熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題08空間向量與立體幾何（十大題型）

o------------題型歸納?定方向-----------?>

題型012021-2024年高考+春考真題..............................................................1

題型02空間向量的運(yùn)算.......................................................................3

題型03求幾何體的表面積與體積...............................................................3

題型04空間的位置關(guān)系........................................................................4

題型05空間向量基本定理......................................................................5

題型06立體幾何、導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用........................................................5

題型07空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（含難點(diǎn)）......................................................8

題型08個(gè)數(shù)、種類等問(wèn)題......................................................................8

題型09軌跡、圍成面積等問(wèn)題.................................................................9

題型10空間向量與立體幾何選擇題綜合辨析....................................................9

艙-----------題型探析?明規(guī)律------------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|,|b|和〈a,b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一

定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使ab計(jì)算準(zhǔn)確.

2、利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐

標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素）.

3、向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的有關(guān)定理.

4、多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和.

5、旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開(kāi)后，展開(kāi)圖的面積與底面面積之和.

6、組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理.

7、題源注明：立體幾何與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用中，選用適量解答題來(lái)練習(xí)填選題

題型012021-2024年高考+春考真題

【典例1-1】.（2024?上海）定義一個(gè)集合。，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P,尸2,P3GQ,存在不全

為0的實(shí)數(shù)九2,使得人1而7+入95K+人二砥=）.已知（1，0,0）eo,則（0,0,1）

任。的充分條件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-1,0,0）eQ

C.（0,1,0）EQD.（0,0,-1）EQ

【典例1-2].（2024?上海）已知四棱柱ABC￡）-Ai8iCiOi底面ABC。為平行四邊形，441=3,8。=4且

ABj-BC-ADj?DC=5,求異面直線441與8。的夾角.

【典例1-3].（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,且AB=BC=CA=1,在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)

D,E（不考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與A、3、C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取

法有種.

【典例1-4].（2023?上海）如圖所示，在正方體ABC。-A181C1D1中，點(diǎn)P為邊4cl上的動(dòng)點(diǎn)，則下列

直線中，始終與直線3尸異面的是（）

【典例1-5].（2022?上海）如圖正方體A8CD-AiBiGDi中，P、Q、R、S分別為棱A3、BC、BBi、CD

的中點(diǎn)，連接AiS,B1D.空間任意兩點(diǎn)M、N,若線段上不存在點(diǎn)在線段AiS、B1D±.,貝U稱

兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)。1可視的為（）

【典例1-6].（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的

四個(gè)側(cè)面，則每天。點(diǎn)至12點(diǎn)（包含。點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

【典例1-7].（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,A8為上底面圓的一條直徑，C是下底面

圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AABC的面積的取值范圍為.

【典例1-81.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面積為.

題型02空間向量的運(yùn)算

【典例2-1].（2024.上海徐匯.一模）已知向量。=（2,5,1）力=（4,切,5）,若°%=3,則實(shí)數(shù)加的值為.

【變式2-1】.（24-25高三上?上海寶山?期中）已知向量4=（-2,1,1）,。=（1,1,0）,貝幾在。方向上的填影網(wǎng)

羊?yàn)?

【變式2-2].（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）已知空間單位向量”，b，c兩兩垂直，則,-6+c卜（）

A.73B.76C.3D.6

題型03求幾何體的表面積與體積

【典例3-1].（2024.上海虹口.一模）若某圓錐的底面半徑為1,高為1,則該圓錐的側(cè)面積為.（結(jié)

果保留兀）

【典例3-2】?（24-25高三上?上海松江?期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積為15兀，則該圓錐的

高為,

【變式3-1].（24-25高三上?上海?期中）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為6半7r且半徑為5的扇形，則它

的體積為.

【變式3-2].（2024?上海寶山.一模）將棱長(zhǎng)為2的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體

積為.

【變式3-3】.（2024.上海青浦.一模）已知圓柱”的底面半徑為3,高為石，圓錐N的底面直徑和母線長(zhǎng)

相等.若圓柱M和圓錐N的體積相同，則圓錐N的底面半徑為.

【變式3-4].（2024.上海徐匯.一模）徐匯濱江作為2024年上海國(guó)際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場(chǎng)之一，吸引了廣

大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見(jiàn)容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的

上、下底面直徑分別為30cm和26cm,下面圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為24cm和18cm,且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展

開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等.若上面圓臺(tái)的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長(zhǎng)的總和為cm.

