大題仿真卷03（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘）

*---------A組.鞏固提升----------?>

一、解答題

1.如圖，尸為圓錐頂點(diǎn)，。為底面中心，A,B,C均在底面圓周上，且VA2C為等邊三角形.

C

（1）求證：平面尸。4_L平面尸BC；

（2）若圓錐底面半徑為2,高為2拒，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

2.已知函數(shù)〃x）=26sin（f+；）sin（U）-sin（乃+x）,若函數(shù)g（x）的圖像與函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于了軸對(duì)

4242

稱.

（1）求函數(shù)g。）的解析式；

rr

（2）若存在彳可。,^],使等式g2（x）_g（x）+機(jī)=0成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3.某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達(dá)標(biāo)情況與性別之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù):

不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)

男300

女100300

合計(jì)450600

（1）完成2x2列聯(lián)表，根據(jù)顯著性水平夕=0。5的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)？

（2）若體育鍛煉達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為（，體育鍛煉未達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為：，用

上表中居民體育達(dá)標(biāo)的頻率估計(jì)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率，現(xiàn)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取1人參加體能測(cè)

試，求其體能測(cè)試合格的概率；

（3）在（2）的條件下，從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人參加體能測(cè)試，求3人中體能測(cè)試合格的人數(shù)X的分布、

數(shù)學(xué)期望及方差.

附：/=7―八,P(X2^3,841)?0.05.

(Q+b)(c+d)(Q+(?)(/?+d)

22

4.已知橢圓C:土+與=1(0＜。＜2),設(shè)過(guò)點(diǎn)A(l,0)的直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，交直線x=4于點(diǎn)P,點(diǎn)

4b-

石為直線x=l上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn).

(1)橢圓C的離心率為9，求6的值；

⑵若求6的取值范圍；

(3)若6=1,記直線￡M,EN,EP的斜率分別為左,右，網(wǎng)，問(wèn)是否存在K，h，網(wǎng)的某種排列的，ki2,

的(其中{4Z，4={1,2,3},使得的，ki2,如成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明；

若不存在，說(shuō)明理由.

5.記y=f，(x),y=g'(x)分別為函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在不wR,滿足〃%)=g(x())且

,,

/(A0)=g(x0),則稱4為函數(shù)y=yO)與y=。(久)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

(1)證明：函數(shù)＞=彳與y=/+2x-2不存在“S點(diǎn)”；

⑵若函數(shù)＞="2-1與y=lnx存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)。的值；

2

(3)已知f(x)=-x+a,g(x)=與.若存在實(shí)數(shù)a＞0,使函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間(2,+“)內(nèi)存在“S

點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)匕的取值范圍.

O----------------B組?能力強(qiáng)化----------?＞

一、解答題

1.如圖，線段AA是圓柱。。1的母線，BC是圓柱下底面。的直徑.

(1)若。是弦AB的中點(diǎn)，RAE=^AAl,求證：DE//平面ABC；

(2)若BC=2,NABC=30。，直線AC與平面ABC所成的角為g,求異面直線4。與AB所成角的大小.

2.已知函數(shù)>=/(%),記/(%)=sin(G%+0),①>0,。<。<兀，XGR.

⑴若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀，當(dāng)八芻=1時(shí)，求0和。的值；

O

7T

(2)若。=1,(p=~,函數(shù)丫=產(chǎn)。)-2/(尤)-“有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

0

3.某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過(guò)程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差(零件質(zhì)量與

標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值)的樣本數(shù)據(jù)如下表：

質(zhì)量差(單位：mg)5457606366

件數(shù)(單位：件)52146253

(1)求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)元；假設(shè)零件的質(zhì)量差X~N(〃,〃)，其中4=16,用于作為〃的近似值，求

P(56<X<68)的值；

3

⑵已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中全部零件的；來(lái)自第1條生產(chǎn)線.若兩條生產(chǎn)線的廢品

率分別為0.016和0.012,且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨(dú)立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽

取一件.

(i)求抽取的零件為廢品的概率；

(ii)若抽取出的零件為廢品，求該廢品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量則

—<//+cr)?0.6827,—2cr<X<//+2cr)?0.9545,P^jU—3cr<X<//+3cr)?0.9973.

