二次函數(shù)綜合題型突破

題型一拋物線與線段相關(guān)類

1.[2024天津]已知拋物線y=ax2+bx+c(a、b,c為常數(shù),a>0)的頂點(diǎn)為P、且2a+b=0,對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)

D、點(diǎn)M(m、1)在拋物線上為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴當(dāng)a=l,c=-l時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)OM=0P=爭(zhēng)寸，求a的值；

(3)若N是拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)N在第四象限，/MDN=9(T,DM=DN,點(diǎn)E在線段MN上，點(diǎn)F在線段DN上,

NE+NF=立DM,當(dāng)DE+MF取得最小值為同時(shí)，求a的值

2

2.[2024湖南]已知二次函數(shù)y=-x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,5),點(diǎn)Pg,門),Q(x2,y2)是此二次函數(shù)的圖象上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,此二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在直線AB的上方，過(guò)點(diǎn)P作PCLx軸于點(diǎn)C,

交AB于點(diǎn)D,連接AC,DQ,PQ,若叼=修+3,求證：/的值為定值；

(3)如圖2,點(diǎn)P在第二象限，x2=-2巧,若點(diǎn)M在直線PQ上，且橫坐標(biāo)為xi-1.過(guò)點(diǎn)M作MN±x軸于點(diǎn)

N,求線段MN長(zhǎng)度的最大值.

圖1圖2

3.[2024江蘇連云港]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx-l(a,b為常數(shù),a>0).

⑴若拋物線與x軸交于A(-l,0),B(4,0)兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

⑵如圖，當(dāng)b=l時(shí)過(guò)點(diǎn)C(-l,a),D(l,a+2&)分別作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M,N,連接MN,MD.求證:MD

平分NCMN.

⑶當(dāng)a=l,b<-2時(shí),過(guò)直線y=x-l(lWxW3)上一點(diǎn)G作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)H.若GH的最大值為4,求b

的值

4.[2024重慶A卷]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2+bx+4(a中0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,6),與y軸交于點(diǎn)C,

與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，連接AC,BC,tanZCBA=4.

⑴求拋物線的表達(dá)式.

⑵點(diǎn)P是射線CA上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PELx軸,垂足為E,交AC于點(diǎn)D.點(diǎn)M是線段DE上一

動(dòng)點(diǎn)，MN±y軸，垂足為N,點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，連接AM,NF.當(dāng)線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求AM+MN+

NF的最小值.

(3)將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(guò)⑵中線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)D,且與直線A

C相交于另一點(diǎn)K.點(diǎn)Q為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/QDK=/ACB時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

備用圖

題型二拋物線與面積相關(guān)類

5.[2024黑龍江大慶]如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),與y

軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)M為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)在直線BC上方的拋物線上存在點(diǎn)Q,使得/QCB=2NABC.求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

(3)已知D,F為拋物線上不與A,B重合的相異兩點(diǎn).

①若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合,D(m,-12),且m>l,求證:D,E,F三點(diǎn)共線；

②若直線AD,BF交于點(diǎn)P,則無(wú)論D,F在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要D、E,F三點(diǎn)共線，△AMP,△MEP,

△ABP中必存在面積為定值的三角形，請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說(shuō)明理由.

備用圖1備用圖2

6.12024四川巴中］在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3(a豐0)經(jīng)過(guò)A(-l,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方.

⑴求拋物線的表達(dá)式.

⑵如圖1.過(guò)點(diǎn)P作PDLx軸,交直線BC于點(diǎn)E,若PE=2ED,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)如圖2,連接AC,PC,AP,AP與BC交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P作PF〃AC交BC于點(diǎn)日記4ACG,APCG,APGF的

面積分別為Si,S2,s3.當(dāng)m+令取得最大值時(shí)，求sinZBCP的值

7.[2024內(nèi)蒙古通遼]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-|%+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C,D,拋物線

y=-—2尸+k（k為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且交x軸于A,B兩點(diǎn).

