2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《相似三角形的判定與性質(zhì)綜合》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試

卷(帶答案)

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.如圖，在VA5C中，AB=AC,以A8為直徑的。交3c于點(diǎn)O,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作

DF1AC,垂足為點(diǎn)f，連接DE.

(1)求證：直線(xiàn)是；。的切線(xiàn)；

⑵若AE=8C=6,求CE的長(zhǎng).

2.如圖，點(diǎn)。是以48為直徑的半圓。上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC、3C,作圓心。關(guān)于AC的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)。，射線(xiàn)4。交半圓。于點(diǎn)。，連結(jié)8,CDOC,OD與OC交于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形?；鸺訛槠叫兴倪呅?；

⑵若tan/ZM8=；,求容的值；

⑶當(dāng)0A=5,07)=2時(shí)，求07)。的面積.

3.如圖，在VABC中，跖為中線(xiàn)，AO平分NBAC,且ADJ_況，分別交旗、5。于點(diǎn)”、D,

EFLBE,交5C于點(diǎn)/，AB=5,tanZABE=|.

BDFC

⑴求用的長(zhǎng)；

⑵求tanNEBC的值.

4.如圖，在ABC。中，E是邊BC上的一點(diǎn)，歹是邊。上的一點(diǎn)，連接AE,EF,AF,DE.

(1)如圖1,若ZAFD=90。，■與交于點(diǎn)G,AD=DE,AE平分

①求證：BE=EG.

②若E是8C的中點(diǎn)，求證：AE=EF.

(2汝口圖2,若四邊形A5CD是菱形，融平分/DM,FG//AD,交AE于點(diǎn)G,AB=AE=12,FG=8,

求隼的值.

EC

5.在RCABC中，ZACB=90%AC=3,貿(mào)=4,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿

C-A-8勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)3停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為x秒，△QCP的面積為y.

⑴直接寫(xiě)y與X的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量尤的取值范圍；

(2)在圖2的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出y的函數(shù)圖象，并寫(xiě)出函數(shù)y的一條性質(zhì);

⑶若直線(xiàn)y=3+b與該函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則6的取值范圍是.

6.如圖，四邊形A5C。是平行四邊形，點(diǎn)歹是射線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),

連接。尸，。是△ADR的外接圓.已知AB=20,AD=10,點(diǎn)。到48的距離為8.

⑴若圓心。在線(xiàn)段AD上，求ZAFD的度數(shù)；

⑵在(1)的條件下，過(guò)點(diǎn)尸作所交8于點(diǎn)E,使ZDEF=ZADF,求證：斯是(。的切線(xiàn)；

(3)若圓心。不在線(xiàn)段AD上，當(dāng)。與平行四邊形鉆8的某一邊所在的直線(xiàn)相切時(shí)，試

求線(xiàn)段釬的長(zhǎng).

7.【問(wèn)題背景】

(1)如圖1,已知AB=OC,ZBAD=ZCDE,若。是AE的中點(diǎn)，求證：AABgADCE.

【問(wèn)題拓展】

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接AC,過(guò)點(diǎn)。作FG48C,交AC于點(diǎn)尸，交AB于

點(diǎn)G,求證：DF=DG.

【拓展探究】

(3)如圖3,在(2)的問(wèn)題中，若。是AE上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，求證：叱=DG.

A/

B

B

圖1圖2圖3

8.如圖，銳角VABC內(nèi)接于O,AB=AC,射線(xiàn)仍經(jīng)過(guò)圓心。并交。于點(diǎn)，連接AD、CD,BC

與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)口

AE

BCF

(1)求證：DF平分NCDE.

(2)①比較大小：NABDNF(填">,=,<").

②若tanZABD=9。的半徑為百,則DF的長(zhǎng)為.

(3)若ZACD=30。，CD=1,則AB的長(zhǎng)為.

9.如圖1,四邊形A2CZ)為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC與M交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在AE上,

DF=AE,ZDFC=NBDC.

(1)求證：CF=AB.

(2)如圖2,若點(diǎn)8為A8C的中點(diǎn)，求證：BE2=CECB.

⑶在(2)的條件下，A尸=1,D跖的面積為2,求CE的長(zhǎng).

10.如圖，VA5C的三邊長(zhǎng)分別為。，b,c(a>b>c),4G的三邊長(zhǎng)分別為q,b,,ct,

AABC-AA^C,,相似比為左(左為常數(shù)且左>0,b1).

(1)若。=%,用人表示Q和C的數(shù)量關(guān)系.

⑵在(1)的條件下，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的一對(duì)A%和ABG,使得a,b,c和%4,。都

是正整數(shù).

⑶若6=4,是否存在VABC和A與G相似使得上是正整數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，在平行四邊形A5CD中，對(duì)角線(xiàn)AC、應(yīng))交于點(diǎn)。、M為AD中點(diǎn)，連接

CM交BD于點(diǎn)、N,且ON=1

⑵若OCN的面積為2,求四邊形ABCM的面積.

