2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中復(fù)習(xí)真題精選（?？?00題20類題型

專練）

【人教A版（2019）］

題型歸納

題型1變化率問題

題型3曲線的切線問題

題型5函數(shù)的極值、最值問題

題型7導(dǎo)數(shù)中的恒（能）成立問題

題型9排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算

題型11相鄰、不相鄰排列問題

題型13求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)（系數(shù)）

題型15二項(xiàng)式乘積、三項(xiàng)展開式系數(shù)問題

題型17隨機(jī)變量及其分布

題型19二項(xiàng)分布與超幾何分布

題型1'變化率問題（共5小題）

1.（23-24高二下?福建龍巖?期中）若函數(shù)/（久）=/-久，則函數(shù)f（x）從x=l到久=3的平均變化率為（）

A.6B.3C.2D.1

【解題思路】利用平均變化率的定義可得答案.

【解答過程】因?yàn)?（x）=1-X,所以/■（1_）=12-1=0,，⑶=32-3=6,

故函數(shù)/（X）從x=1到x=3的平均變化率為祟=弋二,⑴=等=3.

故選：B.

2.（23-24高二下?江西萍鄉(xiāng)?期中）已知甲、乙兩個(gè)小區(qū)在［0月這段時(shí)間內(nèi)的家庭廚余垃圾的分出量Q與時(shí)間

t的關(guān)系如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

①在代攬2］這段時(shí)間內(nèi)，甲小區(qū)比乙小區(qū)的分出量增長(zhǎng)得慢；

②在［以，%］這段時(shí)間內(nèi)，乙小區(qū)比甲小區(qū)的分出量增長(zhǎng)得快；

③在勿時(shí)刻，甲小區(qū)的分出量比乙小區(qū)的分出量增長(zhǎng)得慢；

④乙小區(qū)在功時(shí)刻的分出量比13時(shí)刻的分出量增長(zhǎng)得快.

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合圖象的變化快慢，即可判斷選項(xiàng).

【解答過程】①在電力］這段時(shí)間內(nèi)，甲小區(qū)比乙小區(qū)的分出量增長(zhǎng)得慢，故①正確；

②在［以，b］這段時(shí)間內(nèi)，乙小區(qū)比甲小區(qū)的分出量增長(zhǎng)得快，故②正確；

③在以時(shí)刻，乙的圖象比甲的圖象陡，所以乙的瞬時(shí)增長(zhǎng)快，故③正確；

④乙小區(qū)在t2時(shí)刻比在b時(shí)刻陡，所以在12時(shí)刻的分出量比值時(shí)刻的分出量增長(zhǎng)得快，故④正確.

故選：D.

3.（23-24高二下?四川廣元?期中）一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離九（單位：m）與時(shí)間t

（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為/1?）=2/+23則下列說法正確的是（）

A.前3s內(nèi)球滾下的垂直距離的增量△%=20mB.在時(shí)間［2,3］內(nèi)球滾下的垂直距離的增量△%=12m

C.前3s內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為8m/sD.第2s時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為10m/s

【解題思路】利用函數(shù)關(guān)系式計(jì)算可判定A、B,由平均速度、瞬時(shí)速度的求法可判定C、D選項(xiàng).

【解答過程】前3s內(nèi)，At=3s,Aft=h（3）-/i（0）=24m,

此時(shí)球在垂直方向上的平均速度為等=9=8m/s,A錯(cuò)誤；C正確；

在時(shí)間［2,3］內(nèi)，At=ls,Ah=h（3）-/i（2）=12m,B正確；

〃（t）=4t+2,"（2）=4x2+2=10,則第2s時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為lOm/s,

D正確.

故選：BCD.

4.（23-24高二下?安徽亳州?期中）已知函數(shù)/（久）=2/-％+1,貝療（久）從1至IJ1+△%的平均變化率為

x+3._.

【解題思路】借助平均變化率定義計(jì)算即可得.

［解型過程Jf(l+△久)-f⑴_(tái)2(1+△久)2-(1+，%)+1-(2-1+1)

=2(32+3AX=2AX+3

△%

故答案為：2Ax+3.

