2025年中考押題預測卷

數學?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.未來將是一個可以預見的旬時代.加一般指人工智能，它是研究、開發(fā)用于模擬、延伸和擴展人的智

能的理論、方法、技術及應用系統(tǒng)的一門新的技術科學.以下是四款常用的人工智能大模型的圖標，其中

是軸對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的概念.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的

圖形叫做軸對稱圖形.根據軸對稱圖形的定義求解即可.

【詳解】解：A.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

B.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.該圖形是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

2.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.任意畫一個三角形，其外角和是360。

B.打開電視，正在播放跳水比賽

C.經過有交通信號的路口時遇見綠燈

D.若a>b,貝|Joc>bc

【答案】A

【分析】本題考查了必然事件，掌握三角形的外角和定理、不等式的性質是解題的關鍵；

根據必然事件的定義逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、任意畫一個三角形，其外角和是360。，是必然事件，該選項符合題意；

B、打開電視，正在播放跳水比賽，是隨機事件，該選項不合題意；

C、經過有交通信號的路口時遇見綠燈，是隨機事件，該選項不合題意；

D、若a>萬，當c>0時，則ac>；當c<0,則ac<8c；當c=0,貝ac=,

該選項事件是隨機事件，不合題意；

故選：A.

3.樟卯是中國傳統(tǒng)建筑的一種結構方式，被譽為“中華民族千年非遺瑰寶”，通過樟和卯的精密配合，實現

了構造的穩(wěn)固性和可持續(xù)性，展現了人與自然的和諧關系.如下圖是其中一種卯，其俯視圖是（）

rvn

11

11

11

【答案】D

【分析】根據從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

本題主要考查了簡單組合體的三視圖，掌握組合體的三視圖是解題的關鍵.

【詳解】

解：從上面看，是一個矩形，矩形的中間有2條縱向的實線和2條縱向的虛線.2條實線在2條虛線之間,

11

11

故選：D.

4.人民日報等媒體2月28日消息，電影《哪吒之魔童鬧海2》票房已破140億，成為亞洲首部票房過百

億影片，帶動了相關文旅產業(yè)和衍生品市場發(fā)展，其中140億用科學記數法表示為（）

A.1.4xl09B.14.0xlO9C.1.4x10KlD.14,OxlO10

【答案】C

【分析】本題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axlO”的形式，其中14時<10,〃為整

數.確定，7的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，w的絕對值與小數點移動的位數相同.當

原數絕對值210時，〃是正整數；當原數的絕對值<1時，w是負整數.據此解答即可.

【詳解】解：1401.4x1O10,

故選：C.

5.下列運算正確的是()

A.3a+3a=9a2B.a3-a2=a5

C.a6-i-a2=a3D.(-2a2)3=-6a6

【答案】B

【分析】本題考查事的運算，根據合并同類項，同底數幕的乘除法，積的乘方和幕的乘方計算后判斷即可.

【詳解】解：A、3a+3a=6a,原式計算錯誤，不符合題意；

B、ai-a2=a5,原式計算正確，符合題意；

C、/十/=/,原式計算錯誤，不符合題意；

D、(-2°2)3=-846,原式計算錯誤，不符合題意；

故選：B.

6.將盛有部分水的小圓柱形水杯放入事先沒有水的大圓柱形水杯中，拿去接水時，讓水先進入大圓柱形水

杯，如圖所示，則小水杯水面的高度"(cm)與注水時間f(min)的函數圖象大致為圖中的()

【分析】本題主要考查函數的圖象.根據將一盛有部分水的圓柱形小玻璃杯放入事先沒有水的大圓柱形容

器內，現用一注水管沿大容器內壁勻速注水，即可求出小水杯內水面的高度々(cm)與注水時間f(min)的函

數圖象.

【詳解】解：將一盛有部分水的圓柱形小玻璃杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內，小玻璃杯內的水原來

的高度一定大于0,則可以判斷A、D一定錯誤，用一注水管沿大容器內壁勻速注水，水開始時不會流入小

玻璃杯，因而這段時間九不變，當大杯中的水面與小杯水平時，開始向小杯中流水，力隨/的增大而增大，

當水注滿小杯后，小杯內水面的高度場不再變化.

故選：B.

