二級(jí)結(jié)論1:拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

【結(jié)論闡述】

不妨設(shè)拋物線方程為/=21（？>0）,如圖1,準(zhǔn)線x=<與x軸相交于點(diǎn)尸，過焦點(diǎn)

尸go］的直線/與拋物線相交于/（5）,3優(yōu),力）兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，。為相與對(duì)稱軸正

向所成的角，則有如下的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：

|AB\=J1+人［X］七|,|/同=/1+,\y}-y^\,\AB\=xx+x2+p,\AB\=-^―.

【應(yīng)用場(chǎng)景】運(yùn)用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可以很方便的計(jì)算拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng).

【典例指引1】

（2022年高考全國乙卷理5）

1.設(shè)/為拋物線C:必=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)/在C上，點(diǎn)8（3,0）,若卜尸|=|昉則|/理=（）

A.2B.272C.3D.3亞

【反思】

I.客觀題中的拋物線一般考查拋物線定義、幾何性質(zhì)及運(yùn)算能力，特別是求解有關(guān)線段長(zhǎng)

度時(shí)要注意定義、方程思想及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.

2.設(shè)48是過拋物線V=2/zx（2>0）焦點(diǎn)尸的弦，若N（xi,yd,B（如/），貝！I

①x/X2=］，yiyi——p~■

zl

②叫=%+修明=制+制+0=黑（a為弦的傾斜角）.

【典例指引21

（2022年高考甲卷20）

2.設(shè)拋物線C:必=2"（°>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。（〃0）,過少的直線交C于跖N兩點(diǎn).當(dāng)

直線垂直于x軸時(shí)，加刊=3.

（1）求C的方程；

⑵設(shè)直線〃2與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4B,記直線九的傾斜角分別為生尸.當(dāng)

a-B取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

【反思】本題第（1）問也是送分題，難度甚至小于選擇題的前3題，難題爭(zhēng)取得部分分應(yīng)

成為每位考生的追求，解析幾何解答題一個(gè)突出特點(diǎn)是運(yùn)算量比較大，相等一部分學(xué)生會(huì)因

試卷第1頁，共8頁

運(yùn)算不過關(guān)出錯(cuò)，或嫌麻煩，直接放棄，其實(shí)解析幾何解答題第（1）問一般為求圓錐曲線

方程，難度比較小，不要放棄，第（2）問題的思路還是比較容易想到的，平時(shí)多做幾道類

似的題，總結(jié)運(yùn)算規(guī)律，爭(zhēng)取做到題不二錯(cuò)，這部分分通過努力還是能夠得到的.

【針對(duì)訓(xùn)練】

3.設(shè)/為拋物線C:/=6x的焦點(diǎn)，過尸且傾斜角為60。的直線交C于4,8兩點(diǎn)，則|/刈=

（）

A.B.8C.12D.7百

3

4.拋物線/=4x的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)是根和〃的兩部分，則比與力的關(guān)系是（）

A.m-\~n=mnB.m+n—4C.mn=4D.無法確定

（2022?山西太原?二模）

5.過拋物線f=8y焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于N兩點(diǎn)，^MF=XFN^\MN\=9,貝!|彳的

值為（）

A.—B.YC.:或3D.；或2

3232

6.已知拋物線C：必=人的焦點(diǎn)為廠，準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn)為/,“是拋物線。上的點(diǎn).

若MFLx軸，則以4尸為直徑的圓截直線所得的弦長(zhǎng)為（）

5

A.2B.JiC.1D.—

2

（2022?江蘇?高二）

7.已知產(chǎn)為拋物線C:/=6x的焦點(diǎn)，過廠作兩條互相垂直的直線4,4,直線4與C交于

/、8兩點(diǎn)，直線4與C交于。、￡兩點(diǎn)，則|/切+|。號(hào)的最小值為（）

A.24B.22C.20D.16

（2022全國?高二月考）

8.已知拋物線C:/=2px（0>O）,過拋物線焦點(diǎn)廠的直線與拋物線C交于48兩點(diǎn)，交

拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)P,若尸為尸3中點(diǎn)，且|/尸|=乎，則|48|=（）

A.迪B?迪「4A/3

X-/(-----D.哈

333

（2022遼寧?高二月考）

試卷第2頁，共8頁

9.已知拋物線方程為V=2"（夕>0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于

A,8兩點(diǎn),A,5的縱坐標(biāo)之積為一8,且|力尸|=3忸司，則△045的面積是（）

A.4五B-C.巫D.也

（2022年新高考I卷11,多選題）

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)41,1）在拋物線C:f=2抄5>0）上，過點(diǎn)3（0,-1）的直線交C