【變式3-51.（2024.上海.三模）如圖，矩形ABCD中，E為的中點(diǎn)，AB=1,BC=2,連接防，EC,

若V3EC繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為.

【變式3-6].（24-25高三上?上海松江?開(kāi)學(xué)考試）正方體的棱長(zhǎng)為2,尸為棱CQ的中點(diǎn),

△BPP以82為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是.

【變式3-71.（2024?上海奉賢?三模）如圖，已知三角形Q4B為直角三角形（。為直角），分別連接點(diǎn)8與

線段的”等分點(diǎn)A，4,…，4-得到〃個(gè)三角形依次為t，?2,…，△"，將繞看所在直線旋

轉(zhuǎn)一周，記」，題，…，△“旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積依次為匕，匕，…，匕，若匕=1,匕=49,則三角形

Q4S旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積V=.

題型04空間的位置關(guān)系

【典例4-1].（24-25高三上?上海楊浦?開(kāi)學(xué)考試）已知a,夕，/是不同的平面，/，S，〃是不同的直線,

下列命題中：

（1）若a_L/?,a（3=1,mLl,則機(jī)_L/?；

（2）若all。,mua,nuB,貝!]〃“/〃；

（3）若/_La,P~y=m,l//m,則a_L￡且a_Ly；

（4）若C-L分，Y,a=l,貝！

所有真命題的序號(hào)是.

【典例4-2].（24-25高三上?上海金山?期末）己知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為0兀，半徑為2的扇形，

則該圓錐的母線與底面所成角的大小為.

【變式4-1].（2024?上海虹口.一模）如圖，已知正三角形A8C和正方形BCDE的邊長(zhǎng)均為2,且二面角

4—3C—Z）的大小為7，則AC8￡>=_____.

6

------7E

CD

【變式4-2].（15-16高三下?上海?階段練習(xí)）設(shè)J為隨機(jī)變量，從邊長(zhǎng)為1的正方體12條棱中任取兩條,

當(dāng)兩條棱相交時(shí)，4=。；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，4=1；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，4的值為兩條棱之間的距離，則數(shù)學(xué)

期望/=.

題型05空間向量基本定理

【典例5-1].（24-25高二上?上海?期中）已知空間非零向量°、b、c，則下列命題中正確的是（）

A.若a、b、c共面,則a、b、c＞中至少存在一■對(duì)向量平行；

B.若a=小+eR）,那么0與匕、工共面；

C.若°、b、c，不共面，那么a、b、c所在直線中至少存在兩條直線異面；

D.若.、b、c，不共面，那么a、b、c所在直線中不可能存在兩條直線異面.

【變式5-1】.（24-25高二上?上海寶山?階段練習(xí)）在正四面體中，上4=PF=3,點(diǎn)M滿足

PM=xPA+yPB+（2-;c-y）PC,則AM的最小值為（）

A.延B.屈C.還D.2A/6

55

題型06立體幾何、導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用

【典例6-1].（23-24高三上?上海寶山?期末）有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊A8長(zhǎng)為6分米，

另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)從中截取矩形ABCD（如圖甲所示），其中OEMF是以。為圓心，ZEOF^120的扇形，且

弧分別與邊3GAD相切于點(diǎn)M,N.剪去圖中的陰影部分，剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓

形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)）.

（1）當(dāng)8E長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；

（2）當(dāng)8E的長(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？

【典例6-2】.（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）某市一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積

為54萬(wàn)米3,且分上、下兩層，其中上層是半徑為21）米的半球體，下層是底面半徑為r米，高為/z米的圓

柱體（如圖）.經(jīng)測(cè)算，上層半球體部分每平方米的建造費(fèi)用為2千元，下層圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三個(gè)

部分每平方米的建造費(fèi)用均為3千元，設(shè)每座賬篷的建造費(fèi)用為y千元.

（圖。（圖2）

（1）求y關(guān)于r的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)半徑，為何值時(shí)，每座帳篷的建造費(fèi)用最??？并求出最小值.

【變式6-1】.（23-24高三上?上海浦東新?期中）圖①是高橋中學(xué)的校門(mén)，它由上部屋頂，和下部?jī)筛⒅?/p>

組成，如圖②，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面AB莊和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋

面和EBC是全等的三角形.點(diǎn)F在平面ABCD^W上的射影分別為H、M,已知HM=2m,BC=2m,

梯形ABFE的面積是°FBC面積的4倍，設(shè)NFMH=《0<e<；j.

