2023^2024學(xué)年度高一第二學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整,

筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.

5.本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)第六章~第八章&4.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1,若集合M={X|2X-1>5}>N={xeN*|-1<X<5},貝.'"》衿()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】由題知，對(duì)集合〃，N進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)補(bǔ)集的概念求出品結(jié)合交集的運(yùn)算求出(條

【詳解】由題意知M={x|2x_1>5}={小〉3},N={xwN*\1</<5卜{1,2,3,4},

所以颯={小<3},(RM)nJV={1,2,3}.

故選：B.

2.計(jì)算cos43°cos13°+sin43°sin13°的值()

Aj_R④「Gn<7。

A.°B.---C.--D.COs57

222

【答案】C

【解析】

【分析】利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.

【詳解】cos43°cosl30+sin43°sinl3°=cos(43。-13o)=cos30°=—

'2

故選：c.

3.已知W=2,B在。上的投影為則a/=()

1122

A.-B.——C.一D.一一

3333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的幾何意義，即可求解.

【詳解】因?yàn)殁?2,3在￡上的投影為可得耳=§，所以=§忖=§*2=1

故選：C.

4.已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，/(X)=X3-3X2,則/(T)=()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，有/(-1)=-/。)，代入函數(shù)解析式求值即可.

【詳解】/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x3-3x2,

則/(—1)=—/(1)=—(1—3)=2.

故選：B.

3

5.如圖，V/'O'B'為水平放置的“08斜二測(cè)畫法的直觀圖，且0N'=—,。§'=4,則"08的周長(zhǎng)為

2

()

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【解析】

【分析】

由斜二測(cè)畫法的直觀圖與原圖的關(guān)系，運(yùn)算即可得解.

【詳解】由直觀圖可得，在AOZB中，OA=20'A'=3,OB=O'B'=4,且。

所以ABUYOH+OB?=5,

所以△048的周長(zhǎng)為3+4+5=12.

故選：D.

6.在中，AB=/j,AC=2,C=120°,則siM=（）

卜布RV21r577n3V21

14141414

【答案】B

【解析】

【分析】由已知利用余弦定理可求8C的值，根據(jù)正弦定理可求sin/的值.

【詳解】???/3=V7,ZC=2,C=120°，

22

，由余弦定理幺臺(tái)2=BC+AC-2BC-ACcosC^^5^+256-3=0,

解得：BC=\,或一3（舍去）,

BCsinCV2T

由正弦定理可得:sin/

AB—14

故選:B

7.如圖，在中，刀=4麗，尸為的中點(diǎn)，貝1」麗=（）

1--1--

B.——AB+-AC

4243

5—-1--

C.--AB+-ACD.--AB+-AC

8283

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用平面向量線性運(yùn)算及共線向量關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意知

而:麗+麗:萬(wàn)+;反=-;9萬(wàn)卜1在+;公-9=49+:公

故選：C.

8.如圖，在梯形/BCD中，ABLAD,AB!/DC,48=4,40=3,DC=\,以40所在直線為軸

將梯形旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體的體積為（）

A.16兀B.19兀

C21萬(wàn)D.24n

【答案】C

【解析】

【分析】易得旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓臺(tái)，結(jié)合圓臺(tái)體積公式計(jì)算即可得.

【詳解】易得旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓臺(tái)，

所以廠=；（5；+82+7^）〃=；*（兀+16兀+4兀）*3=21兀.

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z1=l+2i/2=2-i,則（）

A.Z］的共輾復(fù)數(shù)為—l+2iB.匕卜㈤

C.4+Z2為實(shí)數(shù)D.4-Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義可判斷A,根據(jù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式可判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)的加法以及乘法運(yùn)算即可

判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,a=l+2i,,=l—2i,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,Z]=l+2i/2=2—i,則㈤=逐,"|=若，故匕i|="|，故B正確,

對(duì)于C,4+Z2=3+i為虛數(shù)，故C錯(cuò)誤，

2

對(duì)于D,Z1-z2=（l+2i）（2-i）=2-i+4i-2i=4+3i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（4,3）,故為飛在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

在第一象限，故D正確，

故選:BD

10.在A4BC中，AB=s/3,AC=l,B=-,則A4BC的面積可以是（）

6

A.—B.1C.—D.—

234

【答案】AD

【解析】

【分析】由余弦定理求出BC,再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.

