二次函數(shù)線段和周長最值問題

模型原理

1構(gòu)造二次函數(shù)求面積、線段最值

方法步驟：

①根據(jù)點(diǎn)在圖象上滿足函數(shù)解析式，設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)；

②根據(jù)寬高公式、兩點(diǎn)間距離公式等表示出三角形的面積、線段長度等；

③根據(jù)表示出的函數(shù)關(guān)系式和動點(diǎn)范圍求出最值.

2.依據(jù)幾何性質(zhì)求線段和差、周長最值

常用的幾何性質(zhì)：

①直角三角形斜邊大于直角邊；

②兩點(diǎn)之間線段最短；

③點(diǎn)到直線垂線段最短；

④三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

3.借助幾何變換進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化

4.借助相似三角形進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化

5.借助三角函數(shù)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化

真題精煉

1如圖，拋物線y=-1/+.+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A坐標(biāo)為((-1-0),點(diǎn)B坐

標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

⑵點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的垂線，

垂足為點(diǎn)E,請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請說明

理由.

2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=+6%+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,其中B(3,0),

C(0,-3).

(1)求該拋物線的表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDXAC于點(diǎn)D,求PD最大值及點(diǎn)P坐標(biāo).

3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+2過點(diǎn)(1,3),且交x軸于點(diǎn)4(-1，0),B兩點(diǎn)，交y軸

于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作1PD回于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于

點(diǎn)E,求△PDE周長的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn).4(-2,0)和點(diǎn)B(6,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C(0,6).點(diǎn)D為線段BC上的一動點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,求仆AOD周長的最小值;

5在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a*0)經(jīng)過點(diǎn)4(-1-0)和B(0,3),其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

⑴求拋物線的表達(dá)式.

(2)若直線尤=mn與x軸交于點(diǎn)N,在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)M,當(dāng)m取何值時，使得AN+MN有最大

值，并求出最大值.

6如圖拋物線過點(diǎn)0(0,0),E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，點(diǎn)C,D在拋物線上,

設(shè)B(t,0),當(dāng)tt=2=2時，BC=4.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少?

7如圖，拋物線y=ax2+bx+3(a豐0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0),

拋物線的對稱軸是直線：x=l.

備用圖

⑴直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)在對稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小.求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PA+PC的最小值；

⑶第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN回%軸，垂足為N,連接BC交MN于點(diǎn)Q.依題意補(bǔ)全圖

形，當(dāng)MQ+魚CQ的值最大時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

8如圖一所示,在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0)、B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C，頂

點(diǎn)為點(diǎn)D.在線段CB上方的拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE±B(PE^BCC于點(diǎn)E,作PF//AB交

BC于點(diǎn)F.

⑴求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式,

(2)當(dāng)4PEF的周長為最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和4PEF的周長.

9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(O,-1),B(4,l),直線AB交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P

是直線AB下方拋物線上的一個動點(diǎn).過點(diǎn)P作PD團(tuán)4B,垂足為D,.PE||x軸，交AB于點(diǎn)E.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

⑵當(dāng)APDE的周長取得最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和APDE周長的最大值.

10如圖，拋物線y=-12+6久+c與X軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=-|光+2過B、C

(2)求證LAOCLACB.

⑶點(diǎn)M(3,2)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過D作OE配軸交直線BC于E

，點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時，求PD+PM的最小值.

1.如圖，拋物線y=-#+版+c與z軸交于A,B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0).

⑴求此拋物線的函數(shù)解析式.

⑵點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的垂線，

垂足為點(diǎn)E,請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值,請說明

理由.

