熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題05圓錐曲線(十二大題型)

?>----------題型歸納?定方向-----------<>

題型01定點(diǎn)問題...............................................................................2

題型02定直線問題.............................................................................2

題型03定值問題...............................................................................3

題型04最值問題...............................................................................4

題型05取值范圍問題...........................................................................4

題型06向量問題..............................................................................5

題型07弦長、焦點(diǎn)弦問題.......................................................................6

題型08數(shù)列在圓錐曲線的應(yīng)用...................................................................6

題型09軌跡問題...............................................................................6

題型10新定義題...............................................................................7

題型11三角形的“心''在圓錐曲線的應(yīng)用...........................................................7

題型12證明恒等式............................................................................8

*>----------題型探析?明規(guī)律----------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路

(1)把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要

對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組，這個(gè)方程組的

解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn).

(2)由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0),則直線必過定點(diǎn)(x0,y0)；

若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m).

2、圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.

(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求

得.

(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.

3、圓錐曲線中最值的求法

(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.

(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，

求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

4、圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

5、存在性問題的解題策略

存在性的問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.

(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論.

(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.

(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.

題型01定點(diǎn)問題

22

【典例1-1】.(2024.上海寶山.一模)已知橢圓「二+21=1,直線/經(jīng)過橢圓「的右頂點(diǎn)尸且與橢圓交于

93

另一點(diǎn)A,設(shè)線段AP的中點(diǎn)為Af.

⑴求橢圓「的焦距和離心率；

(2)若心”=-g,求直線轉(zhuǎn)的方程；

⑶過點(diǎn)尸再作一條直線與橢圓「交于點(diǎn)8,線段8P的中點(diǎn)為N.若OMLON,則直線A8是否經(jīng)過定點(diǎn)？

若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【變式1-11.(2024?上海?三模)阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、

物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長

22

的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C:=+e=1(。>b>0)的面積等于271，且橢圓C的焦距為2上.點(diǎn)P(4,0)、

ab

。(0,2)分別為X軸、y軸上的定點(diǎn).

⑴求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)R為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形PQR面積的最小值，并求此時(shí)R點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,已知A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為8點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N,已

知P、M、N三點(diǎn)共線，試探究直線/是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

題型02定直線問題

【典例2-1].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知A、3是橢圓E:亍+的左、右頂點(diǎn)，橢圓石

的長軸長是短軸長的2倍，點(diǎn)”（私。）（相>。）與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.

（1）求橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶過點(diǎn)M作直線/交橢圓E于C、。兩點(diǎn)（與A、8不重合），連接AC、BD交于點(diǎn)G.證明：點(diǎn)G在定

直線上；

丫2d1

【變式2-1].（23-24高三下.上海.開學(xué)考試）已知橢圓r*+%=l（a>6>0）的離心率為?左右焦點(diǎn)分

別為昂耳，M是橢圓上一點(diǎn)，|町|=2,-0°.

（1）求橢圓的方程；

⑵過點(diǎn)N（l,l）的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，R為線段尸。中點(diǎn).

（D求證：R點(diǎn)軌跡方程為

43

（ii）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OR與橢圓交于點(diǎn)S,點(diǎn)G為直線OR上一動(dòng)點(diǎn)，S.OROG=2OS2>求證：點(diǎn)G

在定直線上.

題型03定值問題

【典例3-1]】.（2024?上海徐匯?一模）已知過點(diǎn)尸（3,碼的雙曲線C的漸近線方程為x±6y=0.如圖所示，

過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線/交C的右支于A3兩點(diǎn).

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知點(diǎn)0（|,o],求證：ZAQF=ZBQF;

3

（3）若以A3為直徑的圓被直線x=1截得的劣弧為MV，則MV所對(duì)圓心角的大小是否為定值？若是，求出

該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

22

【變式3-1].（2024?上海嘉定.一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓「:三+?=1,耳，鳥是其左、右焦

點(diǎn)，過橢圓「右焦點(diǎn)F2的直線尸。交橢圓于尸，。兩點(diǎn).