【詳解】解：???AB=G,ZC=1,8=H,

6

由余弦定理得AC2=AB2+BC?-2AB-BC-cosB，

BC2-3BC+2=0,

：.BC=1,或5c=2,

...由AABC的面積公式SMBC=1?48?BC?sinB得S.針=也或8A=立，

2萬(wàn)c4zvioc2

故選：AD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積公式的應(yīng)用，考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

JT

11.已知函數(shù)/（x）=3sin（ox+。）（①>0,|如<5）的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

71

A.函數(shù)的解析式/（x）=3sin（2x+§）

B.直線x=-口兀是函數(shù)〃x）圖象的一條對(duì)稱軸

12

3兀117T

C.7（x）在區(qū)間,——）上單調(diào)遞增

26

33兀71

D.不等式/(x)W］的解集為［——++kn\,k￡Z

【答案】ABD

【解析】

【分析】由圖象結(jié)合五點(diǎn)法求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,由圖知函數(shù)/（x）的最小正周期T=3x（2—2）=兀，所以。=&=2,

3612兀

TT7T

所以/(x)=3sin(2x+9),將點(diǎn)(二,3)代入,得3=3sin(-+°),

126

所以￡+0=3+2左兀（左￡Z）,解得0=^+2左兀（左€Z）,

又|如<5,所以°=色，所以/(x)=3sin(2x+f),故A正確;

NJ3

對(duì)于B,當(dāng)》=一［如時(shí)，f1111

3sin2x71+—=3sin2x兀=-3,故B正確；

12HT12J312

./3兀11兀、.C兀/10兀/、

對(duì)于C,當(dāng)x￡(—,---)時(shí)，2xH—G(----,4兀)，

2633

當(dāng)2x+g=F時(shí)，/（x）取得最小值-3,所以仆）在區(qū)間（當(dāng)，當(dāng)）上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤;

3226

3TT37717171

對(duì)于D,由得3sin(2x+^)〈彳,所以—一+2E<2X+^V2+2E,keZ,

636

3兀兀

角牟得-----Hku4x?-----1-kit,左eZ,故D正確.

412

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

log,x,x>0

'則/42f\\

12.已知函數(shù)=<

J)

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)早與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

log2x,x>0

'可得小?、.V21

【詳解】由函數(shù)y（x）=<=1°§2—=--

7

故答案為：8.

13.已知a〉L且2Q-6+2Q6-5=0,則6的最小值為.

2

【答案】2行—工##—工+2正

22

【解析】

【分析】由a+b=；（2a-1）+伍+1）-；利用基本不等式求最值可得答案.

【詳解】因?yàn)?a-b+2ab-5=0,所以（2a—1）伍+1）=4,

又a〉一,所以2a—1>0,6+1>0，

2

所以4+/,=1（2"1）+伍+1）—工之24（20_：9伍+1）_工=2血_!,

當(dāng)且僅當(dāng)g（2a—l）=b+l,即q=2*+l）=后_］時(shí),取等號(hào)，

所以a+6的最小值為2—.

2

故答案為：2yli—.

2

14.已知向量G,B,3滿足田=|力|=2,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有2+產(chǎn)<|a+x6|,則卜―司+卜—砸勺最

小值為.

［答案］生色##3指

33

【解析】

-4

【分析】利用數(shù)量積與模的關(guān)系結(jié)合二次不等式恒成立計(jì)算得展人=—-,再根據(jù)向量不等式計(jì)算即可.

