重難點11尺規(guī)作圖題型總結(jié)（作相等角、作角平分線、

作線段垂直平分線、作垂直、利用無刻度直尺作圖）

題型將步I樵型枸建I真題—他詞繪I摸圖通關(guān)試煉

模型01作相等角

模型02作角平分線

模型03作線段垂直平分線

模型04作垂直

模型05利用無刻度直尺作圖

本專題主要對初中階段的一般考查學(xué)生對基本作圖的掌握情況和實踐操作能力，并且在作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)

一步推理計算（或證明）。尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。尺規(guī)作圖是中考必考知識點之一，

復(fù)習(xí)該版塊時要動手多畫圖，熟能生巧！本專題主要總結(jié)了五個?？嫉幕咀鲌D題型，（1）作相等角；（2）

作角平分線；（3）作線段垂直平分線；（4）作垂直（過一點作垂線或圓切線）；（5）用無刻度的直尺作圖。

勘摸核四建

模型01作相等角

wTwlWi!...............................

作相等角該題型近年主要以解答題形式出現(xiàn)，一般為解答題型的其中一問，難度系數(shù)較小，在各

類考試中基本為送分題型。解這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意熟練應(yīng)用尺規(guī)作圖，一般考試中涉及的做相

等角包含角相等或者作平行線，需要我們很好的理解題意，根據(jù)題意畫圖，保留清晰的作圖痕跡。

答?題?技?巧

1.作任一射線；

2.以所作角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，然后以同樣長為半徑，以射線端點為圓心畫弧;

3.以原角中所畫弧中一個交點為圓心，到另一個交點的距離為半徑畫弧；

4.以射線中的交點為圓心，同樣長為半徑畫弧，交于一點，連接射線端點與弧的交點，所得角即為所求;

［題型三例

1.（2024?吉林）如圖，用尺規(guī)作圖完成下列作圖步驟:

①以點。為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交射線OB于點C、D；

②以點3為圓心，以O(shè)C長為半徑畫〃，交射線8。于點E,點F與點C在的異側(cè)）;

③以點E為圓心，以8長為半徑畫MN，交"于點N,作射線3N即可得到NOBN,連接CD、EN.

則下列說法中錯誤的是（

A.ZOBN=ZAOBB.OA//BN

C.CD=EN,CD//END.△OCD四的依據(jù)是SAS

【答案】D

【詳解】解：由作圖可知，OC=OD=BE=BN,CD=EN,

OCD^?BNE（SSS）,

ZDOC=ZEBN,NODC=/BEN,

ZOBN=ZAOB,ZCDE=ZNED,

：.OA//BN,CD//EN,

???A、B、C正確，故不符合要求；D錯誤，故符合要求;

故選：D.

,支式

1.綜合實踐課上，嘉嘉畫出NAO3,如圖1,利用尺規(guī)作圖作NAOB的角平分線。尸.其作圖過程如下：⑴

如圖2,在射線（M上取一點。（不與點。重合），作NADC=NAOB,且點C落在內(nèi)部；

⑵如圖3,以點。為圓心，以。。長為半徑作弧，交射線。C于點P,作射線。尸，射線OP就是NAO3的

平分線.

在嘉嘉的作法中，判斷射線OP是ZAO3的平分線過程中不可能用到的依據(jù)是（）

AA

圖3

A.同位角相等，兩直線平行

B.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

C.等邊對等角

D.到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上

【答案】D

【分析】本題考查平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì),角平分線判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運用得

到其證明過程，根據(jù)其過程判斷不可能用到的依據(jù)即可.

【詳解】解：ZADC=ZAOB,

CD//OB（同位角相等，兩直線平行），

尸O=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

故A、B會用到，不符合題意；

以點。為圓心，以。。長為半徑作弧，交射線OC于點尸,

OD=OP,

/.ZDOP=ZDPO（等邊對等角）,

ZDOP=ZBOP,

???射線0P就是^AOB的平分線.

故C會用到，不符合題意；

綜上所述，D不可能用到，

故選：D.

2.如圖①，在VABC中，。是A3邊的中點，且3c>AB.按照如下尺規(guī)作圖的步驟進(jìn)行操作（如圖②所

示）：

①以點8為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交線段3。于點交BC于點N；

②以點。為圓心，以BM長為半徑畫弧，交線段于點P,交線段DB于點火；

③以點尸為圓心，以長為半徑畫弧，交尸R于點。，點。與點C在直線A3同側(cè)；

④作直線。。，交AC于點￡.則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZADE=ZABCB.Z￡>EC+ZC=180

C.AE=CED.DE=-AB

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，先根據(jù)作圖得出乙位圮=/ABC,根據(jù)平行線的判定得出小〃3C,根據(jù)平

AD

行線的性質(zhì)得出/DEC+NC=180,根據(jù)平行線分線段成比例得出受=若=1,即可得出AE=CE.

