2025年中考數學壓軸題專題系列：銳角三角函數綜合

1.操作與思考

在VA3C中，點。在AB上，點E在3C上，連接CD,DE,將一D3E沿直線￡>E'翻折得,DF

交3C于點G,點G是。尸中點，/BEF=90°；

(1)如圖⑴，NACB=90。，點。與點A重合，求證：AC=BE；

(2)如圖⑵，ZACB=45。，CD=BD,求些值.

AB

遷移與應用

如圖⑶，四邊形ABC。中，AB//CD,BCLCD,點E是C￡>中點，連接AE,將VADE沿直線AE

翻折得△AEF,連接C尸，若AE=DE,BC=nAB,直接用含〃的代數式表示cosNDCF的值.

2.。的弦AB,CO交于點E,AB=CD.

(1)如圖1,求證：AE=CE；

⑵如圖2,AF為〔。的直徑，連接C尸交A3于點G,求證：NECG=/CGE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DG(/OGE>45。)，若尸G=4?=4,DG=岳,求CEG的面

積.

3.在等邊VABC中，過點A作AE〃3c.

(1)如圖1,點E在點A的左側，點D是AB邊上的中點，連接C。，過點。作交于點E,求

證：BC=4AE.

(2)如圖2,點E在點A的右側，連接班，點G是8E的中點，連接AG并延長交BC于點F,過點G

作G"J_AB交A3于點H,求證：HG=?AE.

4

(3)若點E在點A的右側，連接BE,點G是BE的中點，且3G=3C,點尸是直線BC上一動點，連

接GP,將GP繞點G逆時針旋轉60。得到G。，連接A。，在點P的運動過程中，當AQ取得最小值

時，請直接寫出坐的值.

4.【問題背景】

某數學興趣小組將矩形紙片ABC。折疊，使點A與對角線AC上的點重合，并進行了如下研究.

【問題探究】

(1)如圖1,將矩形紙片折疊，使點A與點C重合，點8的對應點為點？，折痕為斯，判斷四邊形

AFCE的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,將矩形紙片折疊，使點A與對角線AC的中點。重合，折痕為ER,交AA'于點此

時，點E恰好與點3重合，若對角線AC的長為6,求折痕EF的長；

【問題拓展】

(3)將矩形紙片ABCD折疊，使點A與對角線AC的三等分點重合，折痕為瓦，此時，直線跖與

直線A3相交于點N,若對角線AC的長為6,BN=l,請直接寫出折痕斯的長.

5.如圖，直線y=-x+/7與無軸交于點A,與>軸交于點B,過原點。，點A和點3三點作P,再過

點A作二尸的切線AM,。為aw上一動點，過點。作y軸的垂線，交y軸于點c,連接BQ,交「P

于點D.

⑴求NCQA的度數;

（2）連接。O,AD,當A。=20■時，△ZXM恰好為等腰三角形，求此時6的值；

（3）連接尸C,DC,PC交8。于點尸，PCAD時，記△PEB的面積為工，VCD尸的面積為邑，求

A

$2.

6.在學習圖形的旋轉時，創(chuàng)新小組同學們借助三角形和菱形感受旋轉帶來圖形變化規(guī)律和性質.

【操作探究】（1）如圖1,已知VABC,NC=90。，將VABC繞著直角邊AC中點G旋轉，得到①EF,

當,DEF的頂點。恰好落在VABC的斜邊A3上時，斜邊DE與AC交于點H.

①猜想：ZADC=。；

②證明：DGH^,ADH-,

【問題解決】（2）在（1）的條件下，已知Z4=30。，BC=2退，求CH的長；

【拓展提升】（3）如圖2,在菱形ABC。中，AC=8,BD=6,將菱形ABC。繞著A3中點M順時

針旋轉，得到菱形EFG”,當菱形EFG”的頂點E分別恰好落在菱形ABCD的AD邊和對角線33上

時，菱形跳G”的邊與BC邊相交于點N,請直接寫出3N的長.

7.定義：如果一個四邊形的一組對角互余，那么我們稱這個四邊形為“對角互余四邊形”.

BC

圖1圖3

(1)如圖1,在對角互余四邊形ABC。中，"=30。，且AC_L3C,AC_LAD.若BC=1,求四邊形ABC。

的面積和周長.

(2)如圖2,在四邊形A3Q中，連接AC,NBAC=90。，點。是一ACD外接圓的圓心，連接

OA,ZOAC^ZABC,求證：四邊形ABCD是“對角互余四邊形”；

⑶在(2)的條件下，如圖3,己知49=4,DC=M，AB=3AC,連接求線段的長.