22

4.設(shè)A,8是雙曲線H：=-二=l(a>0,6>0)上的兩點(diǎn).直線/與雙曲線”的交點(diǎn)為P,。兩點(diǎn).

ab

⑴若雙曲線”的離心率是指，且點(diǎn)在雙曲線”上，求雙曲線H的方程；

22

(2)設(shè)A、B分別是雙曲線以：--2=1(。>0,6>0)的左、右頂點(diǎn)，直線/平行于y軸.求直線A尸與8。

cib

斜率的乘積，并求直線AP與2。的交點(diǎn)M的軌跡方程；

(3)設(shè)雙曲線H：x2-/=l,其中凡一衣1),8(①1),點(diǎn)〃是拋物線C：/=2y上不同于點(diǎn)A、8的動(dòng)

點(diǎn)，且直線MA與雙曲線H相交于另一點(diǎn)P,直線MB與雙曲線H相交于另一點(diǎn)。，問(wèn)：直線尸。是否恒過(guò)

某一定點(diǎn)？若是，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.設(shè)函數(shù)/(尤)=ax3-(a+l)4+x,g(x)=fcr+m,其中。20,左,〃zeR,若任意xe[0,l]均有f(x)Wg(x),則

稱函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=/(尤)的控制函數(shù)”，且對(duì)于所有滿足條件的函數(shù)y=g(x)在了處取得的最小值記為

(1)若a=2,g(x)=x,試問(wèn)y=8(》)是否為〉=/(尤)的控制函數(shù)”；

(2)若。=0,使得直線、=以元)是曲線y=/(x)在尤=；處的切線，證明：函數(shù)y=/7(x)為函數(shù)y=/(x)的控制

函數(shù)，并求的值；

⑶若曲線y=/(x)在彳=%0(%€(0,1))處的切線過(guò)點(diǎn)(1,0),且ce[x0,l],證明：當(dāng)且僅當(dāng)C=x0或c=l時(shí),

7(c)=/(c).

0------c組?高分突破-----------O

一、解答題

1.如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，AB=2,PA=3.

(1)求四棱錐的表面積；

(2)求二面角4-尸3-C的大小.(結(jié)果用反三角表示)

2.已知函數(shù)y=，O),其中/(》)="(常數(shù)a>0且aHl).

⑴若函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,9),求關(guān)于x的不等式/(|2x-l|)>3的解集；

⑵若存在xw(O,l],使得數(shù)列41)、/⑻、/(/+2)是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

3.某市舉行了一次大型宣傳活動(dòng)，會(huì)后組辦方分別從7個(gè)不同的地方的問(wèn)卷調(diào)查中各隨機(jī)抽取了相同數(shù)量

的數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)樣本，依據(jù)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)該樣本中各地抽取的數(shù)據(jù)人均得分構(gòu)成數(shù)列{q},且

%'由各地的得分可以認(rèn)為各地人均得分2服從正態(tài)分布NJ/。?)，〃近似為抽

取的樣本中7個(gè)地方人均得分的平均值(得分的平均值四舍五入并取整數(shù)).

⑴利用正態(tài)分布的知識(shí)求尸(113<%<143)；

(2)組辦方為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：

方案一：(i)得分不低于〃的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；

(ii)每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為

獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)(單位：元)|50|100

概率2

44

方案二：參加了此次問(wèn)卷調(diào)查的市民可獲得價(jià)值100元的“元旦迎新”大型晚會(huì)活動(dòng)入場(chǎng)券，參加了此次問(wèn)卷

調(diào)查的市民可選擇其中一種獎(jiǎng)勵(lì)方案.

①市民小李參加了此次問(wèn)卷調(diào)查，記x(單位：元)為小李參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)

學(xué)期望；

②請(qǐng)問(wèn)小李是選擇參加獲贈(zèng)隨機(jī)話費(fèi)活動(dòng)，還是獲得價(jià)值100元的參加“元旦迎新”入場(chǎng)券？請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)中相關(guān)

知識(shí)為小李作出決策.

(附：若Z~N(〃,CT2),則尸(〃一cr<Z<〃+cr)=0.6827,P(〃-2b<Z<〃+2b)=0.9545,

P(〃-3cr<Z<〃+3cr)=0.9973)

2

4.已知雙曲線--二=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,設(shè)點(diǎn)尸在第一象限且在雙曲線上，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

2

(1)求雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值；

⑵若PA.尸849,求網(wǎng)的取值范圍；

(3)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2&，且短軸的端點(diǎn)恰好是A、B兩點(diǎn),直線針與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為。.記POA、

的面積分別為跖、邑.求的最小值，并寫出取最小值時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5.若函數(shù)y=在x=x0處取得極值，且〃%)=加0(常數(shù)XeR),則稱/是函數(shù)y=的“2相關(guān)點(diǎn)”.