CEDB

【詳解】解:A.根據(jù)作圖可知：=一定成立，故不符合題意；

B.^ZADE=ZABC,

QDE//BC,

EI/DEC+NC=180一定成立，故不符合題意；

C.是AB邊的中點，

團(tuán)AD=BD,

?DE〃BC,

AEAD1

團(tuán)==I,

CEDB

團(tuán)AE=CE一定成立，故不符合題意；

D.不一定成立，故符合題意.

2

故選：D

3.己知：如圖，在矩形ABC。中，M是邊上的點，連接。0.

⑴尺規(guī)作圖，以BC為邊,8為頂點作NCBN=WM,3N交線段CD于點N（要求：基本作圖，保留作圖

痕跡，不寫作法）.

⑵求證：四邊形為平行四邊形（請完善下面的證明過程）.

證明：在矩形ABCD中，有AB=CD,AD=CB,AB//CD,ZA=ZC=90°.

在AADM和△CBN中

ZA=ZC

<AD=CB

①（）

ADM^CBN（ASA）.

，②—.

，③—?

，四邊形3NZ泌為平行四邊形（④—）（填寫推理依據(jù)）.

【答案】⑴見解析

（2）ZADM=NCBN,AM=CN,BM=DN,一組對邊分別相等且平行的四邊形是平行四邊形

【分析】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

（1）根據(jù)要求作出圖形即可;

（2）根據(jù)一組對邊分別相等且平行的四邊形是平行四邊形證明即可.

【詳解】（1）解：圖形如圖所示:

(2)證明：在矩形A3CD中，有A5=CD,AD=CB,AB!/CD,ZA=ZC=90°.

在AADM和△CBN中

，AD=CB

ZADM=/CBN

：.ADM-CBN（ASQ）.

.■-（2）AM=CN.

③BM=DM,

.??四邊形物次為平行四邊形（④一組對邊分別相等且平行的四邊形是平行四邊形）.

故答案為：ZADM=NCBN,AM=CN,BM=DN,一組對邊分別相等且平行的四邊形是平行四邊形.

4.如圖，已知

⑴尺規(guī)作圖：以點。為頂點，在。E的下方作/成加使得N￡Z加=4,交A8于點?（要求：不寫作法,

保留作圖痕跡）

c

（2）在（1）的條件下，求證：DF//BC.

證明：^AB//DE（已知）

0ZB=（1）（②）

0ZEZ）F=ZB（已知）

回③（④）

SDF//BC（⑤）

【答案】⑴作圖見詳解

（2）①/血＞；②兩直線平行，同位角相等；（3）ZAED=ZEDF-,④等量代換；⑤內(nèi)錯角相等，兩直線

平行

【分析】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角，平行線的判定和性質(zhì)，掌握以上知識，數(shù)學(xué)結(jié)合分析思想是

解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)尺規(guī)作角等于已知角的方法即可；

（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，點F即為所求點的位置，

（2）證明：^\AB//DE（已知）

0ZB=ZC￡D（兩直線平行，同位角相等），

^ZEDF=ZB（已知），

S\ZCED=ZEDF（等量代換），

QDF//BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：①NCED；②兩直線平行，同位角相等；③NCED=NEDF；④等量代換；⑤內(nèi)錯角相等,

兩直線平行

5.如圖，在VABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點.

A

⑴尺規(guī)作圖：在邊BC上找一點凡連接。尸，使/E/m=NC.(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，連接EF,求證：EF//AB.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查復(fù)雜作圖，平行線分線段成比例以及三角形中位線的性質(zhì)定理，正確作圖是解答本

題的關(guān)鍵.

(1)作NEER=NC即可；

(2)連接班，證明斯是VABC的中位線即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖，點憶線段。尸即為所求.

SDE//BC,DE=~BC.

2

0ZD￡C+ZC=180°.

SZEDF=ZC,

0ZDEC+ZEDF=180°.

SDF//AC.

BDBF

團(tuán)---=---,

ADCF

又0D為A3的中點，

團(tuán)BD=AD,

BF

=1,即=

團(tuán)尸為3C的中點.

13所是VABC的中位線.

EF//AB.

模型02作角平分線

wiWSTS.................................

作角平分線該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在解答題中主要考查角平分線的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)作對

應(yīng)圖形，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。掌握角平分線的性質(zhì)是考試的重點，在應(yīng)用題型中，

根據(jù)題意會進(jìn)行尺規(guī)作圖畫角平分線，有時依據(jù)題意畫平行線時也是畫角平分線。

答?題?技?巧

1.以角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，交兩點M、N；

2.以M點為圓心，MN的距離為半徑畫弧，再以N點為圓心，同樣長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；

3.連接角的頂點和P點，所畫直線即為所求.

|題型學(xué).

1.（2024?山東泰安）如圖，在，ABC中，ZB=40°,NC=50。.小明按以下操作進(jìn)行尺規(guī)作圖:

以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC、AZ）于點“、點N,分別以A/、N為圓心，大于;的長為

半徑畫弧，兩弧交于點畫射線A"交8C于點E；分別以點A、8為圓心，大于;的長為半徑畫弧,

兩弧交于尸、G點，作直線PG交A3于尸，交于連接AD.可以求得度.