12.如圖，"是。的直徑，。、。在。上，且點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)，連接8交A3于點(diǎn)E,

延長(zhǎng)8。和C4相交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)A作AG〃。交BP于點(diǎn)G.

⑴若ZABC=30。，求/即C的度數(shù)；

⑵求證：直線(xiàn)GA是C。的切線(xiàn)；

⑶過(guò)點(diǎn)尸作。的切線(xiàn)，切點(diǎn)為。，若PD=mPG,PQ=nAP,求機(jī)與〃之間的關(guān)系.

13.如圖①，春碓是我國(guó)上世紀(jì)鄉(xiāng)村農(nóng)用工具，形狀呈乙型，將其抽象成如圖②的平面

圖形，呈L型的"C可繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，其中A。，8三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)。在直線(xiàn)MN上,

BC1AB,OA=40cm,BC=35cm,OB=120cm,初始時(shí)/3OM=37。.

⑴直接寫(xiě)出ZAON的度數(shù)為：;

(2)如圖②，求初始時(shí)點(diǎn)A到MN的距離；

⑶如圖③，當(dāng)點(diǎn)C第一次落在MN上時(shí)，求點(diǎn)A在豎直方向上上升了多少厘米.(參考數(shù)

據(jù)：sin37°?=0.6,cos37°?0.8,tan37°a0.75)

14.已知VA5C是等腰直角三角形，AB=AC,。為平面內(nèi)一點(diǎn).

⑴如圖1,當(dāng)3點(diǎn)在A3的中點(diǎn)時(shí)，連接CD,將8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到匹，若AB=6,

求的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)。點(diǎn)在VABC外部時(shí)，E、歹分別是AB、8C的中點(diǎn)，連接用、DE、DF,

將祉繞E點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EG,連接CG、DG、尸G,若NFDG=NFGE,求證：FD=CG+?FG;

(3)如圖3,當(dāng)。在內(nèi)部時(shí)，連接AD,將AD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到西，若a經(jīng)過(guò)3C

中點(diǎn)尸，連接短、CE,G為CE的中點(diǎn)，連接G/并延長(zhǎng)交于點(diǎn)當(dāng)AG最大時(shí)，請(qǐng)

q

直接寫(xiě)出產(chǎn)的值.

◎AAHG

15.如圖，在矩形A2CZ)中，AB=4,BC=10,點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)，以1個(gè)單位/s的速度沿

射線(xiàn)相方向勻速移動(dòng)，連接PDAC相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作曲，尸￡>,垂足為點(diǎn)尸，設(shè)點(diǎn)

尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3

⑴當(dāng)點(diǎn)尸為尸。中點(diǎn)時(shí)，t=S;

⑵當(dāng)點(diǎn)下落在3C邊上時(shí)，求才的值；(寫(xiě)出必要過(guò)程)

⑶當(dāng)APAE為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出彳的值.

參考答案

1.（1）證明見(jiàn)解析

（2）CE=3癢3

【分析】本題主要考查切線(xiàn)的判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定,

添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

（1）連接“，根據(jù)等邊對(duì)等角及切線(xiàn)的判定定理即可得證；

（2）證明CDEsBAC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖，連接

OD=OB

:.NODB=NB.

:.AODB=Z.C.

:.OD//AC.

DF1AC

：.OD1DF.

點(diǎn)。在。上

二直線(xiàn)枕是「。的切線(xiàn).

(2)解：四邊形ABDE是。的內(nèi)接四邊形

.\ZCDE=ZA,

ZC=ZB

:.△CDEsLBAC.

.CECD

,BA*

由（1）知：OD〃NCQN=OB

,\CD=-BC=-x6=3.

22

又AB=AC=AE+CE=6+CE

,,與解得以=3舁3（負(fù)值舍去）.

oo+CB

2.⑴見(jiàn)解析；

（2）j3;

（3）o'oc的面積為平或粵.

【分析】（1）連接"，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理和平

行四邊形的判定定理解答即可；

（2）連接OC,9,利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得到器=：,設(shè)BD=3k,則AD=%

則AB=5A,OA=OC=OD=OB=2.5k,利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)求

得OE廢，代入運(yùn)算即可得出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)Z）作^于點(diǎn)尸，交O'C于點(diǎn)H,設(shè)。尸=巧則”=5-x,利用勾股定理列

出方程求得入值,利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得sinZDAO,則sinZDO'C=sinZDAO=得,

利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得加，再利用三角形的面積公式解答即可.

【詳解】（1）證明：連接”，如圖

?.?圓心。與點(diǎn)O,關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)

/.AC垂直平分

AO=AO'

JZOAC=O'AC.