⑴若PF「PF；=3,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若耳尸。的面積為4盤0，求直線尸。的方程；

(3)設(shè)直線/與橢圓r交于A,8兩點(diǎn)，M為線段42的中點(diǎn).當(dāng)kOM-kAB=kOA-kOB時(shí)，△OAB的面積是否為定

值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

題型04最值問題

【典例4-1].(24-25高三上?上海奉賢?期中)已知點(diǎn)G是圓T:(x+iy+y2=i6上一動(dòng)點(diǎn)(T為圓心)，點(diǎn)、H

的坐標(biāo)為(1,0),線段G8的垂直平分線交線段TG于點(diǎn)K,動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

3

(2)M,N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、ON的斜率分別為左和月，且秘?=則AMON

的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；

(3)設(shè)尸為曲線C上任意一點(diǎn)，延長。尸至0,使。。=3。尸，點(diǎn)。的軌跡為曲線E,過點(diǎn)尸的直線/交曲線

E于A、B兩點(diǎn),求一AQ3面積的最大值.

【變式4-1].(2024?上海.模擬預(yù)測(cè))如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「￡+丁=1的左，右焦點(diǎn)外別

為月，耳，設(shè)P是第一象限內(nèi)「上的一點(diǎn)，PR、P區(qū)的延長線分別交1于點(diǎn)Q2.

⑴求△尸片Q的周長；

⑵求△尸耳&面積的取值范圍；

(3)求一Sg尸20]的最大值.

題型05取值范圍問題

22

【典例5」】.(2024?上海青浦?一模)已知橢圓C:土+匕=1,產(chǎn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線I交

43

橢圓C于A、B兩點(diǎn).

kO\FJX

⑴若直線l垂直于X軸，求橢圓C的弦48的長度；

⑵設(shè)點(diǎn)尸（-3,0）,當(dāng)ZPAB=90時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑶設(shè)點(diǎn)“（3,0）,記MA、例8的斜率分別為尤和k2,求匕+履的取值范圍.

【變式5-1】.（2023?上海閔行?一模）已知0<p<4,曲線口、口的方程分別為丁=22.0《》48,）^0）和

Xi=2py（0<y<8,x>0）,卻與一在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)長（取,米）?

⑴若|OK|=4A歷，求P的值；

（2）若。=2,定點(diǎn)T的坐標(biāo)為（4,0）,動(dòng)點(diǎn)M在直線y=x上，動(dòng)點(diǎn)N（XN，%）（0（XN?4）在曲線上，求

+的最小值；

⑶已知點(diǎn)4&,%）（0三玉WxQ、3（肛力）（a<々V8）在曲線一上，點(diǎn)A、3關(guān)于直線丫=%的對(duì)稱點(diǎn)分別

為C、D,設(shè)的最大值為機(jī)，怛的最大值為/,若:e1,2,求實(shí)數(shù)P的取值范圍.

題型06向量問題

【典例6-1].（2023?上海奉賢?一模）已知橢圓]+/=l（a>6>0）的焦距為26，離心率為華,橢圓的

左右焦點(diǎn)分別為《、F2,直角坐標(biāo)原點(diǎn)記為0.設(shè)點(diǎn)尸（0,。，過點(diǎn)尸作傾斜角為銳角的直線/與橢圓交于不

同的兩點(diǎn)8、C.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)T,求尸廠（巧-%）的取值范圍；

⑶設(shè)線段BC的中點(diǎn)為M,當(dāng)『2行時(shí)，判別橢圓上是否存在點(diǎn)Q,使得非零向量OM與向量PQ平行，請(qǐng)

說明理由.

題型07弦長、焦點(diǎn)弦問題

22

【典例7-1].(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)尸(1,1)在雙曲線廠j-與=1的一條漸近線上，片,8為雙曲線

ab

的左、右焦點(diǎn)且居P?鳥尸=0.

⑴求雙曲線「的方程；

(2)過點(diǎn)尸的直線/與雙曲線「恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線/的方程；

(3)過點(diǎn)尸的直線/與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)A、B,求證：|ABL＜2.7.

22

【變式7-11.(2024?上海.三模)已知雙曲線「：宗一方=1(。＞0,匕＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為3、F2.