①②

⑴求屋頂面積S關(guān)于6的函數(shù)關(guān)系式；

（2）己知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為％（左為正的常數(shù)），下部?jī)筛⒅目傇靸r(jià)與其單根

的高度成正比，比例系數(shù)為〃，假設(shè)校門(mén)的總高度為3m,試問(wèn)，當(dāng)。為何值時(shí)，校門(mén)的總造價(jià)（上部屋頂

和下部?jī)筛⒅┳畹停?/p>

【變式6-2】.（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）如圖所示的某種容器的體積為90萬(wàn)a;?,它是由圓錐和圓柱

兩部分連結(jié)而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為「a”.圓錐的高為九cm,母線與底面所成的角為45。；圓

柱的高為為。72.已知圓柱底面造價(jià)為2a元/cW,圓柱側(cè)面造價(jià)為。元/c??,圓錐側(cè)面造價(jià)為元/cv”2.

（1）將圓柱的高外表示為底面圓半徑r的函數(shù)，并求出定義域;

（2）當(dāng)容器造價(jià)最低時(shí)，圓柱的底面圓半徑「為多少？

【變式6-3].（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷，它下部的形狀是正四棱柱A由

上部的形狀是正四棱錐尸-ABiGR,且該帳篷外接于球。（如圖所示）.

P

⑴若正四棱柱44GR-ABC。是棱長(zhǎng)為2m的正方體，求該帳篷的頂點(diǎn)P到底面ABCD中心。2的距離;

7T

⑵若該帳篷外接球0的半徑3m,設(shè)ZPOG=a。€（0,萬(wàn)），該帳篷的體積為V,則當(dāng)cos。為何值時(shí)，體積V

取得最大值.

【變式6-4】.（20-21高二上?上海寶山?期末）《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專

著，書(shū)本記載了一種名為“芻金'的五面體（如圖1）.其中四邊形ABCD為矩形，EF//AB,_￡AD和二FBC是

三角形，“芻薨”字面意思為茅草屋頂.圖2是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu).它由上部屋頂和下部主

體兩部分組成.如圖3,屋頂五面體為“芻蔓”，其中前后兩坡屋面ABEF和CD所是全等的等腰梯形，左右

兩坡屋面和FBC是全等的三角形，點(diǎn)尸在平面A3CD和BC上射影分別為H,M,已知=5米，

3C=10米，梯形4狙F的面積是。fBC面積的2.2倍.設(shè)

（1）（2）（3）

（1）求屋頂面積S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知上部屋頂造價(jià)由屋頂面積確定，造價(jià)為600元/平方米，下部主體造價(jià)由高度確定，造價(jià)為9600元

/米.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6米的別墅，試問(wèn)：當(dāng)。為何值時(shí)，總造價(jià)最低？

題型07空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（含難點(diǎn)）

【典例7-1].（24-25高三上?上海楊浦?期中）已知空間單位向量q,%,%,

卜+??2|=p3+e4|=2,+e2+e3+e4|=l,則q《的最大值是.

【變式7-1].（2024?上海嘉定.一模）已知空間向量。綜0鳥(niǎo),0鳥(niǎo)兩兩垂直，若空間點(diǎn)A滿足

聞=|A四]=i,記8=04+082+053,且從尸上1，則|。$的取值范圍為.

【變式7-2].（23-24高三上?上海寶山?期中）已知0A、08、OC為空間中三個(gè)單位向量，且。41OB^OA±OC.

08與OC夾角為120,點(diǎn)P為空間一點(diǎn)，滿足尸|=1且牛|OP?。張|。"倒，則口2困最大值

為

題型08個(gè)數(shù)、種類等問(wèn)題

【典例8-1].（2024?上海閔行?二模）已知空間中有2個(gè)相異的點(diǎn)，現(xiàn)每增加一個(gè)點(diǎn)使得其與原有的點(diǎn)連接

成盡可能多的等邊三角形.例如，空間中3個(gè)點(diǎn)最多可連接成1個(gè)等邊三角形，空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成

4個(gè)等邊三角形.當(dāng)增加到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成個(gè)等邊三角形.

【典例8-2].（24-25高三上?上海浦東新?期末）己知空間中三個(gè)單位向量OA、。&、

（Mj04,=6^-04,=0404=0,P為空間中一點(diǎn)，且滿足10Po4卜1，|。~。聞=2,尸?。聞=3,

則點(diǎn)尸個(gè)數(shù)的最大值為.