?A5為直徑

?ZACB=90°

.BC±AC

?OOfLAC

?OOr//BC

AOAV

?~BO~~CV

?OA=OB

?AV=CV

?O。平分AC

?AC與。。互相平分

?四邊形AOCO,為平行四邊形

?OA=OrC,COf/7AB.

?OB=OA

?OB=OrC

?四邊形。。5為平行四邊形;

(2)解：連接OC,BD,如圖

D

*/A5為直徑

/.ZADB=90°

,/tan/DAB=-,tanZDAB=-

4AD

?BD_3

**AD-4

設(shè)比）=3左，貝AD=4左

AB=y/AD2+BD2=5k

/.OA=OC=OD=OB=2.5k

由（1）知：AO=A（y,四邊形OO'CB為平行四邊形

O'C//OA,（yc=OA=2.5k.

DO'E^cDAO

O'E_DOf

OAAD

O'E_4k-25k

2.5k4k

O'E=—k

16

1525

CE=O,C-O,E=2.5k--k=—k

1616

.16_3

,*CE"25~5；

—k

16

（3）解：過(guò)點(diǎn)。作。/UA5于點(diǎn)尸，交OC于點(diǎn)”，如圖

AD=7,OD=OA=5

設(shè)OF=x,貝l]AF=5—x

DF2=AD2-AF2,DF2=OD2-OF2

AD2-AF2=OD2-OF2

72-（5-X）2=52-X2

1

x=一

10

OF=—

10

DF=4OD1-OF1二撞^

10

7751

,DF

sinZDAO=----

AD710

,/CO'AB

ZDCfC=ADAO

sinNDO'C=sinZDAO=—

10

DH=O'D-sinZDO'C=2x

105

。力C的面積=gx5xW=^.

當(dāng)點(diǎn)。'在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)

延長(zhǎng)AD,3c交于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)。作CMLA7V于點(diǎn)連接題》,如圖

,/3=5,圓心O關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O'

：.AO'=AO=5

/.AD=AO,-O,D=3

「?BD=y/AB2-AD2=A/9T.

由（1）知：四邊形005為平行四邊形

/.CO1//OB,OrC=OB

?/OB=-AB

2

/.OrC=-AB.

2

,/CO'//OB

?NC_OrC_l

"NB~AB~

???A5為圓的直徑

ZADB=90°

BD1AN

.*CMVAN

：.BD//CM

?CMNC

?2

-BD=--

ODC的面積=QXO7).CM=<2x叵=叵

綜上，。7七的面積為斗或坐.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，直

角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，

相似三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)，連接直徑所對(duì)的圓周角，作出垂線(xiàn)段構(gòu)

造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(1)8

⑵G

【分析】（1）先根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算出A"=3,BH=4,從而得到tan4AH=：,結(jié)合角平分

線(xiàn)得到硝，即可得到答案；

（2）根據(jù)垂直得到灰〃AD,從而得到△CEFs^CW,^BHD^BFE,即可得到答案.

【詳解】（1）解析：AD±BE,AB=5,tanZABE=|

AH=3,BH=4

4

tanZBAH=-

AD平分44c

4

/.EH=AHtanZEAH=3x-=4

3

ABE=BH+EH=4+4=8；

(2)解：做為中線(xiàn)

石為AC中點(diǎn)

ADLBE,EF±BE

EF//AD

：.ACEF^ACW

?CECF_1

??G4_CD-2

為。。中點(diǎn)

...EF=-AD

2

同理可得，△■8印34跖￡

HD^-EF

2

：.HD=-AD

4

AH=3

，HD=1

tanZEBC=—

4

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形及三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意

找到直角三角形，合理的應(yīng)用三角函數(shù).

4.(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析

(2)指

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，

矩形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確

作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

(1)①先由等邊對(duì)等角得到=再證明=進(jìn)而可證明ZA￡B=/AEG,

據(jù)此證明—ABE均AGE(ASA)即可證明防=GE；②延長(zhǎng)AE,DC交于H,可證明

ABEmHCE（AAS）,得到=再求出NAFH=180。-NATO=90。，則可證明=M=；

（2）先導(dǎo)角證明NG4F=NGE4,得至ljAG=/G=8,貝ljEG=AE—AG=4；再證明AEF工ADF（SAS）,

得至UZAEFuZADF,貝！J可證明ABEjFGE,得至［13石=6,貝ljCEugC—BEuG；過(guò)點(diǎn)A作^Af_LBE

于M,則9=：2￡=3,AMNAE2-EM?=3盡；過(guò)點(diǎn)石作ENJ_AD于N,則四邊形，EN是

矩形，可得河=EM=3,EN=AM=3715,DN=AD-AN=9,求出DE=注解+DN°=6m，則

DE_6y/6_/-

耘一工一,

【詳解】（1）證明：①?「AD=DE

ZDAE=ZDEA；

丁四邊形ABCO是平行四邊形

AD//BC

ZAEB^ZDAE

ZAEB=ZAEG；

AE平分/BAF

NEAB=NEAG

又":AE=AE

：.ABE咨AGE（ASA）

/.BE=GE-

②如圖所示，延長(zhǎng)MQC交于”