3

【詳解】因?yàn)閍+<|a+x6|,所以卜+<伍+而2對(duì)任意的實(shí)數(shù)X恒成立，

「,-42；

即4x+2Q,bx---------ci,b20,

93

所以A=（2晨Bp_4x41_g_+<o，所以限B=—g.

所以E一司+k一可211_伍一=W-W=\lb2-2b-a+a2=~~，

當(dāng)且僅當(dāng)5與1反向時(shí)等號(hào)成立，即口-司+\c-b\的最小值為容.

故答案為：逑.

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

15.已知復(fù)數(shù)Z滿足2+亍=2,z2=-2i-

（1）求復(fù)數(shù)z；

（2）求復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.

【答案】（1）2=1—i

（2）復(fù)數(shù)的實(shí)部為-4，虛部為0.

【解析】

【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)2=o+bi,a,beR,由z+亍=2,z?=-2i列方程組可求出的值，即可求出復(fù)數(shù)

Z.

（2）由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求出z3即可得到的實(shí)部和虛部.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)復(fù)數(shù)2=a+Z?i,a,beR,則三=q—bi，由2+彳=2。=2,解得：a=1.

,[a2-b2=0

再由z?=（a+bi）=a2+/i2+2abi=/—〃+2abi=—2i,\,解得：6=T,故復(fù)數(shù)

[）[2ab=-2

z=1-1.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閦=l—i,z2=（l-i）2=l+i2-2i=-2i,z4=（-2i）2=4i2=-4,復(fù)數(shù)的實(shí)部為—4,虛部為0.

16.已知向量1=（2,4）3=（加,1）忑=（1,2）,且R—2到，口

（1）求加的值；

（2）求向量1—B與23—35的夾角的余弦值.

【答案】（1）m=3

力3而

10

【解析】

【分析】(1)運(yùn)用平面向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.

(2)運(yùn)用平面向量夾角公式計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?—2B=(2,4)—2(加,1)=(2—2加,2),(a-2b^Lc,

所以(a—2b)?c=2—2掰+2x2=0,解得〃？=3.

故加的值為3.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，S=(3,l),

所以/_3=（2,4）_（3,1）=（_1,3）,26—3萬(wàn)=2（3,1）_3（1,2）=（3,—4）,

所以3-6|=V10,|26-3c-3cj=3x（-1）+3x（-4）=-15,

m-B＞（2B-35）-153V10

所以cos（o-b,2b-3c）=

\a-b\\2b-3c\V10x510

故B與23-35的夾角的余弦值為-士40.

10

17.如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成，已知球的直徑是8cm,圓柱筒長(zhǎng)3cm.

(1)這種“浮球”的體積是多少cn??

(2)要在這樣1000個(gè)“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠0.02克，共需膠多少克？

【答案】⑴警城

(2)1760?？?/p>

【解析】

【分析】(1)利用球和圓柱體積公式即可求解得到結(jié)果;

(2)結(jié)合球的表面積和圓柱側(cè)面積公式可求得幾何體的表面積，進(jìn)而確定所需膠的質(zhì)量.

【小問(wèn)1詳解】

???該半球的直徑d=8cm,???“浮球”的圓柱筒直徑也是8cm,R=4cm,

44256

二.兩個(gè)半球的體積之和為嚷?；?兀X64=^-7131?,

又，（柱=兀??2%=兀xl6x3=4871cm3,

該“浮球”的體積是「=喂+%柱=譽(yù)4+48兀=里詈cm3.

【小問(wèn)2詳解】

上下兩個(gè)半球的表面積S球表=4兀&2=4兀xl6=6471cm2,

“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為S圓柱側(cè)=2兀及〃=2兀x4x3=24兀cn?,

...］個(gè)“浮球”的表面積為64兀+24兀=8871cm2，

...1000個(gè)“浮球”的表面積的和為1000x88兀=88000兀cm?,

,?,每平方厘米需要涂膠0.02克，.?.共需要膠的質(zhì)量為0.02x88000乃cm?=1760兀（克）.