⑴若函數(shù)"/+2了+2存在“彳相關(guān)點(diǎn)”，求;I的值；

(2)若函數(shù)y=A^-21nx(常數(shù)％eR)存在“1相關(guān)點(diǎn)”,求上的值：

⑶設(shè)函數(shù)y=F⑺的表達(dá)式為〃力=加+6尤2+cx(常數(shù)以b、cwR且。片0),若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)不

相等且均不為零的“2相關(guān)點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)尸(1,2)存在3條直線與曲線y=〃x)相切，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

大題仿真卷03（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘）

?>-------A組.鞏固提升----------O

一、解答題

1.如圖，P為圓錐頂點(diǎn)，0為底面中心，A,B,C均在底面圓周上，且VABC為等邊三角形.

（1）求證：平面PQ4_L平面P2C；

⑵若圓錐底面半徑為2,高為2夜，求點(diǎn)A到平面尸BC的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵2血

【分析】（1）連接尸。,4。，根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)判定、面面垂直的判定推理即得.

（2）連接作于證明AH_L平面尸BC,再計(jì)算A"即得.

【解析】（1）連接尸O，AO交BC于點(diǎn)由VABC為等邊三角形，得。是VABC的中心，則AOLBC,

而尸O_L平面ABC,BCu平面ABC,則PO/3C,又尸OAO=O,PO,AOcABC,

因此2C_L平面PQ4,又3Cu平面P2C,

所以平面POA±平面PBC.

（2）連接尸作于由（1）知BC_L平面PQ4,AHu平面PQ4,則3C_LAH,

而B(niǎo)C9=朋;3。,曰0（=平面尸3（；,則A”_L平面尸3C,

顯然MO=gAO=l,P0=2立，則PM=JPO2+A/O2=3=AM，

而/AMH=/PAfO,于是Rt^AWgRtPMO,因此A8=PO=20，

所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為2夜.

2.已知函數(shù)/(%)=26sin(f+：)sin(f--sin(乃+x),若函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于，軸對(duì)

4242

稱.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

-TT

(2)若存在xe[O,R,使等式g“x)-g(x)+機(jī)=0成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

JT1

【答案】(1)g(x)=-2sin(x--);(2)[-2,-].

【分析】⑴化簡(jiǎn)得/(x)=2sin(x+*再利用對(duì)稱性求出函數(shù)g(x)的解析式；

(2)先求出g(x)w[-l,V5b再換元，令l=g(x),我，等價(jià)為加=一/+/在此[_1,6]上成立，求出

二次函數(shù)的最值即得解.

【解析】(1)/(元)=2A/^sin(?++cos(?+?+sinx=\/§'sin(5+x)+sinx=sinx+石cos龍

=2sin(x+$

由于函數(shù)g。)的圖像與函數(shù)fa)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

設(shè)g(x)上任一點(diǎn)P(X,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P'(-x,y)在y=/(%)的圖像上，

TTTT

即g(x)=2sin(-x+§),故g(x)=-2sin(x-9)；

TT

(2)因?yàn)樨！闧0,耳],

所以<X--<sin(x--)<—-2sin(x--)<6

3362323

所以g(x)￡[―1,,令，=g(x),tG[―1,\/3]

則等式g2(x)-g(x)+機(jī)=0成立等價(jià)為機(jī)=-〃+￡在力￡[-1,村上成立,

m=-t2+t=-(/t——h)+1-,

24

11

當(dāng)/=-1時(shí)，機(jī)取得最小值-2；當(dāng)，=大時(shí)，加取得最大值;，

24

故機(jī)得取值范圍是[-2,」

4

3.某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達(dá)標(biāo)情況與性別之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù):

不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)

男300

女100300

合計(jì)450600

⑴完成2x2列聯(lián)表，根據(jù)顯著性水平c=005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)?

42

(2)若體育鍛煉達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為:，體育鍛煉未達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為：，用

上表中居民體育達(dá)標(biāo)的頻率估計(jì)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率，現(xiàn)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取1人參加體能測(cè)

試，求其體能測(cè)試合格的概率；

(3)在(2)的條件下，從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人參加體能測(cè)試，求3人中體能測(cè)試合格的人數(shù)X的分布、

數(shù)學(xué)期望及方差.

n^ad-bcy

2P(%2>3.841)?0.05.

