北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《第一章三角形的證明》單元測(cè)試卷（帶答案）

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一.選擇題（共10小題）

1.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3,6,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.12B.12或15C.15D.無(wú)法確定

2.如圖，/XABC為等腰三角形，AB=AC,AD為3C邊上的中線，點(diǎn)P在AD上，連接P3、PC,

若P3=13,PD=5,則CD的長(zhǎng)為（）

3.下面幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）

A.2,4,6B.1,V2,V3C.8,V71D.6,6,6

4.如圖，已知線段A3,使用直尺和圓規(guī)作得直線I,交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)C在直線I上,若NAC3=110°,

則NACD=（）

A.35°B.40°C.50°D.55°

5.如圖，/XABC中，AB=6cm,AC=9cm,NABC與NAC3的平分線相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作DE〃

3C交A3于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,則△ADE的周長(zhǎng)等于（）cm.

A.12B.14C.15D.18

6.如圖，△ABC中，AB=AC,。是3C中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（）

A

B

第1頁(yè)

A./B=/CB.AD平分NBAC

C.ADLBCD.AB=2BD

7.下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A.AB：BC：AC=3：4：5B.AB：BC：AC=1：2：V3

C.NA-ZB=ZCD.ZA：ZB：ZC=3：4：5

8.如圖，在RtZXABC中，ZB=90°ZC=30°,AD平分NA4c交3c邊于點(diǎn)D,若3C=6,則

BD的長(zhǎng)度為（）

A.2B.3C.4D.5

9.如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為2cm,4cm,那么它的周長(zhǎng)為（)

A.8cmB.10cmC.11cmD.8cm或10cm

10.如圖，在△ABC中，ZB=15°,ZC=90°,A3的垂直平分線分別交A3,BC于點(diǎn)D,E,若

BE=6cm,則AC的長(zhǎng)是（）

二.填空題（共6小題）

11.在一個(gè)RtAABC中，有一個(gè)銳角等于25°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是.

12.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,3。是NA3C的平分線，DELAB,垂足為E.若AC=5,

DE=2,則AD的長(zhǎng)為.

13.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,將△ABC擴(kuò)充為等腰三角形A3D,使

擴(kuò)充的部分是以AC為直角邊的直角三角形，則CD的長(zhǎng)為.

第2頁(yè)

A

14.如圖，在△A5C中、的垂直平分線分別交BC,于點(diǎn)與F.若4A/。是等邊三角形，EF

I-一-?1rh）+

0123\4M/5力

、、，

16.一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于70°,則這個(gè)三角形的底角的度數(shù)是.

三.解答題（共7小題）

17.如圖，A,B,8是直線/上的三個(gè)點(diǎn)，AC，/于點(diǎn)A,3。，/于點(diǎn)3,且HC=HD,AB=7,AC

=5,BD=3,求AH的長(zhǎng).

18.已知：如圖，在△ABC中，AB=BC,3DLAC于點(diǎn)。，ZABD=300,求證：△ABC為等邊三

角形.

19.一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中NR4c和NADC都應(yīng)為直角，工人師傅量的零件

第3頁(yè)

各邊尺寸：AD=8,AC=1Q,CD=6,AB=24,BC=26,請(qǐng)你判斷這個(gè)零件是否符合要求，并說(shuō)

明理由.

20.如圖，/XABC中，ZA=36°,。在邊AC上，AD=BD=BC,求ND3C的度數(shù).

21.如圖1,在△ABC中，NABC和NAC3的平分線相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作ER〃3C,分別交A3和

AC于點(diǎn)E和冗

(1)求證：△BE。是等腰三角形.

(2)若AB=5,AC=4,求△AER的周長(zhǎng).

22.如圖，這是某推車(chē)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖.現(xiàn)測(cè)得BC=2dm,CD=8dm,AD=16dm,AB=18dm,

其中AD與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接(即NADB=90°),按照設(shè)計(jì)要求需滿(mǎn)足BC

LCD,請(qǐng)判斷該推車(chē)是否符合設(shè)計(jì)要求，并說(shuō)明理由.

23.已知，如圖，△ABC是等邊三角形，3。是AC邊上的高，延長(zhǎng)到E,使CE=CD,過(guò)。作

DF±BE于F.