7.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,BC=12,以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB,AC于點

M,N.再分別以點N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點尸，作射線AP,交8C于點￡）,

若3￡>=；C￡>,則點。到AC的距離等于（）

A.8B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】本題考查尺規(guī)作圖，角平分線的性質，如圖，過點。作DE2AC于點E,由作圖過程可知AD平

分—B4C,根據角平分線的性質得=再根據=確定的長，即可得出結論.解題的關鍵

是掌握：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

【詳解】解：如圖，過點。作DE2AC于點E,

由作圖過程可知：AD平分44C,

VZB=90°,即

DB=DE,

,：BC=12,BD=-CD,

3

DE=DB=-BC=-xl2=3,

44

，點￡）到AC的距離等于3.

故選：C.

8.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜想，我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜

想的研究中取得了世界領先的成果.在質數2,5,7中，隨機選取兩個不同的數，其和是偶數的概率是（）

A.-B.-C.4D.-

4323

【答案】D

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，根據概率公式計算概率等知識點，利用列表法或樹狀圖法

列出所有等可能的結果是解題的關鍵.根據題意畫出樹狀圖，列出所有等可能的結果及所求的結果，然后

利用概率公式計算概率即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

由樹狀圖可知，共有6種等可能的結果，和是偶數的結果共有2種，

和是偶數的概率為弓2=；1,

63

故選：D.

9.如圖，AABC內接于。，連接。3,過點C作：。的切線，交的延長線于點NA=30。，CM=2』,

【答案】A

【分析】本題考查了切線的性質和圓周角定理、解直角三角形等知識點，連接OC,根據圓周角定理求出

ZBOC=2ZA=60°,證明△03C是等邊三角形，根據切線的性質求出NOC0=90。，解直角三角形求出OC

即可.

ZA=30°,

OC=OB,

???△O5C是等邊三角形,

???BC=OC,

???過點C作。的切線，交05的延長線于點

:.ZOCM=90°,

CM=26,

OC=CM=2癢6=2,

tan60°

故選：A

io.觀察規(guī)律一方=1-4，工二=4-■一。運用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過

1x222x3233x434

點月（〃,0）5=1、2、）作工軸的垂線，交丁=加（。＞0）的圖象于點4,交直線y=一依于點紇.則

111

-----1-------1----1------的值為()

22an

B.C.D.

〃(幾一1)

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數和二次函數與垂直于x軸直線交點坐標問題，以及由特殊到一般的歸納總結方

11

法.由月（〃⑼（〃=1、2、）可得：&匕=即2,BnPn=an,貝何得從紇二加十四，則可得

4紇a(n2+n)

11擊,進行計算即可.

再利用

n(n+l)n

【詳解】解：???過點月（〃叫（〃=1、2、）的垂線，交丫=加（。>0）的圖象于點4,交直線y=—冰于點為；

.?.令x=n,可得：4縱坐標為即2,B?縱坐標為-利,

2

\\P?=an,BnPn=an,

2

\AnBn=an+an.

n〃+l

1n

an+1

n

故選：D.

第n卷

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.《九章算術》中對正負數的概念注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”.如：糧庫把運進30噸糧食記

為“+3O”，則“-30”表示.

【答案】運出30噸糧食

【分析】本題考查正數和負數的意義，正數和負數是一組具有相反意義的量，據此即可求得答案.

【詳解】解：糧庫把運進30噸糧食記為“+30”，根據正數和負數是一組具有相反意義的量.

“-30”表示糧庫運出30噸糧食，

故答案為：糧庫運出30噸糧食.

12.已知點4（百,%）、3（%,%）是反比例函數》='擔（m-1）圖象上兩點.當0<%<々時，％<%，

X

則用的值可以是.（寫出一個即可）

【答案】-2（答案不唯一）

【分析】本題考查反比例函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數y=0）的性質：當人＞0

時，圖象在一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減?。划斏希?時，圖象在二、四象限，在每一象限

內，y隨x的增大而增大.

根據反比例函數的性質，可以得到關于”的不等式，從而可以求得相的取值范圍.

【詳解】解：...點A（和必）、3仁,％）是反比例函數y型（機彳-1）圖象上兩點，且。＜西＜々時，％＜%,

X

m+l＜0,

m＜-L

**?m的值可以是-2,

故答案為：-2（答案不唯一）.