(1)若「的長軸長為2,焦距為4,求「的漸近線方程：

(2)若匕=4,雙曲線「左支上任意點(diǎn)T均滿足|%|22a,求。的最大值；

(3)若雙曲線：T的左支上存在點(diǎn)尸、右支上存在點(diǎn)Q滿足|%|=戶0=|。8|,求：T的離心率e的取值范圍.

題型08數(shù)列在圓錐曲線的應(yīng)用

【典例8-1】?(23-24高三上?上海寶山?開學(xué)考試)設(shè)拋物線「丁=2/(°＞0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)歹的直線

與拋物線交于A,3兩點(diǎn).

⑴若p=2,求線段AF中點(diǎn)M的軌跡方程；

⑵若直線AB的方向向量〃=。,2),當(dāng)焦點(diǎn)為尸時(shí)，求△CMB的面積；

(3)若M是拋物線「準(zhǔn)線上的點(diǎn)，直線M4,MB,Mb的斜率分別為%%，*求證：網(wǎng)為配卷的等差中

項(xiàng).

題型09軌跡問題

【典例9-1].(22-23高三上?上海寶山?期中)已知中心在原點(diǎn)。，左焦點(diǎn)為耳(-1,0)的橢圓G的左頂點(diǎn)為A,

上頂點(diǎn)為8,片到直線A8的距離為也|。玲

⑴求橢圓G的方程；

⑵過點(diǎn)尸(3,0)作直線/,使其交橢圓C1于R、S兩點(diǎn)，交直線x=1于。點(diǎn).問：是否存在這樣的直線，，使|P0

是|PR|、|PS|的等比中項(xiàng)？若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由；

2222

⑶若橢圓C1方程為，+當(dāng)=1(°＞匕＞0),橢圓3方程為：A+2r=%(%＞0,人1),則稱橢圓C?是橢圓G的

cibcib

左倍相似橢圓.已知G是橢圓的3倍相似橢圓，若直線y=sx+r與兩橢圓C1、c,交于四點(diǎn)(依次為尸、。、

R、S),且2S+RS=2QS,試研究動(dòng)點(diǎn)E(sj)的軌跡方程.

【變式9-11.(2021?上海黃浦?三模)已知直線/：y=x+,w交拋物線C：V=4尤于AB兩點(diǎn).

(1)設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為T,若能=2蘇，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若點(diǎn)M、N在拋物線C上，且關(guān)于直線/對(duì)稱，求證：A&M、N四點(diǎn)共圓：

(3)記尸為拋物線C的焦點(diǎn)，過拋物線C上的點(diǎn)P、。作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)U、V,若的面積

是△PQP的面積的兩倍，求線段P。中點(diǎn)的軌跡方程.

題型10新定義題

【典例10-1].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))我們把由半橢圓《+/=l(x20)與半橢圓，■+!=l(x<0)

合成的曲線稱作“果圓”，其中4=62+°2,。>0,b>c>0.如圖，設(shè)點(diǎn)與，耳,F?是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A，

為和4，旦是“果圓”與x,y軸的交點(diǎn)，M是線段A4的中點(diǎn).

22

⑴設(shè)尸是“果圓”的半橢圓斗+==l(x<0)上任意一點(diǎn)，且6=4,c=3.求證：當(dāng)1PMi取得最小值時(shí)，尸在

bc

點(diǎn)A處；

⑵若尸是“果圓”上任意一點(diǎn)，求戶照取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

⑶連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)上,使斜率為上的“果圓”平行弦的

中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的左值；若不存在，說明理由.

題型U三角形的“心”在圓錐曲線的應(yīng)用

【典例11-1】.(2024.上海.二模)在VABC中，已知3(-1,0),C(l,0),設(shè)G,H,W分別是VABC的重心、

垂心、外心，且存在XeR使G方=ZBC.