⑴求拋物線表示的函數(shù)解析式；

⑵若點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD,DP,CP,求四邊形ACPD的面積.

8.[2024四川遂寧]二次函數(shù)y^ax2+bx+c(a豐0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,O),B(3,O),與y軸交于點(diǎn)C(O,

-3),P,Q為拋物線上的兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)當(dāng)P,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

(3)設(shè)P的橫坐標(biāo)為m,Q的橫坐標(biāo)為m+1,試探究：△OPQ的面積S是否存在最小值.若存在，請(qǐng)求出最小值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖1備用圖2

題型三拋物線與四邊形相關(guān)類

9.[2024四川瀘州]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3、0)與y軸交于

點(diǎn)B,且關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

(1)求該拋物線的解析式.

(2)當(dāng)/WxWt時(shí),y的取值范圍是0WyW2t-l,求t的值.

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D,在y軸上是否存在點(diǎn)

E，使得以B,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

10.[2024寧夏]拋物線y="2_|刀_2與X軸交于A(-l,0),B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線

上的一點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式.

⑵如圖1,過(guò)P作PDLx軸于點(diǎn)D,交直線BC于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)PE=時(shí)，求m的值

⑶如圖2,點(diǎn)F(l,0),連接CF并延長(zhǎng)交直線PD于點(diǎn)M,點(diǎn)N是x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，在⑵的條件下，x軸

上是否存在一點(diǎn)H，使得以F,M,N,H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.[2024四川廣元]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F:y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,-l),與y軸交于點(diǎn)

B(0,2).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C,連接OC交AB于點(diǎn)D,求CDDD的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)作拋物線F關(guān)于直線y=-l上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象F1,拋物線F與F只有一個(gè)公共點(diǎn)E(點(diǎn)E在y軸右側(cè))，G為

直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線F對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B,E,G,H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo).

12.[2024黑龍江綏化]綜合與探究

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x2+bx+c與直線相交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A(3,4),B(0,l).

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)過(guò)點(diǎn)B作8(：〃*軸交拋物線于點(diǎn)C.連接AC,在拋物線上是否存在點(diǎn)P使tanZBCP=：tan乙4CB?若存在,

O

請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答)

(3)將該拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)i=的產(chǎn)+瓦乂+?式的豐0),平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)

D,點(diǎn)E為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，F(xiàn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是菱

形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).

備用圖

題型四拋物線與相似相關(guān)類

13.[2024內(nèi)蒙古呼倫貝爾]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和

點(diǎn)A(4,0).經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B(1,3)、與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

⑵點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PELx軸于點(diǎn)E,與直線AB交

于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.①m為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大?求出最大值.

②是否存在點(diǎn)P,使得△BPD與4AOC相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.[2024四川內(nèi)江]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中.一次函數(shù)y=-2x+6的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DCLx軸于點(diǎn)C,交AB于

點(diǎn)E.

⑴求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(2)是否存在點(diǎn)D,使得△BDE和小ACE相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)F是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線交AB于點(diǎn)G,連接DF,當(dāng)四邊形

EGFD為菱形時(shí)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

備用圖

突破三二次函數(shù)綜合

L(l)(l,-2)(2)a=10(3)a=l

解析:⑴?.?2a+b=0,a=l,

-.b=-2a=_2,

X-.c=-1,

，該拋物線的解析式為y=/-2x-1,

y=x2—2x—1=(x—l)2—2,

,該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(L-2).

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)M(m,l)作MHJ_x軸，垂足為H,

V

則NMH0=9(r,HM=L0H=m,在RfMOH中，HM2+OH2OM2,OM=手,

_2

...1+m2=(釣，

解得利=|即2=-|舍)，

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

,.,2a+b=0,即--=1,

2a

.,拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=l.

1.對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D,

.-.OD=l,zODP=90°.