5.(23-24高二下?河南?期中)2024年2月23日19時(shí)30分，中國(guó)航天迎來甲辰龍年首飛.長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載

火箭成功將通信技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星十一號(hào)送入預(yù)定軌道.豎直向上發(fā)射的火箭熄火時(shí)上升速度達(dá)到100m/s,此

后其位移單位：m)與時(shí)間f(單位；s)近似滿足函數(shù)關(guān)系”=100t-5t2

(1)分別求火箭在［0,2］、［2,4］這些時(shí)間段內(nèi)的平均速度；

(2)求火箭在1=2時(shí)的瞬時(shí)速度；

(3)熄火后多長(zhǎng)時(shí)間火箭上升速度為0.

【解題思路】(1)根據(jù)平均速度”弋入表達(dá)式計(jì)算；

(2)由函數(shù)H(x)=100t—5t2,可得夕(x)=100—103根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義可求解；

(3)根據(jù)題意即求瞬時(shí)速度為0時(shí)的/的值.

【解答過程】(1)由位移”與時(shí)間,近似滿足函數(shù)關(guān)系H=100t-5t2,

則火箭在［0,2］這些時(shí)間段內(nèi)的平均速度為智臀=I"'*??=gom/s；

火箭在［2,4］這些時(shí)間段內(nèi)的平均速度為：嘴手2)=100X4-5X42/100X2-5X22)=7(^/5.

(2)由函數(shù)H(x)=loot-5t2,可得/(x)=100-10￡,可得牙(2)=100-10x2=80m/s,

所以火箭在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為80m/s.

(3)由牙⑺=100—10t,令H'(x)=0,BP100-10t=0,解得t=10s,

熄火后10s火箭上升速度為0.

題型2N、利用導(dǎo)致的定義解題(共5小題)

1.(23-24高二下?江西萍鄉(xiāng)?期中)設(shè)/(久)在R上的導(dǎo)函數(shù)為r(x),若limn上等返=2,則((3)=()

△久TO5△久

A.-2B.2C.-6D.6

【解題思路】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義即可求解.

［解答過程】由于lim⑶=1Hm⑶=一牙⑶=2,則/(3)=-6.

故選：C.

2.(23-24高二下?黑龍江伊春?期中)若/(*)是可導(dǎo)函數(shù)，且1m"1-3父)-八1)=6,則/(1)=()

△x->0一組

2

A.2B.-C.-1D.-2

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【解答過程】廣⑴=1皿“3黑-"1).im"-3A”⑴6=2.

故選:A.

3.(23-24高二下?安徽合肥?期中)若當(dāng)△%->(),滿足，⑴*'-l,則下列結(jié)論正確的是()

/(1+的一“1—△久)、

--------;--------->-4

A.Ax

“1+△尤)一f(l一△》)

B-&T

C.曲線y=f(x)上點(diǎn)(1)(1))處的切線斜率為一1

D.曲線y=/(%)上點(diǎn)(1/(1))處的切線斜率為—2

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答過程】由,⑴會(huì)叫-1得:'⑴［尸)-2,即r(1)=—2,

曲線y=/(x)上點(diǎn)(1/(1))處的切線斜率為—2,C錯(cuò)誤；D正確;

/-(1+Ax)-/(1-Ax)/(1+Ax)-/(1-A%)/W-f(l—Ar)、

-----Nc-------:2x-----------------=2x-&--------A正確;B錯(cuò)誤.

故選：AD.

4.(23-24高二下?上海?期中)己知函數(shù)y=f(久)在x=2處的切線斜率為匕且lim小?？?一2,則/c=

h-0”

-2.

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得答案.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=在X=2處的切線斜率為k=((2),

且Hm/產(chǎn)2=((2)=-2,則k=-2.

故答案為：—2.

5.(23?24高二下?上海?期中)已知/(%)在右處的導(dǎo)數(shù)r(%0)=匕求下列各式的值:

(2)limAx

【解題思路】(1)(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【解答過程】(1)=

即］imf（Xo），8Ar）==k

Av—n△久

.]jm」（久（））一）（qo-△久）=i]jm/（%0））（%o△久）=3'（Xo）=1

-2AX2AX^0△%

f（%o+A%）一/（久0—4久）

（2）:

（x0+A^）-（x0-Ax）

即3"夢(mèng)匚出為函數(shù)/(x)在區(qū)間因-Ax,%0+△用上平均變化率.

/（00+△：￥）一/（第0-△；＜）

.?.當(dāng)時(shí),

Ax—O-2Ax-必趨于/(%0)=k,

/Oo+AjO-fOo.A%）

???lim=k,

△%T0-2Ax-

/~（K0+A<）/（%060

/.lim=2k.