13.方程彳工—-二0的解為—.

2x+l%

【答案】X=1

【分析】本題考查了解分式方程，方程兩邊同乘x（2x+l）,將分式方程化為整式方程求解即可.

31

【詳解】解：—^---=0,

2x+lx

方程兩邊同乘x（2x+l）,得3x-（2x+l）=0,

解得尤=1,

檢驗：當x=l時，x（2x+l）w。，

所以分式方程的解是X=l,

故答案為：X=l.

14.如圖，下左圖為《天工開物》記載的用于舂（ch6ng）搗谷物的工具—“碓（du?）”的結構簡圖，如

圖為其平面示意圖.已知于點48與水平線/相交于點。，OE，/.若3C=4dm,O8=12dm,

ZAOE=120°,則點C到水平線/的距離C/為dm.

天

工

<,聞

★物

【答案】6-273

【分析】本題主要考查了解三角形，熟練利用三角函數解三角形是解題的關鍵.

延長交/于點用連接CO,證明NBOH=30。，進而得到NSF=60。，再利用三角函數解Rt./OH和

RtCHF即可求得答案.

【詳解】解：如圖，延長BC交/于點”，連接C。，

VZAOE=120°,OELI,

：.ZBOH=120°-90°=30°,ZCHF=60°,

在RtBO"中，ABOH=30°,03=12dm,

，BH=OB-tan30°=12x]=4百(dm),

,/BC=4dm,

CH=BH-BC=4百-4(dm),

,/CFU,

：.在RtCHF中，NCHF=60°,

CF=C￡f-sin60°=（4A/3-4）-^=6-2A^.

故答案為：6-2省.

15.如圖，有一張長方形紙片ABCD,其中邊AB的長為2,將長方形沿對角線8。對折，折疊后得到二%D,

點C的對應點為E,BE與AD交于點、F,再將-ED尸沿。尸對折，使點E落在長方形紙片的內部點G處，

若BD平分ZADG,則AO的長為.

【答案】20+2

【分析】本題考查矩形的性質，折疊問題.由矩形的性質推出仞〃BC,ZC=90°,由平行線的性質推出

ZFDB=ZFBD,由折疊的性質得到=NDBC,ZE=ZC=90°,BE=BC,ED=DC=2,DG=DE,

NG=NE,判定推出/即G=90。，判定四邊形瓦GZ)是正方形，得到上￡?!)是等腰直角三角

形，求出FD=0￡L>=20，據此求解即可得到AO的長.

【詳解】解：：四邊形ABCO是矩形，

AAD//BC,ZC=90°,

二NFDB=NDBC,

由折疊的性質得到：ZFBD=ZDBC,Z￡=ZC=90°,BE=BC,ED=DC=2,DG=DE,NG=NE,

：.ZFDB=ZFBD,

FB=FD,

BO平分NADG,

ZBDG=ZFDB,

：.ZBDG=ZFBD,

：.GD//BF,

：.Z￡DG+ZE=180°,

，ZEDG=90°,

'：NG=NE=90°,

，四邊形是矩形，

,?ED=DG,

：.四邊形￡FG￡)是正方形，

.??々EED是等腰直角三角形，

FD=亞ED=2V2，

FB=FD=20，

■■BE=FB+EF=2-Jl+1.

?*-AD=BC=BE=2-j2+2.

故答案為：2企+2.

16.二次函數〉=渥+法+。(”0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(TO),對稱軸為直線x=2,下列結論：

(l)4a+6=0；(2)4a+c>力；⑶若點A(-2,yJ,點B&,%J,點c],%)在該函數圖象上，則X<%<%;

(4)若加力2,貝!]7九(。〃+，)<2(2。+》)，其中正確的結論的序號是.

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷C與0的關系，然后根據對稱

軸，拋物線與無軸交點情況，函數的增減性，特殊點的函數值等進行推理，進而對所求結論進行判斷.