【答案】(l)y=—1/+打+2(2)2PD+PE的最大值為工，P點(diǎn)的坐標(biāo)為管，If)

【解析】【分析】

⑴直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；

(2)先求解C(0,2),及直線BC為y=-|x+2,設(shè)P(%，-|x2+亞+2),可得D(x--|%+2)再建立二次函數(shù)求

解即可；

【詳解】

⑴解:,??拋物線s=-1*2+.+與X軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,

0).y=—|(x+l)(x—3)=—|x2+|x+2;

(2)解:當(dāng)x=0時，y=-|^2+|x+2=2,.,.C(0,2),設(shè)直線BC為y=kz+2,.3k+2=0,解得：k=一|,.直線BC為

?y=—|x+2,設(shè)P(%，一|%2+gx+2),D(z，一|久+2),2PD+P￡,=2^—|z2+|x+2+|x—2^+

“-7+5%；當(dāng)X=-帚=爭寸,有最大值條1止匕時P(代)；

2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=,2+版+c與z軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)O,其中B(3,0),

C(0,-3).

⑴求該拋物線的表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDXAC于點(diǎn)D,求PD的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴丫=滓+[*-3

⑵PD的最大值為加時P(-2，-1)

【解析】⑴將點(diǎn)B(3,0),oe，TW%+H+"，

gx32+3b+c=0

'c=-3

解得｛二?

???拋物線的表達(dá)式為y=i%2i%-3,

,4+4

(2)???y=i%2+：%-3與x軸交于點(diǎn)A,B,

44

當(dāng)y=0時.—3=0,

解得：%!=-4,x2=3,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx-3,

-4k-3=0,

解得：ik=

4

?,?直線AC的解析式為y=—[%—3,

如圖所示，過點(diǎn)P作PE_Lx軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)Q,

設(shè)2(丐/+?_3)則(("*_3),

PQ=-3-(-t2+-t-3)=--t2-t,

“4\4474

angleAQE=anglePQD,Z-AEQ=Z-QDP=90°

angleOAC=angleQPD.

?.?OA=4,OC=3,

???AC=5,

7cnnPD4°4

???cosang/eQPD=而=cos/OAC=-=?

P。=：PQ/(一封—)=一#Y"+2￥+：

.?.當(dāng)t=-2時,PD取得最大值為=,

i^+it-3=ix(-2)2+lx(-2)-3=-j

3如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2過點(diǎn)(1,3),且交a軸于點(diǎn)A(-l,0),B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)

o.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD，BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于

點(diǎn)E,求小PDE周長的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴y=-*+|x+2.

(2)APDE周長的最大值為空上此時點(diǎn)P(2,3).

【解析】(1)把(1,3)、A(—L0)/fcAy=czx2+bx+得｛3=a+b+20=a—b+2,

_1

解得｛=7

b=2

???拋物線的表達(dá)式為y=-]/+弓》+2?

(2)如圖延長PE交x軸于F,

*.?PDXBC于點(diǎn)D,PE〃y軸，

ZDEP=ZBCO,ZPDE=ZCOB=90°,

ADPE^AOBC,

2DPE的周長_PE

△OBC的周長BC，

：.ADPB的周長=BC,AOBC周長，

當(dāng)PE最大時△PDE的周長最大，

???拋物線的表達(dá)式為：y=-|x2+|%+2,

.--B(4.0),C(0,2),

二直線BC的解析式為y=-|x+2,BC=VOC2+OB2=2逐,

P(nv—號7?12+|m+2)則E—+2^,

PE=--m2+-m+2—f—-m+2)=--m2+2m

22I2J2

=-|(m-2)2+2,

當(dāng)m=2時PE最大，最大值為2,此時P(2,3),

ABOO的周長為OC+OB+BC=6+2V5

...APDE周長的最大值為磊x(6+2V5)=匚受此時P(2,3)即APDE周長的最大值為qE此時點(diǎn)P(2,3).

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】二次函數(shù)與動點(diǎn)問題

4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(6,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C(o,6).點(diǎn)D為線段BC上的一動點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2攻口圖1,求4AOD周長的最小值；

【答案】(l)y=+2尤+6(2)12

【解析】(1)解:由題意可知.設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+2)(x-6),

將(0,6)代入上式得:6=a(0+2)(0-6).

1

a=——

2

所以拋物線的表達(dá)式為y=-ix2+2%+6;

(2)作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)E,連接BC、EB,

：B(6,0),C(0,6),ZBOO=90°,

.*.OB=OC=6.