△%->oAx

題型3、曲線的切線問題(共5小題)

1.(23-24高二下?湖南益陽(yáng)?期中)曲線f(%)=(久+1)9在x=0處的切線方程為()

A.y=x+1B.y=x+2C.y=2%+2D.y=2%+1

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答過程】由函數(shù)/久)=(x+l)ex,得/(久)=(x+2)ex,

則f(0)=1,r(0)=2,

所以曲線在X=0處的切線方程為y-l=2x,即y=2久+1.

故選：D.

2.(23-24高二下?重慶九龍坡?期中)已知函數(shù)/'(%)在x=2處的切線方程為3x+y—2=0,則/(2)=

()

A.0B.-3C.-4D.-8

【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在x=2處的切線方程為3x+y-2=0,

此時(shí)直線方程3x+y-2=。的斜率為-3,

所以尸(2)=-3.

故選：B.

3.(23-24高二下?湖南?期中)過點(diǎn)P(2,—6)作曲線/0)=爐—3%的切線，則切線方程可能是()

A.3%+y=0

B.24%—y—54=0

C.9x—y-24=0

D.12%—y—24=0

【解題思路】先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出導(dǎo)函數(shù)，再將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐

標(biāo)寫出切線方程，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入切線方程，進(jìn)而解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后得到答案.

【解答過程】

3

?</=3/-3.設(shè)曲線的切點(diǎn)為(尤o，yo),則k=3x()2-3,y0=x0-3%0.

2

切線方程為y-(配3-3K°)=(3XO-3)(X-%O).

又切線經(jīng)過點(diǎn)P(2,-6),貝『6-0()3-3xo)=(3x()2_3)(2-xo),解得g=。或&=3,

???切點(diǎn)為(0,0)時(shí)，切線方程為3x+y=0；切點(diǎn)為(3,18)時(shí)，切線方程為24x-y-54=0.

故選：AB.

4.(23-24高二下?廣東惠州?期中)已知函數(shù)/(x)=ef+l,則函數(shù)/(尤)=0管+1的圖像在(0,2)處的切線方

程為_式±y—2=0.

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于該點(diǎn)切線的斜率即可求解.

【解答過程】由/(x)=ef+L得(⑺=-e-r,則1(0)=-1,

所以函數(shù)f(x)=er+1的圖象在(0,2)處的切線方程為y=-x+2,即x+y-2=0.

故答案為：x+y—2=0.

5.(23-24高二下?陜西漢中?期中)已知函數(shù)/(%)=-/+久+=e-2x+i.

(1)求曲線y=/(久)在％=1處的切線方程；

(2)若曲線y=/(%)在x=1處的切線與曲線y=g(x)在x=t(teR)處的切線平行，求t的值.

【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，再求切線方程；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，再根據(jù)兩直線平行的幾何關(guān)系，列式求解.

【解答過程】Cl)f\x)=-3x2+l,/(I)=1,1⑴=一2,

所以曲線y=/'(X)在x=1處的切線方程為y-l=-2(%-l),即2%+y-3=0；

(2)由(1)可得：曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=-2x+3,

由g'(x)=-2e-2x+i,可得曲線y=g(%)在x=t(teR)處的切線斜率為g，(t)=-2e-2t+1,

由題意可得—2e-2t+i=-2,從而t

題型4q函數(shù)的單調(diào)性問題(共5小題)OJ

1.(23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期中)函數(shù)/(x)=2x-41nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(—oo,2)B.(0,2)C.(2,+8)D.(e,+oo)

【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式r(x)<o即可得解.

【解答過程】函數(shù)/'(%)=2久—41n久的定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得廣(刀)=2

由((%)<0,得0<x<2,

所以函數(shù)“X)=2x—41nx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).

故選：B.

1

2.(23-24局二下?江蘇揚(yáng)州?期中)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且/(l)=e—于f(x)+x>ex,則不

等式2e，-2/(x)>x2的解集為()

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(1,+oo)D.(0,1)U(1,+oo)

【解題思路】由題設(shè)不等式整理后構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-ex+京2滿足g，(x)>0,得出y=g(x)在(0,+oo)±

單調(diào)遞增，整理待求不等式，利用函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性即可求得.