;四邊形A5CD是平行四邊形

/.AB//CD

：.ZEAB=ZH,ZEBA=ZECH,ZBAF=ZAFD=90°

IE是8C的中點(diǎn)

BE=CE

:?ABE”、HCE(AAS)

，AE=HE

*.*ZAFH=180°-ZAFD=90°

(2)解：:AF平分/ZME

/.ZDAF=ZEAF

FG//AD

/.ZDAF=ZGFA

，ZGAF=ZGFA

：.AG=FG=8

;AB=AE=n

：.EG=AE-AG=4；

???四邊形"CD是菱形

/.AD=AE=AB=BC=129AD//BC

又<AF=AF,ZDAF=ZEAF

??…AE尸絲.AZ)廠(chǎng)(SAS)

/.ZAEF=ZADF

*/ZB=ZAEB=ZADF

ZAEF=ZAEB=ZB

,/FG//AD

/.ZFGE=ZDAE

,/AD//BC

ZDAE=ZAEB

，ZABE=ZAEB=ZFGE=ZFEG

/.ABES-FGE

?BEABRnBE12

??四即丁"W

，BE=6

CE=BC-BE=6；

如圖所示，過(guò)點(diǎn)4作AM，助于V,則￡^=：砥=3

?*.AM=ylAE2-EM2=3715；

如圖所示，過(guò)點(diǎn)石作硒，AD于N

,/AD//BC

ENLBC

???四邊形WEN是矩形

/.AN=EM=3,EN=AM=3后

DN=AD—AN=9

.*?DE=\lEN2+DN2=6A/6

圖2

5.⑴三

224|<x<12

——XH------

55

(2)見(jiàn)解析；

⑶。口，3

【分析】⑴根據(jù)勾股定理求出鉆=5,因?yàn)辄c(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，可得佻=2,當(dāng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)

速度為每秒I■個(gè)單位長(zhǎng)度，可得：當(dāng)時(shí)，y=^x,當(dāng)時(shí)，y=.：x+F；

⑵根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫(huà)出函數(shù)圖象即可；

⑶當(dāng)直線(xiàn)y=過(guò)點(diǎn)］|，3］時(shí)，可得：％=|,所以直線(xiàn)y=g+6與該函數(shù)圖象有兩個(gè)交

點(diǎn)，則，的取值范圍是。2<1.

【詳解】(1)解：ZACB=90a,AC=3,BC=4

AB=ylBC2+AC2=732+42=5

點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)

.-.C2=1BC=1X4=2

AC=3,點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為每秒g個(gè)單位長(zhǎng)度

Q7

當(dāng)OWx.時(shí)，=

:.y=-QCCP=-x2x-x=-x；

2233'

AC+AB=3+5=8

/.8+—=12s

3

當(dāng)g<xV12時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作即1.3C

B

則/尸￡＞。=90。

ZACB=90°

:.DPAC

/.BPDsBAC

BPPD

*,AB-AC

CA+CP=-x

3

29

/.BP=CA+AB-(CA+AP)=3+5--X=8--A:

8-2x

,3*PD

,,5-3

224

;.PD=——x+——

55

1「八n八1c/224、224

22(55)55，

綜上所述，T、小

〔5512)

(2)(2)解：畫(huà)函數(shù)圖象，如下圖所示

當(dāng)ow：時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)上e2時(shí)，）隨x的增大而減小;

川

O|123495678910111213x

(3)解：當(dāng)直線(xiàn)y=%+b過(guò)點(diǎn)gj］時(shí)

可得：ixl+^=3

解得：b=|

二直線(xiàn)y=3+b與該函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則。的取值范圍是0口<：.

故答案為：OVb<"|.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、求

一次函數(shù)的解析式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積公式分段求出了與X的函數(shù)關(guān)

系式.

6.(1)90°

(2)見(jiàn)解析

⑶12或苓

【分析】(1)利用圓周角定理證明即可；

(2)連接。尸，利用角的等量代換證出即可；

(3)分類(lèi)討論。與各邊相切時(shí)的情況，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)列出等式

求解即可.