于尸，。兩點(diǎn)，貝U（）

A.C的準(zhǔn)線為了=-1B.直線與C相切

C.|OP|-|（?2|>|（9^|2D.\BP\-\BQ\>\BA^

二級(jí)結(jié)論2：拋物線中的三類直線與圓相切問題

【結(jié)論闡述】

不妨設(shè)拋物線方程為V=2px（p>0）,如圖1,準(zhǔn)線x=-］與x軸相交于點(diǎn)P,過焦點(diǎn)

尸］多0）的直線/與拋物線相交于工（%,%）,BE%）兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，。為與對(duì)稱軸正

向所成的角，的中點(diǎn)為C,又作垂足分別為4,與，G，則有如

下結(jié)論（圖2）：

試卷第3頁，共8頁

圖1圖2圖3

①以N2為直徑的圓M與準(zhǔn)線相切；

②以4F為直徑的圓C與了軸相切；

③以B尸為直徑的圓。與V軸相切；

④分別以/星/尸,2尸為直徑的圓之間的關(guān)系：圓C與圓。外切；圓c與圓。既與＞軸相切,

又與圓M相內(nèi)切.

結(jié)合圓的幾何性質(zhì)易得有關(guān)直線垂直關(guān)系的結(jié)論，如圖3有，

①以NB為直徑的圓的圓心在準(zhǔn)線上的射影與4,8兩點(diǎn)的連線互相垂直，即

②以/尸為直徑的圓的圓心在V軸上的射影G與/，尸兩點(diǎn)的連線互相垂直，即QA1CF；

③以即為直徑的圓的圓心在V軸上的射影2與2,尸兩點(diǎn)的連線互相垂直，即12廠；

④以4月為直徑的圓必過原點(diǎn)，即吊尸工呂尸；

⑤)M[F~l~AB.

【應(yīng)用場(chǎng)景】

運(yùn)用焦點(diǎn)弦與圓有關(guān)的結(jié)論可以很方便的解決直線、圓、拋物線有關(guān)綜合題，解題中要注意

拋物線的定義、幾何性質(zhì)以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

【典例指引1】

11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸(1,0),直線=動(dòng)直線/'垂直于/于點(diǎn)〃，線段族

的垂直平分線交/'于點(diǎn)P,設(shè)尸的軌跡為C.

⑴求曲線。的方程；

試卷第4頁，共8頁

(2)以曲線C上的點(diǎn)。(尤。,%)(%>0)為切點(diǎn)作曲線C的切線4,設(shè)4分別與X,歹軸交于A,

B兩點(diǎn)，且4恰與以定點(diǎn)M(4,0)為圓心的圓相切.當(dāng)圓M的面積最小時(shí)，求AABF與V

面積的比.

【反思】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的幾何性質(zhì)，以及直線和圓，直線和拋物線

的位置關(guān)系的相關(guān)問題，當(dāng)題設(shè)涉及直線，圓，圓錐曲線時(shí)，一般是直線與圓錐曲線相交于

兩點(diǎn)，需聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，而直線與圓經(jīng)常利用圓的幾何性質(zhì)，得到一些常

量，這些不變的量和圓錐曲線建立聯(lián)系，從而進(jìn)一步求解.

【典例指引21

12.已知拋物線C:/=4y的準(zhǔn)線為/,記/與y軸交于點(diǎn)過點(diǎn)M作直線/'與C相切，

切點(diǎn)為N,則以九W為直徑的圓的方程為()

A.(x+l)2+「=4或(x-l)2+廿=4

B.(x+l)2+/=16^(x-l)2+y2=16

C.(%+1)2+/=2^(X-1)2+/=2

D.(無+以+_/=8或(XT)?+_/=8

【針對(duì)訓(xùn)練】

一、單選題：

13.阿基米德(公元前287年—212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不

僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).拋物線上任意兩點(diǎn)48處的切線交于

點(diǎn)尸，稱△尸為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段N3經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)尸時(shí)，△尸具有以下特

征：(1)9點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；(2)△尸/B為直角三角形，且(3)PFLAB.