【解答過程】由尸(龍)+》>廿可得/0)—廿+%>0,即e，+京2)，>o,

設(shè)。⑶=f(x)-ex+#,x￡(0,+oo),則由g，(x)>0可得，y=g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

111

又g(l)=/⑴-e+-=e---e+-=0,

x

由2e久一2/(%)>/可得，/(x)-e+<0,即g(%)<g(l),解得0<xVl.

故選：A.

3.(23-24高二下?福建福州?期中)下列函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.y=x—exB.y=e~x—ex

一.—

C.y=x—sin%D.y=i—x

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷AC的單調(diào)性，根據(jù)基本初等函數(shù)單調(diào)性判斷BD.

【解答過程】對(duì)A,y,=l-ex,當(dāng)％>0時(shí)，y,<0,故函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故A正確；

對(duì)B,丫=@),-9為區(qū)上的減函數(shù)，故B正確；

對(duì)C,y=l-cosx>0,故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

1

對(duì)D,y=1―1在(0,+8)上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ABD.

4.(23-24高二下?四川瀘州?期中)若函數(shù)g)=lnx-：a久2一2%在口,4］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是<二春

【解題思路】求導(dǎo)得/f(x)=5-a久一2,轉(zhuǎn)化為/T(x)>0在［1,4］上有解，最后分離參數(shù)即可.

-11

【解答過程】函數(shù)九(%)=In%-,。/一2%,貝!!"(%)=］一。%—2,

因?yàn)榫?%)在［1,4］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以斤(第)>0在［1,4］上有解，

19

所以當(dāng)xe［1,4］時(shí)，a〈哀—受有解，

令g(x)=2而當(dāng)xe［1,4］時(shí),令士=汨判，

g。)=*T即為s(t)=t2-2t=(t-i)2-i,

此時(shí)0(t)max=潟)=-看(此時(shí)X=4),所以a<一卷，

故答案為：a<—白

10

5.(23-24高二下?云南昭通?期中)已知函數(shù)/■(>:)=9-梟3-?一2￡1%+1.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(*)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程；

(2)若/(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)得廣(%),再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由條件可得r(x)20在區(qū)間［0,+8)上恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，即可

求解.

【解答過程】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=ex-y+l,財(cái)穴l)=e+2,

又r(x)=ex-x,所以尸(1)=e-1,

所以y=/(x)在(1/(1))處的切線方程為y-(e+g)=(e-l)(x-l)?

即2(e—l)x—2y+3=0.

(2)因?yàn)閒(尤)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以尸(%)=ex-ax2-x-2a>0在區(qū)間［0,+8)上恒成立，

所以a<仁高)，

人"、eirnl"/、(ex-1)(x2+2)-(ex-x)-2x

令9(無)=西？則gO)=------西方------，

令h(x)=(ex—l)(x2+2)-(ex—%)-2x,則〃(x)=x2ex+2x,

當(dāng)KN0時(shí)，〃(x)20,h(x)單調(diào)遞增，/i(x)>/i(0)=0,

所以g'O)N0,所以g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)min=9(0)=g，所以awg,

所以a的取值范圍為(-8,J

題型5飛函數(shù)的極值、最值問題(共5小題)

1.(23-24高二下?重慶九龍坡?期中)若函數(shù)/(x)=x(x+c)2在x=—1處有極大值，貝此=()

A.1或3B.3C.1D.-

【解題思路】根據(jù)在％=-1處的導(dǎo)數(shù)為。求得c,然后驗(yàn)證函數(shù)f(x)是否在％=-1處取得極大值即可.

【解答過程】因?yàn)?'(X)=(x+c)2+2x(x+c)=3x2+4cx+c2=(3x+c)(%+c)

若函數(shù)/(x)=x(x+c)2在X=-1處有極大值，

所以廣(-1)=(-3+c)(-l+c)=0,解得c=3或c=1,

當(dāng)c=3時(shí)，1(%)=(3x+3)(%+3),

當(dāng)%>—1或％<—3時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)一3<%<—1時(shí)，f(x)<0,

則函數(shù)/■(>)在X=-1處取得極小值(舍去)；

當(dāng)c=l時(shí)，r(x)=(3x+l)(x+1),

當(dāng)%>一3或x<-l時(shí)，尸(x)>0,當(dāng)■時(shí)，f'(x)<0,

則函數(shù)f(x)在X=—1處取得極大值，綜上，c=l.

故選：C.