⑴求點(diǎn)A的軌跡「的方程；

(2)求VABC的外心W的縱坐標(biāo)機(jī)的取值范圍；

S7

(3)設(shè)直線AW與「的另一個(gè)交點(diǎn)為記△AWG與MG”的面積分別為SjS?,是否存在實(shí)數(shù)力使肅=石？

若存在，求出義的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

【變式11-1].(2022?上海青浦.二模)已知橢圓「上+匕=1的右焦點(diǎn)為八過尸的直線/交「于A,3兩

(1)若直線/垂直于x軸，求線段的長；

⑵若直線/與x軸不重合，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求VAQB面積的最大值；

(3)若橢圓「上存在點(diǎn)C使得|AC|=|3C|,且VABC的重心G在＞軸上，求此時(shí)直線/的方程.

題型12證明恒等式

【典例12-11?(2023?上海楊浦?模擬預(yù)測(cè))貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線.法

國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了。算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根

據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線.反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)

論.如圖所示，拋物線「尤2=2py,其中。＞0為一給定的實(shí)數(shù).

(1)寫出拋物線「的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

(2)若直線l:y^kx-2pk+2p與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；

⑶如圖,A,B,C是H上不同的三點(diǎn),過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D,E,R證明：[照==黑

IDE||FC|IBF

題型通關(guān)?沖高考

一、解答題

22

1.(2020.上海普陀?一模)已知雙曲線「1-2=1(°＞0,6＞0)的焦距為4,直線/：x-沖一4=0(MWR)與

ab

「交于兩個(gè)不同的點(diǎn)D、E，且〃2=0時(shí)直線/與：T的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.

⑴求雙曲線「的方程；

(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)。在以線段。E為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)設(shè)A、8分別是「的左、右兩頂點(diǎn)，線段8。的垂直平分線交直線8。于點(diǎn)P,交直線A。于點(diǎn)。，求證：

線段尸。在x軸上的射影長為定值.

2.(2024?上海奉賢?一模)橢圓「吞+產(chǎn)=1(。＞1)的左右焦點(diǎn)分別為耳B，設(shè)Pg,小)是第一象限內(nèi)橢圓

上的一點(diǎn)，尸片的延長線交橢圓于點(diǎn)

(1)若橢圓的離心率等，求a的值；

⑵若a=V2,PQ-OFX=￡，求/;

(3)若。=2,過點(diǎn)T(OJ)的直線/與橢圓「交于“、N兩點(diǎn)，且|跖V|=2,則當(dāng)此0時(shí)，判斷符合要求的直線

有幾條，說明理由？

3.(2024.上海.三模)已知拋物線「:/=2y的焦點(diǎn)為F過點(diǎn)T。/)的直線/與「交于48兩點(diǎn).設(shè)「在

點(diǎn)A、B處的切線分別為4，34與x軸交于點(diǎn)4與％軸交于點(diǎn)M設(shè)《與4的交點(diǎn)為P.

(1)設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a,求切線4的斜率，并證明根，4；

⑵證明：點(diǎn)P必在直線＞=》-1上；

(3)若P、M、N、T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題05圓錐曲線(十二大題型)

*>----------題型歸納?定方向-----------<>

題型01定點(diǎn)問題...............................................................................2

題型02定直線問題.............................................................................6

題型03定值問題..............................................................................11

題型04最值問題..............................................................................15

題型05取值范圍問題..........................................................................18

題型06向量問題.............................................................................23

題型07弦長、焦點(diǎn)弦問題......................................................................24

題型08數(shù)列在圓錐曲線的應(yīng)用.................................................................28

題型09軌跡問題..............................................................................30

題型10新定義題..............................................................................34

題型11三角形的“心''在圓錐曲線的應(yīng)用..........................................................38

題型12證明恒等式...........................................................................42

艙-----------題型探析?明規(guī)律-----------令

【解題規(guī)律?提分快招】

1、求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路

(1)把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要

對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組，這個(gè)方程組的

解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn).

⑵由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)—y0=k(x—x0),則直線必過定點(diǎn)(xO,yO)；

若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m).

2、圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.

(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求

得.

(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.

3、圓錐曲線中最值的求法

(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.

(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，

求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

4、圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

5、存在性問題的解題策略

存在性的問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.

(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論.

(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.

(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.