若經(jīng)過拋物線/=4x焦點(diǎn)的一條弦為N5,阿基米德三角形為△P/5,且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,

則直線N2的方程為()

A.x-2y-l=0B.2x+y-2=0

C.x+2y-l=0D.2x-y-2=0

14.拋物線/=20xO>0)的焦點(diǎn)為尸，48是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)尸的弦，M是線段48的中

點(diǎn)，經(jīng)過A,B,M作拋物線的準(zhǔn)線/的垂線ZC,BD,MN,垂足分別是C,D,N,

其中交拋物線于點(diǎn)。.下列說法不正確的是

試卷第5頁，共8頁

A.\MN\=^\AB\B.FN1AB

C.O是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)D.ZQFM=ZQMF

15.設(shè)拋物線C:必=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)初在C±,\MF\=5,若以MF為直徑

的圓過點(diǎn)（0,2）,則C的方程為

A.=4x或y1=8x

B.r=2尤或y2=8x

C.y2=4x或y1=16x

D.丁=2為或y2=16x

（2022?安徽宣城中學(xué)高二月考）

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y=2px（P>0）的焦點(diǎn)為尸，直線尸3與拋物線C

交于48兩點(diǎn)，INF|=4,圓￡為的外接圓，直線（W與圓￡切于點(diǎn)點(diǎn)N在圓

E上，則兩.麗的取值范圍是（）

A.假,9B.[-3,21]C.||,21D.[3,27]

17.拋物線=2/3>0）的焦點(diǎn)為廠，準(zhǔn)線為/,A,8是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

2乃\MN\

ZAFB=^,設(shè)線段的中點(diǎn)M在/上的投影為N,則上V的最大值是（）

3\AB\

A.—B.—C.—D.V3

432

（2022陜西西安八十五中高三月考）

18.已知拋物線G：f=20了（。>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為!，點(diǎn)。（尤0,%）在拋物線G上，

點(diǎn)48在圓:/一4],+3=0上，直線r>4DS分別與圓G僅有1個(gè)交點(diǎn)，且與拋物線G

的另一個(gè)交點(diǎn)分別為尸,。，若直線尸。的傾斜角為120。，則x°=（）

A.±—B.一百或3C.-立或?yàn)镈.±73

333

（2022-內(nèi)蒙古?赤峰二中高二月考）

19.拋物線必=28（p>0）的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,A,8是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

試卷第6頁，共8頁

/.=5兀，設(shè)線段■的中點(diǎn)'在,上的投影為N,則\喜MN的\最大值是

A.1B.V/?--------D.2

3

二、多選題

20.拋物線C：/=2內(nèi)的焦點(diǎn)為凡P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到(⑷時(shí)，忸尸|=2,直線

/與拋物線相交于4,2兩點(diǎn)，點(diǎn)下列結(jié)論正確的是()

A.拋物線的方程為

B.|四|+|「尸|的最小值為6

C.當(dāng)直線/過焦點(diǎn)尸時(shí)，以/尸為直徑的圓與x軸相切

D.若過/,3的拋物線的兩條切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)T,則/,8兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和最小值為2

【反思】拋物線的切線問題，常常要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義來求出切線方程,

結(jié)合題干中其他條件進(jìn)行求解.

三、解答題

(2022?浙江?高三開學(xué)考試)

21.拋物線C:f=2抄(0>0)的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為為C上的一點(diǎn)，已知以尸為圓心，F(xiàn)A

為半徑的圓廠交/于5,D兩點(diǎn),

(1)若NBFD=90°,4BD的面積為4形，求P的值及圓尸的方程

(2)若直線>=履+6與拋物線C交于尸，。兩點(diǎn)，且OP，O。，準(zhǔn)線/與〉軸交于點(diǎn)S,點(diǎn)S

關(guān)于直線尸。的對(duì)稱點(diǎn)為T,求I廠門的取值范圍.

試卷第7頁，共8頁

【反思】圓錐曲線相關(guān)的取值范圍問題，一般思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到

兩根之和，兩根之積，由題干條件列出方程，求出變量之間的關(guān)系，再表達(dá)出弦長(zhǎng)或面積等,

結(jié)合基本不等式，導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性等求出最值或取值范圍.

(2022?浙江寧波?高三期末)

22.已知點(diǎn)尸(1,0)為拋物線V=2.(p>0)的焦點(diǎn)，設(shè)/(再,必)，鞏/，%)是拋物線上兩個(gè)

不同的動(dòng)點(diǎn)，存在動(dòng)點(diǎn)尸(%,%,)(/<())使得直線為，尸3分別交拋物線的另一點(diǎn)M,N,且

?>\PM\=\MA\,3|PAf|=|A?|.

(1)求拋物線的方程；

(2)求證：%+%=2%；

⑶當(dāng)點(diǎn)尸在曲線始=T2x(-2WxW-l)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AP/B面積的取值范圍.

