熱點題型?選填題攻略

專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(七大題型)

O----------------題型歸納?定方向----------?>

題型012023-2024年高考+春考真題..............................................................1

題型02導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.........................................................................2

題型03導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用(含與立體幾何、三角函數(shù)等結(jié)合)....................................2

題型04導(dǎo)數(shù)、抽象函數(shù)等綜合.................................................................6

題型05求極限、分段函數(shù)問題.................................................................7

題型06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、空間向量與立體幾何.....................................................8

題型07其他補充強化訓(xùn)練......................................................................9

?>----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).

2、)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

⑶復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.

3、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)

的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.

4、若所給的閉區(qū)間［a,b］含參數(shù)，則需對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得

到函數(shù)f(x)的最值.

5、題源注明：因題源有限，導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中，選用適量解答題來練習(xí)填選題

題型012023-2024年高考+春考真題

【典例1-1］.(2024?上海)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,定義集合/={刈|刈611,尤e(-oo,刈)，/(x)

</(xo)},在使得1,1］的所有/(x)中，下列成立的是()

A.存在無)是偶函數(shù)

B.存在/(x)在x=2處取最大值

C.存在/(x)為嚴格增函數(shù)

D.存在/(x)在x=-1處取到極小值

【典例1-2］.(2024?上海)現(xiàn)定義如下：當(dāng)xG(%w+1)時(”GN),若/(尤+1)=/(x),則稱/(無)

為延展函數(shù).現(xiàn)有，當(dāng)xd(0,1)時，g(x)=/與/?(x)=f°均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在(k,Z>eR；k,毋0)與y=g(無)有無窮個交點

(2)存在(k,bGR；k,卬0)與y=/7(x)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.（1）成立（2）不成立D.（1）不成立（2）成立

【典例1-3].（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點距水平地面的高度為4米,

坡面與水平面所成夾角為。.行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為（1.025-cos。），欲使行人走上斜

坡所消耗的總體力最小，則。=.

題型02導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【典例2-1].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=，若（⑴=1,則lim"1+2/7）1）=_______.

20h

【典例2-2】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)〃x）=tanx,則（]）=.

【變式2-1].（23-24高二下.上海?期中）函數(shù)〃力=*2—sinx在區(qū)間[0,句上的平均變化率為.

【變式2-2】.（25-26高三上?上海?單元測試）函數(shù)y=2/-6x+l的駐點為.

【變式2-3】.（23-24高二下?上海?期末）已知函數(shù)〃x）=l+x-sinx,xe（0,2兀），則該函數(shù)的嚴格增區(qū)間

是.

【變式2-4】.（24-25高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃力=/+2%，則“力在點處的切

線的傾斜角為.

【變式2-5】.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）函數(shù)/（》）=/-2111苫在點（1,〃1））處的切線方程為.

【變式2-6].（2024?上海浦東新?三模）已知g（x）=一?為偶函數(shù)，若〃“）=11,貝心=_____.

"（無）,彳＜0

【變式2-7】.（23-24高二下?上海?階段練習(xí)）若函數(shù)/（尤）=：無3+：尤2-彳+：在上存在嚴格減區(qū)間，

32612）

則m的取值范圍是

題型03導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用（含與立體幾何、三角函數(shù)等結(jié)合）

【典例3-1].（24-25高三?上海?隨堂練習(xí)）做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是64兀，且用料最省，

則該圓柱形水桶的底面半徑為.

【典例3-2].（23-24高三上.上海閔行?期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為36%，

則該正四棱錐的體積最大值為.

【變式3-1】.（23-24高三上?上海嘉定?期中）據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正

比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為左（左＞。）.現(xiàn)已知相距18km的A,8兩家化工廠（污染源）

的污染強度分別為。，b,它們連線段上任意一點C處的污染指數(shù)了等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.

設(shè)AC=x（km）（O＜x＜18）.若a=l,且x=6時，＞取得最小值，則人的值為.

【變式3-2】.（23-24高二下?上海?期末）采礦、采石或取土?xí)r，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏

斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R,它的值是固定的.當(dāng)炸藥包埋的深度為可

使爆破體積最大.