題型01定點(diǎn)問題

22

【典例1-1】.(2024.上海寶山?一模)已知橢圓「L+匕=1,直線/經(jīng)過橢圓「的右頂點(diǎn)尸且與橢圓交于

93

另一點(diǎn)A,設(shè)線段AP的中點(diǎn)為

(1)求橢圓「的焦距和離心率；

(2)若k0M=_g，求直線AP的方程；

(3)過點(diǎn)尸再作一條直線與橢圓「交于點(diǎn)B,線段3P的中點(diǎn)為N.若OMLON,則直線48是否經(jīng)過定點(diǎn)？

若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)2而，逅

3

(2)%-'-3=0

⑶直線A3經(jīng)過定點(diǎn)\|,。］

【分析】(1)根據(jù)橢圓方程確定“、b,利用c=^/?T乒解出c即可求解；

(2)設(shè)直線AP的方程x=(y+3,直曲聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理得：%+%=恩-6t，結(jié)合M為AP中點(diǎn)解出M坐

標(biāo)，再利用心材解出/=1,即可求解；

(3)分直線AB斜率存在與不存在兩種情況討論，斜率存在時(shí)，設(shè)出A8方程，直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)

合已知條件，求出直線過定點(diǎn)；斜率不存在時(shí)，設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出M、N坐

標(biāo)，結(jié)合已知條件，求出直線過定點(diǎn)，兩種情況綜合即可求解.

【解析】(1)由a=3力=6得。=而萬=&，所以焦距2c=2",離心率e=￡=邁.

a3

(2)

因?yàn)辄c(diǎn)M與點(diǎn)P不重合，M為AP中點(diǎn)，所以％=,

2廠+3

(9-3t

代入方程無=少+3,解得乙=/*+3=/。一,所以可得點(diǎn)“

M產(chǎn)+3d+3I廠+3r+3

-3/1

于是由無M=T=＜得f=l，直線AP的方程：尤-y—3=0.

(3)

22

①當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：y=-m,與橢圓「土+匕=1,

93

y=kx+m2

聯(lián)立2,得：江+("+〃，)=1,

——+—=193

I93

整理得：(342+l^x2+6Amx+3m2-9=0,

_-6km

玉十%-3r+1

設(shè)401，為）,3（%2，丫2），由韋達(dá)定理得

3m2-9

xx

x23F+1

且△=36k2病-4（3F+l）（3/n2-9）>0,化簡得蘇-泌?-3<0,

又尸（3,。），從而,智事，

由OM_LON可得OM.ON=0，從而（%+3）（9+3）+另%=°，

又因?yàn)閥x=kxx+m,y2=kx2+m,

所以上式化為：(%+3)(%2+3)+(^+m)(Ax2+m)=0

整理得：(女之+1)玉42+(6/2+3)(%]+/)+M2+9=0,

韋達(dá)定理代入：,-+1)(3—9)+—6/^?(版+3)+療+9=0

3人2+13左2+1

化簡得：9k2-9km+2m2=0.

3

(3^-2m)(3^-m)=0,所以〃z=3左或m=5左

當(dāng)“z=3左時(shí)，直線A3為：y-kx+3k-k[x+i）,

直線AB經(jīng)過點(diǎn)（-3,0）,舍去；

當(dāng)機(jī)=。左時(shí)，直線AB為：y=fcv+|^=A-|x+||,

22I2J

此時(shí)（公-9/-3<0成立，直線AB經(jīng)過定點(diǎn),，0

②當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),設(shè)B（m,-ri）,

m+3nm+3nm+3-n

則MOM=,ON=

2,22'522

代入OM-ON=0，得入=("+3)2

“23

與行+(=1聯(lián)立得：2m2+9m+9=0Mm=-1

此時(shí)直線AB也經(jīng)過點(diǎn)

綜上，直線回經(jīng)過定點(diǎn)[-土，°

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題關(guān)鍵在于設(shè)分斜率存在與不存在兩種情況設(shè)出直線方程,

利用直曲聯(lián)立得到方程，結(jié)合韋達(dá)定理解決問題.

【變式1-11.(2024.上海.三模)阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、

物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長

22

的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C:二=l(a>6>0)的面積等于2兀，且橢圓C的焦距為26.點(diǎn)P(4,0)、

ab

。(0,2)分別為尤軸、y軸上的定點(diǎn).