【反思】拋物線的綜合題目，往往會(huì)設(shè)出拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用條件得到方程組，再把

兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)看成一個(gè)方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，這也是與橢圓和雙曲線不同

的地方.

試卷第8頁，共8頁

《專題12解析幾何3》參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)

A坐標(biāo)，即可得到答案.

【詳解】由題意得，尸（L0）,^\AF\=^F\=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-l的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，

所以卜^（3-1）2+（0-2）2=272.

故選：B

2.(1)/=4x；

(2)AB:x=^2y+4.

【分析】（1）由拋物線的定義可得|〃科=?+5，即可得解；

（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線MV：x=￥y+l,由韋達(dá)定理及斜率公式可得G=2《B，再

由差角的正切公式及基本不等式可得=孝，設(shè)直線=+",結(jié)合韋達(dá)定理可解.

【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為x=當(dāng)MD與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p,

此時(shí)|MF|=p+1-3,所以。=2,

所以拋物線。的方程為/=4x；

（2）［方法一］:【最優(yōu)解】直線方程橫截式

設(shè)直線AGV:x=my+1,

x=my+1

由可得J之一4y-4=0,△〉0，%為=-4，

y2=4xm

乂-％=4七8=%一”_4

由斜率公式可得L

必+%，AByt_y±%+乂，

4444

答案第1頁，共18頁

直線MD:x=五二2?>+2,代入拋物線方程可得/-4（'-2）.>一8=0,

必必

△>0,%力=-8,所以%=2%,同理可得以=2%，

所以如二±;元勺

又因?yàn)橹本€MN、的傾斜角分別為%/7,所以心B=tan￡=g^=等,

若要使〃最大，則尸e0,1,設(shè)勺W=2幻B=24>0,則

/八\tana-tan6k116

tana-B=-----------=-----=------：

72

1+tan6ztan/?1+2A:197

r乙K

k

當(dāng)且僅當(dāng)J=2左即左=①時(shí)，等號(hào)成立，

k2

所以當(dāng)a-￡最大時(shí)，kAB=,設(shè)直線48:x=收了+〃，

代入拋物線方程可得/_4血了-4〃=0,

△＞。,%乂=-477=4必%=-16,所以"=4,

所以直線AB:x=42y+4.

［方法二］:直線方程點(diǎn)斜式

由題可知，直線的斜率存在.

設(shè)"'（為,弘）川（工2，%）,/（X3，%）,3（%4,了4）,直線“^：了=人（》-1）

由匕=?！?）得：心2一（2/+4卜+尸=o,中，=1,同理，必力=一4.

［y=4x'7

直線地>：y=』7（x-2）,代入拋物線方程可得：再退=4,同理，X2X4=4.

X］—2

代入拋物線方程可得:%力=-8,所以%=2%,同理可得%=2%，

k=2-%=2（%-%）=%一必=

由斜率公式可得：ABX-X（1n2（X-）2MN-

43［尤2xj2X1

（下同方法一）若要使a-〃最大，則?

答案第2頁，共18頁

tan(f)=tan"an￡=__L_=，_<1_￡

設(shè)G=2G=2左>0,則snyP)1+tanatan^l+2^21,J^774

7十2J--2/C

k\k

當(dāng)且僅當(dāng)：=2后即上=正時(shí)，等號(hào)成立，

k2

所以當(dāng)a-〃最大時(shí)，kAB=,設(shè)直線48:x=0了+〃，

代入拋物線方程可得_/_4逝〉-4〃=0,A>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以〃=4,所以

直線AB:x=V2v+4.

［方法三］:三點(diǎn)共線

設(shè)尸&0）,若P、M、N三點(diǎn)共線，由兩=.7,“，麗=號(hào)一,為

所以一卜=1號(hào)一,化簡(jiǎn)得％為=一4,

反之，若,可得AGV過定點(diǎn)?,0）

因此，由朋;N、尸三點(diǎn)共線，得外力=-4,

由D、/三點(diǎn)共線，得乂為=-8,

由MD、3三點(diǎn)共線，得為為=-8,

則%為=4乂%=-16,過定點(diǎn)（4,0）

（下同方法一）若要使a-尸最大，則

tan（0一/?）=tana-tan-=k=1<1=也

設(shè)鐮,=2%=2上>0,則‘°）1+tanatan^\+2k21+Il4，

k2VI

當(dāng)且僅當(dāng)!=2左即左=交時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)最大時(shí)，心=?，所以直線/8：x=0y+4.