【詳解】解：：稱軸為直線x=2,

;.-±=2,

2a

b=-4a,

4a+b=0,故⑴正確，

???二次函數>+云+。（。/0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線尤=2,

?,?當％=—2時，y—4a—2b+c<0,

4Q+CV2〃，故（2）錯誤，

?.?點A（-2,yj,點8、,%］，點。［，丫?］在該函數圖象上，對稱軸為直線x=2,圖象開口向下，離對稱軸

越遠，函數值越小

；?%<%<%,故（3）錯誤，

?..當尤=2時，》取得最大值，

???當x=mH2時，am2+bm+c<4a+2,b+c>

：.m（am+h）<2（2a+t>）,故（4）正確，

故答案為：（1）（4）.

【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題

意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答.

三、解答題（本大題共8個小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

5x-2<3（x+2）

17.（8分）解不等式組尤一32%，并寫出它的所有正整數解.

------<2------

I23

【答案】不等式組的解是xV3,不等式組的正整數解為1,2,3.

【分析】本題考查的是一元一次不等式組的整數解.分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、

同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再寫出整數解即可.

【詳解】解：解不等式5x-2<3（x+2）,得x<4；

解不等式三42-胃，得xV3.

原不等式組的解是xW3,

..?不等式組的正整數解為1,2,3.

18.（8分）如圖，AC//DF,AC=DF.下列三個條件：

?AE=DB；②BC=EF；③/C=NF.

請你從①②③中選一個條件，使△ABC之

（1）你添加的條件是（填序號）；

（2）添加條件后，請證明△ABCgZkOEF.

C

【分析】（1）由全等三角形的判定即可得到答案;

（2）由&4s或ASA即可證明△ABCgADEF.

【詳解】（1）解：添加的條件是①或③；

（2）證明：'JAC//DF,

先證明添加的條件①，

'：AE=DB,

：.AB^DE,

在△4BC和中,

AC=DF

Z4=乙D,

.AB=DE

：.AABC^ADEF（SAS）；

下面證明添加的條件③，

在△ABC和△￡）￡：產中，

2c=Z.F

AC=DF,

.ZX=4D

.?.△ABC名ADEF（ASA）.

【點評】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

19.（8分）2024年12月4日，中國“春節(jié)”申遺成功.中國春節(jié)文化源遠流長，全國各地衍生出紛繁多樣的

春節(jié)習俗.某校為了解學生對春節(jié)文化的了解情況，舉辦了春節(jié)文化知識競賽，現從該校七、八年級學生

中各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，共分為四組：

A.90<x<100,B.80<^<90,C.70Vx<80,D.x<70,得分在90分及以上為優(yōu)秀），下面給出了

部分信息：七年級20名學生的競賽成績是：

64,68,72,80,83,85,86,88,89,89,90,93,93,93,95,96,98,99,99,100.

八年級20名學生競賽成績在8組的數據是：84,85,86,87,87,89,89.

七、八年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表

年級平均數中位數眾數方差

七年級8889.5a10.3

八年級88b949.6

八年級抽取學生競賽成績扇形統(tǒng)計圖

根據以上信息，解答下列問題:

（1）上述圖表中的4=,b=,m=；

（2）根據以上數據分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的春節(jié)文化知識競賽成績更好？請說明理由；

（寫出一條理由即可）

（3）該校八年級有學生1820人，七年級有學生1800人，估計該校七、八年級學生中中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知

識為優(yōu)秀的學生人數總共有多少人？

【答案】（1）93,88,35

（2）見解析

（3）估計該校七、八年級學生中優(yōu)秀的學生人數總共有1628人

【分析】本題考查了平均數，中位數，眾數以及扇形統(tǒng)計圖的概念以及用樣本估計總體.熟練掌握平均數，

中位數，眾數以及扇形統(tǒng)計圖的概念以及用樣本估計總體是解題的關鍵.

（1）根據眾數，中位數，扇形圖統(tǒng)計圖的概念求解即可；

（2）根據平均數，方差的意義求解即可（答案不唯一）；

（3）用總人數乘以樣本中優(yōu)秀人數所占比例即可求解.

【詳解】（1）解：七年級20名學生的競賽成績中出現次數最多的是93,故。=93；

八年級20名學生競賽成績在B組（80W_r<90）的數據是：84,85,86,87,87,89,89共7個數據，八

年級A組（90WXW100）占40%,則A組人數為：20x40%=8人.剩余C組，。組共5人，中位數為第10位，

第11位的平均數，則第10位，第11位在B組內：萬=雙羅=88；

7

m0/o=—x100%=35%,則%=35；

20

故答案為：93,88,35.