在Rt^OPD中,(OD2+PD2=OP2,OP=手，

解得PD=|（負(fù)值舍去），

由a>0,得該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）,

，該拋物線的解析式為y=a(x-l)2-|,

??點(diǎn)M(|，l)在該拋物線上，

/.a=10.

⑶過(guò)點(diǎn)M(m,l)作1\/^，*軸,垂足為^

蛆kMHO=90°,HM=l,OH=m,

.-.DH=OH-OD=m-l,

在RtADMH中，DM2=DH2+HM2=(zn-l)2+1,

如圖，過(guò)點(diǎn)N作NK，x軸，垂足為K,貝此DKN=90。,

?.zMDN=90°,DM=DN,

.?.zMDH=90°-zNDK=zDNK,

又?.NDHM=NNKD=90°,DM=DN,

.?.△DMH%NDK(AAS),

，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,1-m),在RfDMN中,：DM=DN,

MN2=DM2+DN2=2DM2,gpMN=V2DM,zDNM=zDMN=45°.

???NE+NF^DM,

.-.ME=NF,

在ADMN的外部，作NDNG=45。,且NG=DM,連接GF,GM,

得NMNG=NDNM+NDNG=90。，

..AGNF學(xué)DME(SAS),

.-.GF=DE,

DE+MF=GF+MF>GM,

當(dāng)點(diǎn)F落在線段GM上時(shí),DE+MF取得最小值.V15,gp(GM=V15,

在RtAGMN中,(GM2=NG2+MN2=3DM2,

2

(V15)=3DM2,

：.DM2=5,

(m—l)2+1=5,

解得m-L=3,m2=-1(舍)，

:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,-2),

?.點(diǎn)M(3,l),N(2,-2)都在拋物線y=a%2+to+c±,2a+b=0,

.■.l=9a-6a+c,-2=4a-4a+c,/.a=l.

2.(l)y=-x2+9

(2)見解析

⑶友

解析：⑴將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得5=-4+c,解得c=9,

故二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+9.

(2)證明:令(0=-x2+，得x=±3,則B(3,0),

由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)易得直線AB的表達(dá)式為y=-x+3,

二點(diǎn)P,Q,D的坐標(biāo)分別為(％，一定+9),但，一指+9),(xr-Xi+3),

-

S^PDQ=gPD,QQ—%p)=|(+9+/一3)(X2—%i)—|(—好+第1+6),

S

AADC=ICD.(孫-xA)=|(-%1+3).

⑶由題意得點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為（Xi,-好+9）,（-2/，-4好+9）,

由點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)易得直線PQ的表達(dá)式為y=%1%-2好+9,

則MN=yM=%!(%!-1)-2xf+9=-+1)+

?.點(diǎn)P在第二象限〃》1<0、

，當(dāng)與=-巳時(shí)，，MN取最大值，為子故線段MN長(zhǎng)度的最大值為?

3.(l)y=ix2-|x-l

(2)見解析⑶-3

解析：(1)分別將A(-1,O),B(4,O)代入y=收+故一L得｛之工;1：°二解得｛0

10(1十—1=U,b二

，函數(shù)表達(dá)式為y=^-^x-l.

44

⑵證明:連接CN,

「b=L

y=ax2+x—1,

當(dāng)x=-l時(shí),y=a-2,

即點(diǎn)M(-l,a-2),

當(dāng)x=l時(shí),y=a,

即點(diǎn)N(l,a).

..CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM_LCN,在RbCMN中，

MN=7cM2+CN?=2V2.

,?1DN=a+2V2—a=2vx

.-.DN=MN,

.-.zNDM=zNMD.

?/DNllCM,

.-.zNDM=zCMD,

.-.zNMD=zCMD,

，MD平分NCMN.

(3)設(shè)G(m,m-1),則.H(m>m2+bm-l),l<m<3.

當(dāng)a=l時(shí)，y=%2+bx—1.

令x2+bx—1=x—1,

解得=。,％2=1-b.