附:,(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)表格見(jiàn)解析，根據(jù)顯著性水平a=0。5的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)苷J(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).

(3)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為得，方差為亮

【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，再由卡方公式以及獨(dú)立性性檢驗(yàn)的思想判定結(jié)果即可.

(2)根據(jù)全概率公式結(jié)合表格數(shù)據(jù)可求出這600位居民參加體能測(cè)試合格的頻率，然后由樣本估計(jì)總體的

思想可得當(dāng)?shù)厝w居民體能測(cè)試合格的概率.

(3)由題意隨機(jī)變量X=0,1,2,3,且由(2)X~B[3，U故根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式即可求得X的每一

個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得隨機(jī)變量的分布列；根據(jù)二項(xiàng)分布的期望值和方差公式得期望值和方差.

【解析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)補(bǔ)全2x2列聯(lián)表如下：

不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)

男50250300

女100200300

合計(jì)150450600

零假設(shè)4：體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān),

600(50x200-100x250)2

由表格數(shù)據(jù)得/=—?22.222>3.841，

300x300x150x4509

因?yàn)槭?3.841）=0.05,

所以推斷Ho不成立，依據(jù)顯著性水平a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)苷J(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).

（2）由表格數(shù)據(jù)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率為照=：,

6004

記事件A="從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取1人參加體能測(cè)試，其體能測(cè)試合格”，

ra?P（A）=-3x-4^l，--3j、x-？=-7.

（3）由題意X=0,1,2,3,當(dāng)?shù)鼐用袢丝诨鶖?shù)大，可近似看做二項(xiàng)分布，即*~8[3,1），

所以尸(x=o)=[i_.27189

WOOWOO

441_啕7丫_343

woo'(〔KJIOOO'

所以X的分布列為:

X0123

27189441343

P

1000100010001000

則E(X)=H/7=3XN=包；D(X)=np(l-/?)=3x—X—=

V71010(J八?io10100

22

4.已知橢圓嗚+/1（?！础?，設(shè)過(guò)點(diǎn)胡。）的直線,交橢圓C于N兩點(diǎn)，交直線I于點(diǎn)尸，點(diǎn)

石為直線x=l上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn).

（I）橢圓C的離心率為求，的值；

⑵若|A"|21,求6的取值范圍；

（3）若6=1,記直線EN,的斜率分別為匕,k2,白，問(wèn)是否存在匕,Q匕的某種排列冊(cè),

心（其中。={1,2,3},使得的，峪，心成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明;

若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴6

⑵[立2）

（3）九，&,月或《，匕，匕成等差數(shù)列

【分析】（1）根據(jù)題意可得。=2,結(jié)合e=￡c==1,求得c,進(jìn)而求得8；

a2

(2)設(shè)點(diǎn)/(%,%),表示出結(jié)合可得玉W用二，結(jié)合-2《占《2可得不等式，即可求得答

4—Z?

案；

(3)設(shè)點(diǎn)E(1J),"0,①若直線/斜率為0,直接驗(yàn)證；②直線/斜率不為0,設(shè)直線/：x="y+10w0),

3

/\/、■,Vi—t,yo-t---1

/(%,/),N(/,%)，則％=、，右=一，,_m與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求

石—1%-1K3~一———；

33m

解.

【解析】(1)由題意知，a2=4f故。=2,

c1______

又離心率0="=5，故C=l,于是6=J/_02="

22

(2)設(shè)點(diǎn)”(冷乂)，其中a+與=1,一24七42且無(wú)產(chǎn)1,

4b

2

貝ij|AM|=JET)?+y；=J(X]—以+—一%卜-2xt+b+1,

由得[—2占+/=(%一2)—qjx]—g>0,

.'^<2,0<b<2,：.^-2<0,1一/>0,./l-與百一440,；.X<^L,只需

414尸214-b24-b2

又0<b<2,故046<2，

所以b的取值范圍是[點(diǎn),2).

(3)尢，k3,右或k°,k3,6成等差數(shù)列，證明如下：

若6=1,則C:工+丁=1,設(shè)點(diǎn)灰1J),20.

①若直線/斜率為0,則點(diǎn)尸(4,0),不妨令點(diǎn)用(2,0),N(-2,0),

則％=V,k2=1,&=-；，此時(shí)勺，右，心的任意排列的，%,心均不成等比數(shù)列，%,質(zhì),網(wǎng)或％2,

%,九成等差數(shù)列.