2

2.(23-24高二下?寧夏吳忠?期中)函數(shù)/(久)=爐+ax+3%,已知/⑴在久=一3時(shí)取得極值，則[―4,—1]

上的最大值為()

A.-9B.1C.9D.4

【解題思路】利用f'(-3)=0,求得a,代入利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函

數(shù)的最值.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=%3+ax2+3%,

所以尸(x)=3x2+2ax+3,

因?yàn)閒(x)在X=-3時(shí)取得極值，

所以((一3)=3x(—3)2+2a(-3)+3=0,解得a=5,

所以/(%)=%3+5%2+3%,XG[-4,-1],

廣(%)=3久2+10%+3=(3%+1)(%+3),

令廣(久)=0,則(3x+l)(x+3)=0,解得乂=一3或刀=一！(舍),

當(dāng)一4Wx<-3時(shí)，f(%)>0,

當(dāng)—1時(shí)，尸(無)<0,

所以f(x)在[-4,-3)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=-3時(shí)取得最大值為/(-3)=(-3)3+5x(—3)2+3x(-3)=9.

故選：C.

3.(23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期中)對(duì)于函數(shù)/(久)=暴3+2/,下列說法正確的是()

A./(x)是增函數(shù)，無極值

B./(久)是減函數(shù)，無極值

C.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—4),(0+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—4,0)

,27

D./(0)=0是極小值，f(-4)=才是極大值

【解題思路】求出廣(%),求出((x)>0的區(qū)間，/(x)<0的區(qū)間，求出/'(X)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間,

判斷A、B和C選項(xiàng)，求出/(X)的極小值和極大值，判斷D選項(xiàng).

【解答過程】,?"(X)定義域?yàn)镽,f'(x)=X2+4x=x(x+4),

.?.當(dāng)％e(—8,-4)u(o,+8)時(shí)，ro)>0,當(dāng)xe(-4,0)時(shí)，尸(x)<o,

???/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,-4),(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—4,0),AB錯(cuò)誤，C正確；

/0)的極小值為/(0)=0,極大值為了(-4)=予D正確.

故選：CD.

4.(23-24高二下?吉林?期中)若函數(shù)/(久)=|爐+。久2+8%+1在區(qū)間(1,3)上有極值，則。的取值范圍為

(—5.—4).

【解題思路】由函數(shù)有極值通過求導(dǎo)，得出導(dǎo)函數(shù)方程(。)=2%2+2ax+8=0在區(qū)間(1,3)上有實(shí)根，繼

4

續(xù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=-a與g(x)=尤+嚏在區(qū)間(1,3)上有交點(diǎn)，結(jié)合雙勾函數(shù)的圖象單調(diào)性即可求得

【解答過程】由/(%)+ax2+8x+1求導(dǎo)可得，「(%)=2/+2ax+8,

因函數(shù)/O)=/3+ax2+8x+1在區(qū)間(1,3)上有極值，

則方程r(%)=2x2+2ax+8=0在區(qū)間(1,3)上有實(shí)根，

故須使△=4層-64>0,(若△=(),得。=±4,止匕時(shí)廣(無)20,函數(shù)在(1,3)上無極值)

解得a<-4或a>4

且方程—a=%+?在區(qū)間(1,3)上有實(shí)根，

也即函數(shù)丫=-a與g(x)=x+：在區(qū)間(1,3)上有交點(diǎn).

417

因g(x)=x+￡在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增，且g⑴=5>儀3)=號(hào)g(2)=4,

故4Wg(x)<5,即4W-a<5,解得-5<aW-4,又a<-4或a>4,

故a的取值范圍為(—5,—4).

故答案為：(-5,-4).

5.(23-24高二下?江蘇常州?期中)已知函數(shù)/(x)=/+a/一故+a?,在久=1時(shí)取得極小值10.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

⑵求函數(shù)人比)在區(qū)間［-1,3］上的最值.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)/(*)在x=l處有極小值10,列出方程組求解即可，注意需要驗(yàn)證；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求出極值和端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可求出函數(shù)的最大值與最小值.