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線48

的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該

題的最優(yōu)解，也是通性通法；

答案第3頁，共18頁

法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；

法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也

不失為一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法.

3.B

【分析】由題意得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過焦點(diǎn)

的弦長(zhǎng)公式可得出答案.

【詳解】依題意可知拋物線C：/=6x焦點(diǎn)為1|,o],直線的方程為y=6￡|,

代入拋物線方程得4X2-20X+9=0,可得5+4=5,

根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長(zhǎng)為盯+^+XB+j=5+3=8.

故選：B.

4.A

【分析】根據(jù)拋物線的定義可得焦點(diǎn)弦M尸|=%+1，\BF\=X2+\,聯(lián)立過焦點(diǎn)的直線方程

和拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】拋物線的焦點(diǎn)廠。，0）,準(zhǔn)線x=—1,

設(shè)-V=左（尤—1），把它代入y2=4尤得左寸-2化2+2卜+左2=0,

設(shè)4（再,必）,B（x2,y2）,則玉工2=1,由拋物線定義可得|，尸|=再+1,忸尸|=沏+1,

m+n=（再+l）+（x2+1）=（再+尤2）+2,mn=（占+l）（x2+1）=x1x2+（x；+x2）+1=（xj+x2）+2,

故選:A

5.D

【分析】直接根據(jù)拋物線中切點(diǎn)弦的性質(zhì)即可得結(jié)論.

__1___?___1_—__2_-__1

【詳解】在拋物線中，由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得刊\NF\~p~2,

\MF\+\NF\=9

MF=6MF=3

解得或，

NF=3]NF=6

答案第4頁，共18頁

所以2=2或;，

故選：D.

6.B

【分析】求出河坐標(biāo)及直線的方程，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】由題知,尸（L0）,Z：x=-l,/（TO）,

-MFVx^,.\M（1,±2）,根據(jù)拋物線對(duì)稱性，不妨取M（l,2）,

2-0

則/Af：y-0=--j-（x+1）nx-y+1=0,

原點(diǎn)。到直線的距離為：d二士，

...以/月為直徑的圓截直線所得的弦長(zhǎng)為：2—場(chǎng)■

故選：B.

7.A

）計(jì)算可得.

【分析】由拋物線的性質(zhì)：過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式|/2|=2p（l+4

k

【詳解】設(shè)直線4，4的斜率分別為匕，右，

由拋物線的性質(zhì)可得|叫=2川+*)=6(1+-^-),\DE\=20(1+1)=6(1+

所以|/3|+|。周=6(1+1)+6(1+3)=12+6(占+3)，

左1K2左1K2

又因?yàn)?_L4,所以《泡=T,

2

所以|48|+|。￡|=12+6（3+儲(chǔ)2應(yīng)12+6-2Urk1=24,

k、Aik、

故選：A.

8.D

【分析】分別過4,5作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,N,由拋物線定義知，BN=BF,又F為

P8.中點(diǎn),求得ZPBN=APFO=Z.PAM=60°,從而根據(jù)\AF\=當(dāng)求得AP=2AM=2AF,

PF=PA+AF,PB=2PF,進(jìn)而求得AS=

【詳解】如圖，分別過/,2作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,N,

答案第5頁，共18頁

由拋物線定義知，BN=BF,又F為PB.中點(diǎn)、,

則cosZPBN=槳=ZPBN=ZPFO=ZPAM=60°,

PB2

則/尸=2/Af=2/尸=,PF=PA+AF=2初,PB=2PF=4^3,

3

貝=—尸4=4百一迪=—

33

故選：D

9.D

【分析】不妨設(shè)/在第一象限，2在第四象限，設(shè)出的方程與拋物線方程聯(lián)立由4,B

的縱坐標(biāo)之積為一8,解出九再結(jié)合|/刊=3忸可，可以解出4,8的縱坐標(biāo)，根據(jù)△0/8

的面積為J。耳1-嵋可得答案.

【詳解】不妨令/在第一象限，8在第四象限，設(shè)48的方程為x=%y+],

y—P

由彳X=m+2得》-2pmy-p=0,

y2=2px

則無%二一/二一8，所以夕=2后.

又因?yàn)镸同=3忸尸所以絲=3,即|九|=3|%],代入”力=-8

%

可得34=8,由8在第四象限，則力=一：加，所以均=2#

所以S^OAB=j。4|"--

故選：D

10.BCD

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立N3與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B,利用距離公

式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.