；O、B關(guān)于直線BO對稱，

..四邊形OBEC為正方形，

；.E(6,6),連接AE,交BC于點(diǎn)D面對IDE|=|DO\,AE=y/AB2+BE2=V82+62=10

此時|DO|+|DA|有最小值為AE的長，

AAOD的周長為DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值為10,

...△AOD的周長的最小值為10+2=12;

5在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0)和B(0,3),其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為L

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)若直線m=m與m軸交于點(diǎn)N，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)M,當(dāng)m取何值時，使得AN-MN有最大值，

并求出最大值.

【答案】(l)y=—%2+2%+8

⑵彳

【解析】(1)...拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,

???拋物線的對稱軸為直線z=L、

?，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),

拋物線與a軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).

將(-1,0),(3,0),(0,3)代入y=ax2+bx+c

a—b+c=0a=—1

得｛9a+3b+c=0得｛b=2,

c=3c=3

，拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2%+3;

(2),.?直線x=m與x軸交于點(diǎn)N,在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)M,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為((加一血2+2m+3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,0),

???MN=-m2+2m+3,AN=m+1

??.AN+MN=m+1+(—m2+2m+3)=—m2+3m+4=—(m—|)+1

-—1<0,且0<m<3r

.?.當(dāng)m=田寸,AN+MN有最大值，最大值為Y

6如圖，拋物線過點(diǎn)0(0,0),E(10,0)矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，點(diǎn)C,D在拋物線上,

設(shè)B(t,0),當(dāng)t=2時,BC=4.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵當(dāng)t為何值時，知形ABCD的周長有最大值?最大值是多少?

【答案】⑴y-32Tx⑵當(dāng)t=l時，矩形ABOD的周長有最大值，最大值為-42【解析】【分析】

4Z

⑴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=az(x-10)(a^0),求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)

表達(dá)式；

⑵由拋物線的對稱性得AE=OB=t,則AB=102再得出BC=-［產(chǎn)+|t,根據(jù)矩形的周長公式，列出矩形周長的

表達(dá)式，并將其化為頂點(diǎn)式，即可求解；

⑶連接AC,BD相交于點(diǎn)P,連接OC,取OC的中點(diǎn)Q,連接PQ,根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形

OCHG是平行四邊形，則PQ=CH,PQ=巳04求出t=2時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,0),則C”==4,即可得出結(jié)論.

[詳解】(1)解:設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax(x-10)(a^0).V當(dāng)t=2時,BC=4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-4).將點(diǎn)C坐標(biāo)

代入表達(dá)式彳導(dǎo)2a(2-10)=-4.解得?=i拋物線的函數(shù)表達(dá)式為丫=；/_|久，

44Z

⑵解:由拋物線的對稱性得:AE=OB=t,；.AB=10-2t.當(dāng)x=t時.

BC=—%2+1匕.?.矩形ABCD的周長為：2(48+BC)=2[(10-2t)+(-;t2+|t)]=-|t2+t+20=

-i(t-l)2+y-v-|<0,當(dāng)t=l時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為2、

7如圖，拋物線y=a/+bx+3(a力0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0),拋

物線的對稱軸是直線x=L

lo\'\V/TTV

備用用

⑴直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；⑵在對稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小.求點(diǎn)P的坐標(biāo)和

PA+PC的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN±x軸，垂足為N,連接BC交MN

于點(diǎn)Q.依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)MQ+V2CQ的值最大時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)(3,0)

⑵點(diǎn)P(l,2),PA+PC的最小值為3V2

【解析】⑴解：?點(diǎn)A(-l,0)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,對稱軸為直線x=l,

...點(diǎn)B為(3,0);

⑵當(dāng)x=0時,y=3,；.C(0,3),連接BO,

VB(3,0),

BC=V32+32=3Vx

V點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

PA+PC=PB+PO>BC,

???當(dāng)P,B,C三點(diǎn)共線時，PA+PC的值最小，為BC的長,

設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+n,

則￡：=(>,

解得｛n=3/c=-1,

y=-x+3,

???點(diǎn)p在拋物線的對稱軸上，

，P(1,2);

.?.點(diǎn)P(1,2),PA+PC的最小值為3V2

⑶過點(diǎn)M作MNLz軸,垂足為N,連接BC交MN于點(diǎn)Q,如圖所示,

VA(-1,O),B(3,O),

設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+l)(x-3),

VC(0,3),

:3=-3a,

'a=-l,

???y=—(x+1)(%—3)=—%2+2%+3,

2

設(shè)M(m1—m+2m+3),

則:N(m,O),

由(2)知直線BC:y=-x+3,

Q(m,?m+3).