【答案】25

【詳解】解：,??N3=40。，ZC=50°.

■.ABAC=90°,

根據(jù)作法得：尸。垂直平分線段A3,

AD=BD，

：.ZB=ZBAD=40°,

??.ZZMC=50°,

由作法得：AE平分/ZMC,

.-.ZDAE=25°,

故答案為：25.

＞支式

1.如圖，在比ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,判斷以下結(jié)論錯誤的是（）

B.ZBAD=ZCAD

C.DE1ABD.AE=AC

【答案】A

【分析】根據(jù)作角平分線的痕跡和過直線外一點的作直線的垂線的痕跡可得，AD是2B4C的平分線，DE

是A5的垂線，再根據(jù)條件證明三角形全等，即可一一判斷即可；

【詳解】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得：AD是—B4C的平分線，是A3的垂線，

國NBAD=NCAD,DELAB,

回NDE4=90。，

在，ACD和中,

ZDEA=ZC=90°

AD=AD

ABAD=ACAD

團(tuán)ACD^^AED

團(tuán)AE=AC,

團(tuán)無法確定NADE=2NZ14B,不能得到

綜上所述：B,C,D不符合題意，A符合題意，

故選A.

2.如圖，已知VABC.

⑴尺規(guī)作圖：作—ABC的平分線取，在取上截取8D=AC,連接C。；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法,

標(biāo)明字母）

(2)若ZAC3=求證：AABC冬ADCB.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖、全等三角形的判定，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線即可；

(2)由題意得，ZACB=-ZABC=ZDBC,BD=AC,BC=CB,根據(jù)全等三角形判定邊角邊即可得證.

2

【詳解】(1)解：如圖所示，BP,BD,CD即為所求；

(2)解：證明：Q如為NABC平分線,

:.ZDBC=-ZABC.

2

又、ZACB^-ZABC,

2

:.ZACB=ZCBD.

BC=CB

在VABC和ADCB中，ZACB=ZDBC,

AC=DB

:.AABC^^DCB(SAS).

3.如圖，已知VABC.

⑴求作四邊形BCDE,使得點。在AC上，點E在AB上，且DEaBC,DE=BE；(要求:尺規(guī)作圖，不

寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)所作圖形中，若NA=40。，AD=BE,求的度數(shù).

【答案】⑴畫圖見解析

(2)120°

【分析】(1)如圖，作NABC的角平分線交AC于。，過。作NADE=/ACB,DE與A3的交點為E,則

BE=DE,四邊形3cDE即為所求；

（2）由EB=DE，AD=BE,證明DE=AD,可得NA=NAED=40。，ZADE=100°,

ZABD=ZEDB=-x40°=20°,再進(jìn)一步求解即可.

2

【詳解】（1）解：如圖，作NABC的角平分線交AC于O,過。作NADE=NACB,OE與A3的交點為E,

則BE=DE,四邊形3CDE即為所求；

0NABD=NCBD,

^ZADE=ZACB,

田DE〃BC,

aNEDB=NCBD,

SZABD=ZEDB,

0EB=DE；

(2)解：0EB=DE,AD=BE,

0ZA=4O°,

I3ZA=ZA￡D=400,ZADE=180°-2x40°=100°,

0NABD=ZEDB=-x40°=20°,

2

0ZADB=ZADE+ZEDB=100°+20°=120°.

4.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°.

⑴尺規(guī)作圖：作RtZXABC的內(nèi)切圓O,并分別標(biāo)出，:。和A3、BC、C4相切的切點RE,尸；（要求：保

留作圖痕跡，不寫做法，不需證明）

⑵連接OE、OF,四邊形QECF是正方形嗎？為什么？

（3）若AD=6,BD=4,求O的半徑廠的長.

【答案】（1）見解析

⑵四邊形OECR是正方形，理由見解析

(3)2

【分析】(1)首先由三角形的內(nèi)心是三角形三個角平分線的交點，確定圓心。，然后過點。作邊AC的垂線

交AC于點尸，確定半徑，繼而可求得ABC的內(nèi)切圓；

(2)連接根據(jù)切線的性質(zhì)得到求得/C=/CFO=/CEO=90。,得到

四邊形OEC尸是矩形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。尸=OROD=OE,求得0石=。f，得到四邊形OE(才是

正方形；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OF=CV=CE=OE=r,根據(jù)切線的性質(zhì)得到4尸=AZ)=6,3E=3。=4,根

據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示，，。為所求：

(2)解：四邊形OECP是正方形，理由如下:

連接OE,OF,OD,

0。是，ABC的內(nèi)切圓，

^OE±BC,OF±AC,

0ZC=ZCFO=ZCEO=90°,

團(tuán)四邊形OECb是矩形，

回AO平分ZCAB,30平分ZABC,

0OF=OD,OD=OE,

^OE=OF,

回四邊形OECP是正方形；

(3)解：回四邊形0國才是正方形,

?OF=CF=CE=OE=r,

0。是-ABC的內(nèi)切圓，

0AF=AD=6

SBE=BD=4

團(tuán)AC=AF+CF=6+r,BC=4+r

SAC2+BC2=AB2

0（6+r）"+（4+r）2=（6+4）一

0r=2（負(fù)值舍去），即O的半徑r的長為2.