第4頁(yè)

（1）求證：BD=DE；

（2）請(qǐng)猜想RC與3R間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

FC

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案CCBDCDDABD

一.選擇題（共10小題）

1.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3,6,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.12B.12或15C.15D.無(wú)法確定

【分析】求等腰三角形的周長(zhǎng)，即是確定等腰三角形的腰與底的長(zhǎng)求周長(zhǎng)；題目給出等腰三角形

有兩條邊長(zhǎng)為3和6,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)

系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解答】解：若3為腰長(zhǎng)，6為底邊長(zhǎng)

由于3+3=6,則三角形不存在；

若6為腰長(zhǎng)，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊.

所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為6+6+3=15.

故選：C.

2.如圖，ZVIBC為等腰三角形，AB=AC,AD為3c邊上的中線，點(diǎn)尸在AD上，連接P3、PC,

若P3=13,PD=5,則CD的長(zhǎng)為（）

DC

A.10C.12D.13

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理定理求解即可.

【解答】解：..工臺(tái)二人。，AD為3c邊上的中線

：.AD±BC,BD=CD

'：PB=13,PD=5

BD=VBP2—PD2=V132—52=12

故選：C.

3.下面幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（〉

A.2,4,6B.1,V2,V3C.8,夕，1D.6,6,6

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理處理：計(jì)算判斷較小的兩邊的平方和是否等于第三邊的平方即可.

【解答】解：A、因?yàn)?2+42/62,所以2,4,6不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)，A選項(xiàng)不合題意；

B、因?yàn)楫a(chǎn)+（企）2=（8）2,所以1,夜，聲能作為直角三角形三邊長(zhǎng)，3選項(xiàng)符合題意；

C、因?yàn)镮?+（夕）2力82,所以8,夕，1不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)，C選項(xiàng)不合題意；

D、因?yàn)?2+62/62,所以6,6,6不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)，。選項(xiàng)不合題意.

故選：B.

4.如圖，已知線段A3,使用直尺和圓規(guī)作得直線I,交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)C在直線I上,若NAC3=110°,

則NACD=（）

A.35°B.40°C.50°D.55°

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡可知，直線/垂直平分A3,點(diǎn)C在直線/上，△ABC是等腰三角形，

由等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡可知，直線/垂直平分A3,點(diǎn)C在直線/上，△ABC是等腰三角

形

11

：.^ACD=^ACB=2x110°=55°.

故選：D.

5.如圖，/XABC中，AB=6cm,AC=9cm,NABC與NACB的平分線相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作DE〃

3c交A3于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,則△ADE的周長(zhǎng)等于（）cm.

第6頁(yè)

A

A.12B.14C.15D.18

【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△30。與△COE是等腰三角形，即可得△ADE

的周長(zhǎng)等于A3+AC解題即可.

【解答】解：,??3。平分NABC,C。平分NAC3

ZABO=ZOBC,ZACO=ZOCB

,JDE//BC

：.ZBOD=ZOBC,ZCOE=ZOCB

：.ZABO=ZBOD,ZACO=ZCOE

：.BD=OD,CE=OE

AB=6cm,AC=9cm

：.AADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=6+9=15（cm）.

故選：C.

6.如圖，/XABC中，AB=AC,。是3c中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.ZB=ZCB.AD平分NBAC

C.AD±BCD.AB=2BD

【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解答.

【解答】解：,?.△ABC中，AB=AC,。是3C中點(diǎn)

AZB=ZC（故A正確）

AD1BC（故C正確）

ZBAD=ZCAD（故3正確）

無(wú)法得到AB=23D,（故。不正確）.

故選：D.

7.下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A.AB：BC：AC=3：4：5B.AB：BC：AC=1：2：V3

C.ZA-ZB=ZCD.ZA：ZB：ZC=3：4：5

第7頁(yè)

【分析】A.應(yīng)用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

B.應(yīng)用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

C.應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

D.應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

（）2+2=

【解答】解：A.設(shè)AB=3a,BC=4a,AC=5a,因?yàn)?4+302=3tz（而）25",AC2=

（5a）2=25次，即432+502=4^,所以△ABC是直角三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；