8.如圖1,在而ABC,ABAC=90°,AB^AC,點。是2C邊上一動點，連接AO,把AD繞點A

順時針旋轉90。，得到連接DE,

BD

Q

(1)如圖1,若8C=4,在O運動過程中，當tanZBDEuu時,求線段CD的長;

(2)如圖2,點尸是線段DE的中點，連接3F并延長交C4延長線于點連接DN,交A3于點N,

連接CF,AF,當點N在線段C尸上時，求證：AD+BF=CF；

(3)如圖3,若AB=26,將VABC繞點A順時針旋轉得到A'B'C,連接CC,尸為線段CC上一點,

且CC'=gPC連接BP,將BP繞點B順時針旋轉60°得到BQ,連接尸。，K為P。的中點，連接CK,

請直接寫出線段CK的最大值.

一3

9.平面直角坐標系中，。為坐標原點，直線y=-1X+3交y軸于點A,交無軸于點3,點C在

(2)如圖2,點尸在線段AC上運動，過點尸作PQ〃3c交線段AS于點E,作直線AQ交x軸于點。,

當E為線段尸。的中點時，求直線AD的解析式；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點。在第四象限內，點F、M分別在線段P。、A。上,

將府繞點尸逆時針旋轉90。得PN,若點N在直線3c上，求點N的坐標.

10.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,點、P、。分別是邊C4、BC上的兩個動

點，且尸C=23。，以P。，PC為鄰邊作平行四邊形PQMC,作點B關于直線的對稱點？，設

BQ=m(0<m<4).

(1)當△PC。的面積為8時，求7"的值.

⑵當NBQ3'=2NABC時，求線段班'的長.

⑶當點？落在四邊形PQMC的邊上時，求筆的值.

BB

(4)直線班，與四邊形尸QMC的一條邊交于￡點，若ACQE的面積是四邊形PQMC面積的;時，直接

寫出機的值.

⑵如圖2,點F在弧AC上，連接A￡),AF,DF,44/加=45。，點G在。尸上，連接BG,若NCDF=

ZABG,求：的值；

BCr

(3)如圖3,在(2)的條件下，點H在弧AF上，連接A8,BH,BH分別交AF,DF于K,Q兩點，

AH+HQ=BK,若￡2=變，OE=U,若。G為。8和相的比例中項，求機的值.

0B3

12.已知：VABC中，ZACB=90°.

如圖1,將VABC繞點C順時針旋轉得到一DEC,連接AE、設旋轉角為磯0°<e<360。），AAEC

的面積為邑，的面積為$2，當a=_。時，△AEC與△DBC全等，此時邑與s2的數量關系是

猜想論證：

當VABC繞點C順時針旋轉得到如圖1所示的位置時，試猜想上述可與與的數量關系是否成立，若成

立，請為加以證明；若不成立，請說明理由.

類比探究：

如圖2,若DEC等腰直角三角形，ZDCE=90°,將"EC繞點C旋轉，連接AE、8。，若4RC=30。,

設△AEC的面積為名，△D3C的面積為與，試求嗎與s?比值.

拓展提升：

如圖3,若一DEC等腰直角三角形，NDCE=90°,將_DEC繞點C旋轉,連接BE、AD,若ZABC=30°,

AC=1,則忸的最大值為一.

13.閱讀、理解、應用

研究0。-360。間的角的三角函數，在初中我們學習過銳角的正弦余弦和正切三種三角函數，即在圖1所

示的直角三角形小心是銳角，那么"一卷胃，5=二湍|?為

了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數的意義：

設有一個角a，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為尤軸的正半軸Ox,建立直角坐標系(圖2),

在角a的終邊。。上任取一點P,它的橫坐標是無，縱坐標是，，終邊。。可以看作是將射線OX繞點

。逆時針旋轉a°后所得到的，P和原點0(0,0)的距離為r=+總是正的)然后把角a的三

角函數規(guī)定為：sin?=—,cosa=-,tanc=)(其中x,丁分別是點尸的橫、縱坐標)我們知道,

rrx

圖1的三個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小

也僅與角a的大小有關，三個比值的正、負取決于角a的終邊所在的象限，而與點P在角a的終邊位

置無關.

比較圖1與圖2,可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規(guī)定實際上是一樣的，根據第二種定義回

答下列問題.

(1)如圖3,若270。<1<360。，則角a的三角函數值sina、cos。、tana,其中取正值的是一.