【變式8-11.（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）如圖，設(shè)點(diǎn)尸為正四面體A-38表面（含棱）上與頂點(diǎn)不

重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為M,如果集合M中有且只有2個(gè)元素，那么符合條

件的點(diǎn)尸有個(gè).

【變式8-2].（2021?上海楊浦?三模）設(shè)正四面體42月月在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（x,.,y,.,z,.）（z=l,2,3,4）,集合A={y|存在ie{l,2,3,4},使得y=%},則集合A的元素個(gè)數(shù)可能為種.

（寫(xiě)出所有可能的值）

【變式8-3].（23-24高三上?上海浦東新?期末）已知棱長(zhǎng)均為1的正〃棱柱有2〃個(gè)頂點(diǎn)，從中任取兩個(gè)頂

點(diǎn)作為向量a的起點(diǎn)與終點(diǎn)，設(shè)底面的一條棱為AB.若集合4=卜|尤=〃2耳，則當(dāng)4中的元素個(gè)數(shù)最

少時(shí)，〃的值為（）

A.3B.4C.6D.8

【變式8-4】.（23-24高二上?上海?階段練習(xí)）設(shè)。，4儂是空間中給定的2023個(gè)不同的點(diǎn)，則使得

MA.+MA,++M&o23=O成立的點(diǎn)河的個(gè)數(shù)為（）

A.。個(gè)B.1個(gè)C.2023個(gè)D.4046個(gè)

題型09軌跡、圍成面積等問(wèn)題

【典例9-1].（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）在正四棱柱ABCD-ABCR中，A8=1,A4,=4,E為。2

中點(diǎn)，尸為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)為—.

【變式9-1】.（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）正方體A3C。-44GA的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)和N分別為。21C邊的中

點(diǎn)，尸是側(cè)面ADAA上動(dòng)點(diǎn)，若直線與面C/N的交點(diǎn)位于C/N內(nèi)（包括邊界），則所有滿足要求的

點(diǎn)P構(gòu)成的圖形面積為.

【變式9-21.（2024?上海虹口.一模）已知邊長(zhǎng)為2的正四面體A-BCD的內(nèi)切球（球面與四面體四個(gè)面都

相切的球）的球心為。，若空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=x0C+y03+z0D,x、y>ze[0,1],則點(diǎn)尸的軌跡所形

成的幾何體的體積為（）.

A.72B.正C..2月D.B

33

題型10空間向量與立體幾何選擇題綜合辨析

【典例10-1].（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)〃、N

分別在線段AQ和耳￡上，給出下列命題：①有且僅有一條直線"N與A?垂直；②存在點(diǎn)M、N,使LMBN

為等邊三角形，則（）

A.①、②均為真命題B.①、②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【典例10-2].（24-25高三上?上海?期中）在正方體ABCD-ABG2中，點(diǎn)P,。分別是線段A4，AG上的

點(diǎn)（不為端點(diǎn)），給出如下兩個(gè)命題：

①對(duì)任意點(diǎn)P,均存在點(diǎn)。，使得PQLC。；

②存在點(diǎn)P,對(duì)任意的。，均有與，則（）

A.①②均正確B.①②均不正確

C.①正確，②不正確D.①不正確，②正確

【變式10-1].（23-24高二下?上海楊浦?期末）如圖，已知正方體48。-4262的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)〃為棱45

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方形2CG與內(nèi)部（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，給出以下三個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)尸滿足尸2,M耳；

②存在點(diǎn)尸滿足PD、與平面AtD,M所成角的大小為60°；

12

③存在點(diǎn)尸滿足MDi+MP=^-；

其中正確的個(gè)數(shù)是（）.

【變式10-21?（23-24高二上?上海?期末）在直三棱柱A8C-A4G中，底面VABC為等腰直角三角形，且

滿足ABuBCnA4,=1.點(diǎn)P滿足BP=2BC+"BB「其中彳?[0,1],〃€[0』],則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.當(dāng)4=1時(shí)，ABP的面積S的最大值為立

2

B.當(dāng)"=1時(shí)，三棱錐尸-A3。的體積為定值

C.當(dāng)2=:時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得APLBP

D.當(dāng)〃=g時(shí)，存在點(diǎn)P,使得平面A男尸

【變式10-3].（23-24高二上?上海?期末）如圖，在正方體A8CO-A4GQ中，E為棱的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P

沿著棱DC從點(diǎn)。向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）存在點(diǎn)尸，使得PA=PE；

（2）存在點(diǎn)P,使得80，平面班號(hào)

（3）△尸4石的面積越來(lái)越??；

（4）四面體4尸耳￡的體積不變.