②直線/斜率不為0,設(shè)直線/：》=沖+1(祖力0),加(冷乂)，Ngy),則點(diǎn)尸,]],

由,兀22得(加之+4)y2+2沖一3=0,A=]6(加+3)>0,

—+/=1

14J

.Vi—t.%—t---f

因?yàn)樯?7，無(wú)2=7,7m3—mt,

x-1x-1=----=-----

129333m

所以《+上2=^^+且7=/一+--

xi-\x2-1myxmy2

二%(%-，)+%(%一)=2yly2T(%+%)

映必沖i%

-62mt

_療+4/+4_62mt_

3，

一Tm-3m~

m2+4

所以a,網(wǎng)，網(wǎng)或后，匕，《成等差數(shù)列.

綜合上述，院,k3,心或％2，&，K成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)與數(shù)列進(jìn)行了綜合，關(guān)鍵在于判斷出結(jié)論，進(jìn)而證明.先由直線/斜率為0

時(shí)，直接驗(yàn)證尤，/，履或K，右，左成等差數(shù)列；直線/斜率不為0時(shí)，結(jié)合直線方程聯(lián)立橢圓方程，利

用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合進(jìn)行化簡(jiǎn)驗(yàn)證.

5.記y=/，(x),y=g'(x)分別為函數(shù)y=/0),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在%eR,滿足〃%)=g(%)且

/'(%)=g'(/),則稱/為函數(shù)y=f(x)與y=爪久)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

(1)證明：函數(shù)＞=兀與y=/+2x-2不存在“S點(diǎn)”；

⑵若函數(shù)y=o%2-1與y=lnx存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)。的值；

加X(jué)

(3)己知/(x)=-X2，g⑴=.若存在實(shí)數(shù)＞o,使函數(shù)y=與y=。⑺在區(qū)間⑵+力)內(nèi)存在“S

點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)a=t

27

⑶6e(-r，0)

e

【分析】(1)求導(dǎo)，假設(shè)存在“S點(diǎn)”與,解方程組可得結(jié)論;

(2)求導(dǎo)，設(shè)“S點(diǎn)”為％,解方程組得結(jié)論.

/(x0)=g(x0)

(3)設(shè)“S點(diǎn)''為七,由＜用玉表示出。涉,由a＞0求得M的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求得6的范圍.

「伉)=，(%)'

【解析】(1)因?yàn)閥=x,y=x2+2x-2,則y'=l,y'=2x+2,

假設(shè)存在函數(shù)＞=x與y=/+2x-2存在“S點(diǎn)”

即存在與滿足r°1”+：龍。-2,方程組無(wú)解,

所以函數(shù)丁=元與y=f+21—2不存在"S點(diǎn)

(2)因?yàn)閥=a%2-1與y=inx,則？=2改與y=’,

x

ax：-l=lnx°毛二?。?/p>

設(shè)“S好點(diǎn)”為％,x°滿足<1,]°，

2axn=-e

所以

(3)由已知/'。)=一2無(wú)，g，Q)=bxe\[be6(x-l)e*

f(%)=g(%)

依題意可得：存在%?2,+8)滿足，代入得

x

fM=g'(oy

尤沁0-3)

LL-

—

Xn1

解得3，

b=——

x

(l-x0)e?

由°=，片513)>0,又%>2,故解得%>3,

令泯好=小，(無(wú)23),則〃(x)=2(,一1+?>0,/z(x)在(3,+s)上增函數(shù),

(l-x)e(1-x)e

27

/z(3)=--r,時(shí)，Kx)<0,且當(dāng)九f+8時(shí)，%(%)-0,

所以人(X)￡[—下,0),即b￡(——,0).

ee

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握新定義“S點(diǎn)”的含義，對(duì)函數(shù)”x),g(x)的“好點(diǎn)”

f/(Xn)=g(%o)

%,實(shí)質(zhì)就是解方程組，」、，因此凡是出現(xiàn)“S點(diǎn)解題時(shí)就是由此方程組求解.這樣就把新

定義轉(zhuǎn)化一般的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.

B組?能力強(qiáng)化

一、解答題

1.如圖，線段&A是圓柱。。1的母線，BC是圓柱下底面。的直徑.