(2)已知Na是鈍角，則下列說法正確的是

A.sin%+cos2a=1

B.sintz-tancr=cosa

C.sina<0

D.tana>0

(3)若角。的終邊與直線丁二氐重合，貝！JsinaMosa=_.

(4)若角。是銳角，其終邊上一點尸(12,y)且sina=Jy,試求,和tana的值.

14.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=10,3c=6.點。是A3中點.點尸從點A出發(fā)，

沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，點。從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度

沿折線AB-3c向終點C運動,連結尸Q,取尸。的中點￡,連結。E,P,。兩點同時出發(fā)，設點尸

運動的時間為f秒.(f>0)

EE

A

DQDQ

備用圖1

(1)求線段AC的長.

⑵當點。在A3上運動時，求tanZPQA的值；

(3)當。E與VABC的直角邊平行時，求。。的長.

⑷若點尸從點C沿CA方向以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，其它條件不變，當點。在

上運動，尸。與VASC一邊垂直時，直接寫出t的值.

《2025年中考數學壓軸題專題系列：銳角三角函數綜合》參考答案

3/-I

1.（1）見解析；（2）;；遷移與應用：『

【分析】（1）由翻折可知：_ABE&AFE,根據全等三角形的性質可得3E=EF,利用AAS可證

一ACG4FEG,根據全等三角形的性質可證結論成立；

（2）過。作于M,DNAC交BC于N,由（1）可知：一DBE'DFE,FEG”DMG,

根據全等三角形的性質可證NDEC=45。，BE=EF=DM=EM,根據平行線的性質可得

ZDNE=ZDEN=45°,從而可得/￡DN=90。，利用SAS可證DNC/一,根據全等三角形的性

質可證3C=4NC,根據￡>NAC可證一BON-54C,根據相似三角形的性質可得竺="；

ABBC4

遷移與應用：連接AC,DF,延長AE交DP于G,過A作AHLCD于H,設AB="C=1,

AH=BC=n,^AE=DE=EF=EC,可知點A、D、F、C在以OC為直徑的圓上，從而可得

/ZMC="尸C=90。，可證.4。/々0田，根據相似三角形的性質可得〃以=/,可知￡）。="2+1,

2_i2_i

=n利用AAS可證DGE烏AHE,根據全等三角形的性質可得EGn利用相似可得

22

1

CF=2EG=n2-l,從而可求cosNOCT=-^—.

n2+l

【詳解】⑴證明：由翻折可知：,ABEgAFE,

:.BE=EF,

G是AF中點，

.\AG=FG,

ZBEF=90。,

ZGEF=ZACB=90°,

點G是A廠中點，

:.FG=FG

ZGEF=ZACB

在/ACG和FEG中<NFGE=/AGC,

FG=AG

:..ACG"FEG,

.\AC=EF,

AC=BE；

⑵解：如圖⑴所示，過。作于Af,DNAC交BC于N,

A

D

BE/GMNC

F

(1)

由(1)可知：DBE^DFE,_FEG-DMG,

:.ZDEB=ZDEF,

又/BEF=/FEG=9伊,

/DEB+/DEF=360°-90°=270°,

/./DEB=ZDEF=-x270°=135°,

2

ZDEG=/DEF-ZFGE=135°-90°=45°,

ZDEC=45°,BE=EF=DM=EM,

DNAC,

:.ZDNE=ZACB=45°,

:.NDNE=NDEN=45。,

:.ZEDN=90°,

,\EM=MN=DM,

:,BN=3BE,/DEB=/DNC=\35°,

CD=BD,

:.ZDCN=ZDBE,

DB=DC

在.DNC和一DEB中,/DBE=ZDCN,

BE=CN

:…DN8.DEB,

:.BE=NC,

:.BN=3NC,

:.BC=4NC,

DNAC

BDNsBAC,

.BDBN_3

,AB-BC-4，

2_i

遷移與應用：?n

n2+l

理由如下：

如圖（2）所示，連接AC,DF,延長AE交DF于G,過A作AH_LCD于H,

.\ZAHC=90°,

BC1CD,

.*.ZBCD=90°,

又，ABCD,

.\ZB+ZBCD=180°,

「.ZB=90。，

四邊形AHCB是矩形，

^AB=HC=a,AH=BC=na,

根據折疊的性質可得：AE=DE=EF,

又，點￡是CD中點，

AE=DE=EF=EC,

???點A、D、F、C在以。。為直徑的圓上，

A

ZDAC=ZDFC=90°f

:.ZDAH^ZCAH=90°,ZDAH-^-ZADH=90°,

，ZADH=/CAH,

:.ADHsCAH,

AH_CH

.而-IF'