答案第6頁，共18頁

【詳解】將點(diǎn)A的代入拋物線方程得1=2p,所以拋物線方程為/=y,故準(zhǔn)線方程為y=-）,

A錯(cuò)誤；

=所以直線的方程為y=2x-l，

、fy=2x—1-

聯(lián)立｛2，可得/-2x+l=0,解得尤=1,故B正確；

設(shè)過B的直線為/,若直線/與＞軸重合，則直線/與拋物線c只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為＞=區(qū)-1,2國,乂）,。（%,%）,

[y-kx-\

聯(lián)"\2，得--foc+l=0,

[x=y

A=*2-4＞0

所以＜X]+x2=k,所以后＞2或后＜-2,%%=（占尤2）2=1，

X1=1

又|OP|=』X；+y；=J%+y；，\OQ|=Jx；+="%+"，

所以|OPH。01=，%%（1+%）（1+%）=J何x"=|后|＞2=|CM『，故c正確；

2

因?yàn)閨8P|=Jl+V|W|,|BQ|=yll+k|x2|,

所以|AP|-|30|=（1+產(chǎn)）|再々|=1+*＞5,而|A4『=5,故D正確.

故選：BCD

11.（1）/=4x

⑵1:4

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知|尸尸|=|尸印，滿足拋物線的定義，點(diǎn)尸。，0）是拋物

線的焦點(diǎn)，》=-1是拋物線的準(zhǔn)線，即可得到拋物線方程；

2

（2）首先設(shè)切線方程y-先=左（》-/）與拋物線方程聯(lián)立，△=（）,解得后=?，回代切線

＞0

方程得4x-2%y+%2=o,分別求出點(diǎn)A、5的坐標(biāo)，并且求出圓心到直線的距離的最小值,

并且根據(jù)基本不等式里面等號(hào)成立的條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)，回代各點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算兩個(gè)三角形

答案第7頁，共18頁

的面積.

【詳解】⑴解:由題意得I尸"1=1尸尸|,

...點(diǎn)P到直線1-.X=-1的距離等于它到定點(diǎn)廠的距離，

???點(diǎn)尸的軌跡是以/為準(zhǔn)線、尸為焦點(diǎn)的拋物線，

點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x.

（2）解：由題意知切線《的斜率必然存在，設(shè)為左，貝

y2=4x得=左(；>2-X。］,gp/-yj+7jo-yo=°，

由，

y-y0=k(x-x0)k4)kk

2

由A=0得左=—,

>0

lx-Ax-2y0j+＞；=0,

令x=0則yg,

2

令y=o則x=_+-x。，

點(diǎn)M（4,0）到切線（的距離1=任"==，可"+廳4=汶拒（當(dāng)且僅當(dāng)為=2a時(shí)取

2收+42JK+4

等號(hào)）

當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,2行）時(shí)，滿足題意的圓M的面積最小，

此時(shí)Z（-2,0）,5（0,V2）,

所以S.=；（l+2）?&=|也，邑.=g（4+2）-2亞=6后，

S1

=即A48尸與V/QM的面積比為1:4.

^AAQM4

12.C

【解析】求出W（0,T），根據(jù)直線與拋物線相切求出直線方程和切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到線段中

點(diǎn)和線段長(zhǎng)度，就是圓的圓心和直徑，即可得出方程.

【詳解】依題意，M（0,-l）,設(shè)切線/'：了=日一1，

/=4y

聯(lián)立

y=kx—\

答案第8頁，共18頁

整理得：、2一4b+4=0,A=16左2—16=0,

解得左=±1,故％=±2,

則N(2,l)或N(-2,l),M(O.-l),所以|MV|=20,半徑“也，

圓心坐標(biāo)(1,0)或卜1,0),

故以aW為直徑的圓的方程為

(x+iy+j?=2或(尤_1)2+/=2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查求拋物線的準(zhǔn)線，直線與曲線位置關(guān)系，根據(jù)直徑求圓的方程.

13.A

【分析】線段經(jīng)過拋物線產(chǎn)=4x焦點(diǎn)，由“阿基米德三角形”的特征可得尸點(diǎn)坐標(biāo)，從而

得直線尸尸的斜率，又PFLAB,即得直線N5斜率，由點(diǎn)斜式可求直線的方程.

【詳解】拋物線/=4x的焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為：x=-l,

線段N3經(jīng)過拋物線產(chǎn)=4x焦點(diǎn)，由為“阿基米德三角形”，

可得P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，則點(diǎn)尸(-1,4),

直線尸尸的斜率為：筆=-2,

又?；PFUB,?,?直線的斜率為9

工直線4B的方程為：y-O=-1(x-l),x-2y-1=0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義以及拋物線的性質(zhì)，考查直線方程的求解，考查學(xué)生

分析問題的能力，是中檔題.