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)R為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形尸面積的最小值，并求此時(shí)R點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,己知A關(guān)于>軸的對(duì)稱點(diǎn)為8點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N,已

知P、M、N三點(diǎn)共線，試探究直線,是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴工+9=1

4

(2)4-2速,

⑶直線/恒過定點(diǎn)

22

【分析】(1)根據(jù)橢圓C的焦距可求出2c,由橢圓C:，+斗=1(。>b>0)的面積等于2兀得如：=2兀，求出,

ab~

即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)R(2cos6,sin0)(。為參數(shù))，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出R到直線尸。的距離為

2asin(e+工)-4

,4由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定d的最小值，即可求解；

a=------------)=----------

石

(3)設(shè)直線/：x=〃zy+f,A區(qū),必),刀(無2，%)，進(jìn)而寫出為M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，將直線/：x=my+f與橢圓C的

方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求M+%，%，%，由尸、M、N三點(diǎn)共線可知%加=，將M+%，%，%代入并

化簡，得到根J的關(guān)系式，分析可知/經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】(1)由題意知，橢圓的面積知訴=2兀，得奶=2,

ab=2

f—\a=2

又2c=2石，所以<°=百，解得11，

\b=l

〃9=69+c9

所以橢圓C的方程為三+y2=l；

4

(2)由題意得，直線尸。方程為:+]=1,即x+2y-4=0,設(shè)R(2cose,sinP)(。為參數(shù))，

則點(diǎn)R到直線尸。的距離為cos。+sin。-4|_2asin(0+-)-4

忑一忑

當(dāng)sin(d+)1即喧曰"三時(shí)，d取得最小值,且最小值為上泮

所以PQR的面積的最小值為治n=:力尸。=:土若-2石=4-20,

22A/5

此時(shí)R(s/2,

(3)設(shè)直線/：彳=%+"A(和％),8(無2，為)，則N(-x2,-y2),

P、M、N三點(diǎn)共線，得%叫…事=六

%(%+4)+%(占+4)=0,

直線I'.x^my+t與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，升=+/,%=my,+1,

y1(my2+t+4)+y2(myl+t+4)=0,:.2myiy2+(t+4)(yl+y2)=0,

2mt

%+%=mT+~47

x=my+1

『一4

由,爐,得(M+4)9+2根Zy+/-4=0,.1

——+y=1

14,

A>0

2mt

y+%=——1―7

m+4

,2—4

光?%=,2彳，代入2/孫為+1+4)(%+%)=。中，

m+4

m2+4>t2

產(chǎn)一4(2mt

2m——+Q+4)-=0,2根-4)+?+4)(—2根/)=0,

加2+4、\m2+4

8mo+1)=0

當(dāng)〃z=o,直線/方程為x=r,則M,N重合，不符合題意;

當(dāng)"-1時(shí)，直線/：彳=陽-1,所以直線/恒過定點(diǎn)(T0).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消

元得到關(guān)于X或y的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式,

該關(guān)系中含有玉々，為+%或％%，%+%，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從

而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.

題型02定直線問題

【典例2-1】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知A、3是橢圓氏/+9=1（“>1）的左、右頂點(diǎn)，橢圓￡

的長軸長是短軸長的2倍，點(diǎn)"（〃2,0）（〃z>0）與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.

（1）求橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶過點(diǎn)M作直線/交橢圓E于C、。兩點(diǎn)（與A、B不重合），連接AC、8。交于點(diǎn)G.證明：點(diǎn)G在定

直線上；

【答案】⑴離心率為標(biāo)準(zhǔn)方程為《+丁=1

24

⑵“（3,0）

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求出。的值，進(jìn)而可求得。的值，由此可得出橢圓E的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)

方程；

（2）設(shè)P（&,yo）,利用兩點(diǎn)間距離公式得|尸閭=可/加2+i,然后根據(jù)0<加《；、根〉:分類

V4y3J322

討論求解即可；

（3）設(shè)直線/的方程為x="+3,C（%,yJ、與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得

寫出直線AC、的方程，進(jìn)而求解即可；

【解析】（1）由題意可知，橢圓E:[+y2=ig>i）的長軸長為2a,短軸長為2,

由題意可得。=2,則c=y/a2-1=百，

因此，橢圓石的離心率為e=￡=走，其標(biāo)準(zhǔn)方程為二+丁=1.

a24

（2）設(shè)PQofo）是橢圓上一點(diǎn)，貝1J片+4必=4,

2

因?yàn)閨PM\=J（心+y；=JXQ—2mx+m+1—322

0=J—x—2mx+m+1

4Q0

2

-；川+（工冗0）

m1-2V2

3/i

若0〈根時(shí)，則0<——<2,\PM\.=.l--m2=1,解得m=0（舍去），

23?I1?1A|3

34M?