炸藥包

2

【變式3-3】.（23-24高二下.上海?期中）如圖，用一塊形狀為半橢圓Y+'nKyNO）的鐵皮截取一個以短

軸為底的等腰梯形記所得等腰梯形的面積為S,則S的最大值是

【變式3-4].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地ABC。，AB=300m,

AD=180m,現(xiàn)規(guī)劃在邊A3,CD,ZM上分別取點E,F,G,且滿足AE=跖，F(xiàn)G=GA,在AE4G內(nèi)建

造噴泉瀑布，在A￡FG內(nèi)種植花奔，其余區(qū)域鋪設(shè)草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度），則

當(dāng)sinNA￡G=時，棧道EG最短.

【變式3-51.（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）如圖所示，ABC。是邊長為30c相的正方形硬紙片，切去陰

影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,

正好形成一個底面是正方形的長方體包裝盒，若要包裝盒容積V（cM）最大，則族的長為

【變式3-6】.（23-24高三下?上海?階段練習(xí)）某種兒童適用型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半

球和一個圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示,

兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形ABC。，其外周長為100毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個半

球體積之和.假設(shè)AD的長為2尤毫米.

（1）求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如何設(shè)計與相的長度，使得y最大？

【變式3-7】.（22-23高三上?上海虹口?期中）如圖所示，由圓。的一段弧MPN（其中點P為圓弧的中點）

和線段構(gòu)成的圖形內(nèi)有一個矩形ABC。和△PDC（其中AB在線段MN上，C、。兩點在圓弧上），已

知圓。的半徑為20,點P到的距離為25,設(shè)直線OC與的夾角為"

⑴用6分別表示矩形ABCD和APDC的面積，并確定sin6的取值范圍；

⑵當(dāng)。為何值時，S=4S矩形ABCD+3s△陽c有最大值，最大值是多少？

【變式3-8].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，某村在對口幫扶單位的支持下

擬建一個生產(chǎn)農(nóng)機產(chǎn)品的小型加工廠.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該農(nóng)機產(chǎn)品當(dāng)年需投入固定成本10萬元，每年需

另投入流動成本c（x）（萬元）與In木成正比（其中x（臺）表示產(chǎn)量），并知當(dāng)生產(chǎn)20臺該產(chǎn)品時，需要

流動成本ln2萬元，每件產(chǎn)品的售價p（x）與產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系為耳龍）=一念+上+益（萬元）（其

1UUX

中X210）.記當(dāng)年銷售該產(chǎn)品x臺獲得的利潤（利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本）為“X）萬元.

⑴求函數(shù)“X）的解析式；

⑵當(dāng)產(chǎn)量X為何值時，該工廠的年利潤“X）最大？最大利潤是多少？（結(jié)果精確到0.1）

【變式3-9】.（21-22高三下?上海浦東新?期中）如圖，某沿海地區(qū)計劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通48兩地，A處

位于東西方向的直線MN上的陸地處’2處位于海上一個燈塔處’在A處用測角器測得在A

處正西方向1km的點C處，用測角器測得tanN3CN=l.現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段AB在水下鋪設(shè)；②在

岸上選一點P,選匕BPN=6,先沿線段人尸在地下鋪設(shè)，再沿線段尸8在水下鋪設(shè)，預(yù)算

地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為2萬元/km、4萬元/km.

（1）求A、8兩點間的距離；

（2）請選擇一種鋪設(shè)費用較低的方案，并說明理由.

【變式3-10].（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）如圖，某公園內(nèi)有一半圓形人工湖，。為圓心，半徑為1

千米.為了人民群眾美好生活的需求，政府為民辦實事，擬規(guī)劃在AOCD區(qū)域種荷花，在AOBD區(qū)域建小型

水上項目.己知ZAOC=ZCOD=3.

（1）求四邊形OCDB的面積（用。表示）；

（2）當(dāng)四邊形OCDB的面積最大時，求BD的長（最終結(jié)果可保留根號）.

【變式3-11].（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）設(shè)計一個帳篷，它下部的形狀是正四棱柱A由GR-ABCD,

上部的形狀是正四棱錐尸-A耳GQ,且該帳篷外接于球。（如圖所示）.