/b<-2z

x2=1—b>slant3,

???點(diǎn)G在H的上方，如圖1,

設(shè)GH=t,.則t=—m2+(1—b)m,

其圖象的對(duì)稱軸為爪=子，日瞪2*

①當(dāng)|《瞪<3時(shí)，-54b4-2,

由圖2可知當(dāng)m=子時(shí)，t取得最大值安

解得b=-3或b=5(舍去).

②當(dāng)與^>3時(shí)彳導(dǎo)5<-5,

由圖3可知當(dāng)m=3時(shí)，t取得最大值-9+3-3b=4,

解得6=-與舍去）.

綜上所述，b的值為-3.

4.(l)y=—x2—3%+4

⑵三

解析：⑴；拋物線y=ax2+bx+4(a中0)與y軸交于點(diǎn)C,

.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4),即(OC=4.

在RbOBC^,zCOB=90°,tanzCBA=黑=4,OB=1.

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).

將點(diǎn)(；,6),(1,0)分別代入y=ax2+bx+4,得

{OI?+?=，解這個(gè)方程組，得{：=U'所以該拋物線的表達(dá)式為y=-x2-3x+4.

a+b+4=0.b=-3.

22

(2)在拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=-x-3x+4中,由-x-3x+4=0,解得x1=-4,x2=1,

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0),

二直線AC的表達(dá)式為y=x+4,設(shè)P(m--m2-3m+4),,則D(m,m+4),

PD=-m2—3m+4—(m+4)=-m2—4m=—(m+2)2+4.

二當(dāng)m=-2時(shí)，線段PD長(zhǎng)度取最大值，為4,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(26),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,2).

-.MN±y軸，點(diǎn)M在直線x=-2上，

.-.MN=EO=2.

如圖，連接EF,設(shè)EF交y軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作NM^DE,垂足為M,連接AM.

易知MNllAE,MN=AE=2,

，四邊形AENM為平行四邊形.

.-.AM=EN,

由兩點(diǎn)之間線段最短，可知AM+NF的最小值為EF的長(zhǎng).

..AM+MN+NF的最小值為MN+EF.

?.點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn),

.??點(diǎn)F的坐標(biāo)為(82)

過(guò)點(diǎn)F作FG^AB,垂足為G,易得點(diǎn)G的坐標(biāo)為

在RtAEFG中，EF=VEG2+FG2=jG+2『+22=手.

..AM+MN+NF的最小值為鴦”

⑶滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(-1,-制.

5.(l)y=-x2+2x+3

(2)Q(1,4)

(3)①見解析②AABP的面積為定值；SNBP=16

解析:⑴將.A(-1,O),C(O,3)代入y=ax2+2x+c,

4日,a—2+c=0,

行｛c=3,

解得,二；，

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-%2+2%+3.

(2)對(duì)于y——x2+2%+3,令y=0,

得一%2+2%+3=0,

解得=-1,%2=3,

；QB=0C=3,

."OBC是等腰直角三角形,

..NABC=NOCB=45°,

?.zQCB=2zABC,

，NQCB=90。,如圖,過(guò)點(diǎn)C作CQ^BC交拋物線于點(diǎn)Q過(guò)點(diǎn)Q作QG^y軸于點(diǎn)G,

ANGCQ=180°-ZOCB-NQCB=45",

."GCQ是等腰直角三角形，

.-.CG=GQS

設(shè)Q(q，—q,+2q+3)廁G(0,—q2+2q+3)、

*'.CG——q?+2q,GQ—q,

2

-q+2q=q,解得q=0倍去)或q=lz/.Q(l,4).

(3)①證明:點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，則F(0,3)、

?.點(diǎn)E為AB中點(diǎn),A(-l,0),B(3,0),??旦1,0),

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b(kwO),將E(l,0),F(0,3)代入解析式,

［曰占+b=。獻(xiàn)［曰ck=—3,

行｛b=3,解得⑨=3,y=-3%+3,

聯(lián)立得y;二XfU，

解得｛渭或｛二二

，D(5,-12)在直線EF上，即D,E,F三點(diǎn)共線.

