2026高考數(shù)學(xué)教材一一平面向量基本定理

目錄

i.平面向量基本定理定義.......................................................1

2.平面向量基本定理...........................................................1

3.推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用.............................................................2

4.歷史背景和數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn).......................................................2

5.平面向量基本定理證明.......................................................2

6.作業(yè)........................................................................3

6.1.基礎(chǔ)通關(guān).................................................................3

6.2.能力進(jìn)階.................................................................7

6.3.創(chuàng)新遷移................................................................14

1.平面向量基本定理定義

首先我們先來(lái)了解一下平面向量基本定理的概念：

如果e1，e2是同一平面的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向

量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1，入2，使a=LeI+入2e2；

我們學(xué)習(xí)了e是單位向量，那么同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的單位向量e1和

e2組合在一起就稱(chēng)為表示其所在平面內(nèi)的所有向量的一個(gè)基底，用｛e］，e2｝表

Zj\O

2.平面向量基本定理

平面向量基本定理是指在同一平面內(nèi)的任意向量都可以表示為兩個(gè)不共線

向量的線性組合。具體來(lái)說(shuō)，如果e】和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那

么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)入1和入2，使得a=Mei+

A2e2o這個(gè)定理的核心要點(diǎn)包括以下幾個(gè)方面：

定理?xiàng)l件：兩個(gè)基底向量e1和e2必須不共線（即線性無(wú)關(guān)）。

存在性：平面內(nèi)任意向量a均可用這對(duì)基底線性表示。

唯一性：這種線性表示中的系數(shù)入1和入2是唯一確定的。

幾何實(shí)質(zhì)：定理說(shuō)明了平面向量空間的二維性，即所有向量可由兩個(gè)獨(dú)立

第1頁(yè)共16頁(yè)

方向的向量構(gòu)造。

代數(shù)實(shí)質(zhì)：建立了向量與有序?qū)崝?shù)對(duì)（入1,入2）的一一對(duì)應(yīng)，這是坐標(biāo)系建立

的基礎(chǔ)。

3.推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用

平面向量基本定理的推導(dǎo)過(guò)程包括以下幾個(gè)步驟：

基底條件：選取兩個(gè)不共線向量e1和e2作為基底，確保線性組合的獨(dú)立

性。

存在性證明：通過(guò)向量分解平行四邊形法則，證明任何向量都能表示為

入通1+入202°

唯一性證明：假設(shè)存在兩種表示方法會(huì)導(dǎo)致矛盾，從而證得系數(shù)的唯一

性。

幾何意義：建立了向量與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

4.歷史背景和數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)

平面向量基本定理是數(shù)學(xué)中關(guān)于向量空間理論的基礎(chǔ)之一。它為向量的坐

標(biāo)表示提供了理論依據(jù)，并且通過(guò)選擇不同的基底，可以靈活地建立坐標(biāo)系以

簡(jiǎn)化問(wèn)題。該定理的推導(dǎo)源于向量加法的平行四邊形法則和數(shù)乘向量的封閉

性，體現(xiàn)了"基底”在向量運(yùn)算中的核心地位。

5.平面向量基本定理證明

在了解了平面向量基本定理之后，我們需要對(duì)其進(jìn)行證明。

首先，在學(xué)習(xí)平面向量的加法運(yùn)算的時(shí)候，我們學(xué)習(xí)了向量加法的三角形

法則和向量加法的平行四邊形法則，根據(jù)法則，我們知道一個(gè)向量可以表示為

同一平面內(nèi)兩個(gè)向量的和，如：

第2頁(yè)共16頁(yè)

B

又通過(guò)上周學(xué)習(xí)的向量數(shù)乘運(yùn)算，我們可以得到位于同一直線上的向量可

以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示；

那么，針對(duì)上圖，我們?nèi)∨c向量a共線的單位向量e1和實(shí)數(shù)入1，則

2=入通1，我們?nèi)∨c向量b共線的單位向量e2和實(shí)數(shù)入2，則b=%e2，因此向量

a+b=2liei+入202，我們便得到了部分平面向量基本定理；

接下來(lái)我們證明定義中的“唯一性”：

假設(shè)存在p.1和p.2也可以表示向量a+b為y.lei+|j.2e2，則

Aiei+A2e2=|ilei+|i2e2,即（入（入2叩2/2=0,再假設(shè)入廣皿和A2-|i2不全

為零，則可以得到e1=K入2皿）/&-囪）k2或e2=[（入廣口）/（入2叩2）B，也就是說(shuō)