18.在中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2二@=吧三吧且.

csinB+sinZ

（1）求角氏

（2）若AASC為銳角三角形，AC=2,2是線段/C的中點(diǎn)，求M的長(zhǎng)的取值范圍.

TC

【答案】（1）B=—

3

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再用余弦定理邊化角，即可求出角；

（2）由中線向量公式來(lái)計(jì)算中線長(zhǎng)，再利用邊化角得到中線與角的三角函數(shù)，再利用三角恒等變換，再結(jié)

合銳角三角形得到角的范圍，即可求出中線長(zhǎng)的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

b—asinC-sinA,b-ac-a

因?yàn)椤?-----------,由正弦定理得——=-----,

csm8+sin/cb+a

所以/+o?一〃=ac，

由余弦定理得cosB=."2+02"=￡=!，

2ac2ac2

jr

又Beg,五）,所以8=g；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閍?+/-/=ac，所以a?+/=a。+4.

—?1—>—>

因?yàn)椤ㄊ蔷€段ZC的中點(diǎn)，所以BD=e(B4+BC),

所以BD?=+=；(/+c?+ac)=1+,

a_b_c2_473

—sinA,=^-smC>

由正弦定理得sin/sin5sinC,n3，所以a=c

sm—33

3

二

所以ac=&sinZ?七"sinC='sinZsinA+-%nZ一sin/+——cosA

333I3322

▲M/+江建sin/8s//-&c°s2/+i^in2/』in2，」H

3333333I6J3

又445C為銳角三角形，所以1c2,解得丁</<1,所以m<2N-￡<羋,

2兀兀62066

即sin寰4-i31鼻則ace]|,4,所以RD?eg,3,

即BDejg,、回,則劭的長(zhǎng)的取值范圍是j亨，、回.

19.在RtZk/BC中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為仇。，已知出=cos8+cosC.

ab+c

（1）求角A；

（2）已知cw2"a=2G,P,0是邊ZC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P,。不重合），記/PBQ=9.

7T

①當(dāng)6=一時(shí)，設(shè)人心。的面積為S,求S的最小值；

6

②記NBPQ=a,NBQP=。.問(wèn):是否存在實(shí)常數(shù)。和左，對(duì)于所有滿足題意的鬼萬(wàn)，都有

5/2&+5也2/7+左=2衣05（&—0+三成立？若存在，求出。和左的值；若不存在，說(shuō)明理由.

7T

【答案】（1）A=j；

(2)①Smm=3(2—g);②存在，e=gk*.

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理與和角公式將等式化成sin(Z—B)=sin(C—4),由Z-8,C-4的范圍得到

71

A-B=C-A,利用內(nèi)角和即得/二§；

3

(2)①設(shè)/0C=x,利用正弦定理分別求出AP,3。，代入三角形面積公式，整理成S=7-----------,

V3+2sin2x

利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求得；

②假設(shè)等式成立，利用和差化積公式化簡(jiǎn)，代入。+a=?！弥?！l2(sin。—左)cos(a—/?)+左———=0

對(duì)于所有滿足題意的名力成立，聯(lián)立方程組計(jì)算即得.

【小問(wèn)1詳解】

,cos/cos5+cosCy—、…Eincos/cosB+cosC

由----二------------，和正弦定理可得，-----二------------，

ab+csim4sinB+sinC

即siih4cos3+siib4cosc=cos/sin5+cos/sinC,

移項(xiàng)得，sin4cosS-cos^sinS=cos^sinC-siiL4cosC，即sin(4—5)=sin(C—4),

7TTTjrjrTT

因?yàn)?<Z,84工則有/—Be,C-Ae,

2122」[22」

IT

故/—5=C—/,即2/=B+C,XA+B+C=TI,所以/=§；

【小問(wèn)2詳解】

①因?yàn)閏w26,所以8=巴，又A=*,a=2C,所以c=2,b=4.

23

jrJI

如圖，因/尸5。=。=—,設(shè)/。5。=羽則0-,