A.0B.1C.2D.3

0---------------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、填空題

1.（2024?上海崇明?一模）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（L2,3）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

2.（2024?上海?三模）底面半徑長(zhǎng)為1cm,母線長(zhǎng)為0cm的圓柱，體積為

3.（2024?上海徐匯?一模）已知機(jī)，”為空間中兩條不同的直線，a,尸為兩個(gè)不同的平面，若加ue,a6=〃，

則機(jī)//〃是機(jī)//6的條件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一

個(gè)）

4.（2024?上海奉賢?一模）上海市奉賢區(qū)奉城鎮(zhèn)的古建筑萬(wàn)佛閣（圖1）的屋檐下常系掛風(fēng)鈴（圖2）,風(fēng)吹

鈴動(dòng)，悅耳清脆，亦稱驚鳥(niǎo)鈴，一般一個(gè)驚鳥(niǎo)鈴由銅鑄造而成，由鈴身和鈴舌組成，為了知道一個(gè)驚鳥(niǎo)鈴

的質(zhì)量，可以通過(guò)計(jì)算該驚鳥(niǎo)鈴的體積，然后由物理學(xué)知識(shí)計(jì)算出該驚鳥(niǎo)鈴的質(zhì)量，因此我們需要作出一

些合理的假設(shè)：

假設(shè)1：鈴身且可近似看作由一個(gè)較大的圓錐挖去一個(gè)較小的圓錐；

假設(shè)2：兩圓錐的軸在同一條直線上；

假設(shè)3：鈴身內(nèi)部有一個(gè)掛鈴舌的部位的體積忽略不計(jì).

截面圖如下（圖3）,其中。。3=2。51,O03=18cm,AB=16cm,則制作100個(gè)這樣的驚鳥(niǎo)鈴的鈴身至少

需要千克銅.（銅的密度為8.9g/cn?）（結(jié)果精確到個(gè)位）

5.（2024.上海奉賢.三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為3,&,E2,心為正方形ABCD邊上

的七個(gè)兩兩不同的點(diǎn).若對(duì)任意的點(diǎn)用,存在點(diǎn)與（i,je{l,2,肉使得直線AA與平面4瓦號(hào)以及平

面G耳與所成角大小均為玄，則正整數(shù)k的最大值為.

二、單選題

6.（2024?上海長(zhǎng)寧?二模）已知直線a,b和平面a,則下列判斷中正確的是（）

A.若a//a,b〃a,則a//bB.若a//6,6//a,則a//a

C.若a"a,bLa,則UD.若a1b,bIla,貝

7.（2024?上海.模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD-A耳G2和點(diǎn)P,有兩個(gè)命題：

命題甲：存在加條過(guò)點(diǎn)P的直線/,滿足/與正方體的每條棱所成角都相等；

命題乙：存在“個(gè)過(guò)點(diǎn)尸的平面a,滿足a與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等；

則下列判斷正確的是（）

A.m>nB.m=n

C.m<nD.小〃的大小關(guān)系與點(diǎn)P的位置有關(guān)

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題08空間向量與立體幾何（十大題型）

?>-----------題型歸納?定方向----------O

題型012021-2024年高考+春考真題.............................................................1

題型02空間向量的運(yùn)算.......................................................................6

題型03求幾何體的表面積與體積...............................................................7

題型04空間的位置關(guān)系.......................................................................11

題型05空間向量基本定理.....................................................................14

題型06立體幾何、導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用........................................................15

題型07空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（含難點(diǎn)）.....................................................24

題型08個(gè)數(shù)、種類等問(wèn)題....................................................................26

題型09軌跡、圍成面積等問(wèn)題................................................................31

題型10空間向量與立體幾何選擇題綜合辨析...................................................36

?>-----------題型探析,明規(guī)律-----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

7、由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|,|b|和〈a,b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一

定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使ab計(jì)算準(zhǔn)確.

8、利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐

標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素）.

9、向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的有關(guān)定理.

10、多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和.

11、旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開(kāi)后，展開(kāi)圖的面積與底面面積之和.

12、組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理.