②設(shè)D(x1,y1),F(x2,y2),

?.D,E,F三點(diǎn)共線,EQ,O),

,設(shè)DF的解析式為y=m(x-l),

y=m(x—1),

聯(lián)立得{

y——x2+2%+3,

消去y得，一/+(2-m)x+(3+m)=0,

???xr+x2=2—m,=—3—m,

.「A(-L0),B(3,0),

，設(shè)直線AD的解析式為y=k^x+1),直線BF的解析式為y=k2{x-3),

聯(lián)立得｛廠"卡”'解得x=第1，”普,

fc

y—/c式1—3),fc2-iB-上i

..的+312*也)

,

\k2-k1k2-k1J

%mg-1)卜_乃

%=2

Xi+lx1+l，-X2-3

-

m(x2l)

X2-31

g+l)(%2-3)'

陽(yáng)%2-1)m(xr-Y)

%2—3x±+l'

47n2(X]

4kllc2(%1+1)(%2-3)

5的7n(X2-l)?n(^l-l)

%2-3Xi+1

=4皿叼-1)(g-1)

2(*I+%2)—4

_4m[%i%2-(xi+x2)+1]

2(%1+%2)-4

4m(-3-m-2+m+l)c

=--------------------=Q

2(2-?71)-4，

13皿尤2-1)

3k2%1+132-3

而k2fl一皿%2-1)一(工廣1)

%2—3%i+l

4XX-6X+2X2XX-3X+X

12121212不為定值,

2(%1+%2)—4(%1+%2)-2

，P在直線y=8上運(yùn)動(dòng)，

，P到x軸的距離為定值8,

???AABP的面積為定值，SAABP=I=|x4x8=16,S—MP，SAME均隨點(diǎn)P位置的變化而變化，不是定

值.

6.(l)y=—x2+2%+3

(2)P(2,3)

(3)sinNBCP=誓

解析:⑴?.拋物線y=ax2+bx+3(a*0)

與x軸交于點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),

.(CL—b+3=0,

9a+3b+3=0,

解得｛箕？’

???拋物線表達(dá)式為y=-%2+2%+3

(2)二,當(dāng)x=0時(shí)，y=—x2+2%+3=3,「.C(0,3),

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+n,??.嚴(yán)二解得七二二

..直線BC的表達(dá)式為y=-x+3,設(shè)P(jn>-m2+2m+3),

,「PD_Lx軸于點(diǎn)Dz

:E(m,-m+3),D(m,0),

???DE=—m+3,PD=-m2+2m+3,

.?.PE=PD-DE=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m,

?.PE=2ED,

???—m2+3m=2(—m+3),

解得mr=2fm2=3(不合題意,舍去)，.?.m=2,:P(2,3).

(3)「PFllAC〃"ACGsWFG,

.AC_AG_CG

"PF-PG~FG'

tS3_GF_PFS2_PG_PF

"S2~CG-AC"-AG-AC"

.S3s2_2PF

,?i->

S2SiAC

如圖，作ANIIBC交y軸于N,作PQlly軸交BC于Q,

7TV

,.直線BC的表達(dá)式為y=-x+3,ANHBC,

，設(shè)直線AN的表達(dá)式為y=-x+b。

將A(-1,O)代入y=-x+b海O=-(-l)+b',解得b'=-l,

，直線AN的表達(dá)式為y=-x-l,當(dāng)x=0時(shí),y=-l,

.QN=LCN=ON+CO=4,

,：ANllBC,PQlly軸,PFllAC,

zPQF=zNCB=zANC,zPFC=zACF,

zPFC=zFPQ+zPQF,zACF=NNCB+NACN,

.,.NFPQ=NACN,."CANSAPFQ,

設(shè)P(n<—n2+2n+3),貝!]Q(n,-n+3),PQ——n2+3n,

.包+之—空^_2PQ_-2?12+6〉

??S2Tsi-AC-CN-4

二當(dāng)八=|時(shí)興+1有最大值,

此時(shí)P(|4),Q61)，

-.ON=OA=1,OB=OC=3,

..NOBC=NANC=45°,

???NANC=NPQF,..NOBC=NPQF,

BC=J(3—0)2+(0-3/=3五,AB=4,

9L3V2_

PQ_4_3V2CQ_—_3V2

,?BC.3V2-8'AB~4-8'