【詳解】(1)解：:。是△曲的外接圓，且圓心。在線(xiàn)段AD上

是：。的直徑，點(diǎn)下在。上

/.ZAFD=90°；

(2)證明：如圖1,連接。歹，則00=0A

圖1

在平行四邊形中，AB//CD

ZBFE=ZDEF

*/ZDEF=ZADF

ZBFE=ZADF

/ZOFD=ZADF

/.ZBFE=ZOFD

由（1）得，ZBFD=900

ZBFE+ZDFE=90°

ZOFD+ZDFE=90°,貝|ZOFE=90°,gpOF1.EF

尸是。的半徑

，所是。的切線(xiàn)；

（3）解：如圖2,當(dāng)。與CD相切時(shí)，。與8只有一個(gè)交點(diǎn)，即。為切點(diǎn)

圖2

連接DO并延長(zhǎng)DO與AB相交于點(diǎn)G

：.DGLCD

'：AB//CD

DG±AB,則￡>G=8

.,.在RtADG中，AG=yjAD2-DG2=V102-82=6

由垂徑定理得，AG=GF=6

AF=12；

如圖3,當(dāng)。與5。相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為“，延長(zhǎng)MO交AD于點(diǎn)N

圖3

過(guò)點(diǎn)。作微_LC3于點(diǎn)H,DGLAB于點(diǎn)G,連接"?

??/NMH=94。，ZDHM=90。

*/AD//BC

ZMND=90°

???四邊形MVD”是矩形，AN=DN=；AD=5

：.MN=DH

,SABCOUjBC，A//=]S四邊形=]x20x8

:.DH=16,則肱V=16

設(shè)。的半徑為r,則ON=16-r

在RfV4Vo中，AN2+ON2=AO2,即52+(16-4=/

解得：「=瑞

/.0N=—

32

連接O￡>,則。1=0。

/.NAON=L/AOD

2

,/ZAFD=-ZAOD

2

ZAON=ZAFD

ZANO=ZDGF=90°

Z^ANO^/\DGF

?GFDGGF8

，?---=----,即nn----=一

NOAN12315

GF=—

20

同前可得，AG=6

231351

/.AF=AG+GF=6+—=—

2020

,*,。與AB有兩個(gè)交點(diǎn)A和尸，與AD有兩個(gè)交點(diǎn)A和。

。與和AD所在的直線(xiàn)都不相切

綜上所述，當(dāng)。與平行四邊形鉆8的某一邊所在的直線(xiàn)相切時(shí)，線(xiàn)段AF的長(zhǎng)為12或器.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何綜合，其中涉及到了平行四邊形的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，勾股

定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，合理分析題目作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

7.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先證明=再利用SAS證明涇即可；

(2)先證明BO=CE,ZADB=NDEC,可得ZBDE=ZBED,可得BD=BE,證明3E=CE,結(jié)合

GF//BC,可得票=籌=黑=1，G尸分別為",AC的中點(diǎn)，再進(jìn)一步求解即可；

￡)CrCrD匕

(3)如圖，延長(zhǎng)。E至K,使AD=0K,證明ADB當(dāng)DKC,可得BD=CK,ZADB=ZDKC,

在。K上取點(diǎn)且=可得BJ=CK,NBDJ=NBJD,證明BJEWCKE,可得B￡=CE,

再證明MGS.A￡B,VADF^VAEC,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；當(dāng)K在線(xiàn)段AE上，

如圖，同理可得結(jié)論.

【詳解】證明：(1)是鉆的中點(diǎn)

/.AD=DE

AB=DC,ZBAD=ZCDE

/.AABDm八DCE；

(2)*/^ABD^^DCE

ABD=CE,ZADB=NDEC

/.ZBDE=ZBED

BD=BE

/.BE=CE

*/GF//BC

?AG_AFAD

??~BG~~CF~^E~

???G1分別為AB,AC的中點(diǎn)

又是AE的中點(diǎn)

/.DG=-BE,DF=-CE

22

，DG=DF；

(3)如圖，延長(zhǎng)。￡至長(zhǎng)，使AD=0K

A

\9AB=CD,ZBAD=ZCDE

ADB空DKC

/.BD=CK,ZADB=ZDKC

在。K上取點(diǎn)J,且瓦＞="

BJ=CK,ZBDJ=ZBJD

ZBJE=ABDA=ZEKC

ZJEB=ZCEK

，BJEWCKE

BE=CE

*/GF//BC

:?ADGsAEB,NADF^NAEC

?DGADADDF

??泰一瓦’~AE~~CE

?DGDF

?*BE-CE

/.DG=DF.

當(dāng)K在線(xiàn)段AE上，如圖

A

同理可得：DG=DF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位

線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的應(yīng)用，作出合適的輔助

線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵.

8.⑴見(jiàn)解析；

⑵①二；②6；

（3）反

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、圓周角定理、四邊形內(nèi)角和解答

即可；

（2）①利用相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形、圓周角定理解答即可；

②利用圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理求得A。，AB,再利用相似

三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

（3）利用等邊三角形的判定和性質(zhì)、含3。。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理解答即可.

【詳解】（1）證明：AB=AC

:.ZABC=ZACB

ZADB=ZACB,ZEDF=ZADB

：.ZEDF=ZABC.

Q5D為10的直徑

ZBAD=ZBCD=90°.

/BAD+ZABC+ZBCD+ZADC=360°

...ZABC+ZADC=360°-/BAD—/BCD=180°.