P

（1）若正四棱柱A瓦G2-ABCD是棱長為2m的正方體，求該帳篷的頂點P到底面A2CD中心5的距離;

7T

⑵若該帳篷外接球。的半徑3m,設(shè)NPOG=，,。€（0,萬），該帳篷的體積為V,則當(dāng)cosd為何值時，體積V

取得最大值.

題型04導(dǎo)數(shù)、抽象函數(shù)等綜合

【典例4-1].（23-24高三上.上海虹口?期中）對于兩個定義在R上的函數(shù)y=/（x）與y=g（x）,構(gòu)造新函

數(shù)y=/?（尤）如下：對任意不eR,h（x0）=f（x0）+g（x0\現(xiàn)已知y=〃（無）是嚴格增函數(shù)，對于以下兩個命題：

①>=/（尤）與y=g（x）中至少有一個是嚴格增函數(shù)；②y=/（x）與y=g（尤）中至少有一個函數(shù)無最大值.其

中（）

A.①和②都是真命題B.只有①是真命題

C.只有②是真命題D.沒有真命題

【典例4-2].（2023.上海閔行.一模）已知函數(shù)y=與它的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的定義域均為R,現(xiàn)有下

述兩個命題：

①“y=/（x）為嚴格增函數(shù)”是“y=/'（%）為嚴格增函數(shù)”的必要非充分條件.

②"y=為奇函數(shù)”是“y=尸（力為偶函數(shù)”的充分非必要條件；

則說法正確的選項是（）

A.命題①和②均為真命題B.命題①為真命題，命題②為假命題

C.命題①為假命題，命題②為真命題D.命題①和②均為假命題

【變式4-1].（2024.上海.模擬預(yù)測）設(shè)正數(shù)不全相等，詆=1,函數(shù)〃x）=（l+/）（l+Z/）（l+c）關(guān)

于說法

①對任意G〃x）都為偶函數(shù)，

②對任意a,b,c,f（x）在[0.01,0.02]上嚴格單調(diào)遞增，

以下判斷正確的是（）

A.①、②都正確B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確D.①、②都錯誤

【變式4-2].（2024.上海.模擬預(yù)測）定義集合河=同xoeR,xe（-?,xo）,/（x）</（xo））,在使得知=[-1,1]

的所有/（x）中，下列成立的是（）

A.存在/（x）是偶函數(shù)

B.存在/Xx）在x=2處取最大值

C.存在F。）嚴格增

D.存在f（x）在x=-l處取到極小值

【變式4-31.（2024.上海.三模）已知函數(shù)y=/（尤）的定義域為（0,2）,則下列條件中，能推出1一定不是

y=的極小值點的為（）

A.存在無窮多個(0,2),滿足

B.對任意有理數(shù)%?0,1)。。，2),均有

C.函數(shù)y=〃尤)在區(qū)間(。,1)上為嚴格減函數(shù)，在區(qū)間(1,2)上為嚴格增函數(shù)

D.函數(shù)>=/(尤)在區(qū)間(0,1)上為嚴格增函數(shù)，在區(qū)間(L2)上為嚴格減函數(shù)

【變式4-4】.(24-25高三上?上海奉賢?期中)已知定義在R上的函數(shù)y=〃x),其導(dǎo)數(shù)為/'(x),記

g(x)=/'(x),且/'(x)-〃—x)=4x,g(x)+g(2—X)=0,則下列說法中正確的個數(shù)為()

①g(O)=l；②y=/(立的圖象關(guān)于(0,2)對稱;③〃力+/(2-x)=0；④fg㈤=〃-1

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4-5】.(23-24高三上?上海浦東新?期中)已知函數(shù)/(%)為定義在R上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)，/(1)=1,

函數(shù)尸("=""+2，,有以下兩個命題：①存在函數(shù)“X)使得尤=1為函數(shù)尸(x)的極大值點:②若

尸對任意xeR恒成立，則/(2)=-1：則()

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【變式4-6】.(2024?上海?模擬預(yù)測)現(xiàn)定義如下:當(dāng)尤?的+1)時(〃N),若〃x+l)=廣⑺，則稱/'(x)