【解答過程】(1)由/'(x)=爐+。兀2TJ%+。2,得/(%)=3%2+2ax—b,

因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)=%3+ax2-bx+a2在％=1時(shí)取得極小值10,

所以｛4)(笠；2容汜\o，解得上:二1或n

當(dāng)｛￡l-J時(shí)，r(x)=3x2-6x+3=3(x-l)2>0,不符合題意；

當(dāng)｛不二［時(shí)，/(%)=3x2+8%-11=(3%+11)(%-1),

當(dāng)"一節(jié)或x>i時(shí),r(x)>o,當(dāng)一節(jié)<刀<1時(shí)，r(%)<o,

所以X=1為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以符合題意，

所以/'(x)=x3+4X2-11X+16；

(2)由(1)可得當(dāng)x<-?或x>l時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)時(shí)，r(x)<0,

所以f(x)在(-8,-日)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)閒(-1)=-1+4+11+16=30,/(I)=10,f(3)=27+36-33+16=46,

所以f(X)max=/(3)=46,f(X)=10.

題型6N導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)問題（共5小題）。|

1.（23-24高二下?四川涼山?期中）函數(shù)y=%3—a%：存在3個(gè)零點(diǎn)，貝必的取值范圍為（）

A.B.（一粉

c.?+8）D.$+8）

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再借助三次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組求解即得.

【解答過程】函數(shù)丫=代一ax+；,求導(dǎo)得y=3/-a,

當(dāng)aWO時(shí)，y'>0,函數(shù)丫=X3一3+：在11上單調(diào)遞增，該函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，由3/—a>0,得x<—或x>電，由3/—a<0,得一/<x<木,

則函數(shù)丫=久3一"+:在（—8,—J|）,（J|+8）上單調(diào)遞增，在（―J|（）上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=—時(shí)，函數(shù)片/一3+；取得極大值菰+；>0,

當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y=x3-ax+:取得極小值*Jj+p

函數(shù)丫=/一3+；存在3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)一部+*0,解得a>*

所以a的取值范圍為（*+8）.

故選：C.

2.（23-24高二下?湖南益陽(yáng)?期中）已知函數(shù)/（x）={]nQ-x^x<-1<9（*）=f（%）-x+a,若g（

%）存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.B.（1,1+1）C,[-|-1,-1]D,[-J-1--1）

【解題思路】根據(jù)題意，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，然后結(jié)合函數(shù)圖像，代入計(jì)算，即可

求解.

令g(%)=f(%)—x+a=0,即f(x)=x—a,

則函數(shù)g(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(%)與函數(shù)y=%-。交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

做出函數(shù)/(%)與函數(shù)y=%-a的圖像，如圖所示，

當(dāng)直線y=第一。與曲線y=e”相切時(shí)，

又當(dāng)久之一1時(shí)，y=ex,則y，=e"則e"=l,則％=0,即且點(diǎn)為(0,1),此時(shí)。=一1,

因?yàn)間(%)存在3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/(%)與函數(shù)y=的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，

CL<-1

解得_1_三口<_1,

(-1—a七

所以a的取值范圍是［一：一1,一1).

故選：D.

3.(23-24高二下?山東臨沂?期中)已知函數(shù)/■(久)=xln(l+x),則()

A./(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增B./(久)有兩個(gè)零點(diǎn)

1

C./(久)是奇函數(shù)D.曲線丫=/0)在點(diǎn)(1,1112)處的切線斜率為5+1112

【解題思路】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值，即可判斷AB,根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合奇

函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷C,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷D.

Y

【解答過程】A.f(x)=ln(%+1)+6>0在區(qū)間(0,+8)恒成立，所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故A正

確；

V

B.r(x)=ln(x+1)+6=0,得x=0,當(dāng)%>0時(shí)，/(尤)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)一l<x<0時(shí)，f(%)<0,f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最小值0,

所以f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

C.函數(shù)/'(%)的定義域是(-L+8),所以不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

11

Df(l)=5+ln2,所以曲線y=/(X)在點(diǎn)(l,ln2)處的切線斜率為5+ln2,故D正確.

故選：AD.

4.(23-24高二下?四川雅安?期中)函數(shù)/⑴=Inx—%的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為一

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可求解.

(解答過程】廣(%)=：-!=愛，”>0，

當(dāng)％6(0,3),f'(x)>0,/(乃單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(3,+8),r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=3時(shí)，函數(shù)f(￡)取得最大值73)=ln3-l>0,

??-/(1)=-1<0>所以f(x)在(1,3)上有1個(gè)零點(diǎn),

又/作2)=2—0,所以/(x)在(3,e2)上有1個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

5.(23-24高二下?河北邢臺(tái)?期中)已知函數(shù)/(%)=ax+lnx-1.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)g(x)=刀2—號(hào)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)對(duì)〃x)求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解單調(diào)性；

(2)對(duì)g(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，求出g(x)的最小值，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解a的取值

范圍.