/.DC=(H2+1)6Z,EH=-DC-a=^-^-a,

v722

根據折疊的性質可知/DGE=ZFGE=90°，

ZDGE=ZAHE

在一DG石和AHE中</DEG=/AEH,

DE=AE

[DGE冬jAHE,

n2-l

EG=EH=------

2

AG_LDF于G,

AGCF,

:.一DEG^DCF

.DEEG_1

■,DC-CF-2

?-CF=2EG=n2

(2)

【點睛】本題主要考查了折疊的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、四點共

圓、銳角三角函數，本題的綜合性較強，難度較大，解決本題的關鍵是作輔助線構造全等三角形和相

似三角形.

2.(1)見解析

⑵見解析

⑶且

4

【分析】(1)利用圓中弧，弦的關系，等腰三角形的判定證明A￡=CE即可；

(2)連接AC,根據AF為C。的直徑，得到NACE=90。，繼而得到/GCE+/EC4=90。，

ZCGE+ZCAE=90°,結合NC4￡=NEC4,證明即可；

(3)連接交CF于點連接3尸正確證得△BFG慫△HDC,正確得到尸=切.尸G設GT?=x,

(舊『--=4(4-x),正確得出GH=1,正確得出CEG的面積為手.

【詳解】(1)證明：連接AC

AB=CD,

...AB=CD

AC是A3與CO的公共部分,

I.BC=AD，

:.ZCAE=ZECA,

：.AE=CE.

BiD

Id)

(2)解：連接AC,

AF為。的直徑

.\ZACF=90°,

.?.NGCE+NECA=90。,ZCGE+ZCAE=90°

ZCAE=ZECA,

.\ZGCE=ZCGE.

(3)解：連接交”于點H,

連接5方，

AB=CD,FG=AB=4,

：.FG=AB=CD=4,

VZGCE=ZCGE,/BGF=/CGE,

：.ZBGF=ZHCD

ZBGF=ZHCD

,.?\GF=CD,

ZBFG=ZHDC

:.BFG四,

BF=HD,

■:阮=Q

：.ZCAB=ZABD,

：.AC//BD,

：.ZACH=ZCHB=90°,

ADH2=DG2-GH2,

■:/FBH=/FGB=/HCD,ZBFH=ZGFB

???BFHS&GFB,

.BFFH

??_一,

GFFB

FB2=FH.FG,

設GH=x,>DG=A/13,

AFB2=^[-x),DH2=(A/13)2-X2,

A(713)2-X2=4(4-X),

解得x=1或x=3,

/.FB=2,FB=-2舍去或FB=2區(qū)FB=-2省,

,?NDGF>45。,

?里>1

"GH，

DH>GH,

GH=3舍去，

：.GH=1,FB=2也,

BG=dFG2—FB2=2,

AG=AB-BG=2,

VsinZBFG=—=-,

FG2

AZBFG=30°,

/.ZCAG=30°,

???CG=；AG=1,AC=yjAG2-CG2=73-

?**SACG=~AC?CG=與，

,?NGCE=NCGE,

：.CE=GE,

'：CE=AE,

：.CE=GE=AE,

o一，_A/1

°CEG-2DACG.4

【點睛】本題考查了圓的弦，弧的關系，三角函數的應用，勾股定理的應用，三角形相似的判定和性

質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握三角函數的應用，勾股定理的應用，三角形相似的判定和性

質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵.

3.⑴見解析

⑵見解析

J39+7垂!

24

【分析】(1)根據等邊三角形的性質，平行線的性質，含30。角直角三角形的性質，解答證明即可.

(2)過點F作9LAB于點M,根據等邊三角形的性質，平行線的性質，三角形全等的判定和性質

解答即可.

(3)以邊BG為邊,在其右側構造等邊三角形3G產，作直線QF,交AE于點K,交于點S,證

明FK〃AB,判定點。的運動軌跡是直線FK,過點A作人〃，府于點當點。與點加重合時，

AQ取得最小值，過點G作GOJ.PK于點。，并延長OG交A3于點S,過點B作BN,AE交E4的

延長線于點M過點A作ATI.BE于點T,連接AG,利用勾股定理，三角函數，等腰三角形的性

質，垂線段最短解答即可.