7、題源注明：立體幾何與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用中，選用適量解答題來(lái)練習(xí)填選題

題型012021-2024年高考+春考真題

【典例1-1].（2024?上海）定義一個(gè)集合Q,集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取尸1,尸2,P3GQ,存在不全

為0的實(shí)數(shù)人，心，使得人?而7+入。配+入？砥=}.己知（1，。，0）GQ,則（0,0,1）

的充分條件是（）

A.（0,0,0）e。B.（-1,0,0）eQ

C.（0,1,0）eQD.（0,0,-1）eQ

【分析】利用空間向量的基本定理，結(jié)合充要條件，判斷選項(xiàng)即可.

【解析】解：不全為。的實(shí)數(shù)Q，Q,使得人［Op；+入o0p；+入QOP；=}.

所以3個(gè)向量無(wú)法構(gòu)成三維空間坐標(biāo)系的一組基，

又因?yàn)椋?,0,0）ec,所以對(duì)于A三者不能構(gòu)成一組基，

故不能推出（0,0,1）故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,（1,0,0）eQ,（-1,0,1）eQ,且（1,0,0）,（-1,0,0）共線，

所以（0,0,1）可以屬于。，此時(shí)三者不共面，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,顯然三者可以構(gòu)成一組基，與條件不符合，故可以推出（0,0,1）CC,故C正確；

對(duì)于。，三者無(wú)法構(gòu)成一組基，故不能推出（0,0,1）故3錯(cuò)誤.

故選：C.

【典例1-2】.（2024?上海）已知四棱柱A8C。-A181C1O1底面ABCZ）為平行四邊形，AAi=3,80=4且

,BC-ADj,DC=5,求異面直線A4I與BO的夾角arccos^-一.

【分析】由題將AB；?沃-AD丁宜=5轉(zhuǎn)化為=5即可求解.

【解析】解：如圖，

因?yàn)?，又?huà)?沃-西?技=5，

..*....

,?(AB+AA]),AD-(AD+AAp,DC=5,

化簡(jiǎn)得=5,

AA]"BD=3X4Xcos8=5,

異面直線AAi與BD的夾角為arccos-^-.

12

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法求立體幾何中的線線角，屬于中檔題.

【典例1-3】.（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,且AB=BC=CA=1,在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)

D,E（不考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與A、B、C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取

法有種.

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，分類討論，即可求解.

【解析】解：如圖所示，設(shè)任取2個(gè)不同的點(diǎn)為。、E,

當(dāng)AABC為正四棱錐的側(cè)面時(shí)，如圖，平面ABC的兩側(cè)分別可以做4BDE作為圓錐的底面，有2種情況,

同理以BCE。、ACEO為底面各有2種情況，所以共有6種情況；

當(dāng)AABC為正四棱錐的截面時(shí)，如圖，D、E位于AB兩側(cè)，AD2E為圓錐的底面，只有一種情況，

同理以BDCE、AOCE為底面各有1種情況，所以共有3種情況；

綜上，共有6+3=9種情況.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱錐的性質(zhì)，分類討論思想，屬中檔題.

【典例1-4].（2023?上海）如圖所示，在正方體48a）-4為GD1中，點(diǎn)P為邊4。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列

直線中，始終與直線8尸異面的是（）

A.DDiB.ACC.ADiD.B\C

【分析】根據(jù)空間中的兩條直線的位置關(guān)系，判斷是否為異面直線即可.

【解析】解：對(duì)于A,當(dāng)P是4C1的中點(diǎn)時(shí)，2尸與。D是相交直線；

對(duì)于8,根據(jù)異面直線的定義知，8尸與AC是異面直線；

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)尸與。重合時(shí)，8P與AD是平行直線；

對(duì)于。，當(dāng)點(diǎn)尸與C1重合時(shí)，8尸與B1C是相交直線.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線間的位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

【典例1-5】.（2022?上海）如圖正方體ABC。-A181C1D1中，P、°、R、S分別為棱A3、BC、BBi、CD

的中點(diǎn)，連接4S,B1D.空間任意兩點(diǎn)/、N,若線段MN上不存在點(diǎn)在線段4S、B1D±.,則稱

兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)。1可視的為（）

A.點(diǎn)PB.點(diǎn)8C.點(diǎn)RD.點(diǎn)。

【分析】線段上不存在點(diǎn)在線段AiS、B1D±,即直線與線段4S、81。不相交，因此所求與

?？梢暤狞c(diǎn)，即求哪條線段不與線段4S、81。相交，再利用共面定理，異面直線的判定定理即可判斷.