為延展函數(shù).已知當(dāng)xe(O,l)時，g(x)=e'.且〃(力=儲°,且g(x),/z(x)均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在丁=米+。化力eR,4力力0)與y=g(x)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b(k,beR,k,bw0)與y=h(x)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

題型05求極限、分段函數(shù)問題

【典例5-1].(21-22高二上?上海浦東新?階段練習(xí))在平面直角坐標系xOy中，點列

=；(%+%)

%+i

A(，，%),4(%’%),,■■'4(V'?)-‘1兩足':,若A(U)，則

%+i=5(X"-%)

我(。4|+|。匈+…+|。4|)=

尤，(%,2)

【變式5-1】.(23-24高二下?上海?期末)已知函數(shù)〃尤)=，22.”~,若在區(qū)間(1,y)上存

/2(_/+812)(尤>2)

在〃(〃..2)個不同的數(shù)周,不,…,尤“，使得/⑷=小口=…工⑷成立，則n的取值集合是.

玉工2%

題型06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、空間向量與立體幾何

【典例6-1].(22-23高三下?上海楊浦?開學(xué)考試)無窮數(shù)列｛為｝滿足：0<4<1,且對任意的正整數(shù)"，均

有e聯(lián)=(3-4戶”，則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛4｝為嚴格減數(shù)列B.存在正整數(shù)小使得。“<。

C.數(shù)列｛%｝中存在某一項為最大項D.存在正整數(shù)〃，使得%>耳

【變式6-1].(24-25高三上?上海黃浦?期末)設(shè)函數(shù)y=f(尤)在區(qū)間/上有導(dǎo)函數(shù)y=/'(%),且尸(x)<o在

區(qū)間/上恒成立，對任意的xe/,有對于各項均不相同的數(shù)列｛。“｝,qe/,??+1=/(??),下列

結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛/.J與｛%“｝均是嚴格增數(shù)列

B.數(shù)列他與｛%｝均是嚴格減數(shù)列

C.數(shù)列｛%T｝與｛g“｝中的一個是嚴格增數(shù)列，另一個是嚴格減數(shù)列

D.數(shù)列｛外,｝與均既不是嚴格增數(shù)列也不是嚴格減數(shù)列

【變式6-2].(2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí))如圖，在正方體4BCZ)-EFGH中，尸在棱上，BP=x,平

行于2。的直線/在正方形所G5內(nèi)，點E到直線/的距離記為d,記二面角為A-/-P為仇已知初始狀態(tài)下

x=0,d=Q,貝lj()

A.當(dāng)尤增大時，。先增大后減小B.當(dāng)x增大時，8先減小后增大

C.當(dāng)d增大時，8先增大后減小D.當(dāng)d增大時，。先減小后增大

題型07其他補充強化訓(xùn)練

【典例7-1】?(24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域為R,g'(x)

是g(x)的導(dǎo)數(shù)，且〃尤)+g'(x)=5,/(x-l)+g(5-x)=5,若g(x)為偶函數(shù),則()

k=\

A.80B.75C.70D.65

【變式7-2】.(2024.青海?二模)已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)數(shù)為尸(無)，且滿足

f(x+y)^f(x)+f(y)+xy(x+y),=,/(1)=0,給出下列四個結(jié)論：①/⑺為奇函數(shù)；②

尸(10)=99；③"3)=3：④在(0,1)上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號為()

A.①②B.①③C.②③④D.①②④

【變式7-3].(24-25高三上?北京海淀?期中)已知函數(shù)/(好;等四，其定義域記為集合給

Inx

出下列四個結(jié)論：

①。=｛引x>0且xwl｝；

②若“6=1,則若3)-fS)|>l；

③存在。片6,使得/3)=/(力；

④對任意。，存在6使得/(?)+f3)=1.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

0---------------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、填空題

1.(2023?上海徐匯?三模)對任意數(shù)集4=｛49，％｝，滿足表達式為丁=^+/-1-1且值域為人的函數(shù)個數(shù)

為P.記所有可能的P的值組成集合B,則集合8中元素之和為.