2222

B.設(shè)A3=o,BC=2a,AC=^a,因?yàn)?4+人。2=/+（B。）2=船2,3c2=（2a）=4tz,即AB+AC

=BC2,所以△ABC是直角三角形，故3選項(xiàng)不符合題意；

C.由NA+N3+NC=180°,/A-/B=/C,可得NA=90°,所以△ABC是直角三角形，故C

選項(xiàng)不符合題意；

D.因?yàn)镹A：NB：NC=3：4：5,所以180°=45°,zB=x180°=60°,zC=x180°=75°,

所以△ABC不是直角三角形，故。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

8.如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,ZC=30°,AD平分NB4c交3C邊于點(diǎn)。，若3C=6,則

A.2B.3C.4D.5

【分析】先求出NC4B=60°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得/癡。=/。4。=30°,然后根據(jù)等角對(duì)等

邊得CD=AD,根據(jù)含30°角直角三角形的特征即可求解.

【解答】解：???/3=90°,ZC=30°

：.ZCAB=90°-30°=60°

:人。平分NC4B

i

：.^BAD=/.CAD=x60°=30°

：.ZCAD=ZC

：.AD=CD

VZBAD=3Q°,ZB=90°

：.AD=2BD

：.CD=2BD

第8頁(yè)

'：BD+CD=BC

：.BD+2BD=6

：.BD=2

故選：A.

9.如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為2cm,4cm,那么它的周長(zhǎng)為（）

A.8cmB.10cmC.11cmD.8c機(jī)或lOc/n

【分析】分兩種情況：①底為2cm,腰為4c機(jī)時(shí)，求出三角形的周長(zhǎng)即可；

②底為4cm，腰為2c機(jī)時(shí)；2+2=4,由三角形的三邊關(guān)系得出不能構(gòu)成三角形.

【解答】解：分兩種情況：

①底為2cm,腰為4cm時(shí)

等腰三角形的周長(zhǎng)=2+4+4=10（cm）；

②底為4c/n,腰為2cm時(shí)

V2+2=4

不能構(gòu)成三角形；

???等腰三角形的周長(zhǎng)為10c機(jī)；

故選：B.

10.如圖，在△ABC中，NB=15°,ZC=90°,A3的垂直平分線分別交AB,3C于點(diǎn)。，E,若

BE=6cm,則AC的長(zhǎng)是（）

B

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到3E=AE=6cm,推出NB4E=N3=15°,由三角形外角的

性質(zhì)得到NAEC=30°,然后利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：.??￡>￡是線段A3的垂直平分線

.'.BE=AE=6cm

：.ZBAE=ZB=15°

：.ZAEC=ZBAE+ZB=3Q°.

VZC=90°

1

?\AC==3cm.

第9頁(yè)

故選：D.

—.填空題（共6小題）

11.在一個(gè)Rt^ABC中，有一個(gè)銳角等于25°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是65°.

【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可.

【解答】解：在一個(gè)RtzXABC中，有一個(gè)銳角等于25°

則另一個(gè)銳角的度數(shù)為：90°-25°=65°

故答案為：65°.

12.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,3。是NABC的平分線，DELAB,垂足為E.若AC=5,

DE=2,則4。的長(zhǎng)為3.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE=DC=2,則可求出AD的長(zhǎng)度.

【解答】解：由題意可得：DE=DC=2

：.AD=AC-DC=5-2=3.

故答案為：3.

13.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,將△ABC擴(kuò)充為等腰三角形A3D,使

擴(kuò)充的部分是以AC為直角邊的直角三角形，則CD的長(zhǎng)為6或4或7一.

--------------3-

【分析】分AD=A3、BA=BD、三種情況解答即可求解.

【解答】解：如圖1,當(dāng)AD=A3時(shí)

ZACB=90°

：.AC±BD

：.CD=BC=6；

第io頁(yè)

A

圖1

如圖2,當(dāng)時(shí)

圖2

VZACB=9Q°,AC=8,BC=6

：.AB=y/AC2+BC2=V82+62=10

：.BD=10

：.CD=BD-BC=10-6=4；

如圖3,當(dāng)AD=3D時(shí)，設(shè)CD=x,則AD=3D=6+x

在RtZ^ACD中，AC2+CD2=AD2

82+%2=(6+x)2

解得％=7?

/.CD=Z；

故答案為：6或4或7(

14.如圖，在△ABC中、BC的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)。F.若/。是等邊三角形，EF

=12cm.貝UBC=_24V3_cm.