14.C

【分析】利用拋物線的定義及平面幾何性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】由拋物線的定義，得MC|=|/可，啰0=|3可.又

II_i_IRFI11

貝_LJ_\.=_\AB\,A正確.由可知A4NS是直角三角形，MN

是斜邊上的中線，所以NMAN=/MNA,而ZMNA=ZCAN,所以NMNN=NC/N.所以

\ANC^AANF,可知N4FN=N/CN=90。，所以沖_1_48,8正確.在必AMVF中，

|0N|=|QF|,可知NQNF=ZQFN,所以N。尸"=,。正確.由N。氏"=N0MF,

答案第9頁，共18頁

可知I"目。兒"，所以W0|=|2M|,即。是AW的中點(diǎn)，故c不正確.

D——

/'

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，考查平面幾何的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中

檔題.

15.C

【詳解】：拋物線C方程為V=2/S>0),.。.焦點(diǎn)廠(金0),

設(shè)M(x,y),由拋物線性質(zhì)加用=式+]=5,可得工=5-勺

因?yàn)閳A心是上田的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,圓心橫坐標(biāo)為，

由已知圓半徑也為據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)(0,2),故圓心縱坐標(biāo)為2,則M點(diǎn)縱坐

標(biāo)為4,

即V(5-24),代入拋物線方程得_1op+16=0,所以p=2或p=8.

所以拋物線C的方程為必=4x或丁=16尤.

故答案C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，圓的性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí),

屬于中檔題，本題給出拋物線一條長(zhǎng)度為5的焦半徑狼，以九田為直徑的圓交拋物線于點(diǎn)

(0,2),故將圓心的坐標(biāo)表示出來，半徑求出來之后再代入到拋物線中即可求出。的值，從

答案第10頁，共18頁

而求出拋物線的方程，因此正確運(yùn)用圓的性質(zhì)和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.B

【分析】由已知及拋物線的定義，可求進(jìn)而得拋物線的方程，可求A,B,廠的坐標(biāo),

直線4尸的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設(shè)N的坐標(biāo)，求得M的坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量

積的坐標(biāo)表示，以及輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可得所求范圍.

【詳解】解：由題意，設(shè)小,師)，所以|/尸|=3+勺4,解得。=2,

所以拋物線的方程為必=4x,/(3,26)，5(3,-273),尸(1,0),

所以直線AF的方程為y=6(x-l),

設(shè)圓心坐標(biāo)為(％,0),所以(%-1＞=(3_%)2+12,解得％=5,即￡(5,0),

圓的方程為(x-5＞+)=16,

不妨設(shè)場(chǎng)＞。，設(shè)直線的方程為＞=丘，則后＞0,

根據(jù)課J=4,解得左=(,

'4/、

由片子，解得

；

(X-5)2+/=161

設(shè)N(4cos0+5,4sin。),所以O(shè)M-ON=￡cose+gsinJ+9=￡(3cose+4sin0)+9,

因?yàn)?cos。+4sin。=5sin(0+°)e卜5,5],

所以西?麗e[-3,21].

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是：首先求出圓的方程為(X-5)2+/=16,然后利

答案第11頁，共18頁

用直線。河與圓￡切于點(diǎn)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，引入圓的參數(shù)方程表示N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式，可得所求范圍..

17.B

【詳解】試題分析：設(shè)4?在直線/上的投影分別是4心，則司=|必忸同=忸閻，又

/是中點(diǎn)，所以+阿），則蒲=5/晶=2匕，在"BF

中

|/*=|/殲+\BF-^AF^BF^OS^=\AF^+\BF\+\AF\^F\=（\AF\+\BF\）2-\AFII

”+哈一（叱嗎2TgM2,所以'Y,即9需者,

所以器wR,故選B.

MM3

考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì).

【名師點(diǎn)晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中，涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)

弦長(zhǎng)，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線（或與準(zhǔn)線平行的直線）的距離時(shí)，常常考慮用拋物線的定義進(jìn)

行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離首先等于45兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一

半，然后轉(zhuǎn)化為48兩點(diǎn)到焦點(diǎn)廠的距離，從而與弦長(zhǎng)|/同之間可通過余弦定理建立關(guān)系.