存在非零實(shí)數(shù)可以使單位向量e1和e2相互表示，也就是說(shuō)單位向量e1和e2是

共線的，這與已知的“ei，e2是同一平面的兩個(gè)不共線向量”相矛盾；

因此，我們可以得到人尸皿，入2注2，也就是說(shuō)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1和入2

1兩足向量a+b=Lei+入262。

6.作業(yè)

6.1.基礎(chǔ)通關(guān)

（15分鐘30分）

1.設(shè)任1e｝是平面內(nèi)一組基底，則下面四組向量中，能作為基底的是（）

A.ei-e2與

B.2ei+3e2"^-4e]-6e2

Cei+2e2與2ei-e2

第3頁(yè)共16頁(yè)

111

D,-2ei+8e2與ei-4e2

【解析】選C因?yàn)橹挥胁还簿€的兩個(gè)向量才能作為基底，選項(xiàng)A、B、D中

的兩個(gè)向量都是共線的，不可以作為基底,選項(xiàng)C中的兩個(gè)向量不共線，可作為基

底.

2.（2020?湖州高一檢測(cè)）在AOAB中,P為線段AB上的一點(diǎn)3=x3+y而，且

B?=2PA^lJ(]

2112

A.x=3,y=3B.x=3,y=3

1331

C.x=4,y=4D.x=4,y=4

【解析】選A.因?yàn)辂?2而，

所以詼芮+2函

21

即3加=23+函所以布=3瓦+3函

21

即x=3,y=3.

3.（2020?長(zhǎng)沙高一檢測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿

足赤二2而,那么證=（]

1111

A.2AB-3ADB.3AB+2AD

1211

C.2AB-3ADD.4AB+2AD

1212

【解析】選C記=萩+市=2丘+33=2與-3/.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖所示，在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),F為CE的中點(diǎn)，則下=

第4頁(yè)共16頁(yè)

)

c

3113

A.4A5+4ADB.4AB+4AD

131

C.2AB+ADD.4AB+2AD

1

【解析】選D.根據(jù)題意得:標(biāo)=2（菽+蠢）,

1

又菽二標(biāo)+X5,標(biāo)=2福

1

所以至二2AB+ADH-AB

31

=4AB+2AD.

4.如圖所示，在6x4的方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)O,A,B,C均為格點(diǎn)

（格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），則詼?方=

【解析】設(shè)水平向右和豎直向上的單位向量為e】和e2,則

|ei|=|e2|=l,ei-e2=0,

由題圖可知，詼=3e1+2e2,標(biāo)=6ei-3e2,

夜?IS=（3ei+2e2H6e1-3e2）

=18eJ+3q-e?—6e/=12.

答案：12

:

5.已知ei,e2不共線，且a=ke1-e2,b=e2-e1,^a,b不能作為基底，則實(shí)數(shù)k等

于

【解析】因?yàn)閍,b不能作為基底，所以a,b共線，可設(shè)aCb,入CR,則k61-e2=A

第5頁(yè)共16頁(yè)

k=-A,

(0—p)、一1=4

-!，即kei-ezCez-入e],因?yàn)閑1,e2不共線，所以

所以k=l.

答案：1

補(bǔ)償訓(xùn)練

已知eie不共線,a=ei+2e2,b=2ei+入e2,要使｛a,b｝能作為平面內(nèi)的一個(gè)基底,

則實(shí)數(shù)人的取值范圍為

【解析】若能作為平面內(nèi)的一個(gè)基底，

則a與b不共線.

a=ei+2e2,b=2ei+入e2,由a±kb即得入黃4.

答案：(-8,4)U(4,+8)

6.(2020?臺(tái)州高一檢測(cè))如圖，在4ABC中,AB=2,AC=3/BAC=60。,還二2五，

CE

=2EB.

(1)求CD的長(zhǎng)；

(2)求標(biāo)?送的值.

B

1

【解析】⑴因?yàn)闊o(wú)=2命,所以命與贏，

1

所以而=XB-M=3戢

1—-—?

所以|而|=5AB—AC

./4AB2——TAB-AC+AC2

HX4--x2x3x-+9V67

32--

第6頁(yè)共16頁(yè)

V67

即CD的長(zhǎng)為丁；

12

(2]DE=BE-BD=-3CB+3AB

1211

=-3(AB-AC)+3AB=3AB+3AC,

所以熊?選=戢.]A■9A,

11

--*2—.......*------0-

=3AB+3AB?AC

4117

=3+3x2x3x2=3.