模型03作線段垂直平分線

WiWjSiW...............................

作線段垂直平分線該題型近年在尺規(guī)作圖題型中主要考①到兩點的距離相等的點；②作三角形的外接

圓；③找對稱軸（旋轉(zhuǎn)中心）；④找圓的圓心等幾個方面。讓學(xué)生真正理解線段垂直平分線的性質(zhì)是本節(jié)內(nèi)

容的重心，尺規(guī)作線段垂直平分線是中考的必考內(nèi)容之一?？碱}常以選擇、填空等形式出現(xiàn)，該題型主要

難點在熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)，會畫線段的垂直平分線，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項。

答?題?技?巧

i.以線段任一端點為圓心，大于一半的長為半徑上下畫??；

2.以線段另一端點為圓心，同樣長為半徑畫弧，所畫弧交于兩點MN；

3.連接MN,MN所在直線即為所求；

|量理不停I

＞善俐1.（2024.山東）如圖，在中，4=40。，NC=50。.小明按以下操作進(jìn)行尺規(guī)

作圖：以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC、4）于點〃、點N,分別以/、N為圓心,

大于;的長為半徑畫弧，兩弧交于點H,畫射線交8c于點E;分別以點A、3為圓心,

大于;A3的長為半徑畫弧，兩弧交于尸、G點，作直線PG交A3于b，交BC于D,連接AD.可

以求得ZDAE=度.

【詳解】解：???々=40。，ZC=50°.

ABAC=90°,

根據(jù)作法得：尸。垂直平分線段A5,

AD-BD9

.-.ZB=ZBAD=40°9

???ZDAC=50°,

由作法得：AE平分NZMC,

.-.ZDAE=25°,

故答案為：25.

）支式

1.我們在蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊第九章中學(xué)習(xí)了一些基本尺規(guī)作圖.請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列基

本作圖.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑴在圖①中，請作出已知線段AB的垂直平分線C。；

（2）在圖②中，請作出已知角ZEFG的平分線FH；

⑶在圖③中，請作出過直線外一點尸，且垂直于直線的直線尸。（點。是垂足）.

【答案】（1）作圖見解析

（2）作圖見解析

⑶作圖見解析

【分析】本題考查基本尺規(guī)作圖一一作線段垂直平分線、角平分線、過直線外一點作直線垂線，解題關(guān)鍵

是依據(jù)相關(guān)幾何性質(zhì)準(zhǔn)確運用圓規(guī)和直尺進(jìn)行作圖操作.

（1）分別以點A、8為圓心，大于長為半徑畫?。▋苫》謩e相交于C、。兩點.連接C￡>,直線CD

就是線段AB的垂直平分線.

（2）以點尸為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交跖、17G于點/、N.分別以點M、N為圓心，大于

長為半徑畫弧，兩弧相交于ZEFG內(nèi)部一點H.連接加，射線就是ZEFG的平分線.

（3）以點尸為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，使弧與直線相交于兩點A、B.分別以點A、8為圓心，大

于長為半徑畫弧，兩弧相交于直線另一側(cè)一點H（與尸在MN異側(cè)）.連接PH，交MN于點Q

直線P"就是過點尸且垂直于直線的直線，點。為垂足.

【詳解】（I）解：如圖所示：直線C。即為所求;

（2）如圖所示射線切即為所求

（3）如圖所示：直線尸。即為所求

⑴尺規(guī)作圖：作線段48的垂直平分線/,分別交AB,AC于點D,E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，

標(biāo)明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接班，若凡8=8,求ABE的周長.

【答案】⑴見解析

（2）8+8立

【分析】本題主要考查作圖，線段的垂直平分線，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法畫圖即可；

（2）證明VBZJE是等腰直角三角形，即可求出答案.

【詳解】（1）解：如圖，OE即為所求；

（2）解：Z組垂直平分線段AB,

/.EB=EA,BD=DA,

.,.NEBA=ZA=45。，

:.ZBEA=90°,

BD=DA,

:.DE=DB^DA^-AB^4,

2

BE=AE=y[2BD=4A/2，

ABE的周長=A8+BE+AE=8+4忘+4&=8+8忘.

3.在學(xué)習(xí)了特殊平行四邊形的性質(zhì)之后，小德發(fā)現(xiàn)：對于夾在兩條平行線之間的線段，作其垂直平分線與

兩條平行線分別交于兩點，則該線段的兩個端點和垂直平分線與兩條平行線的兩個交點所構(gòu)成的四邊形是

菱形.小德證明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知識得到此結(jié)論.根據(jù)他的想法和思路，完成

以下作圖和填空：

（1）如圖，AB//CD,連接3C.用尺規(guī)作圖：作線段BC的垂直平分線EG,分別交A3,BC和C。于點E,

尸和G,連接CE和8G（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）已知：AB//CD,連接BC.線段BC的垂直平分線EG分別交A3,BC和CD于點E,尸和G,連接CE

和BG.求證：四邊形3ECG是菱形.

