XC4±CB,

故以點C為坐標原點，直線C4,CB,CG分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

則C(0,0,0),A(2,0,0),2(0,2,0),￡>(1,1,0),A(2,0,3),B,(0,2,3),C,(0,0,3).

設點尸的坐標為(2,0j)(0W),則DP=(1,-1,r),DR=(-1,1,3),

因為P￡>_L平面與CD,平面耳CD,所以尸O_LZ>31,

2

所以DPD4=lx(—l)+lx(-l)+3r=3t-2=0,解得/=§,經(jīng)檢驗符合題意.

所以尸卜,。?],則CP=[2,0,11,

又CD=(l,l,0),CB,=(0,2,3),

設平面與?！?的一個法向量為〃二(元,y,z)，

x=-y

n-CD=x+y=0

則,即2，取y=-3得”=(3,-3,2),

n?CB]=2y+3z=0z=-y

3

設直線CP與平面B}CD所成的角為巴

77

則sin"I°sCiP"M=Fv^二J元55,

故直線CP與平面B/D所成角的正弦值為嚕.

【典例2-2].（2024.上海.模擬預測）如圖為正四棱錐P-ABCD,。為底面A3。的中心.

p

(1)若AP=5,A。=30,求,POA繞PO旋轉一周形成的幾何體的體積;

(2)若AP=AD,E為PB的中點，求直線與平面AEC所成角的大小.

【答案】(1)12兀

【分析】(1)根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形PQ4的邊長，然后求圓錐的體積；

(2)連接班,EO,EC,可先證BE，平面ACE,根據(jù)線面角的定義得出所求角為/BOE,然后結合題目數(shù)

量關系求解.

【解析】(1)正四棱錐滿足且PO_L平面ABCD,由AOu平面ABCD,則PO_LAO,

又正四棱錐底面A58是正方形，由A￡)=3正可得，49=3,

故尸O=JPA=-AO2=4,

根據(jù)圓錐的定義，PQ4繞尸。旋轉一周形成的幾何體是以尸0為軸，40為底面半徑的圓錐，

即圓錐的高為尸0=4,底面半徑為49=3,

根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是gx兀x3?x4=12兀

(2)連接所,EO,EC,由題意結合正四棱錐的性質可知，每個側面都是等邊三角形，

由E是尸8中點，則尸3,又AE'CE=E,AE,CEu平面ACE,

故尸3L平面ACE,即8E_L平面ACE,又BD平面ACE=O,

于是直線3。與平面AEC所成角的大小即為/30E,

不妨設AP=AD=6,則8。=3魚,BE=3,sinZBOE=—==—,

3V22

TT

又線面角的范圍是0,-,

TT

故/BOE=：.即為所求.

4

【變式2-1].（2024?上海奉賢?三模）如圖，四棱錐尸-ABCZ）的底面是梯形，AD//BC,AB±BC,AB=BC=1,

PA_L平面ABC。，CDLPC.

P

⑴求證：CD平面PAC

冗

（2）若二面角P-CD-A的大小為求PO與平面PAC所成的角的大小.（結果用反三角函數(shù)值表示）

【答案】（1）證明見解析；

（2）arctan；.

【分析】（1）利用線面垂直的性質、判定推理即得.

（2）由已知及（1）確定二面角的平面角及線面角，再結合數(shù)量關系求出線面角的正切.

【解析】（1）在四棱錐尸-ABCD中，連接AC,由PA_L平面A5CD,CDu平面ABCZ）,

得CD_LR4,而CD工PC,PAPC=尸,P4,PCu平面PAC,

所以CD_L平面PAC.

P

（2）在梯形ABCD中，由ABL3C,AB=BC=1,得AC=0,又ADIIBC,

TT

則NCAr>=4BCA=-,由（1）知，CD_L平面PAC,ACu平面PAC,得CD_LAC,

4

則CO=AC=夜，/DPC是尸￡>與平面PAC所成的角，/PC4是二面角P-CD—A的平面角,

jr

即/PCA=§,在RtZXPAC中，PA±AC,于是PC=2AC=20,

因此tanZDPC=密=；,所以P￡）與平面PAC所成角的大小為arctan1.