6.2.能力進(jìn)階

（30分鐘60分）

一、單選題（每小題5分，共20分）

l.A,B,0是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，且瓦=a,55=b，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

為Q,點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R,則同等于（）

A.a-bB.2(b-a)

C.2(a-b]D上-a

1

【解析】選B.如圖,a4(5?+說(shuō))，

11

b=2（由+屈）,相減得b-a=2（?-OP）,

所以訟=2（b-a）.

11

2.如圖，在平行四邊形ABCD中,AE=3AB,CF=3CD,G為EF的中點(diǎn)，則而=

()

第7頁(yè)共16頁(yè)

1111

A.2AB-2ADB.2AD-2AB

1111

C.3AB-3ADD.3AB-3AB

【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,

11

AE=3AB,CF=3CD,G為EF的中點(diǎn),

一一]

212121r

DG=DF+FG=3DC+2FE=3AB+2（FD+DE）=3AB+2[3八“丁八口”J

2lr.11

=3AB+2卜目人電一A耳=2AB.2AD.

3.已知非零向量近，崩不共線，且2i?=x無(wú)+y9，若礪=入標(biāo)（入CR）,則x,y滿

足的關(guān)系式是（）

A.x+y-2=0B.2x+y-l=0

C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

【解析】選A.由談二人族，

得將一而二入◎一兩，

即方二（1+入）5X-入畫(huà)

又2O?=xOA+yOB,

%=2+2A,

所以①=一2尢消去入得x+y=2.

1

4.如圖QA二AM,0B=30N,下列以。為起點(diǎn)的向量中，終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的

第8頁(yè)共16頁(yè)

11

A.0A+20BB.20A+30B

3131

C.40A+30BD.40A+50B

【解析】選C.設(shè)點(diǎn)C在線段AB上，

則存在實(shí)數(shù)入40,1]使得菽=入百，

所以友=(1閃出+人瓦，若友=x^+y而，

X+y=1,

xe[o,1],

([0,1],

同理可證若點(diǎn)C在線段MN±,OC=xlOM+ylON,

pi+7i=1，

ki￡[0,1],

則點(diǎn)C在線段MN上Q1°，1]，

因?yàn)槎?麗加=3函

12

對(duì)于A,OA+2OB=2OM+3ON,

12

因?yàn)?+3>1,

所以向量無(wú)+255的終點(diǎn)不在陰影內(nèi).

1111

對(duì)于B,2QA+3OB,H^J2+3<1,

所以終點(diǎn)落在AOAB內(nèi)；

11

所以向量23+3瓦的終點(diǎn)不在陰影內(nèi);

3131

對(duì)于C,40A+30B=80M+90N,

3131

因?yàn)?+3>1,而8+9<1;

第9頁(yè)共16頁(yè)

31

所以向量43+3瓦的終點(diǎn)在陰影內(nèi);

3131

對(duì)于D,4OA+5OB,S^J4+5<1,

31

所以向量43+53的終點(diǎn)不在陰影內(nèi).

二、多選題（每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有

選錯(cuò)的得0分）

5.設(shè)0是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組,其中可作為這

個(gè)平行四邊形所在平面的基底的是（）

A.AD與XSB.正與工

C.市與BSD.55與5s

【解析】選AC對(duì)于A,xs與而不共線;對(duì)于B,5X=-工，則5X與前共線;對(duì)

于c,五與無(wú)不共線;對(duì)于D,5B=-55,則無(wú)與55共線屈平面向量基底的概念知

A、C中的向量組可以作為平面的基底.

6.（2020?德州高一檢測(cè)）若點(diǎn)D,E,F分別為4ABC的邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，且

AB=a,BC=b,則下列結(jié)論正確的是（）

111

A.DA=a-2bB.BE=-2a+2b

111

C.CF=-2a-bD.DF=2a+2b

【解析】選BC.因?yàn)辄c(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),

11

所以XB=X5+而+2BC=a+2b,

1

所以市=-a-2b;

因?yàn)辄c(diǎn)E為邊CA的中點(diǎn)，

111

所以玩=2（BA+BC）=-2a+2b;

因?yàn)辄c(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)，

第10頁(yè)共16頁(yè)

1

所以CF=CB+BF=-BC-2AB

1

=-2a-b;

因?yàn)榍岸?前二a+b,

111

所以5?=2X6=-2a-2b.