證明：0AB//CD,

SZEBF=?.

EIEG垂直平分BC.

SEG±BCS.BF=（2）.

在△BEF和4CG尸中,

NEBF=ZGCF

BF=CF

ZBFE=(3)

0BEF^CGF(ASA).

SEF=GF,

則四邊形3ECG是④.

0EG1CB,

國四邊形BECG是菱形.

進(jìn)一步思考，如果/4SC=45。，請你模仿題中的表述，寫出你猜想的結(jié)論：

四邊形BECG是⑤.

【答案】⑴見解析

⑵①ZGCF②CF③NCFG④平行四邊形⑤正方形.

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的基本作圖解答即可；

(2)根據(jù)垂直平分線的定義以及全等三角形的判定和性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論.

本題主要考查全等三角形的判定，垂直平分線的定義，菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：根據(jù)線段垂直平分線的基本作圖，畫圖如下：

EIEG垂直平分CB.

團(tuán)前_13。且8歹=3.

在和4CG尸中，

ZEBF=NGCF

<BF=CF

ZBFE=ZCFG

0BEF^CGF(ASA).

SEF=GF,

則四邊形BECG是平行四邊形.

SEG1CB,

回四邊形3ECG是菱形.

0ZABC=45°,

四邊形3ECG是正方形.

故答案為：①/GCP②CF③/CFG④平行四邊形⑤正方形.

4.如圖，在ABCD中，是對角線.

⑴作線段3。的垂直平分線，垂足為點。，與邊A。、3c分別交于點E、F（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，

保留作圖痕跡）；

（2）求證：BF=DE.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）利用尺規(guī)作出線段的垂直平分線即可；

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到OB=OD,=尸=90。，由平行四邊形的性質(zhì)得到/A￡?B=NCBO,

然后證明出EOD^^FOB（AAS）,進(jìn)而得到BF=DE.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

(2)證明：國所垂直平分3。

?OB=OD,ZEOD^ZBOF=90°

回四邊形ABCD是平行四邊形

SAD//BC

SZADB=ZCBO

0EOD^FOB(AAS)

SBF^DE.

模型04作垂線（過一點作垂線或圓的切線）

字百訝.....................

作垂線（過一點作垂線或圓的切線）該題型主要包括①過直線上一點作垂線；②過直線外一點作

垂線；③過圓上一點作切線；④作高等。幾種題型的核心點均是作線段的垂直平分線，線段垂直平分

線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解題。

答|題|技|巧

1.以所過點為圓心，以一定長度為半徑截取線段長（如果點在線段上以任意長度為半徑，如果點在線段外

以大于點到線段的長為半徑）；

2.作該線段的垂直平分線；

3.過該點的線段垂直平分線即為所求；

［題型不停T

求作：的切線MN,使肋V經(jīng)過點尸.

作法如下：①連接。尸并延長，以尸為圓心，線段OP長為半徑作弧，交射線OP于點8；

②分別以點。，B為圓心，以大于;長為半徑作弧，兩弧交于M點，同樣操作，得N點（不與點M重

合）；

③作直線則就是所求作的）。的切線.

請根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和痕跡，回答下列問題：

⑴步驟③中判斷是C。的切線的依據(jù)是（）

A.與圓只有一個公共點的直線是圓的切線

B.與半徑垂直的直線是圓的切線

C.如果圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線

(2)連接QW,ZMOP=45°,MO=貶,求。的半徑的長.

【答案】⑴B

(2)。的半徑的長為1

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，圓的切線判定定理，線段垂直平分線的定義，解直角三角形，熟練掌

握相關(guān)知識的解題的關(guān)鍵.

(1)由作圖可知MN垂直平分02,因為。尸是＜。的半徑，所以是。。的切線，即可得到答案；

(2)由題意得到cos/MOP="=變，得至1」0尸=受。知=變*5/1=1.

0M222

【詳解】(1)解：由作圖可知垂直平分02,

OP是，。的半徑，

???是。。的切線，

故選：B.

(2)解：如圖，

NMOP=45°,ZMPO=90°,

cosZMOP=-^-=—,

OM2

0M=6，

：.OP=—OM=—Xy[2=l,

22

。的半徑的長為1.

)支式

1.已知：如圖，鈍角三角形ABC.

⑴尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線，與邊48、AC分別交于點。、E(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)尺規(guī)作圖：在(1)的條件下，作垂足為“，連接C。，直接確定/CDE與NAB”的大小關(guān)系

為_?

【答案】（1）圖見詳解

（2）圖見詳解，NCDE=ZABH

【分析】本題主要考查垂直平分線的尺規(guī)作圖與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的尺規(guī)作

圖與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

（1）分別以點A、C為圓心，大于!AC為半徑畫弧，交于兩點，然后連接這兩點，分別與邊A3、AC分

別交于點。、E兩點，進(jìn)而問題可求解；

（2）延長AC,以點8為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交AC于兩點，然后根據(jù)垂線的作法進(jìn)行作圖，由

作圖可知AD=CD,ZAHB=ZCED=90°,則有=進(jìn)而問題可求解.