.?.PC=COA,.-.ACPQ-AACB,

.,.zBCP=zCAB,

■-AC=J(—1—+(0-3/=V10,

sin/BCP=sinZCAB=*=2="

ACV1010

7.(l)y=-I%2+x+3(2)10

解析:⑴在y=—|x+3中，令x=0,得y=3/.D(0,3),

1.拋物線y=—久久一27+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0,3)、

3=—：x(0—2)2+k,解得k=4,

，拋物線表示的函數(shù)解析式為y=—：X(久一2)2+4=-；/+x+3.

(2)連接OP,

在y=-|x+3中，令y=(X得x=2,

..C(2,0),.QC=2,

在y=-+x+3中，令y=(X得(0=-|x2+x+3解得x=6或x=-2,

，A(-2,0),「QA=2油y=-沁一2尸+4可得拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4),

x

,'1S四邊形ACPD=SAAOD+S4POD+S4Poe=-2x3+-x3x2+-x2x4=3+3+4=10,二四邊形ACPD

的面積為10.

8.((Dy=x2-2x-3(2)Q(|，-高

⑶存在；S的最小值為-11/8

解析：(1)由題意得y=a(x+l)(x-3)=a-(x2-2x-3”.C(0,-3)/.-3a=-3.，a=L

，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x-3.

(2)易知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,?點(diǎn)P,C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,C(0,-3),

.■.P(2,-3),

設(shè)Q(q,q2—2q—3),

???NOPQ=90。,；.OP2+PQ2=OQ2,

[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-q)2+(-3-q2+2q+3)2]=q2+(q2-2q-3)2,

整理得3才一8q+4=0,

解得Qi==2舍去)，

F=QQ(IV

22

(3)由題意得P(m/m—2m—3),Q(m+l,m-4)/m^0,m^-l.

設(shè)直線OQ的表達(dá)式為y=kx,將Qg+l，--4)代入y=kx,得m2-4=k(m+l),

,m2-4

???k=-------,

m+l

直線OQ的表達(dá)式為y=

過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交OQ于點(diǎn)N,

.-.N

■■-NP=\m^-2m-3-宣\=\m^-2m

-3--川壬斗

.-.S=^NP-\x0|

=11—m2—m—3I

1Tm?

12+3

2+18

."OPQ的面積S存在最小值，最小值為三

o

9.(l)y=-%2+2x+3(2)t=2.5

⑶存在;3V2-2或2

解析:(l)；A(3,0)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l?拋物線和x軸的另夕b-個(gè)交點(diǎn)為(-1,0),則拋物線的解析式為

y=a(x+1)(%—3)=ax2+b%+3,a=—l,b=2，.二拋物線的解析式為y=—%2+2%+3.

(2)當(dāng)-14x4t<l時(shí),

二次函數(shù)在x=-l時(shí)取得最小值，

ymin=-(-I)2+2X(-1)+3=0,

在X=t時(shí)取得最大值，

_22

ymax=t+2t+3=2t—1,即t=4,

解得t=2或t=-2,

,此種情況不成立.

^-l<x<t,l<t<3時(shí)，

二次函數(shù)在x=-l時(shí)取得最小值，ymin=0,

在x=l時(shí)取得最大值，ymax=一12+2x1+3=4=2t-l,

解得t=25

當(dāng)-14x4t,t>3時(shí)，

二次函數(shù)在x=t時(shí)取得最小值，ymin<y-i<0,

,此種情況不成立.