ZADC+ZroC=180°

:.ZFDC=ZABC.

\?EDF?FDC.

，DF平分NCDE.

（2）解：①由上題可知

ZABC=ZACB=ZEDF=ZFDC

ZACF=ZABC+ZBAC=ZABC+ZBDC,ZADC=ZEDF+ZBDC

.\ZACF=ZADC.

ZCAF=ZDAC

ACFsADC.

.\ZACD=ZF.

ZABD=ZACD

.\ZABD=ZF.

②BD為。的直徑

AZBAD=ZBCD=9Q°.

tanZABD=—

2

.1

*AB-2*

半徑為為

BD=2A/5.

Alf+AB^BD1

.?AD2+（2AZ））2=（2V5）2.解得AD=2.（負(fù)數(shù)舍去）

.\AB=2AD=4.

ZADB=ZACB,ZABC=ZACB

:.ZADB=ZABC.

ZDAB=ZBAF=90°

..^DAB^BAF.

.四=空即2=，_

ABAF'4AF*

:.AF=8.

:.DF=AF-AD=6.

故答案為：①二；②6;

(3)解：QBD為。的直徑，

，ZBAD=ZBCD=90°.

ZACD=ZABD=30°,ZABD+ZADB=9Q°

ZADB=90°-ZABD=60°.

ZACB=ZADB=60°.

AB=AC

，川。為等邊三角形.

:.ZBAC=6Q°,AB=BC.

，ZBDC=ZBAC=60°.

:"DBC=90°-ZBDC=30°.

CD=1

:.BD=2CD=2.

：.AB=BC=^BD2-CD2=A/22-12=y/3?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì),

解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

⑶T

【分析】(1)證明ABEWFCD(SAS),得出CF=AB；

(2)先證△DCE's△尸CD,得至=C￡C尸，再根據(jù)ABE&FCD,證出3E=CD,CF=AB=BC,

即可得證；

(3)連接如，作3GLAC,證明。尸〃BC,得出sDFC=SDFB，得出S鉆尸=S兩=2,設(shè)FG=x,

得出CF=AB=2x^l,根據(jù)勾股定理得出(2x+iy=16+(X+1)2,求出玉=2,9=-1(舍去)，設(shè)?！?乙

根據(jù)勾股定理得出5爐=8G2+G石2.根據(jù)防2=C￡.C3=5/,得出(3T『+16=5.,求出1即可.

【詳解】(1)解：AD=AD,CD=CD

NABE=/FCD,/BAE=ZBDC

NDFC=NBDC,

.\ZDFC=ZBAE,

DF=AE

ABE^FCD(SAS)

:.CF=AB.

(2)證明：VZBDC=ZDFC,ZDCE=ZFCD

/.ADCEsAFCD

?CECD

??~CD~~CF

/.CD1=CECF

ABE^.FCD

/.BE=CD,CF=AB

丁點(diǎn)5為ABC的中點(diǎn)

/.BC=BA

/.BC=BA

/.BC=CF

?BE1=CECB;

(3)解：如圖，連接防，作BGLAC

/.DF//BC

?-v?。DFC=-q。DFB

又?SDFC=SABE

一?uqABF__uqDEF_-4?

QAF=1

:.BG=4

設(shè)FG=x

：.CF=AB=2x+1

在RtABG中，AB2=BG2+AG2

（2X+1）2=16+（X+1）2

解得：X1=2,X2=-|（舍去）

:.BC=5

設(shè)CE=r

在RtABEG中

BE2=BG2+GE2.

BE2=CECB=5t

.-.（3-r）2+16=5f

解得（舍去）

11-回

??.CE的長(zhǎng)為

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)

鍵.

10.(l)a=kc

(2)取a=8,b=6,c=4,同時(shí)取％=4,bx=3,q=2

(3)不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】此題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，掌握相

似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

(1)已知兩個(gè)三角形的相似比為％,則對(duì)應(yīng)邊。=S，將所給的條件等量代換即可得到

所求的結(jié)論；

(2)先選取VABC的三邊長(zhǎng)，然后以。的長(zhǎng)作為“的值，再根據(jù)相似比得到△印仁的另外

兩邊的長(zhǎng)，只要符合兩個(gè)三角形的三邊及相似比都是整數(shù)即可；

(3)首先根據(jù)已知條件求出“、6與c的關(guān)系，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理來(lái)判斷題

目所給出的情況是否成立.

【詳解】(I)解：ABC—A0G且相似比為左(％為常數(shù)且Q0,C

a=ka-

%，1'

又.c=%

:.a=kc?

(2)解：取a=8,b=6,c=4,同時(shí)取6=4,仿=3,9=2；

此時(shí)-5:2

/.ABCs.,且c=q:

(3)解：不存在這樣的VABC和由G,理由如下:

b=ai?c=1\

.\a=bk,b=kc

??a=bk—ck.

a>c

ck2>c

.\k>l

b+c>a

ck+c>ck2

.1-q,1+75

,,----2---〈化〈-----2----

二只能取正整數(shù)左=1

上W1

二不存在VABC和ABC相似使得上是正整數(shù).