【詳解】（1）解：所作圖形如圖所示：

由作圖可知：OE垂直平分AC,BHLAC,

^AD=CD,ZCED=ZAHB=9Q°,

回/A=NACD,乙4+ZABH=90°=ZACD+ZCDE,

BZCDE=ZABH.

2.如圖，己知VABC,AD是BC邊上的中線，DEIAB垂足為E.

⑴求作：射線。R,使OF1AC,垂足為尸（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）得到的圖形中，若BE=CF,求證：VABC是等腰三角形.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可.

（2）證明RtVBDE也RtVCD尸，可得N3=NC,則AB=AC,即ABC是等腰三角形.

【詳解】（1）解：如圖，射線。尸即為所求.

A

ZBED=ZCFD=90°.

AD是5c邊上的中線，

BD=CD.

BE=CF,

RtABZ)E^RtACZ)F(HL),

.\ZB=ZC,

/.AB=AC,

VABC是等腰三角形.

⑴尺規(guī)作圖：過點尸作。的另一條切線PB,B為切點；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若ZAPB=60°,。的半徑為3,求AB的長.

【答案】⑴見解析

（2）3石

【分析】本題主要考查作圖，圓的性質(zhì)，切線長定理，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

（1）連接0P作線段。尸的垂直平分線，交0尸于點以點M為圓心，的長為半徑畫圓，交：。于點

8,作直線PB即可.

（2）連接。4、OB、AB,與0P交于點C,由切線的性質(zhì)證明RtA/MP空Rt/XOBP,求出

ZAOB=ZAOP+ZBOP=120°,再利用勾股定理求出AC的值，再利用垂徑定理進(jìn)行計算即可.

【詳解】（1）解：連接0P作線段0P的垂直平分線，交0P于點、M,以點〃為圓心，的長為半徑畫圓，

交。。于點8,作直線即可.

(2)解：連接。4、OB、AB,與0尸交于點C,

PA,PB:，。的切線，

/.ZOAP=ZOBP=90°f

OA=OB=3,OP=OP,

/.Rt一04尸也Rt_03尸(HL),

ZAOP=ZBOP,ZAPO=ZBPO=-/APB=30°,

2

.\ZAOP=ZBOP=60°.

由垂徑定理可知，ZACP=90°,

.\ZCAO=30°f

13

...OC=-OA=~,

22

4.如圖，在等腰VA3C中，為底邊3C上的高，NACB的角平分線交AH于點。，。經(jīng)過。、。兩點

且圓心。在VA5C的腰AC上.

(1)請畫出［。(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡);

(2)求證：AH與：。相切;

⑶當(dāng)AB=12,cosB=g時，求：。的半徑.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

(3)3

【分析】(1)根據(jù)題意作出圖形即可；

(2)連接O。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/血=/比》,根據(jù)角平分線的定義得到NAC￡>=/3CD,求得

NODC=NDC3,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ODLAH,根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到3"=CH,求得NA”C=NAWB=90。，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到

CH=3H=4,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示，。即為所求；

(2)證明：連接O。，

OD=OC,

:.ZODC=ZOCD,

CD平分上4C3,

:.ZACD=NBCD,

NODC=NDCB,

:.OD//BC,

AHLBC,

:.OD±AH,

OD是＞。的半徑，

與)。相切；

(3)解:AB=AC=U,AHLBC,

BH=CH,

.-.ZAHC=ZAHB=90°,

cosB=—,

3

BH_BH_1

.?.CH=BH=4,

OD//CH,

:.^AOD^_ACHi

OP_AO

OD_X2-OD

??一，

412

:.OD=3,

。的半徑為3.

模型05僅用無刻度直尺作圖

考i而i預(yù)7疝

僅用無刻度直尺作圖該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應(yīng)用題型中或者

與幾何相結(jié)合的題型中，具有一定的綜合性和難度。無刻度直尺作圖，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，

等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識點是解題的關(guān)鍵。

答?題?技?巧

i.確定所求結(jié)論（一般作角相等或垂直）；

2.無刻度直尺只能連線，根據(jù)題意連接線段長或射線；

3.注意利用幾何知識點的性質(zhì)，比如說角相等的判定、圓的相關(guān)知識點等;

［題型守停I

1.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）實踐操作：如圖，是5x5正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都

為1.

⑴請在圖中畫出等腰ABC,使得點C在格點上，AC=BC,且NACB<90。；

（2）僅用無刻度直尺作出ABC的中位線所，使得點E、尸分別在AB、AC上，并保留作圖痕跡.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【詳解】（1）解：如圖所示，ABC即為所求;

（2）解：如圖所示，所即為所求;

N

,支4

1.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓，且頂點A,8均在格點上.