【詳解】(1)證明：???等邊三角形A3C,

/.AB=BC=CA,ABAC=ZACB=ZABC=60°,

?：AE//BC,點。是AB邊上的中點，

：.AD=BD=-AB=-BCZDAE=ZABC=60°,

22f

DE±AE,

???/￡=90。，

???ZADE=90°-60°=30°,

AD=2AE,

：.AB=2AD=4AE,

???BC=4AE.

(2)解：過點尸作9,AB于點

??,等邊三角形ABC,

/.AB=BC=CA,ZABC=60°,

???AE〃5C,點G是破的中點，，

；?BG=GE,ZEAG=ZBFG,/E=/FBG,

/E=/FBG

?；1/EAG=NBFG,

BG=GE

???一AGE之一方G3（AAS）,

AAG=GF,AE=BF；

VGH1AB,FM±AB,

：.FM//GH,

.AH_AG

HG是AAFM的中位線，

HG=-FM,

2

'：FMA,AB,ZABC=60°,

MF=FBsin60°=—BF,

2

:.HG=—BF,

4

???HG=—AE.

4

(3)解：以邊BG為邊,在其右側構造等邊三角形BG廠,

則BG=M=bG,ZGBF=ZBFG=ZFGB=60°,

作直線。尸，交AE于點K,交5C于點S,

,/GP繞點G逆時針旋轉60°得到GQ,

.?.PG=GQ,ZPGQ=60°,

：.ZBGP=60°-ZPGF=ZFGQ,

GB=GF

?：IZPGB=ZQGFf

GP=GQ

：...BGPWFGQ(SA$,

：.ZGBP=ZGFQ

???ZGBP+ZF6C=60°；

.?.ZFBC+ZGFQ=6Q0

,.?ZABC+NFBC+/BFG+/GFQ=ZABC+/FBC+/BFG+/GBP=180。,

:?FK〃AB,

???點Q的運動軌跡是直線FK,

過點A作AM，雁于點M,

???當點。與點M重合時，A。取得最小值，

過點G作GO,尸K于點O,并延長OG交于點S,

?:FK〃AB,

：.GO.LAB,

：.AM=SO,

過點5作BN，AE交E4的延長線于點N,

■:AE//BC,

：.ZNAB=ZABC=6Q0,

^BA=BC=CA=BG=GE=2xf

AN=2xcos60°=x,BN=2xsin60°=V3x,BE=4x,

NE=ylBE2-BN2

.??AE=NE-NA=1A-，X,

..口BN6

BE4

AE//BC,

：.ZE=ZEBC,

：.ZE=ZGFO,

，GO=GFsinE=—x,

2

過點A作AT_LBE于點T,

/.AT=AEsinE=￥(Vn-l)=

連接AG,

'/S鈿G=_BA*GS=—BG^AT,BA=BG,

.「°仃屈-若

??GS=AT=------------x

4

.&c-—犧f與_屈+石

??SO=GS+GO=------------xH------x=-------------

424

.…回+一

..AM=-----------x,

4

回+若

...AM__4x_a+7班.

,A￡"(713-1)X-~24

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，三角函數的應用，三角形全等的判定和性質，旋

轉的性質，等腰三角形的性質，垂線段最短，直角三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，三角

函數的應用，勾股定理，垂線段最短是解題的關鍵.

4.(1)菱形，見解析；(2)M=2?；(3)折痕砂的長為逑或述或名叵或2方

325

【分析】(1)由折疊可得：跖垂直平分AC,即Q4=OC,ACLEF,證明△AO尸絲△COE,得

到O歹=6?,即可判定；

(2)根據直角三角形的斜邊中線定理可得：OB=OA=OC=^AC=3,由折疊可得：AB=OB,

Afi

EF±AO,推出一他O是等邊三角形，得至IJNABP=3O°,最后根據所=一二即可求解；

(3)將矩形紙片ABCD折疊，使點A與對角線AC的三等分點重合，折痕為歷，

設點A的對應點為A,折痕跳1交AC于點M,則EP垂直平分A4',AM=A'M=^AA',

ZAMN=90°,設AB=x,分四種情況討論：①若A4'=gAC=2,且點N在線段A3上時，②若

12

A4r=-AC=2,且點N在線段A3的延長線上時，?^AAf=-AC=4,且點N在線段AB上時，

2

AN=AB—BN=x—l,點、E與點、N重合,@^AA'=-AC=4,且點N在線段AB的延長線上時，根

據三角函數和勾股定理求解即可.