【解析】解：線段MN上不存在點(diǎn)在線段45、BLD上，即直線與線段4S、81。不相交,

因此所求與口可視的點(diǎn)，即求哪條線段不與線段4S、為。相交，

對(duì)A選項(xiàng)，如圖，連接A1P、PS、DiS,因?yàn)镻、S分別為AB、C。的中點(diǎn)，

，易證A1Q1〃尸S,故4、￡)1、P、S四點(diǎn)共面，尸與4S相交，錯(cuò)誤；

對(duì)B、C選項(xiàng)，如圖，連接QiB、DB,易證。1、81、B、。四點(diǎn)共面,

對(duì)。選項(xiàng)，連接D。，由A選項(xiàng)分析知A1、。1、P、S四點(diǎn)共面記為平面A1O1PS,

：。1w平面4￡)1尸5,。金平面4D1PS,且4Su平面AiDPS,點(diǎn)。摩4S,

...D1Q與4S為異面直線，

同理由B,C選項(xiàng)的分析知Di、Bi、B、。四點(diǎn)共面記為平面。止12￡),

平面。181BD,℃平面。且BiDu平面點(diǎn)、D\eBiD,

與30為異面直線，

故。1。與4S,81。都沒(méi)有公共點(diǎn)，二。選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，共面定理的應(yīng)用，異面直線的判定定理，屬中檔題.

【典例1-6】.（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的

四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

【分析】3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直.

【解析】解：3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直，

每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），

相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證

能力，是中檔題.

【典例1-7].（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,為上底面圓的一條直徑，C是下底面

圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AABC的面積的取值范圍為一[2,V5]_.

【分析】上頂面圓心記為O,下底面圓心記為O',連接OC,過(guò)點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)由于

為定值，則S^ABC的大小隨著CM的長(zhǎng)短變化而變化，

分別求解CM的最大值和最小值，即可得到答案.

【解析】解：如圖1,上底面圓心記為。，下底面圓心記為O',

圖1圖2圖3

連接OC,過(guò)點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)

則，

根據(jù)題意，AB為定值2,所以SAABC的大小隨著CM的長(zhǎng)短變化而變化，

22

如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，CM=OC=<^|+2>

此時(shí)SLABC取得最大值為JX2X泥=V5；

如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)8重合，CM取最小值2,

此時(shí)SAABC取得最小值為2X2=2-

綜上所述，SAABC的取值范圍為[2,V5].

故答案為：[2,V5].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的最值問(wèn)題，將三角形面積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線段CM的最值問(wèn)題進(jìn)行求

解是解題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

【典例1-8].（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面積為4TI.

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可.

【解析】解：圓柱的底面半徑為，=1,高為〃=2,

所以圓柱的側(cè)面積為S惻=2無(wú)泌=23卜2=4%.

故答案為：4兀.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

題型02空間向量的運(yùn)算

【典例2-1].（2024?上海徐匯?一模）已知向量￡=（2,5,1）,〃=（4,加,5）,若°2=3，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

【答案】-2

【分析】利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.

【解析】因?yàn)椤?（2,5,1）力=（4,辦5）,所以a.6=2x4+5〃7+lx5=5m+13=3，

所以a二一2.

故答案為：-2

【變式2?1].（24-25高三上?上海寶山?期中）已知向量，=（-2,1,1）,6=（1,1,0）,則Q在人方向上的填影畫(huà)

罩為?

【答案】&別

a-b

【分析】根據(jù)商在b方向上的投影向量為汴為計(jì)算可得.

\b\

【解析】因?yàn)椤?(-2,1,1),6=(1,1,0),

所以4力=-2*1+以1+k0=-1,忖=血,

所以°在。方向上的投影向量為療功=，/6=_；6=_；（1,1,0）=[-；,一；,0]

故答案為：W，。）

【變式2-2].（2025?上海高考復(fù)習(xí)?專題練習(xí)）已知空間單位向量0,b，c兩兩垂直，則（）

A.布B.y/6C.3D.6

【答案】A

【分析】先根據(jù)單位向量得出模長(zhǎng)，再根據(jù)垂直得出數(shù)量積，最后應(yīng)用運(yùn)算律求解模長(zhǎng)即可.

【解析】因?yàn)榭臻g單位向量風(fēng)九。兩兩垂直，

所以同=Q?=1,卜|=。，ffb=cd0=be—,

所以卜―/7+4==yja1+b2+c2—2cib—bc+ac

^^1+1+1-0-0+0=73.

故選：A.