（2）解：八年級成績更好.

由表中數據可知，七、八年級成績的平均數相等，而八年級的方差較小，所以八年級的成績更穩(wěn)定，成績

更好；

（3）解：1800x—+1820x40%=1628A,

20

計該校七、八年級學生中中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識為優(yōu)秀的學生人數總共有1628人.

20.（8分）如圖是由小正方形組成的8X4網格，每個小正方形的頂點叫做格點，AABC三個頂點均在格點

上，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過四條.

(1)在圖(1)中，先畫格點D,使得BDLAC干E；

(2)在(1)的基礎上，在射線BE上畫一點E,使得AF=AB；

(3)在圖⑵中，先畫點P,使點A繞點P逆時針旋轉90°得點C,連接BP交AC于G；

(4)在(3)的基礎上，將線段BC繞點G旋轉180°,畫出對應線段MN(點B與點M對應，點C與點N對應).

【分析】(1)利用全等三角形的判定和性質及垂直的定義即可得到結論；

(2)將AC向右平移4個單位交射線BE于點F,連接AF,貝!|AF=AB；

(3)作線段AC的垂直平分線得點P,連接BP交AC于G；

(4)將AC向右平移4個單位交射線BG于點M,過點M作MNIBC,交AC于點N,線段MN即為所求作的

線段.

【詳解】解：(1)(2)如圖(1)所示，(3)(4)如圖(2)所示.

21.(8分)如圖，在△ABC中，90°,點。是邊上一點，以為直徑的O。與邊AC交于點

E,連接BE,AB=BE.

(1)求證：BE是O。的切線；

1

⑵若tanzACB=各的直徑為4,求的長.

【分析】（1）連接。石，根據等腰三角形的性質得到NA=NAE8,ZC=ZOEC,求得NBEO=90°,根

據切線的判定定理即可得到結論；

（2）連接。E,根據圓周角定理得到NCE0=9O°,由（1）知，ZBEO=90°,根據相似三角形的性質

得到吧="，求得學=工，設5Z)=x,BE=2x,根據三角函數的定義即可得到結論.

BECEBE2

【解答】(1)證明：連接0E,

AZA=ZAEB,?：OE=OC,

：.ZC=ZOECf

VZABC=90°,

AZA+ZC=90°,

；?NAEB+NCEO=90°,

：.ZBEO=90°,

???OE是OO的半徑，

???8E是OO的切線；

(2)解：連接。E,

?「CD為。。的直徑，

：.ZCED^90°,

由(1)知，ZBEO=90°,

：.ZBED=ZCEO=ZCf

,:/B=/B,

.?.△BDES^BEC,

.BDDE

??—,

BECE

1

*.*tanZ-ACB=彳

.DE1

??—―,

CE2

.BD1

??—―,

BE2

設5￡)=x,BE=2x,

.\AB=2xf

在R5BC中，tan/aa=詼=^=

4

解得x=

4

故BD的長為

22.(10分)綜合與應用

為促進中學生全面發(fā)展，培養(yǎng)良好體質，某班同學在“大課間”開展“集體跳繩”運動.跳繩時，繩甩

到最高處時的形狀是拋物線y=ax1+bx+c的部分圖象.以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，

9

若搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時兩人手離地面均為一米；己知小麗身高1.575米，在距離搖繩者A

10

的水平距離1.5米處，繩子剛好經過她的頭頂.

【閱讀理解】

(1)求圖中拋物線的解析式；(不需要求自變量取值范圍)

【問題解決】

(2)體育龍老師身高1.82米，請問他適合參加本次運動嗎？說明理由；

(3)若多人進入跳繩區(qū)齊跳，且大家身高均為1.7米，要求相鄰兩人之間間距至少為0.6米，試計算最

多可供幾人齊跳.

【分析】(1)易得c=片，拋物線的對稱軸為直線x=3,那么-名=3；拋物線經過點(1.5,1.575),代

入拋物線解析式可得。和6的值，即可求得拋物線的解析式；

(2)根據拋物線解析式可得二次函數的最大值，與1.82米比較可得老師能否參加活動；

（3）取二次函數的y的值為1.7,求得對應的x的值，進而求得兩個x之間的間距，除以兩個人之間最

小的間距0.6,算出合適的人數即可.