綜上,t=2.5.

⑶由拋物線的解析式知，點(diǎn)B(0,3),①如圖，當(dāng)BC為菱形的對(duì)角線時(shí)，對(duì)應(yīng)的菱形為BDCE'.

則BD=CD,

由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)C(x<-x2+2x+3),點(diǎn)D(x,-x+3).

貝！jCD=-x2+2x+3—(—x+3)=—x2+3久,

BD—V2x,BC—yjx2+(—%2+2x)2.

—x2+3x=s/2x.

解得x=3-/或X=0(舍去).

貝！1BD=V2x=3V2-2.

②當(dāng)BD為菱形的對(duì)角線時(shí)，對(duì)應(yīng)的菱形為菱形BCDE廁CD=BC,

—%2+3%=J/+(一<2+2久)2.

，x=2或x=0(舍去)，

貝！j(CO=-%2+3x=-22+3X2=2.

綜上，菱形的邊長(zhǎng)為3V2-2或2.

10.(l)y=|%2—|x—2(2)m=|

⑶存在;(1|"0)或(也。)或(-|，。)或((1.0)

解析：(1)把A(-l,0)代入y=?%2-|%-2得a+1-2=0,解得a=>.拋物線的解析式為y=jx2-|x-2

(2)把y=0代入y=|x2-|x-2,

得|x2-|x-2=0,

解得x=-l或x=4,，B(4,0).

當(dāng)x=0時(shí),y=-2,

.?.C(0,-2).

BC=V42+22=2V5,

BC的解析式為y=|x-2.

根據(jù)題意，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,0).

把x=m代入y=|x2-|x-2,

得y=|m2—|m—2.

把X=m代入y=*一2彳導(dǎo)y=[TH-2,

???P(m^m2—|m—2),

E(mf^m—2).

11

DE=2——m,EP=2m——mo2.

22

?「DP_Lx軸,，PDlly軸，

.,.△BDEs^BOC,

.-.BD:BO=BE:BC,

即BEBO=BCSBD、

???BE=亨(4一m),

???PF=yBF=|(4-m),

2m—|m2=|(4—m),

解得m=|HEm=4(舍).

.?.m=-.5

2

(3)/C(0,-2),F(l,0),

，直線CF的解析式為：y=2x-2,

當(dāng)x=|時(shí)y=2x|-2=3,

???點(diǎn)N是x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，

，當(dāng)y=3時(shí)，-|x-2=3解得x=-2或x=5.

當(dāng)N(-2,3)時(shí),FH=MN=p

??.H的坐標(biāo)為(_狗或管，0〉

當(dāng)N(5,3)時(shí)，F(xiàn)H=MN=|,

??.H的坐標(biāo)為(-m°)或%>)?

綜上，點(diǎn)H的坐標(biāo)為((后，0)或(芳，0)或(一起)或00).

1.(l)(l)y=—x2—2%+2

(2)最大值為"(-1用

(3)(-2,0)或(4,6)或(2,4)

解析:⑴將.A(-3,-l),B(0,2)代入y=-x2+bx+c,

得「9一二十廠T解得｛"3

，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-%2-2x+2.

⑵過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交AB于點(diǎn)M廁CMIIy軸，

.,.△CDMSAODB,

.CD_CM_CM

OD~OB~2'

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,

把A(-3,-l),B(O,2)代入解析式得

—3m+n=-L角星得嚴(yán)=L

(n=2,蝌守ln=2,

，直線AB的解析式為y=x+2,

r2

設(shè)C(t—t—2t+2)(—3<t<0),貝?。軲(t,t+2)z

CM=-t2-2t+2-t-2=-t2-3t=-(t+|)2+J

"OD~+21十8'

二當(dāng)1=—2時(shí)需的值最大，為看此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-|，芳).