題型03求幾何體的表面積與體積

【典例3-1】.（2024.上海虹口.一模）若某圓錐的底面半徑為1,高為1,則該圓錐的側(cè)面積為.（結(jié)

果保留兀）

【答案】母兀

【分析】首先求出母線，再由側(cè)面積公式計(jì)算可得.

【解析】因?yàn)閳A錐的底面半徑r=1,高/i=l,設(shè)母線為/>0）,則/=戶7=夜，

所以該圓錐的側(cè)面積為url=A/2TI.

故答案為：也無(wú)

【典例3-2].（24-25高三上?上海松江?期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積為15%，則該圓錐的

高為?

【答案】4

【分析】根據(jù)給定條件，利用側(cè)面積公式求出母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高.

【解析】圓錐的底面半徑r=3,設(shè)其母線長(zhǎng)為/,則兀力=15兀，解得/=5,

所以該圓錐的高/z==752-32=4.

故答案為：4

【變式3-1].（24-25高三上?上海?期中）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為67個(gè)r且半徑為5的扇形，則它

的體積為.

【答案】12兀

【分析】根據(jù)題干信息和圓錐的體積公式求解即可.

【解析】因?yàn)殄F的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為號(hào)67r且半徑為5的扇形，

6兀

所以圓錐的底面半徑為

-D

2兀

所以圓錐的體積為：$x32x&2-3?=12兀.

故答案為：12兀.

【變式3-2].（2024?上海寶山.一模）將棱長(zhǎng)為2的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體

積為.

【答案】271

【分析】先求出四面體其中一個(gè)面的高，確定正四面體旋轉(zhuǎn)后得到兩個(gè)同底的圓錐，利用圓錐體積公式求

解即可.

如圖為棱長(zhǎng)為2的正四面體，作8。，AC,3DCAC于點(diǎn)。，

在VABC中，|AB|=2,ZBAC=6O°,|B￡>|=|AB|-sin60o=73,

根據(jù)題意，正四面體旋轉(zhuǎn)后得到兩個(gè)同底的圓錐，

底面半徑等于忸。|=括，高等于5=1,

所以旋轉(zhuǎn)后幾何體的體積為：V=2x1.7f（V3）2=27t.

故答案為：2K

【變式3-3].（2024?上海青浦?一模）已知圓柱M的底面半徑為3,高為6，圓錐N的底面直徑和母線長(zhǎng)

相等.若圓柱M和圓錐N的體積相同，則圓錐N的底面半徑為一.

【答案】3

【分析】求出圓柱M的體積，設(shè)圓錐N的底面半徑為「，求出圓錐的高為gr,從而得到圓錐的體積，得

到方程，求出答案.

【解析】圓柱”的體積為無(wú)了乂出二鄉(xiāng)6兀，

設(shè)圓錐N的底面半徑為「，則母線長(zhǎng)為2r,故圓錐的高為“2了二^二石廠，

則,兀?，?6廠=^^兀廠3,故心~#=9411,解得r=3,

333

故圓錐N的底面半徑為3.

故答案為：3

【變式3-4].（2024?上海徐匯?一模）徐匯濱江作為2024年上海國(guó)際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場(chǎng)之一，吸引了廣

大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見(jiàn)容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的

上、下底面直徑分別為30cm和26cm,下面圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為24cm和18cm,且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展

開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等.若上面圓臺(tái)的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長(zhǎng)的總和為cm.

【答案】5yfU

【分析】設(shè)出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)及底面半徑，根據(jù)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)公式/=J及+缶-々J結(jié)合條件即得.

【解析】設(shè)上面圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4,上面半徑為八=15cm,下半圓半徑為13cm,高為“=8cm,

根據(jù)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)公式/=業(yè)+化_篁,帶入數(shù)值計(jì)算得到4=苫+（15一13『=而=2717cm；

設(shè)下面圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為k,上面半徑為g=12cm,下半圓半徑為〃=9cm,

由于兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等，可以得到^^二21產(chǎn)，帶入數(shù)值計(jì)算得到

"1’2

(4-6_(12-9)x2折

=3VT7cm；

'2

zj—丫215—13

所以該花盆上、下兩部分母線長(zhǎng)的總和為2折+3a=5717cm.

故答案為：5V17

【變式3-5].（2024.上海.三模）如圖，矩形A3CE（中，E為的中點(diǎn)，AB=1,BC=2,連接EB,EC,

若V3EC繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為.

【答案】4兀+2夜兀

【分析】V3EC繞直