MQ=-m2+2m+3+TH—3=—m2+3m,

VC(0,3),B(3,0).

OO=OB=3,BN=3-m,

.\ZOBC=ZOCB=45O,

???ZNQB=ZOBC=45°,

???BQ=V2BN=V2(3一m),

???CQ=BC—BQ=3A/2—3V2+V2m=V2m,

MQ+y/2CQ=—m2+3m+V2?y/2m

=—m2+5m=—(m—+彳,

67'

當(dāng)巾=泡,MQ+V2CQ有最大值，止匕時M—)—

,24.

8如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,O)、B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為

點(diǎn)D在線段CB上方的拋物線上有一動點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PB1BC于點(diǎn)E，作PF〃AB交

ffl-備用圖

⑴求拋物線和直線B0的函數(shù)表達(dá)式.

(2)當(dāng)4PEF的周長為最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和4PEF的周長.

【答案】(1)拋物線函數(shù)表達(dá)式為y=-%2+2%+3直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，?),△

PEF的周長為式虎+1)

【解析】(1解將點(diǎn)A(-1,O),B(3,O)代入y=ax2+2x+c得：｛；*含解得｛a=-1c=3,所以拋物線解析式為

y=-%2+2x+3,C(0,3)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=fcx+b,將B(3,0),C(0,3)代入得｛°；3kl匕解得

｛fc=-lb=3,所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3⑵與拋物線相切時的解析式為y=-x+p,與拋物線聯(lián)立得：

｛32j：Pj_2整理得%2-3%+p-3=0A=32-4(p-3)=0,解得p=?，將p=?代入x2-3x+p-3

y——x十LX十344

=0,解得X=|,將X=|代入y=-x2+2x+3得y=今即△PEF的周長為最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(|,手將%=找入

y=-x+3得y=|,則此時PF=^-l=泅為△PEF為等腰直角三角形，PE=FE=：X/=等則△PEF的周長最

9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yy=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,-l),B(4,l)直線AB交z軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P

是直線AB下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDXAB,垂足為D,PE//X軸，交AB于點(diǎn)E.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

⑵當(dāng)^PDE的周長取得最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和仆PDE周長的最大值.

【答案】(l)y=x2-1x-1.

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-4),△PDE周長的最大值為8+警.

【解析】⑴：拋物線y=/+"+c經(jīng)過點(diǎn)A(O,-1),B(4,l),

fc--l

116+3+c=l'

解得(b=一gc=-1,

y=2--7x—1,

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=/_六_i.

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=krx+blf

/瓦--i

I他+a=r

解得的=/=一1,

11

?1?y=-x-l,

令y=0,|x-l=0,x=2,

???C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

.,.OC=2,

又：OA=1,

八八AOA1

td.nZ.OOA=—=—.

OC2

7PE//X軸，

???ZPED=ZOCA.

1

???tanZ-PED=-

2，

過點(diǎn)P作PH//t/軸交直線AB于點(diǎn)H,

APEXPH,

VPD1AB,

PD_PH_1

DE-PE-2’

APE=2PH,DE=2PD,

：.PE=V5PD,

ACAPDE=PD+DE+PE

=PD+2PD+遮PD

=（3+V5）PD

=^fl-PE

Vs

=（1+言）PE=（2+W）PH

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為其中0<m<4,

則H點(diǎn)坐標(biāo)為

???PH=|m—1—（m2—1m—1^

27

m+-m+

2

=—m2+4m

=—(m-2)2+4,

???當(dāng)m=2時PH取得最大值為4,

VPH越大,△PDE的周長越大，

當(dāng)PH=4時,APDE周長的最大值為8+鵬，

此時P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4).

2