2.(2021.上海.一模)若定義在N上的函數(shù)/(元),g(x)滿足：存在使得/'(x0)<g(x0)成立，則稱/(彳)

與g(x)在N上具有性質(zhì)尸(fg),設(shè)函數(shù)/(x)="與g(x)=d,其中，a>0,已知/1(x)與g(x)在N上

不具有性質(zhì)P(fg),將a的最小值記為劭.設(shè)有窮數(shù)列也｝滿足々=1,加=l+a(”eN*,〃V504x[g]),

這里[⑸]表示不超過％的最大整數(shù).若去掉抄“｝中的一項2后，剩下的所有項之和恰可表為小2(“zeN*),

b

則t+m的值為.

二、單選題

3.(2024?上海青浦二模)如圖，已知直線>=云+"與函數(shù)y=/(x),xc(0,+8)的圖象相切于兩點，則函數(shù)

y=/(x)-丘有().

A.2個極大值點，1個極小值點B.3個極大值點，2個極小值點

C.2個極大值點，無極小值點D.3個極大值點，無極小值點

4.（2024.上海虹口二模）已知定義在R上的函數(shù)/（x）,g（x）的導(dǎo)數(shù)滿足給出兩個命題:

①對任意國,々eR,都有|/（為）-”工2）閆8（占）-8（%2）|；②若g（x）的值域為卜",切,/（一1）=根,〃1）=",

則對任意xeR都有=g（x）.

則下列判斷正確的是（）

A.①②都是假命題B.①②都是真命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題

5.（2024.上海金山.二模）設(shè)/（X）=X3-3X,有如下兩個命題:

①函數(shù)y=/（x）的圖象與圓/+產(chǎn)=1有且只有兩個公共點；

②存在唯一的正方形ABC。，其四個頂點都在函數(shù)y=/（x）的圖象上.

則下列說法正確的是（）.

A.①正確，②正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①不正確，②不正確

6.（2023?上海嘉定?一模）已知/'（x）=sinx+lnx,定義極值點數(shù)列：將該函數(shù)的極值點從小到大排列得到

的數(shù)列，對于任意的正整數(shù)小判斷以下兩個命題：（）

甲：此數(shù)列中每一項都在（2E+〃TI,2E+師+兀），左wZ中.

2n—1

乙：令極值點數(shù)列為｛%｝,則——5—無1｝為遞減數(shù)列.

A.甲正確，乙正確B.甲正確，乙錯誤

C.甲錯誤，乙正確D.甲錯誤，乙錯誤

7.（2023.上海閔行.一模）已知函數(shù),=的導(dǎo)函數(shù)為y=/'（x）,xeR,且y=7'（x）在R上為嚴格增函

數(shù)，關(guān)于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）

①“為＞%”是“/&+1）+/（W）＞/（W）+/（々+1）”的充要條件;

②“對任意X＜0都有“X）＜〃0）”是“y=〃力在R上為嚴格增函數(shù)”的充要條件.

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

熱點題型?選填題攻略

專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(七大題型)

?>-----------題型歸納?定方向----------O

題型012023-2024年高考+春考真題.............................................................1

題型02導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.........................................................................3

題型03導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用(含與立體幾何、三角函數(shù)等結(jié)合)....................................6

題型04導(dǎo)數(shù)、抽象函數(shù)等綜合................................................................19

題型05求極限、分段函數(shù)問題................................................................26

題型06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、空間向量與立體幾何....................................................28

題型07其他補充強化訓(xùn)練.....................................................................33

?>-----------題型探析?明規(guī)律------------O

【解題規(guī)律?提分快招】

1、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)........

2、)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.

3、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)

的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.

4、若所給的閉區(qū)間［a,b］含參數(shù)，則需對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得

到函數(shù)f(x)的最值.

5、題源注明：因題源有限，導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中，選用適量解答題來練習(xí)填選題

題型012023-2024年高考+春考真題

【典例1-1］.(2024?上海)已知函數(shù)/(X)的定義域為R,定義集合/={尤OMCR,底(-8,xo),/(無)

<f(xo)},在使得-1,1］的所有/(x)中，下列成立的是()

A.存在無)是偶函數(shù)

B.存在/(%)在x=2處取最大值

C.存在了(%)為嚴格增函數(shù)

D.存在/(x)在x=-1處取到極小值

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值及最值的相關(guān)性質(zhì)對各選項進行判定即可.