18.C

【分析】根據(jù)題意求得P=g,得到無2=了，設(shè)過點(diǎn)。與圓G相切直線的斜率為后，得到切

線方程區(qū)-y+x；-紜=0,利用卜。之=2|=],結(jié)合韋達(dá)定理，求得勺+心=2%（產(chǎn)?。?

J1+左之/—1

聯(lián)立方程組和一'十/一丘°一°,取得左=尤+為，^\\xp=kl-x0,xQ=k2-x0,

[x=y

結(jié)合心°=-6,列出方程，即可求解.

【詳解】由拋物線G：/=2抄（°>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為可得〃=:，

所以拋物線的方程為x2=y,

又由。2：/+/一4了+3=0,可得圓心坐標(biāo)為。2（°，2）,半徑r=l,

答案第12頁，共18頁

設(shè)過點(diǎn)。（%,%）與圓。2相切的直線的斜率為左,

可得方程為歹一%=左（%-%）,即下一君=后（工一%）,BpAx-J^+Xo-kx0=0,

Xn—kx._2

則圓心到直線的距離為I1,

Vi+F

0

整理得(XQ—1)4~+(4x0—2x；)k+—4xg+4=0,可得左+左,=°^2—-

x0-1

AX-J；+XQ-AX=O

聯(lián)立方程組O可得——點(diǎn)—1；+點(diǎn)0=0,

即左（％_工0）=%2_%3所以左=%+%,

所以馬=%一%0，%°=魚—玉），

因?yàn)橹本€尸。的傾斜角為120。，所以七°=-6

,_yQ~yp_XQ~XP_,,1r_2x(Xg-2)_-2x_用

可付kpo=------=------=XQ-\-Xp=k、+k?-2x0=---0--------2XQ=---0=—y/3,

xQ-xpXQ-XPXQ-1x0-1

解得X。=G或X。=-，.

【分析】設(shè)MF|=aJBP1=6,由拋物線定義，梯形的中位線定理，^2\MN\=a+b,再根

據(jù)余弦定理得|/優(yōu)=/+加一仍，結(jié)合基本不等式求得Ha的范圍，從而得到京的最大

值.

【詳解】設(shè)M用刁=6,連接/尸,5月，過/作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為Q,過8作準(zhǔn)線

/的垂線，垂足為尸，

答案第13頁，共18頁

則2|肱V|=|ZQ|+|AP|=a+Z?.

則在A48尸中，由余弦定理可得：|48『=|4尸『+1時(shí)「一2?⑷/?.?既|cosZAFB=a2+b2-ab,

而|/砰=a1+b2-ab=(a+b)2-3ab>(a+Z>)2_3.(°?)=,

因此|/同'亍=卬|,即曾4I(當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)).

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)，綜合運(yùn)用了余弦定理，基本不等式知識(shí)，屬于較難

題.

20.CD

【分析】根據(jù)拋物線的定義先求得拋物線方程，利用拋物線定義求折線長(zhǎng)度之和的最小值，

利用中位線與拋物線的概念判斷直線與圓位置關(guān)系，最后利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)判斷D選項(xiàng)，可得出結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)知：|尸盟=1+5=2,解得：。=2,.?.拋物線方程為f=4y,故選項(xiàng)A錯(cuò)

誤；

連接FM交拋物線于點(diǎn)尸，止匕時(shí)1PM+|尸可的值最小為4,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

如下圖所示，

答案第14頁，共18頁

設(shè)G為/尸的中點(diǎn)，過點(diǎn)/作ZC，拋物線的準(zhǔn)線廣于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)。,過點(diǎn)G作GO，x

軸于點(diǎn)D,.?』DG|=；（|O可+H0|）=JNC|=司，故以/尸為直徑的圓與x軸相切，故選

項(xiàng)C正確；

設(shè)點(diǎn)由無？=4y即y=：/得：y'=^x,

則切線/T的方程為＞-必=5占（x-X］）,即y=-xl*x--x^,

同理可得切線87的方程為y=，

112\X+X7

y=^xix-^xix=—

由;:，解得：,

y=IXX1X2y=-1XX

242x2

、/+l-

由題意知T在準(zhǔn)線V=T上，,;中2=-1，%％=-4,

+x22

X+%=W（x；+x：）=3（X|2）=—（Xj+x2）+2,

當(dāng)玉+X2=0時(shí)，M+%=2為最小值，.,.選項(xiàng)D正確,

故選：CD.

【點(diǎn)睛】拋物線的切線問題，常常要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義來求出切線方程,

結(jié)合題干中其他條件進(jìn)行求解.

答案第15頁，共18頁

21.（1）。=2,圓尸的方程為―+。-