【變式2-2].（2024高三下.上海.專題練習）如圖，在圓柱中，底面直徑48等于母線AD,點E在底面的

圓周上，且AF1DE,尸是垂足.

E

(1)求證：AFLDB；

(2)若圓柱與三棱錐O-ABE的體積的比等于3萬，求直線DE與平面ABD所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)arctan

【分析】(1)根據(jù)題意，證得EB_L平面ZME,得到結合AF_LDE,證得AF_L平面由，進而

證得AF_LZJB；

(2)過點E作即_LAB,證得EH平面ABD,得到ZED”是DE與平面ABD所成的角，設圓柱的底面

半徑為R,求得心力一.=3兀，進而求得NEDH的值.

【解析】(1)證明：根據(jù)圓柱性質，ZM_L平面W,

因為EBu平面W,所以D4J.EB,

又因為AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，所以

因為>1￡^加=4且4瓦》1匚平面1)/場，所以EB_L平面DAE,

又因為AFu平面ZME,所以EB_LAF,

因為AF1DE,且EBIDE=E,且E8,OEu平面DEB,所以AF_L平面DEB,

又因為￡>Bu平面ZJEB,所以AF_L￡>B.

(2)解：過點E作E"LAB,//是垂足，連接

根據(jù)圓柱性質，平面ABD_L平面ABE,且平面ABDc平面ABE=M,

且EHu平面ABE,所以JL平面ABD,

因為DHu平面A3D,所以DH是即在平面ABD上的射影，

從而ZEDH是DE與平面ABD所成的角，

設圓柱的底面半徑為R,則04=43=27?,

1OR2

所以圓柱的體積為丫=2兀g,且VD_ABE=-AD-SABE=--EH,

由V：%-A8E=3兀，可得EH=R,可知H是圓柱底面的圓心，且AH=R,

S.DH=y/DA2+AH2=小R,

在直角「EQ”中，可得tan/EZ汨=黑=r，所以NEDF/=arctang.

【變式2-3】.(2024?上海?模擬預測)如圖，多面體ABCDEF是由一個正四棱錐A-3CDE與一個三棱錐

歹-ADE拼接而成，正四棱錐A-BCDE的所有棱長均為3〃，且AR//CD.

(1)在棱OE上找一點G,使得平面ABC,平面A/G,并給出證明；

(2)若=求直線。尸與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)點G為DE的中點，證明見解析

0、2癡

⑵'

【分析】(1)當點G為DE中點時，平面ABC,平面AFG,依題意可得AGLDE,從而得到AGL3C,再

由AF/8C,即可證明平面A尸G,從而得證；

(2)建立合適的空間直角坐標系，利用線面角的空間向量求法即可.

【解析】(1)當點G為DE中點時，平面ABC,平面APG,

證明如下：因為四棱錐A-BCDE是正四棱錐，所以A￡>=AE,所以AG_LDE.

在正方形BCZ)E中，DE//BC,所以AG_L_BC,

在正方形3CZJE中，CD1.BC,因為Af7/CD,所以

因為A尸cAG=A,A￡AGu面AfG,

所以BC_L平面AFG,

因為BCu平面ABC,所以平面ABCL平面A/G.

(2)因為四棱錐A-BCDE是正四棱錐且所有棱長均為3夜，設CEcBD=O,

則OC,OD,Q4兩兩垂直，

以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,3),B(0,-3,0),C(3,0,0),0(0,3,0),則CD=(-3,3,0),

設歹(a,b,c),則AF=(q,瓦c-3),因為Af7/CZ),AF=|cD,

a=；x(-3)

a——\

所以Ab=ga>,貝卜b=gx3,解得，

b=l,所以b(—1,1,3),