（0）線段AB的長等于；

（團(tuán)）若點。在圓上，A3與CO相交于點P,請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點。，使一CPQ

為等邊三角形，并簡要說明點。的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】5A/2見解析.

【詳解】解：（回）由網(wǎng)格可知，AB=Vl2+72=5A/2>

故答案為：5^2;

（0）如圖，取格點E',廣，連接交AB于點E,取AC與網(wǎng)格線的交點F,連接收并延長與網(wǎng)格線相

交于點連接D3與網(wǎng)格線相交于點G,連接GE并延長與網(wǎng)格線相交于點連接并延長與圓相交

于點K,分別連接CK,MB并延長相交于點。，則點。即為所求.

理由：由作圖可得：ZACD=ZBCQ,ZCAP=ZCBQ=60°,

AC=BC,

二一C4P空BCQ(ASA),

ZACP=ZBCQ,CP=CQ,

ZPCQ=ZACB=60°,

PC。是等邊三角形.

2.如圖，在VA3C中，ZABC=90°,AB=BC,直線MN過點A,45°<ZM4B<90°.過點B作3r>_LMN

于。.在DA的延長線上取點E,使得DE=BD,連接8E,CE.

⑴依題意用沒有刻度的直尺和圓規(guī)補全圖形(要求：尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡)；

(2)用等式表示A。，DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明(請補全下方思路).

思路：

①在4￡)的延長線上取點尸，使得。尸=AD,連接M.

②由8。垂直平分AF,依據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得,結(jié)合已知=可得BC=3尸；

根據(jù)等腰三角形的"三線合一"可得ZABD=NFBD；

③設(shè)=可以用含。的代數(shù)式表示出/EBC=,ZABD=ZFBD=,從而

證明出NEBC=NEBF；

④于是可證△EBC0ZXEBF(),從而得到EC=EF=(用含AD,DE的代數(shù)式表

示).

【答案】⑴作圖見解析

(2)FB=AB：90°-(z；45°-<z：SAS；DE+AD

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形即可；

(2)①根據(jù)題意畫出圖形即可；

②依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的“三線合一〃即可求解;

③證出N￡SD=N*>=45。，由直角三角形的性質(zhì)即可求解；

④根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示，

(2)解：①在AD的延長線上取點尸，使得=AT>,連接

②由作圖知垂直平分AF,

國FB=AB,AD=FD,

田AB=BC,

國BC=BF,ZABD=ZFBD；

③設(shè)ZABE=a,

回/BDE=900,DE=BD,

ZEBD=ZBED=45°f

回NABC=90。，

^ZEBC=ZABC-ZABE=90°-a,

⑦ZABD=NFBD=NEBD—ZABE=45。一a,

^1ZEBF=ZABD+ZFBD+ZABE=90°-a,

^\ZEBC=ZEBF；

④回一EBC練EBF(SAS),

國EC=EF=DE+FD=DE+AD,

故答案為：FB=AB；90?！猘；45?！猘；SAS；DE+AD.

1.（2024?山東）如圖，△QAB中，點A在第二象限，點區(qū)在丁軸正半軸上，AB_Ly軸，AB=3fOB=2,

反比例函數(shù)y=（經(jīng)過點A.

（2）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）

①求作等腰三角形。4C,點C在第一象限，OA=OC,點B為AC的中點；

②求作菱形AOCD；

⑶將菱形AOCD沿了軸向下平移多少個單位長度后點C會落在該反比例函數(shù)的圖象上？

【答案】⑴>=一9

⑵①圖見解析；②圖見解析

⑶將菱形AOCD沿y軸向下平移4個單位長度后點C會落在該反比例函數(shù)的圖象上

【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)的關(guān)系式，尺規(guī)作圖，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，

（1）將點A的坐標(biāo)代入關(guān)系式可得答案；

（2）①以點。為圓心，為半徑畫弧，再以點8為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點C,連接BC,

則VABC即為所求作的三角形；

以點8為圓心，03為半徑畫弧，交y軸于點。，連接AACD,則四邊形Q4OC為所求作的四邊形.

【詳解】（1）解：由題意得，點A的坐標(biāo)為（-3,2）.

k

?二把％=—3,>=2代入y=一中，

x

得2=芻,

解得：k=-6.

???反比例函數(shù)的解析式為y=---.

X

（2）解：①如圖；

②如圖；

（3）解：由于A、C兩點到x軸的距離都是2,

故將菱形AOCD沿》軸向下平移4個單位長度后點C會落在該反比例函數(shù)的圖象上.

2.（2024?四川）（1）如圖1,在VA3C中，尺規(guī)作圖：畫出ZABC的角平分線和/ACE的角平分線，ZABC

的角平分線交AC于點/，交/ACE的角平分線于點。（保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)出點產(chǎn)和點。）

（圖1）

已知"=45。，點G在3c上且3G=FG,求/GPC的大小.

（圖2）

【答案】（1）見解析；（2）90°

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)

知識點是解題的關(guān)鍵.