若機(jī)〉一時(shí)，則>2,貝-4-4m+m2+1=1,解得機(jī)=1（舍去）或加=3,

231lmin74

所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）.

（3）設(shè)直線/的方程為％=為+3,C&,yJ、￡）（蒞,%），

x=ty+3

由丁2，得（入4b2+6”+5=0,所以芳+%=-品，%%=六，

----Fy=lt+4t+4

[4'

易知直線AC的方程為尸己(x+2),②

直線3。的方程為了=上7(彳-2),③

X?—Z

x+2=（王+2）%=（9+5）%=3當(dāng)+5%

聯(lián)立②③，消去九得④

x-2（%-2）%（優(yōu)+1）%9跖+%

+%）+5%

x+2

聯(lián)立①④，消去以為，則卡=-5,

x-2-3（%+%）+%

O

44

解得尤=§,即點(diǎn)G在直線x=1上.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

r2v21

【變式2-1】.(23-24高三下?上海.開學(xué)考試)已知橢圓T:力方=l(a>6>0)的離心率為!■，左右焦點(diǎn)分

別為昂B，M是橢圓上一點(diǎn)，|北第|=2,/不明=60。.

(1)求橢圓的方程；

⑵過點(diǎn)N（l,l）的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，R為線段PQ中點(diǎn).

（i）求證：R點(diǎn)軌跡方程為上工+止二D=0；

43

（ii）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OH與橢圓交于點(diǎn)S,點(diǎn)G為直線OR上一動(dòng)點(diǎn)，且OROGuZOS、求證：點(diǎn)G

在定直線上.

22

【答案】⑴三+匕=1;

43

⑵（i）證明見解析；（ii）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形，即可結(jié)合余弦定理求解。=2,

（2）（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達(dá)定理，即可根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得尺[*22,羋g],從而

即可得證；（ii）進(jìn)一步根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得證.

r

【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為J1，所以上1=解得a=2c.

2a2

因?yàn)閨幽=2,4M6=60。，\MF^=2a-\MF^=2a-2.

在△兩月中，由余弦定理得（2cf=22+（2a—2）2—2x2（2a—2）cos60。，

22

解得。=2,則"="一,2=3,故橢圓的方程為土+2L=I；

43

（2）（i）

當(dāng)直線尸。的斜率存在且不為。時(shí)，不妨設(shè)直線尸。的方程為〉=左（％-1）+1,

'—+^=1

聯(lián)立｛43得（4左2+3）x?-8左（左一1）尤+4（左一1）2-12=0.

y=左1）+1

因N（l,l）在橢圓內(nèi)，所以直線P。必與橢圓相交.

8M左-1)

設(shè)尸（％,乂）,。（%,%）,由韋達(dá)定理得玉+馬=

4k2+3

所以y+%=%(占_1)+左(/—1)+2=：，2：

因?yàn)镽為線段PQ中點(diǎn),

冬，，此時(shí)『33

所以在2k=_薪，則%：>=一瓦X.

XR

要證3+3=。，只需證明”=-滬二2

43XR4(%-1)

3[軟("1)；

3昌-1)一[#+33_%

而一EF一W訪jFF，

4----方-------1

4k2+3

所以R點(diǎn)軌跡方程為可+『=。;

聯(lián)立|3得尤邛—9

(ii)42=則y2=

3止+34/+3

不妨設(shè)5（%,%），所以父=著與，4=族3?

不妨設(shè)6(%,九),由OR.OG=2OS2得

4M%-1)3(1-％)(16k29)

G4〃+3，G4V+3(4%2+3