H.(1)3

(2)9

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的

關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)找到三角形面積之間的變化規(guī)律.

⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知2BC，AD=BC,BO=DO,因?yàn)椤盀锳D中點(diǎn)，可知

MD=；BC,^BO=DO=x,貝|有BN=x+l,DN=x-l,根據(jù)池BC可得MN*CNB,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)可得：UV，解方程求出X的值即可；

x+12

⑵由⑴可知MN4CNB,所以可知==；，從而可得：SDMN==1,則有S8M=3,因

7VCnCZ

為點(diǎn)M為的中點(diǎn)，所以有SAMC=S℃M=3,所以ACD的面積為6,從而可得平行四邊形

的面積為12,根據(jù)S四邊形ABCM=S平行四邊形ABCD-SDMC可求結(jié)果.

【詳解】(1)解：四邊形"CD是平行四邊形

-AOBC,AD=BC,BO=DO

M為AD中點(diǎn)

:.MD=-AD

2

:.MD=-BC

2

設(shè)BO=DO=x

ON=1

??.BN=BO+ON=x+\,DN=DO-ON=x-l

ADBC

:._MND^CNB

.DNDM

x-1_1

x+12

解得：x=3

.?OB的長(zhǎng)為3；

(2)解：由⑴可知MN*CNB

.MN.DM_1

"NC~IBC-2

SDMN=3S.0CN=5X2=1

…SDCM=SDCN+SDMN=2+1=3

點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)

/.AM=DM

??OAMC-◎DCM.J

=

…SACDSAMC+2DCM=3+3=6

,,,§平行四邊形A5co=2sACD=2x6=12

S四邊形A5CM-S平行四邊形45co—SDMC=12—3=9.

12.(1)60°

(2)見(jiàn)詳解

(3)m=n2

【分析】題目主要考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理,

理解題意，作出輔助線(xiàn)，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

(1)由同弧所對(duì)的圓周角相等得出ZADC=/ABC=30。，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90。

得出〃/M=90。，最后根據(jù)角度的和差關(guān)系即可得出答案.

(2)根據(jù)圓周角定理及三角形內(nèi)角和定理得出4CD+ZDC4=90。，再由等弧所對(duì)的圓周

角相等確定4cD=WC,由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出4MG=ZADC=ZACD,利用等量代換即可

證明；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作。的切線(xiàn)，切點(diǎn)為。，連接。。，CQ,AQ,先證明PAQS/QC再證明

PAGsPCD,由相似三角形的判定和性質(zhì)得出詈湍，胎=含，根據(jù)已知條件代入即

可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：vAC=AC

ZADC=ZABC=30°

〈AB是。的直徑

/.ABDA=90°

：.ZBDC=ZBDA-ZADC=60°

(2)證明：???AB是。的直徑

/.ZACB=90°

/.ZBCD+"04=90。

丁點(diǎn)A是co的中點(diǎn)

ZACD=ZADC

AG//CD

：.ZDAG=ZADC=ZACD

?//BAD=/BCD

：.ZBAD+ZDAG=90°,艮［J/BAG=90°

，直線(xiàn)G4是。的切線(xiàn)；

（3）解：過(guò)點(diǎn)P作。的切線(xiàn)，切點(diǎn)為。，連接。。，CQ,AQ,如圖

?：PQ為。的切線(xiàn)

/.OQ±PQ

：.ZOQP=90°,即ZPQA+ZOQA90°

9：OA=OQ

/.ZOQA=ZOAQ

ZOAQ+ZPQA=90°.

ZBCQ=ZOAQ

/.ZBCQ+ZPQA=90°

?/ZBCQ+NPCQ=90°

ZPQA=ZPCQ

,/ZAPQ=ZCPQ

：.PAQ^PQC

?PQ=PC_

??~PA~~PQ

：.PQ1=PAPC

AG//CD.

PAG^,PCD

?PA-PG

**PC-PF

PD=mPG

PC=mPA

PQ=nAP

：.(nPAf=PA-mPA,

n2=m.

即機(jī)與“之間的關(guān)系為〃2=加

13.(1)37°

(2)點(diǎn)A到跖V的距離約為24cm

(3)點(diǎn)A在豎直方向上升了12.8cm

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)；

(1)利用對(duì)頂角相等求解即可；

(2)過(guò)A作肱V于在Rt"O"根據(jù)//=$山37。?。1代入計(jì)算即可；

(3)過(guò)A作于W,由旋轉(zhuǎn)可得B'C'=BC=35cm,OB'=OB=120cm,OC=OC,B'C1.AB',

as1?s一

04=0^=40cm,先求出OC=125cm,再根據(jù)B'OC'^H'OA',得到行不=不，解得引4'=1L2,最

riA4U

后根據(jù)點(diǎn)A在豎直方向上上升了AH-H?代入計(jì)算即可.