【解析】解：對于A,x<尤o時，f(x)<f(xo),

當(dāng)XO=1時，xo€[-1,1],

對于任意尤(-8,1),f(x)<f(1)恒成立，

若了(無)是偶函數(shù)，此時/(1)=/■(-1),矛盾，故A錯誤;

對于2,若/(%)函數(shù)圖像如下：

當(dāng)尤<-1時，/(x)=-2,-IWXWI時，f(無)e[-1,1],當(dāng)無>1,f(無)=1,

所以存在/(x)在x=2處取最大值，故B正確；

對于C,在x<-l時，若函數(shù)/(x)嚴格增，

則集合M的取值不會是[-1,1],而是全體定義域，故C錯誤；

對于D,若存在/(x)在尤=-1處取到極小值，

則在尤=-1左側(cè)存在X=",f(M)>-1,與集合M定義矛盾，故D錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及最值等性質(zhì)，屬中檔題.

【典例1-2].(2024?上海)現(xiàn)定義如下：當(dāng)xe(n,?+1)時(neN),若/(x+1)=f(x),則稱/(尤)

為延展函數(shù).現(xiàn)有，當(dāng)尤C(0,1)時，g(x)=，與％(%)=3°均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在(k,bER；k,6W0)與y=g(無)有無窮個交點

(2)存在y=fcc+6(k,6€R；k,b中0)與y=/z(x)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立

【分析】根據(jù)題意，對于①，由“延展函數(shù)”的定義，分析可得g(x)是周期為1的周期函數(shù)，結(jié)合一

次函數(shù)的性質(zhì)可得①錯誤，對于②，舉出例子，可得②正確，綜合可得答案.

【解析】解：根據(jù)題意，當(dāng)(0,1)時，g(x)=/與/?(無)=工1°均為延展函數(shù)，

對于①，對于g(X)=^,g(尤+1)=g'(x)=ex,

則g(無)是周期為1的周期函數(shù)，其值域為(1,e),

因為左?0,>=履+6與y=g(無)不會有無窮個交點，所以(1)錯；

對于②，當(dāng)％=10!時，存在b使得直線>=日+6可以與人(%)在區(qū)間(9,10)的函數(shù)部分重合，因而

有無窮個交點，所以(2)正確.

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的圖象，關(guān)鍵理解“延展函數(shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-3].(2023?上海)某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點距水平地面的高度為4米，

坡面與水平面所成夾角為&行人每沿著斜坡向上走Im消耗的體力為(1.025-cos0),欲使行人走上斜

坡所消耗的總體力最小，則。=arccos絲.

41―

【分析】先求出斜坡的長度，求出上坡所消耗的總體力的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的最值即可.

【解析】解：斜坡的長度為/==匕，

sinb

上坡所消耗的總體力y=—Vx(1.025-cos0)=4.l-4*s8,

'sin8sin8

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=4sin8"sin8-(4.l-4cos8)cos8=4-4.lcos8,

?2a?2Q

sinDsm0

由y'=0,得4-4.1cos0=0,得cosO=^^,0=arccos-^-,

4141

由，(x)>0時cosOV歿，即arccos毀<。<生時，函數(shù)單調(diào)遞增，

41412

由(無)<0時cose>3&,即0<e<arccos仁&時，函數(shù)單調(diào)遞減，

4141

即0=arccos歿，函數(shù)取得最小值，即此時所消耗的總體力最小.

41

【點評】本題主要考查生活的應(yīng)用問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵,

是中檔題.

題型02導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【典例2-1].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)y=/(無)，若Al)=l,則lim"l+2/?)-"l)=______

2°h

【答案】2

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義得到1加，0+2/7)->⑴=2尸⑴=2.

2。hV7

【解析】

Dhgo2h

故答案為：2

【典例2-1】?(24-25高三上?上海?階段練習(xí))設(shè)/(x)=tanx,則尸

【答案】4

【分析】運用導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)，再代入數(shù)值即可.