（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法作出^ABC和ZACE的角平分線即可；

（2）利用角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得出NA=2ND=90。，由3G=RG得出NGBF=/BPG,進(jìn)

而推出AB//FG,再利用平行線的性質(zhì)即可求出NGPC的大小.

【詳解】解：（1）如圖所示，圖形即為所求：

(2)Q5D是—ABC的角平分線，是/ACE的角平分線，

:.ZABC=2ZDBC,ZABF=ZGBF,ZACE=2ZDCE,

,\ZA=ZACE-ZABC

=2ZDCE-2ZDBC

=2N。

=2x45。

=90°,

BG=FG,

Z.GBF=ZBFG,

:.ZABF=ZBFGf

:.AB//FG,

ZGFC=ZA=90°.

ah

3.(2024?南京)如果三個數(shù)久b、c滿足f=即/=收，那么稱。是。和c的比例中項.比例中項在數(shù)

學(xué)、物理和工程學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，我們知道任何實

數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示.如圖，點AC在數(shù)軸上分別表示實數(shù)。、c,現(xiàn)嘗試用尺規(guī)作圖的方法，在

正半軸上畫出點8,使得點8表示的正數(shù)6,恰好是數(shù)。和C的一個比例中項.方法如下：

第1步：作以AC為直徑的圓M；

第2步：的其中一點記為點N；

A.以A為圓心，A"為半徑畫圓，交圓M

B.以原點。為圓心，為半徑畫圓，交圓M

C.以0M為直徑作圓尸，交圓M

。.作AM的垂直平分線，交圓M

E.以O(shè)C為直徑作圓P,再過點A作AC的垂線/,交圓尸

⑴請選出你認(rèn)為第2步中正確作法對應(yīng)的字母：(只填一個選項即可)，并說明理由，用尺規(guī)按照所

選的作法在圖中作出點3,要求保留作圖痕跡，不需要寫出作法.

(2)若3C=a=2,寫出此時圓M的直徑AC=.

【答案】（l）c或E,理由見解析

⑵石+1

【分析】（1）根據(jù)作圖步驟判斷即可求解；

（2）根據(jù)比例中項的定義及（1）中的結(jié)果解答即可求解；

本題考查了比例式，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：第2步中正確作法對應(yīng)的字母：C或E,理由如下：

XX

II

II

團(tuán)是圓P的直徑，

團(tuán)NMNO=90。，

團(tuán)NMM4+NONA=90。，

團(tuán)AC是圓。的直徑，

團(tuán)NA7VC=9O。，

團(tuán)NM4C+N2VC4=90。，

^\MA=MN,

^\ZNAC=ZMNA,

^Z.ONA=ZNCA,

即ZONA=ZOCN,

又回NMM=NCON,

"OANs,ONC,

OAON

團(tuán)-------

ONOC

BOAOC=ON2=OB2,

即QC=O82,故點3即為所求;

選E：

證明：如圖，連接ON、NC,

團(tuán)OC是圓。的直徑，

團(tuán)NQNC=90。，

回/_LAC,

團(tuán)NO42V=90。，

0/OAN=/ONC,

又回NMM=NCON,

隊OANs.ONC,

OAON

團(tuán)---=---,

ONOC

^\OAOC=ON2=OB2,

即砒=。以2,故點3即為所求；

故答案為：C或E；

(2)解：回BC=a=2,

回OB=OC—BC=c—2,

團(tuán)ac=OB2,

02c=(c-2)2,

整理得，c2—6c+4=0,

解得c=3+不或c=3-喬(不合，舍去)，

回"=3+5

0AC=OC-OA=3+>/5-2=A/5+1,

故答案為：A/5+1.

4.(2024?安徽)閱讀下面材料，完成相應(yīng)任務(wù):

尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.無刻度的直尺不具有度量長度的功

能，它用來作經(jīng)過兩點的直線、射線或線段、圓規(guī)用來畫弧、圓規(guī)的兩腳還可以截取線

段或兩點之間的長度.尺規(guī)作圖的關(guān)鍵是確定線與線，線與弧，弧與弧的交點，從而構(gòu)

造出符合要求的圖形.

數(shù)學(xué)課上，在用尺規(guī)作角的平分線時，同學(xué)們自主探究出很多不同于教材的作法.

已知：上403求作：—408的平分線.

小明的作法：如圖①，在射線6M上取點C,E,分別以。為圓心；OC,OE長

為半徑畫弧，交射線02于點。，F(xiàn),連接CP,DE交于點、P,過點尸畫射線。尸，則射

線。尸為ZAOB的平分線.

小華的思路：如圖②，在。4上任取一點E,在E的右側(cè)作射線EW,使得

ZAEM=ZAOB,在射線上取一點尸，使EP=OE,過點尸畫射線0尸，則射線0P是

的平分線.

趙老師因勢利導(dǎo)，引導(dǎo)同學(xué)們對各種作法進(jìn)行研究，感受它們的異同并進(jìn)行了拓展

訓(xùn)練.

任務(wù)一：小明的作法中，可以得出△OED二△OFC,請你寫出證明過程.

任務(wù)二：根據(jù)小華的