【詳解】解：(1)四邊形AFCE的形狀是菱形，理由如下：

由折疊可得：取垂直平分AC,

OA^OC,ACLEF,

在矩形ABCD中，AD//BC,

：.ZOAF=ZOCE,ZOFA=ZOEC,

AOF^COE(AAS),

OF=OE,

OA=OCfAC.LEF,

:.EF、AC互相垂直平分，

二?四邊形AFC￡的形狀是菱形；

(2)將矩形紙片折疊，使點A與對角線AC的中點。重合,

...OB=OA=OC=-AC=3,

2

由折疊可得：AB=OB,EF±AO,

..ABO是等邊三角形，

AB=OA=OB=3,ZABO=60°,

EFYAO,

/.ZABF=-ZABO=30°,

2

AB

EF=

cos30°二A6

2

(3)將矩形紙片ABC。折疊，使點A與對角線AC的三等分點重合，折痕為E尸,

設點A的對應點為A,折痕EP交AC于點M,則所垂直平分A4"

...AM=A'M=^AA',ZAMN=90°,設AB=x,

①若44'=(AC=2,且點N在線段A3上時，AN=AB—BN=x—l,點、E與點、N重合,

AM=—AA'=1,

2

ADAM

cosZBAC=——

AC~~AN

??.AB.AN=AC.ANf

x(x-l)=lx6,

解得：x=3（負值已舍去），

,?人…AM1

..AN=3—1=2,sinN^ANM=------=一,

AN2

ZANM=30°,

②若AA'=gAC=2,且點N在線段AB的延長線上時，AN=AB+BN^x+l,

AM=-AA'=l,

2

ARAM

cosZBAC:——

AC~AN

AB.AN=AC.ANf

/.x(x+l)=lx6,

解得：I=2（負值已舍去），

.=2+1=3,MN=ylAN2-AM2=732-l2=2^，

……A7V_MN_

cosZ.ANM=-----二

FN"A7V，

f，AN。32972

FN=-------

MN一2應一丁

……ANBN

cosZANM=-----

FN~NE

1述

；?BN.FN/丁3四，

AN34

.5訃T人/9應3A/23A/2

442

2

f

@^AA=-AC=4f且點N在線段A3上時，AN=AB—3N=x—1,點E與點N重合,

AM=-AA=2,

2

AM

cosABAC=

AC~AN

AB.AN=AC.AN,

x(x-l)=2x6,

解得：％=4（負值已舍去），

A2V=4-1=3,MN=y/AN2-AM2=A/32-22=75，

……ANMN

cos/ANM=-----

FN~AN

AN2_32_975

EF=FN=

~MN~45~~T

2

@^AAf=-AC=4,且點N在線段A5的延長線上時，AN=AB+BN=x+\,

二.AM=—AAr=2,

2

AM

cosABAC=

ACAN

二.AB.AN=AC.ANf

x(x+l)=2x6,

解得：％=3(負值已舍去)，

4V=3+1=4,sinZANM=^=-f

AN2

NAW=30。，

N口AN486內口BN12G

-1?-cosZAW-G—3，-cosZANM一百一3，

~2~2

?口口口zz口8百。瓜

一EF=FN—NE=--------------=2v3;

33

綜上所述，折痕族的長為手或手或竽或2技

【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，矩形中的折疊問題，菱形的判定，等邊三角形的判定

與性質，解題的關鍵是靈活運用相關知識.

5.(1)45°

⑵)=2&-2或6=2

S.2

(3)—二一

0523

【分析】(1)根據直線丫=-》+》與x軸交于點A,與y軸交于點B,得到A(b,o),B(O,b),得到

OA=OB=b,ZOBA=ZOAB^45°,根據/QC8+/QAB=180。判定氏AQ,C四點共圓，得到

ZCQA^ZOBA=45°；

(2)利用分類思想，分三種情況，利用圓的知識，三角函數等解答即可；

(3)過點尸作尸”，。3于點H,過點A作AGLQC于點G,則四邊形。AGC是矩形，設

OA=CG=OB=2a,BC=2b,利用三角函數的定義，勾股定理，平行線分線段成比例定理，中位

線定理，解答即可.

【詳解】(1)解：：直線y=-x+8與x軸交于點A,與y軸交于點3,

/.A(b,O),3(0,b),

：.OA=OB=b,ZOBA^ZOAB=45°,

?.?。(7，＞軸于點。，

NQCB=90°,

:過點A作P的切線AM,

ZQAB=9Q°,

/QCB+NQAB=180°,

/.反AQ,C四點共圓，

ZCQA=ZOBA=45°.