【解析】f(x)=tanx=^^,

COSX

故答案為：4

【變式2-1】.(23-24高二下?上海?期中)函數(shù)〃x)=x2-sinx在區(qū)間[0,句上的平均變化率為.

【答案】兀

【分析】根據(jù)平均變化率的公式，代入計算即可.

【解析】根據(jù)題意，/(x)=x2-sinx,

在區(qū)間[0,兀I上,有Ay=/(兀)-/(0)=兀2,Ax=7t-O=7t,

則其平均變化率半=兀.

Ax

故答案為：兀.

【變式2-2].(25-26高三上?上海?單元測試)函數(shù)y=2Y-6x+l的駐點為.

3

【答案】|

【分析】對/(x)求導(dǎo)，得至lj/'(x)=4x—6,令/'(x)=4比一6=0,即可求解.

【解析】因為/(x)=2x2_6x+l,所以((彳)=4無一6,

令/'(x)=4x-6=0,解得尤=j所以x為函數(shù)〃x)=2x2-6x+l的駐點，

,3

故答案為：—.

2

【變式2-3].(23-24高二下?上海?期末)己知函數(shù)〃x)=l+x-sinx,xe(0,2兀),則該函數(shù)的嚴格增區(qū)間

是.

【答案】(0,2兀)

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】因為"x)=l+x-sinx,xe(0,2TI),則/'(x)=l—cosx＞。對Vxe(0,2兀)恒成立，

所以該函數(shù)的嚴格增區(qū)間是（0,2兀）.

故答案為：（0,2兀）.

【變式2-4].（24-25高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃力=丁+2*，則〃x）在點處的切

線的傾斜角為.

【答案】arctan5

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，然后由反三角表示即可.

【解析】因為「（尤）=3爐+2,所以/”）=3+2=5,

記“X）在點處的切線的傾斜角為。，則tan6=5,則。

所以。=arctan5.

故答案為：arctan5

【變式2-5】.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）函數(shù)/。）=爐-21nx在點（1"（1））處的切線方程為.

【答案】x-y=o

【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.

【解析】由題意可知，"1）=1，則切點為（1/），因為「（口=3/-[,貝I]附1）=3-2=1,

所以〃尤）在點（U）處的切線斜率為1,則切線方程為y-l=L（xT）,即彳->=。

故答案為：x-y=O

【變式2-6].（2024?上海浦東新三模）己知g（無）=?：：2一?2°為偶函數(shù)，若=則。=_____.

[f（x）,x<0

【答案】2或-2

【分析】由導(dǎo)數(shù)判斷出g（x）的單調(diào)性，當(dāng)。20,求解方程=結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求得。的值.

【解析】因為g（x）為偶函數(shù)，所以g（-x）=g（尤），

當(dāng)xNO時，g（x）=x3+2x-l,g'（x）=3x2+2xln2>0

所以雙元）在（。,+8）單調(diào)遞增，在（F,0）單調(diào)遞減，

若a?0,W+2"-l=n,解得a=2,

由g（x）為偶函數(shù)得,當(dāng)。<0時,/（-2）=11,

故。的值為2或-2,

故答案為：2或-2.

【變式2-7】.（23-24高二下?上海?階段練習(xí)）若函數(shù)/（元）=（三+；尤2-x+J在佶,21上存在嚴格減區(qū)間，

326<27

則m的取值范圍是

【答案】m<|

【分析】借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，再參變分離，可得在區(qū)間(4,2〕上有解，結(jié)合g(x)=L-x的單

調(diào)性計算即可得解.

【解析】f\x)=x2+rwc-l,

函數(shù)/(X)在[；，2)上存在嚴格減區(qū)間，則尸(無)<0在區(qū)間G，2)上有解.

即機<g-x在區(qū)間上有解，

令g(x)=1-x,因為g(x)在區(qū)間上嚴格遞減，

所以g(x)<g(gj=3，故有機〈1.

故答案為：，〃心.

題型03導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用(含與立體幾何、三角函數(shù)等結(jié)合)

【典例3-11?(24-25高三?上海?隨堂練習(xí))做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是64兀，且用料最省，

則該圓柱形水桶的底面半徑為.