(1)若。是弦AB的中點(diǎn)，MAE=1A41,求證：OE//平面ABC；

(2)若BC=2,/ABC=30。，直線AC與平面ABC所成的角為g冗,求異面直線4。與A3所成角的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)arccos^-

4

【分析】(1)證明。E〃A3,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

(2)取線段AC的中點(diǎn)尸，連接耳尸,。尸，證明OF//AB,則ZA.OF即為異面直線相與A0所成角，證明J_

平面AAC，再解Rt^A。尸即可.

【解析】(1)因?yàn)椤Ｊ窍褹3的中點(diǎn)，

且AE=；A4j,可知E是線段AA的中點(diǎn)，

故在AA8中，OE為邊AB的中位線，

則DE//AB,又A8u面A8C,且直線OE不在面ABC,

則OE//平面ABC；

(2)取線段AC的中點(diǎn)尸，連接A尸。尸，

在VABC中，線段OR是A8的中位線，

故OF//AB,則ZA.OF即為異面直線AB與4。所成角，

由題意知，AC=1,AF=-,AB=y/3,OF=-AB=^-,

222

因?yàn)楹鷂L平面A5C,ABu平面ABC,

所以AAJAB,

因?yàn)锽C是圓柱下底面。。的直徑，所以人AC,

又441cAe=A,A4，ACu平面A4。，所以AB,平面"C,

所以8,平面44(,

又因A尸u平面"C,所以。尸，4尸，

在Rt^AA。77中，CA=—,故A4J=J5,故4。=J4A?+AO?=2,

故cos/4OF=*=9，

則異面直線\O與AB所成角的大小為arccos立.

2.已知函數(shù)y=/(x),記/(x)=sin(G%+0),①〉0,0＜。＜兀，XGR.

⑴若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀，當(dāng)八點(diǎn)=1時(shí)，求①和。的值；

JT_

(2)若G=1,(p=z函數(shù)y=/2(%)—2/(%)-〃有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

6

【答案】⑴。=2,4JT

6

⑵ae[-1,3]

【分析】(1)利用三角函數(shù)的周期公式求得。，再利用三角函數(shù)的值域與周期性求得。，從而得解；

(2)根據(jù)題意，利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為r一2/-。=0在無(wú)e[-M]有解，從而利用參變分離法或二次函數(shù)

根的布分即可得解.

2兀

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的最小正周期三=兀，所以。=2,

(D

則當(dāng)尤=.時(shí)，sinf|+^j=l,

所以一+0=2E+—(ZEZ),得°=2E+—(左eZ),

326

7T

因?yàn)?<9<兀，所以取左=0得夕=工，

O

(2)解法一：

當(dāng)°=1,時(shí)，/(x)=sin^x+^,xeR,

設(shè)f=/(x)=sinde[-l,l],

由題意得，尸-2f—4=0在有解^化簡(jiǎn)得。=產(chǎn)一2%

又g⑺=〃-2/=("廳-1在fe[-1,1]上單調(diào)遞減,

所以-lWg(t)V3,則ae[-l,3].

解法二：

當(dāng)0=1,0=｝時(shí)，"x)=sinXGR,

6

設(shè)f=〃x)=sinx+聿

由題意得，/一2/-。=0在有解,

記〃(0=產(chǎn)一2/-。，對(duì)稱軸為f=l,

[A>0[4+4tz>0

則由根的分布可得b(T紂即[(-1)2-2?(-1)-/。

解得一lWa43,

所以

3.某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過(guò)程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差(零件質(zhì)量與

標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值)的樣本數(shù)據(jù)如下表：

質(zhì)量差(單位：mg)5457606366

件數(shù)(單位：件)52146253

⑴求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)元；假設(shè)零件的質(zhì)量差X~N(〃02),其中〃=16,用亍作為〃的近似值，求

P(56<X<68)的值;

3

⑵已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中全部零件的;來(lái)自第1條生產(chǎn)線.若兩條生產(chǎn)線的廢品

率分別為0.016和0.012,且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨(dú)立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽

取一件.

(i)求抽取的零件為廢品的概率；

(ii)若抽取出的零件為廢品，求該廢品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X~N(〃,/)，則

P^jU—tT<X<〃+cr)Q0.6827,P(/z—2cr<X<〃+2o■卜0.9545,P(/z—3cr<X<〃+3o■卜0.9973.