(2)解:當AD=AO時，

根據題意，得ZADO=ZAOD=ZABO=ZBAO=Z.BDO=ZACD=45°,

四邊形。是正方形，

AOB=AD,ZADO=ZADB=ZADQ=90°,

過點A作P的切線AM,

：.ZQAB=90°,

：.NZMQ=45。，

AD=AQcos45。=2,

：.b=OB=2；

當=時，

根據題意，得Nmo=/ZXM,

根據圓周角定理，圓的內接四邊形性質，得

ZDAO=ZQBC,ZDBA=ZDOA,

：.ZQBA=ZQBC,

ZQCB=ZQAB=90°

?：<ZQBC=ZQBA,

QB=QB

：.QBC^QBA(AAS),

：.QC=QA=2V2,

過點A作AN，。。于點N,

則四邊形。4AQ是矩形，

：.OA=CN=OB=b,ZOAN=90°,

：./BAN=90°-ZBAO=45°=ZQAN,

???QN=AN=AQcos45。=2,

：.b=OB=QC-QN=2y/2-2；

當QD=AO時，根據題意，ZOAD=ZODA=ZOBA=45°,

ZQBC=ZOAD=45°f

：.ZQBC=ZBQC=45°,

CQ=CB,

過點A作⑷V，0C于點N,

則四邊形。4A，C是矩形,

/.OA=CN=OB=b,ZOAN=90°,OC=AN,

：./BAN=90°-ZBAO=45°=ZQAN,

AQC=CN+QN=b+2,CB=OC-OB=AN—OB=2—b,

：.2+b=2—b,

解得b=0舍去，

綜上所述，6=20-2或b=2.

(3)解：過點尸作P",03于點H,過點A作AGLQC于點G,

則四邊形Q4GC是矩形，

：.OA=CG=OB,NQ4G=90。，OC=AG,

.??/BAG=90°-ZBAO=45°=ZQAG,

??.AG=QG,

設。4=CG=O3=2a,BC=2b,

：.OC=AG=OB+BC=2(a+b),QC=AG+CG=4a+2b9

?：PHtOB,OA^OB,

：.PHOA,

.BHBP,

.,----=----=1,

HOPA

：.BH=HO=-OB=a,

2

PH=—OA=a,

2

???CH=BC+BH=a+2b,

,/ZAOB=90°,

**?A3是圓的直徑，

???ZADB=90°,

PC//AD,

NPFB=ZADB=90。，

：.ZPFB=ZCFB=ZCFQ=90°,BF=FD,

：.ZPCH=90°-ZCBQ=ZBQC,

tanZPCH=tan/BQC,

?PH__B__C

**Hc-ecJ

.a_2b

a+2b4。+20’

a2=b2f

??a=b,

Sx=1BF-PF,52=|DF-CF

?義=生

??邑CF'

tan/PCH-tan/BQC=--一=—,

~a+2a3

/.tanZPCH=-=

CF3

設=則CV=3x,

（3X）2+X2=（2<7）2,

解得x=巫。，負的舍去,

5

?a3M

5

:PC=y/CH2+PH2=回a，

，PF=PC-CF=^^-a,

5

2710

圓周角定理，圓的內接四邊形對角互補性質，等腰直角三角形的性

質與判定，勾股定理，三角函數的應用，平行線分線段成比例定理，中位線的性質，熟練掌握以上知

識是解題的關鍵.

31811

6.(1)①90,②證明見解析；(2)-；(3)3N的長為?或記.

【分析】(1)①依據題意，可得AG=OG=GC,從而AD、C在以G為圓心，AG為半徑的圓上，

根據圓周角定理可得到/ADC的度數；

②依據題意，由旋轉的性質可知，ZHDG=NHAD,又ZAHD=/DHG,進而可以得解；

(2)依據題意可求出AB、AC的長，又」)EF的銳角頂點。恰好落在VA5C的斜邊A3上，從而可得

AD、C在以G為圓心，AG為半徑的圓上，則/ADC=90。，進而求出AZ)=3/,再結合

AHDG^AHAD,可得叫=也=理=也,設GH=后,則D〃=3x,AH=3+島,進而建

ADHAHD3

立方程計算可以得解；

(3)依據題意，分兩種情形進行討論：①當E落在AZ)上時，②當E落在8。上時，分別求解即可.