⑶由中心對(duì)稱可知，拋物線F與F的公共點(diǎn)E為直線y=-l與拋物線F的右交點(diǎn)，

令—/_2*+2=—1,解得x=-3或x=l,/.E(l,-l),

■:拋物線F-.y=-x2-2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),

，拋物線F'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-5),

，拋物線F的對(duì)稱軸為直線x=3,

，點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為3.

由⑵知直線AB的解析式為:y=x+2,.?.設(shè)G(x,x+2),

當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，x+3=l,解得x=-2,

，G(-2,0);

當(dāng)BG為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),x=3+1=4,

.■.G(4,6);

當(dāng)BH為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，x+l=3,解得x=2,

.6(2,4).

綜上所述,G點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)或(4,6)或(2,4).

12.(l)y=—x2+4%+1

(2)存在;W)

(3)(-1,3)或(1,-2)或(3,4-遙)或(3,4+V6

解析：⑴??拋物線y=-x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(3,4),B(0,l),

-9+3b*c=4,解得6=:

c=1,c=1,

.,該拋物線的函數(shù)解析式為y=-x2+4x+l.

(2)；BCllx軸，且B(0,l),

.?點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1,

令—X2+4%+1=1,

解得舍去),

Xi=0(%2=4,

過(guò)點(diǎn)A作AQBC于Q,設(shè)直線CP交y軸于點(diǎn)M,如圖，

在RSACQ中,

?.A(3,4),「.Q(3,1),

v\xmZBCP=-tan^ACB,

6

1AQ1

.-,tan^CP=-x-=-x4—-1=-1,

.BC=4/CBM=90°,

BM???1

.-.-=tan^5CP=?

11

???BM=-BC=-x4=2,

22

|yx-l|=2,;.yu=3:或yw=-l,

.-.M1(0,3),M2(0,-l),

，直線CM】的解析式為y=-jx+3,直線CM?的解析式為y=|x-l,

1_1

由｛y=7x+3,解得*7(舍去)，

y=-X2+4%+1y=―,y2-1

r4

1__1

由｛y=「解得直一一，4二：，舍去)，

21

y=—x+4%+1y3=--,曠4

??,P】("，P2(一23

(3)y=—x2+4%+1=—(x—2)2+5,

二原拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5),

i?將該拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線：＞】,??.%=-%2+5,

聯(lián)立得1,解得::1,

y=+5,y—4,

設(shè)E(2,t),F(m,n),

當(dāng)BD,EF為對(duì)角線時(shí)，

1+0=2+772,

貝［J｛4+1=t+n,

(2-0)2+(t-l)2=(2-l)2+(t-4產(chǎn)

m=—1,

解得｛n=3,F(-l,3);

t=2,

當(dāng)BE,DF為對(duì)角線時(shí),

m+1=2+0,

貝(|｛n+4=t+l,

(2-I)2+(t-4)2=(0-l)2+(1-4)2,

解得C"=T=4,蹈:

t—1,

，F(xiàn)(1,4)(與點(diǎn)D重合，不符合題意，舍去)或F(l,-2);

當(dāng)BF,DE為對(duì)角線時(shí)，

m+0=1+2,m=3,

貝M71+1=1+4,解得｛叫通口=4+倔

(2-Op+(t-I)2=(1—0)2+(4-I)2,t=l+V6,

，F(xiàn)(3、4-遙)或F(3、4+V6).

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,3)或(1,-2)或((3,4-司(或(3-4+V6).

13.(l)y=—x2+4%;(0,4)

(2)①當(dāng)爪=泄，PD的長(zhǎng)度最大；最大值為一:

②存在;(3、3)或(2,4)

解析:Q)1?二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)0(0,0),A(4,0),B(l,3),

0=c,a=-1,

將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得｛0=16a+4b+c,解得｛b=4,'

3=a+b+c,c=0,

.?二次函數(shù)的解析式為y=-/+4x設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n,將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得解

k=-1,

n=4,

二直線AB的