【答案】⑴I=60，尸(56<X<68)=0.8186

⑵(i)0.015；(ii)0.8

【分析】(1)先求出無(wú)，再利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解；

(2)(i)利用全概率公式求解；(ii)利用條件概率公式求解.

x=54x5+57x21+60x46+63x25+66x3

【解析】(1)由題意可知=60

100

則X?N(60,16),

所以P(56<X<68)=P(60—4<X<60+4x2)

=耳尸(〃一<T<X<〃+。)+耳尸-2(rvX<〃+2。)

」X0.6827+-X0.9545=0.8186；

22

(2)(i)設(shè)事件A表示“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，

事件與表示“隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，

事件B2表示“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，

31

則P(g)="P(B2)=~,尸(A|4)=0.016,P(A|B2)=0.012,

31

所以尸(A)=P(B])P(A|4)+P(B2)P(A|B2)=-^X0.016+-X0.012=0.015；

(ii)因?yàn)镻(AI瓦)=勺察，

3

所以尸(ABj=P(A|4)P(耳)=0916x7=0.012,

所以P(A|A)=&，p="U=0.8.

m/v17P(A)0.015

22

4.設(shè)A,8是雙曲線反：，-斗=l(a>0,6>0)上的兩點(diǎn).直線/與雙曲線”的交點(diǎn)為P,。兩點(diǎn).

cib

⑴若雙曲線X的離心率是G，且點(diǎn)在雙曲線”上，求雙曲線H的方程；

22

(2)設(shè)A、B分別是雙曲線H：=-4=1(。>0,6>0)的左、右頂點(diǎn)，直線/平行于y軸.求直線AP與8Q

斜率的乘積，并求直線AP與3。的交點(diǎn)M的軌跡方程；

⑶設(shè)雙曲線H：x2-/=l,其中川-衣1),網(wǎng)應(yīng),1),點(diǎn)M是拋物線C：必=2、上不同于點(diǎn)A、2的動(dòng)

點(diǎn)，且直線K4與雙曲線H相交于另一點(diǎn)P,直線KB與雙曲線H相交于另一點(diǎn)。，問(wèn)：直線P。是否恒過(guò)

某一定點(diǎn)？若是，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【答案】⑴/一二=1

2

h2X2V2

(2)kAPkBQ=—+tr=l'孫NO

aab

⑶直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)為(O,T),

【分析】(1)根據(jù)所給條件得到關(guān)于/、〃的方程組，解得即可；

(2)設(shè)西>a或尤1<-a),M(x,y),則。(％,-乂),表示出％,kBQ,利用點(diǎn)在雙曲線上得到七,演°,

再由三點(diǎn)共線得到為=《，》="，代入雙曲線方程，整理可得；

XX

⑶設(shè)M小,％乂無(wú)0r±@,P（xp,yp）,。（尤°,%）則無(wú)；=2%,即可得到北、8Q的方程，表示出尸、Q,

根據(jù)對(duì)稱性定點(diǎn)在,軸上，利用特殊值求出定點(diǎn)坐標(biāo)，再證明即可.

[22_

/一3一1

212

\=c，所以雙曲線方程為尤2-21=1;

{b-=22

c2=a2+b2

（2）設(shè)P（芯，％）（玉或王<一。），則M（x,y）,A（-<z,O）,3（。,0）,

則3；小”二所以"\";J

q2-a2，

又與一"=1,即犬

abQ?

b2^-a2）

所以左k_一才_(tái)“2_芹,

%1—a玉_Qa

則AM=（x+a,y）,”=（%+〃,%）,

由A,M,P三點(diǎn)共線得：a+a）y=x（%+4）；

又BM=（%-?,y）,3Q=（玉一。，一%）,

由3,M,。三點(diǎn)共線得：（玉一?！?一切（％-〃），

a1ay

「?玉=—，％=——，

X%

X；

/一鏟

22222

.?:一嗅=1,即日2一,2尸=祗2,則?+馬=1,S，wO）,

xxbab

22

???直線AP與直線8。的交點(diǎn)"的軌跡的方程為工+與=1,孫wO；

ab

（3）設(shè)M（%,%乂尤0力±忘），P（xp,yp）,。（尤則片=2%,

直線AP：y=矢也（x+g+1,即y與-^/2\/2x

---x+---0-;

22

直線BQ：?=*手[一加）+i,即y=2+V2A/2X

x.0

22

XO--J1y/2x0什6丫）

由7_2x2得-1x

x2-y2=1，

X0+2YPx；+2

所以XPXA=->/2x=2

p7----Fv-，即30—ET則”

(x-V2)-44-

0(…廣

-XQ+2^/2xo+2

(%+&)-4

由對(duì)稱性知，若過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)在y軸上.