【詳解】解：①由題意可知，AG=DG=GC,

:.A、D、C在以G為圓心，AG為半徑的圓上，

:.ZADC=90°,

故答案為：90；

②證明：由旋轉的性質可知，ZHDG=ZHAD,

ZAHD=ZDHG,

HDG^HAD；

(2)VZA=30°,BC=2A/3,ZC=90°,

AAB=2BC=4y/3,AC=#>BC=02#>=6,

_DEF的銳角頂點。恰好落在7ABe的斜邊A3上,

AG=DG=GC,

.,.A,D、C在以G為圓心，AG為半徑的圓上，

:.ZADC=90°,

ADAC

cosAt=-----=-----,

ACAB

AD_6

‘4M

AD=3A/3,

?/AHDG^AHAD,

,DG_DH_HG_3

,.布一麗一詬一訪一號’

設GH=瓜,則DH=3尤，AH=3+瓜,

3x

-3+氐-3

解得：g,

經檢驗,xg是方程的解，

GH=g@=),

22

33

:.CH=GC-GH=3——=—,

22

（3）①當E落在AD上時，如圖所示，連接3尸、BE、EN,

由M是中點和旋轉可知，AM=EM=BM=MF,

又：ZAME=ABMF,

.ZAME-BMF,

:.ZEAM=ZFBM,

:.AE//BF,

又:四邊形ABC。是菱形,

:.AE//BC,

???5C和所在同一直線，尸在CB的延長線上，由（1）①可知，NAEB=90。（已證）,

:.ZEBN=ZAEB=90°,

NFBE

-S/\EFN

2

???菱形ABC。中，AC=8,BD=6,如圖所示,

AO=—AC=4,BO=—BD=3,BDJ_AC

22f

:.AB=ylAO2^Bb2=A/42+32=5,

S^ABCD=|AC-BD=1X8X6=24,

又,**S菱形ABS=BCBE=24,

2424

BE=——

BC

24

在RtZkET^中，EF=5,BE=-^

BF=ylEF2-BE2=^52-=g,

.AEFN和菱形ABCD等底等高,

S/XEFN=3S菱形ABC。，

NFBE

..—12,

2

5

718

:.BN=FN-BF=5——=——；

55

②當E落在BO上時，如圖所示，作EK_L3c交BC于點K,如圖:

由旋轉可知，AM=BM=EM=MF,

.?.ZAEB=90°,

:四邊形ABCD是菱形，

:.ACrBD,AD//BC,

在對角線AC的中點上，即E在AC和的交點上,

是80的中點，M是的中點，

:.EM//DH,EM=-DH,EM//BC,EM=-,

22

由旋轉可知，ZDAB=NFEH,

AD//BC,

:.ZDAB+ZABC=180°,

:.ZFEH+ZABC=180°,

???￡、M.B、N四點共圓，

如圖所示，連接腦V和

ME-MB，

:.ZMEB=ZMNB=NENM=NEBM,

BN//EM,

:./EMN=NENM,

:.ME=EN=-,

2

BE3

.\cosZEBC=—

BEBC5

FKEC4

sin/EBC=——

EB

BK_3EK_4

912

BK=-,EK=

y

125

在Rt-BV^中，EK=—EN=—,

52

9711

:.BN=BK-NK=--------=—,

51010

1Q11

,BN的長為/或關.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質、菱形的性質，勾股定

理，銳角三角函數等知識，掌握相關知識是解題的關鍵.

7.⑴四邊形ABC。的面積為2VL周長為6+2月;

(2)見解析;

(3)線段的長是5a.

【分析】(1)由四邊形ABCD是對角互余四邊形，"=30。，得，3=60。，則/54。=30。，ZACD=60°,

可求得AC=BC-1160。=道，AB=ACtan60°=3,AB=2.BC=2,CD=2AC=2^3,于是可求得

S四邊球ABCD=SAABC+SAADC=2A/3,AB+BC+CD+AD=6+2y/3;

(2)延長A。交。于點E,連接CE,由AE是.O的直徑，得NACE=90。，而

ZOAC=ZABC,ZE=ZD,則NABC+"=NQ4C+NE=90。，即可證明四邊形ABCD是“對角互余

四邊形”；

(3)作/FCD=NACB,DFLC尸于點F使點F與點A在直線CO的異側，由4?=3AC,根據勾股

定理得BC=MAC,可證明^―=—,ZABC=ZFDC,所以變=史=可，

DCFCFCAC

_]DPAR

由AD=4,DC=屈,得尸C=yDC=l,而笠=嘿=3,則止=3尸C=3,因為

A/10FCAC

ZADF=ZFDC+ZAD