【答案】4

【分析】設(shè)底面半徑為「，由體積，用「表示出高"進而用「表示出表面積S(r),通過求導(dǎo)得到S(。取最

小值時r的值即可.

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，由體積丫二兀/人得高為/z=647r=364

nrr

64128

則圓柱的表面積為S(r)=++2nrx^—=7i|r2+

r

S，⑺=;t(2r一學(xué)

r2

令S'(r)<0,得re(O,4),S⑺單調(diào)遞減，令S'⑺>0得re(4,E),S⑺單調(diào)遞增.

所以S(。在廠=4時取得最小值，要使得用料最省，底面半徑為4.

故答案為：4.

【典例3-2].(23-24高三上?上海閔行?期中)已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為36兀,

則該正四棱錐的體積最大值為.

【答案】y64/21j1

【分析】先求出外接球的半徑，再根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理可

得32=2〃+(6-3)2,進而由體積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于九的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的最值.

【解析】因為球的體積為:兀&=36兀，所以球的半徑為R=3,

如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長AB=2a,高PO=h,外接球的球心為M,

根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，又0D=缶，

在RtZXMOD中，MD2=OD2+OM2,即3?=2a?+(/?一3了,

112

所以正四棱錐的體積為丫=§S〃=]X4a2h=-[9-(h-3)2]/Z,

2

整理得卜二一^^+助?①>0),『=一28+8〃=一2〃(〃一4),

當(dāng)0<//<4時，V>0,當(dāng)/z>4時，V'<0,

所以V=一；〃3+4/e>0)在(0,4)上遞增，在(4,e)上遞減,

764

所以當(dāng)〃=4時，V取得最大值-鏟43+4x42=1，

64

故答案為：—.

【變式3-1].(23-24高三上?上海嘉定?期中)據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正

比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為左(后>°)?現(xiàn)已知相距18km的A,3兩家化工廠(污染源)

的污染強度分別為。，b,它們連線段上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.

設(shè)AC=x(km)(O<x<18).若a=l,且尤=6時，>取得最小值，則人的值為.

【答案】8

【分析】根據(jù)AC=x,xe(O,18),得BC=18-x,分別求出兩個污染指數(shù)即可得出函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)

函數(shù)，依題意可得y'k6=°，即可求出》的值，再檢驗即可.

【解析】依題意點C受A污染源污染程度為,(o<x<18),點C受B污染源污染程度為荷二了，其中左為

比例常數(shù)，且%>0,

從而點C處受污染程度丫=導(dǎo)。自孑，（0<x<18）；

kkb-22b

因為。=1,所以>=1+(]8_.2'貝1

7十(18-x)3

、

2b

當(dāng)尤=6時，y取得最小值，必是極小值，所以/工=6=上63+(18-6)1=0,

解得力=8,

(18-x)3-(2x)3

此時y'=-2屋

x3(18-x)3

(18-3x)[(18-+(2X)2+(18-X)(2X)]

=-2k-xe(0,18),

x3(18-x)3

當(dāng)o<x<6時，y<o,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)6<x<i8時，y>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

所以在x=6時，y取得極小值，也是xe（0/8）的最小值,

所以污染源B的污染強度6的值為8.

故答案為：8

【變式3-2】.（23-24高二下?上海?期末）采礦、采石或取土?xí)r，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏

斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R,它的值是固定的.當(dāng)炸藥包埋的深度為.可

使爆破體積最大.

【答案】BR

3

【分析】先將圓錐的體積轉(zhuǎn)化為關(guān)于深處〃的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系求得V的最大值點，從

而得解.

【解析】結(jié)合圖形，可知圓錐的體積為V=；口”,

又因為爐=/+/，即產(chǎn)=笈一后,

所以^二:^叱一/^二:花匠/一:兀/，he（0,R）,貝!!/=：兀叱-n興,

令V>0,M0</z<—7?:令VYO,M—；

33

所以丫=］找人;而在?上單調(diào)遞增，在1當(dāng)尺尺上單調(diào)遞減，

所以在力=走R處V=:無尺力-：無〃3取得最大值，

333

所以炸藥包要埋在立R深處.

3

故答案為：

3