取“（o,o）,可得p（在T，e（-A-i）,則直線尸。：—過(guò)點(diǎn)（0,-1）.

下證明直線尸。恒過(guò)定點(diǎn)為（0,-1）.

JF+1_4^x0y°+l_4以彳口%+1_%+1

出XpV2（x^+2）-x00（片+2）傳XpxQ

所以直線尸。恒過(guò)定點(diǎn)為（0,-1）.

（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，通過(guò)等量關(guān)系代入化簡(jiǎn)變形，分析研

究出變化的量與參數(shù)無(wú)關(guān)，從而找到定點(diǎn)；

（2）特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明存在著動(dòng)態(tài)變化中不受變量影響的該

定點(diǎn)；

（3）定位分析法：先根據(jù)幾何性質(zhì)（如：圖形對(duì)稱性、點(diǎn)線相對(duì)性、動(dòng)態(tài)趨勢(shì)等）探索出定點(diǎn)大致位置，

從而確定證明方向再加以證明.

5.設(shè)函數(shù)/。）=以3_（4+1）尤？+x,g（無(wú)）=丘+〃2,其中若任意xe[0,l]均有/（x）Vg（x）,則

稱函數(shù)y=g（x）是函數(shù)y=/（X）的控制函數(shù)”，且對(duì)于所有滿足條件的函數(shù)y=g。）在x處取得的最小值記為

7w.

(1)若a=2,g(x)=x,試問(wèn)y=g(x)是否為y=/(元)的控制函數(shù)”；

(2)若。=0,使得直線y=/?(x)是曲線y=f(x)在尤=1處的切線，證明：函數(shù)y=/z(x)為函數(shù)y=/(x)的控制

4

函數(shù)，并求“U”的值；

⑶若曲線y=/(x)在苫=%(%€(0,1))處的切線過(guò)點(diǎn)(1,0),且ce［x0,l］,證明：當(dāng)且僅當(dāng)c=x0或c=l時(shí)，

7(c)=/(c).

【答案】⑴y=g。)是y=f(x)的控制函數(shù)

(2)證明見(jiàn)解析，彳!］=怖

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)令見(jiàn)x)=f(x)-g(x),利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性進(jìn)而判斷機(jī)⑴在［0,1］上的正負(fù)即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線〃(x)的方程，再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性進(jìn)而判斷了(x)-g(x)在［0,1］上的正

負(fù)即可；

(3)設(shè)曲線y=f(x)在x=Xo(Xoe(O,l))處的切線為?),利用切線過(guò)(1,0)求出/與。的關(guān)系，再利用控制

函數(shù)的定義求解即可；

【解析】(1)當(dāng)a=2,g(x)=x時(shí)，令根(無(wú))=/(元)-g(x)=2元3-3爐，

所以w/(%)=6x2-6x=6x(x-1),令m(x)=0解得x=0或1,

所以機(jī)(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

又因?yàn)闄C(jī)(0)=0,所以加⑴在［0J上小于等于0恒成立，

即/(x)<g(尤)在［0,1］上恒成立，所以由題意y=g(x)是y=f(x)的控制函數(shù).

(2)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=-x2+x,/'(X)=-2x+1,

所以心=3

所以曲線丁=/(尤)在x=J處的切線為y—m，整理得力。)=￡+4，

41b八4/216

〃(%)—f(%)—/z(x)=_Y+—%一'貝U"(%)=—2x+~,

令〃(x)=0解得x=；,所以”(x)在(0,：|單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又“；|=0,所以以x)在。1］上小于等于0恒成立，

即/(%)<h(x)在［0,1］上恒成立，所以y="無(wú))是y=/(x)的控制函數(shù)，

(3)由題意/(x)=ax3—(a+l)x2+x,f'(x)=3ax2—2(a+l)x+1,

設(shè)V=/(元)在Xu與?e(O,l))處的切線為*x),

則f(x)=/(%)(尤一%)+/(%),因?yàn)閒(x0)=/(x。)，，⑴=0且/⑴=。,

所以/'(毛)=3吠一2(4+1)尤o+l=>/'(尤0)。-尤0)=/(1)-/(毛)=尤0(60-1)。一尤0),

I1(1)1

心”焉七*廣。=五

=>-2(〃+1)X。+1=ax1-x0=>(2QX0-1)(X0-])=0,X0

所以((%。)=3aXg—2(?+l)x0+l=3a+1=-—