9

【解答】解：（1）??,搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時兩人手離地面均為三:米,

10

??.拋物線的對稱軸為直線x=3.

9

由題意得：拋物線經過點（0,—（1.5,1.575）.

10

（9

\C=W

-_±-3

2a~5

（2.25a+1.5b+c=1.575

a=-0.1

解得：b=0.6.

c=0.9

圖中拋物線的解析式為：y=-0.1X2+0.6X+0.9；

(2)：-0.K0,

4-CLC—b^4x(-0.1)x0.9-0.62-0.72

二次函數有最大值一一=1.8.

4X(-O.l)—0.4

V1.8m<1.82m,

.,.他不適合參加本次運動;

(3)當y=1.7時.

-0.1?+0.6%+0.9=1.7.

O.lx2-0.6A+0.8=0.

x2-6x+8=0.

(x-2)(x-4)=0.

?*.xi=2,X2=4.

.*.4-2=2（米）.

?..相鄰兩人之間間距至少為0.6米，

1

間距個數為：24-0.6=3-.

最多可供4人齊跳.

答：最多可供4人齊跳.

23.（10分）如圖1,在等腰Rt^ABC中，N3AC=90°,點E在AC上（且不與點A、C重合），在△ABC

的外部作等腰RtaCED,使NCM=90°,連接AD分別以AB,為鄰邊作平行四邊形A3F。，連接

AF.

(1)求證：△AEF是等腰直角三角形；

(2)如圖2,將△(7￡￡)繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，連接AE,求證：V2A￡；

(3)如圖3,將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉，當平行四邊形為菱形，且△<?￡￡>在△ABC的下方

時，若48=4有，CE=4,求線段AE的長.

【分析】(1)依據AE=E/，ZDEC=ZAEF=90°,即可證明△AM是等腰直角三角形；

(2)連接E凡先證明△EGEgZXEDA,再證明是等腰直角三角形即可得出結論；

(3)當AD=AC=AB時，四邊形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH=26,在RtZ\AC”中，47=6企,

即可得到AE=AH+EH=Sy/2.

【詳解】(1)證明：..?四邊形ABFD是平行四邊形，

:.AB=DF.

在等腰RtZ\ABC中，NBAC=90°,點￡在AC上(且不與點A、C重合)，在△ABC的外部作等腰RtA

CED,使/CE￡>=90°,

"：AB=AC,

：.AC=DF.

,:DE=EC,

：.AE=EF.

...△AEF是等腰直角三角形；

(2)證明：連接EF,如圖2,

A

D

/G/\_\

------T

\---/7」一WEu

F-

圖2

V四邊形ABFD是平行四邊形，

：.AB//DF,

：.ZDGE=ZABC=45°,

AZEGF=180°-ZDGE=135°,EG=ED.

VZAZ)E=180°-ZEZ)C=180°-45°=135°,

JZEGF=/ADE.

???NDGC=NC,

：.DG=DC.

9：DF=AB=AC,

：.GF=AD.

在AEG尸和中，

EG=ED

Z-EGF=/-ADE,

GF=AD

AAEGF^AEDA(SAS),

：.EF=EA,ZGEF=AXED,

：.ZFEA=ZBED=90°,

???AAEF是等腰直角三角形，

：.AF=V2AE；

(3)解：當A0=AC=A3時，四邊形A8/。是菱形，

設AE交于"，依據AO=AC,ED=EC,可得AE垂直平分CD,

VCE=4,

在等腰直角△(?￡>￡中，EH=DH=CH=^CE=X4=2A/2,

在RtZXAC“中，AC=AB=A4^，

由勾股定理得A〃=y/AC2-CH2=J（4V5）2-（2>/2）2=6a,

:.AE=AH+EH=8位.

24.（12分）綜合與探究：

如圖1,拋物線y=a/+法+瀘x軸相交于40,0）,0）兩點，與y軸交于點C,連接8C,拋

物線頂點為點M.

（1）求拋物線解析式及點M的坐標；

（2）平移直線8c得直線

7

①如圖2,若直線過點跖交x軸于點。，在x軸上取點0）,連接EM,求/的度

數.

②把拋物線丫=。K2