【詳解】(I)W：，：ZBOM=3T

：.ZAON=NBOM=37°

故答案為：37。；

(2)解：過(guò)A作肱V于H

RtAAOH中,ZAON=NBOM=37°,OA=40cm

sin/AON=—=sin37°

OA

A//=sin37o(9A?0.6x40=24cm

即點(diǎn)A到MN的距離約為24cm；

(3)解：過(guò)4作于

由旋轉(zhuǎn)可得3'C'=3C=35cm,O8'=OB=120cm,OC'=OC,B'C1AB',04=04=40cm

OC'=\IB'C'2+OB'2=A/352+1202=125cm,

,?B'C1AB',AH'1MN

：.ZB'=ZA7TO=90。

?/ZB'OM^ZAON

B'OC'^tH'OA'

.B'CPC

‘?H'A'-OA7

.35125

?，40

解得=11.2

???點(diǎn)A在豎直方向上上升了AHTA'=24-11.2=12.8cm.

14.⑴AE的長(zhǎng)為3立;

(2)見(jiàn)解析;

(3)2的值為力

□△AHG2

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)E作砥，交班的延長(zhǎng)線(xiàn)于“，利用AAS證明DEH冬CDA,可得

EH=AD=3,DH=AC=6,AH=DH-AD=6-3=3,運(yùn)用勾股定理可得AE=30,即可得出答

案;

(2)連接AF、AG,過(guò)點(diǎn)尸作交AG于"，利用SAS證明EAG^EFD,可得

AG=FD,ZAGE=ZFDE,再利用SAS證明AFH&CFG,可得AH=CG,即可得出答案；

(3)設(shè)鉆、GH交于點(diǎn)"，作A3中點(diǎn)尸，連接PC、PE、BE、作尸C中點(diǎn)Q,連接AQ、QG,

設(shè)AB=AC=4j則。G=",PA=2“,運(yùn)用勾股定理可得PC=2后，進(jìn)而可得AQ=：PC=6,當(dāng)A、

Q、G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AG=AQ+QG=6/+a=（指+山，取得最大值，利用ASA證得AHM^AGM,

ss-AE-MG14/7反_1

可得.=GM,AH=AG=（岔+山，根據(jù)4=*=T-----------=9笠=￥，即可求得

）AHG"AMG2X—AMMG22

2

答案.

【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作研，四交班的延長(zhǎng)線(xiàn)于“，如圖1

,點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，且鉆=6

/.AD=BD=-AB=3

2

在R3ACD中，ZG4D=90°,AC=AB=6

2222

tan/ACD=￥=);，CD=yjAD+AC=^3+6=375

ACO2

由旋轉(zhuǎn)得：DE=CD=3亞,NCDE=90。

即ZADC+ZADE=90°

*/ZADC+ZACD=90°

/.ZADE=ZACD

在ADEH和CQ4中

ZDHE=ZCAD=90°

<NADE=NACD

DE=CD

：.DEHgCDA

:.EH=AD=3,DH=AC=6

，AH=DH-AD=6-3=3

在RtZXAEH中，AE=yjAH2+EH2=732+32=372;

(2)解：證明：如圖2,連接AF、AG,過(guò)點(diǎn)尸作F”，尸G交AG于H

???VABC是等腰直角三角形，E、尸分別是必5C的中點(diǎn)

，AE=EF,AE±EF9AF=CF

/.ZAEG+ZFEG=9Q0

由旋轉(zhuǎn)得ED=EG,ZDEG=90°

/.ZFED+ZFEG=90°,ZEDG=ZEGD=45°

ZAEG=ZFED

在AE4G和一￡7X)中

AE=EF

</AEG=/FED

EG=ED

：.E4GqEFD

：.AG=FD,ZAGE=ZFDE

/FDG:/FGE

/.ZAGE+/FGE=NFDE+/FDG=/EDG=45。

即ZAG尸=45。

*/ZGFH=9Q°

/.ZFHG=45°=ZFGH

???打汨是等腰直角三角形

:.FH=FG,HG=FG

*.*ZAFH+ZCFH=ZCFG+ZCFH=90°

，ZAFH=ZCFG

在.A.和△CFG中

AF=CF

<NAFH=NCFG

FH=FG

，AFH與CFG

/.AH=CG

*/AG=AH+HG

/.FD=CG+垃F(xiàn)G;

(3)解：設(shè)AE、G”交于點(diǎn)作AB中點(diǎn)P,連接PC、PE、BE.AF,作PC中點(diǎn)Q,連接AQ、QG,

如圖

;將A。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到中

???△AE。是等腰直角三角形

，—,440=45。

AD1

V