三、填空題（每小題5分，共10分）

7.如圖，在平面內(nèi)有三個(gè)向量質(zhì),無(wú),反,|加|=|班|=1,示與面的夾角為

120°,

V3

灰與加的夾角為30。,|無(wú)|二5，設(shè)OC=mOA+nOB(m,nGR),

則m+n=

【解析】作以O(shè)C為一條對(duì)角線的平行四邊形OPCQ,

貝I]NCOQ=ZOCP=90°,

在RtAQOC中,20Q=QC,|反|二5",

則|西|=5,|近|=10,所以|次|=10,

X|OA|=|dB|=l,

所以5?=10質(zhì),的=535,

所以O(shè)C=OP+OQ=10OA+5OB,

所以m+n=10+5=15.

答案：15

8.方格紙中向量a,b,c如圖所示，若?=入2+址）,則入+|i=

第11頁(yè)共16頁(yè)

【解析】設(shè)水平向右,豎直向上的單位向量分別為.任，

貝！Ja=ei+3e2,b=3ei-e2,c=5e1+5e2/

0+3〃=5,

又c=M+此，所以（3於〃二5,

'X=2,

所以W=1,即入+產(chǎn)3.

答案：3

四、解答題（每小題10分，共20分）

9.如圖，已知在梯形ABCD中,AD||BC,E,F分別是AD,BC邊上的中點(diǎn)，且

BC=3AD,

通=為無(wú)力試以｛，1）｝為基底表示前,5?.

【解析】連接FA,DF.

1

因?yàn)锳DIIBC,且AD=3BC,

1111

所以X5=3玩=3b,所l)!AE=2AD=6b.

11

因?yàn)檎f(shuō)=2前,所以說(shuō)=2b,

第12頁(yè)共16頁(yè)

1

所以同=麗屈=a-2b.

所以EF=EA+AF=-AE-FA

11a

6b—Ia—匕）=上〃—'

DF=DA+AF=-（AD+FA]

=1

b~\~（a—^-bb-a.

6

10.(2020?錦州高一檢測(cè))如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是AD,AB的

中點(diǎn),G為BE與DF的交點(diǎn).若AB=a,AD=b

DC

A

(1)試以｛a,b｝為基底表示BE,DF；

(2)求證:A,G,C三點(diǎn)共線.

1

【解析】（l）BE=AE-AB=2b-a,

1

DF=AF-AD=2a-b；

(2)因?yàn)镈,G,F三點(diǎn)共線，所以DG與DF共線,

所以存在實(shí)數(shù)入使得DG=入DF,

所以AG=AD+入DF

11

=b+入2=2入+a(1一現(xiàn)

因?yàn)锽,G,E三點(diǎn)共線，所以BG與BE共線,

所以存在實(shí)數(shù)|1,使得BGjBE,

1

所以AG=AB+p,BE=a+|la+2|ib,因?yàn)閍,b不共線,

第13頁(yè)共16頁(yè)

伊=1-〃，

所以I2/解得入土=3,

111

所以XS=3(a+b)=3(前+XB)=3AC,

所以A,G,C三點(diǎn)共線.

6.3.創(chuàng)新遷移

1.古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末

比”問(wèn)題:將一線段AB分為兩線段AC,CB,使得其中較長(zhǎng)的一段AC是全長(zhǎng)與另一

ACBC'"-I

段CB的比例中項(xiàng)，即滿足茄=瓦=2，后人把這個(gè)數(shù)稱(chēng)為黃金分割數(shù)，把點(diǎn)C稱(chēng)

為線段AB的黃金分割點(diǎn)，在4ABC中，若點(diǎn)P.Q為線段BC的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，設(shè)

.yi

X?=xlX5+yl^S,X5=x2XS+y2^/M2+y2=()

ACB

A

BPQC

后■!

A.2B.2

c.北DAI

【解析】選c.由題意知,第=讖+而

(「包)3-V5

=AB+XZBC=AB+/(AC-AB)

vS-l3\三

2—*,2—*

：-AB+乙AC,

第14頁(yè)共16頁(yè)

i/5-l

---?---A--A--A2.

同理,AQ=AB+BQ=AB+?BC

y/5-1

---A2---A---*

=AB+?[AC-AB]

3-VSy/5-1

2—*2—*

="AB+」AC.

V5-13-V5

所以xl=y2=