第11頁(yè)

c

J，

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到/3=/3(4，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到NARC=60°,

從而可得N3,從而可得答案.

【解答】解：垂直平分

：.BF=CF,BC=2BE

ZB=ZBCF

???△ACR為等邊三角形

/.ZAFC=60°

ZB=ZBCF=30°

'：EF=ncm

：.BF=2EF=2X12=24(cm)

：.BE=<BF2-EF2=12V3(cm)

：.BC=2BE=24V3(cm)

所以3c的長(zhǎng)為24遮(cm).

故答案為：24V3.

15.如圖所示的數(shù)軸，點(diǎn)M表示的數(shù)是_g_.

一一一尸下、

0123\4M/5力

、、，/

、、一...，

【分析】根據(jù)勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸解答即可.

【解答】解：如圖所示

由題意，可得AC=1,BC=4,AC±BC

第12頁(yè)

...在Rtz\ABC中，由勾股定理，得432=402+302

AB=yjAC2+BC2=Vl2+42=y/17

I.點(diǎn)M表示的數(shù)是g.

故答案為：V17.

16.一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于70°,則這個(gè)三角形的底角的度數(shù)是35°.

【分析】根據(jù)題意可得這個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是no。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外

角的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：???一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于70°

.?.180°-70°=110°

底角的度數(shù)是70°+2=35°

故答案為：35°.

三.解答題(共7小題)

17.如圖，A,B,8是直線/上的三個(gè)點(diǎn)，AC，/于點(diǎn)A,3。，/于點(diǎn)3,且HC=HD,AB=7,AC

=5,BD=3,求AH的長(zhǎng).

【分析】設(shè)(x>0),從而可得BH=7-x,再分別在RtzMCH和RtABDH中，利用勾股定

理求出HC2,的值，然后根據(jù)“c=H。建立方程，解方程即可得

【解答】解：設(shè)AH=x(x>0),則-AH=7-x

：AC，/于點(diǎn)A,BD_U于點(diǎn)B

?*.Z\ACH和△3DH都是直角三角形

在RtAACH中，HC1=AC2+AH2=25+x2

在中，HD2=BD2+BH2=9+(7-x)2=58-14x+x2

'：HC=HD

：.HC2=HD2,即25+X2=58-14%+x2

解得：x=||

故答案為：AH的長(zhǎng)為弓.

14

18.已知：如圖，在△ABC中，AB=BC,3DLAC于點(diǎn)。，ZABD=3Q°,求證：△ABC為等邊三

第13頁(yè)

角形.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NA3C=60°,根據(jù)“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊

三角形”即可得解.

【解答】證明：3DLAC于點(diǎn)。

ZABC=2ZABD

'：ZABD=30°

：.ZABC=60°

又AB=BC

：.△ABC為等邊三角形.

19.一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中N84C和NADC都應(yīng)為直角，工人師傅量的零件

各邊尺寸：AD=8,AC=10,CD=6,AB=24,BC=26,請(qǐng)你判斷這個(gè)零件是否符合要求，并說(shuō)

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷出△AC。、AABC的形狀，從而判斷這個(gè)零件是否符合要

求.

【解答】解："：AD=8,AC=10,CD=6,AB=24,3c=26

：.AD2+CD2=AC1,AB2+AC2=BC2

...△AC。、ZXABC是直角三角形

/.ZADC=9Q°,NA4c=90°

故這個(gè)零件符合要求.

20.如圖，/XABC中，ZA=36°,。在邊AC上，AD=BD=BC,求ND3C的度數(shù).

第14頁(yè)

B

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解：???3D=A。

/.ZA=ZABD=36°

：.ZBDC=ZA+ZABD=12°

?：BD=BC

：.ZBDC=ZBCD=12°

：.ZDBC=180°-72°-72°=36°.

21.如圖1,在△ABC中，NA3C和NAC3的平分線相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作分別交A3和

AC于點(diǎn)E和F.

(1)求證：△BE。是等腰三角形.

(2)若AB=5,AC=4,求的周長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明△BE。是等腰三角形

(2)同理可得0E=3E,再由等腰三角形的性質(zhì)得。R=RC,則△ADE的周長(zhǎng)=A3+AC,從而得

出答案.

【解答】(1)證明：?.?ER//3C

：.ZEO