【解答過程】(1)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

f(x)=a+丁丁.

若a20,則廣(乃二手〉。恒成立，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

若a<0,則當(dāng)0<x<—9時(shí)，尸(x)>0，即f(x)在(。，一十)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，尸(x)<0,即/(x)在(—1+8)上單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)a20時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<0時(shí)，八%)在(0,-：)上單調(diào)遞增，在(一1+8)上單調(diào)遞減；

(2)g(x~)=x2-^^-=x2+1^Xx—a,

則以久)=2%+等=及之咯

又因?yàn)楹瘮?shù)h(%)=2(x3-l)+In%單調(diào)遞增，且h(l)=0,

所以當(dāng)%>1時(shí)，g'(%)>0,當(dāng)0<久<1時(shí)，g\x)<0,

所以9(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在［1,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)g⑴=2—a<。,即a>2時(shí),9(~)=+a(l+Ina)—+alna>0,

21lna2

g(a)=a+—a>a—a+1=(af2(a+i)>0,

='/aaaa

所以g(x)在&1)和(l,a)上各有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)aW2時(shí)，g(x)的最小值為g(l),且g⑴=2-aN0,

所以g(x)在(0,+8)上至多只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+8).

題型7導(dǎo)數(shù)中的恒(能)成立問題(共5小題)

1.(23-24高二下?河南安陽(yáng)?期中)若對(duì)任意*6(0,1),寧(黑恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A，〔VB.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[―1,+oo)

【解題思路】根據(jù)給定的不等式，利用同構(gòu)的思想，并按a20,a<0分類討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單

調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式求解.

【解答過程】由野<怒，得黑〈蔡，當(dāng)》6(0,1)時(shí)，器<0,當(dāng)a20時(shí)，惑>0,

不等式黑<黑恒成立，當(dāng)a<。時(shí)，令函數(shù)求導(dǎo)得廣(%)=9，

當(dāng)x<l時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)/'(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，而當(dāng)％6(0,1)時(shí)，Inx<0,x+2a<1,

不等式黑〈高普，即/'(Inx)<f(x+2a),于是Inx<x+2a<=>2a>Inx-x,

因此xe(0,l),2a>Inx—x恒成立，令g(x)=Inx—x,0<x<1,求導(dǎo)得g，(x)=：—1>0,

則函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，5(x)<^(1)=-1,于是2a2-1,則一，a<0,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>

故選：D.

2.(23-24高二下?新疆?期中)己知a>-l,存在唯一的整數(shù)與，使得(久()-l)e2x。+ax()-2a<0成立，則a

的取值范圍是()

C.島DD.(后,一同

【解題思路】設(shè)/'(x)=(%-l)e2x,y=-a(x-2),依題意函數(shù)/'(x)在直線y=-a(x-2)下方的圖象有且只有

一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，畫出f(x)的圖象，由丫=-。0-2)過定點(diǎn)4(2,0),再

數(shù)形結(jié)合即可求出參數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】設(shè)/■(%)=(%-l)e2x,y=-a(x-2),

由題意可知函數(shù)f(x)在直線y=-。0-2)下方的圖象有且只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù),

因?yàn)?'(X)=(x—l)e2",所以r(乃=(2x—l)e2,

由廣。)>0,解得x>(，由尸(x)<0,解得x<(,

則久久)在G，+8)上單調(diào)遞增，在(-8,9上單調(diào)遞減；

又f(O)=-l,/(-l)=-2e-2,/(1)=0,即/(%)過點(diǎn)B(o,-1),C(-l,-2e-z),

且當(dāng)為<1時(shí)/(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)f(x)>0；

如圖，作出/(久)的大致圖象如下所示：

因?yàn)橹本€y=-a(%-2)過定點(diǎn)4(2,0),且當(dāng)x=1時(shí)y=a,

21,12

所以心c4一即備工一故一5<。<一

即a的取值范圍是2].

故選：D.

3.(23-24高二下?河南洛陽(yáng)?期中)已知lnx-ey=0,則使2久一2y-k>0恒成立的k值可以是()

1

A.—B.2C.4D.5

【解題思路】由已知結(jié)合常見不等式e^Nx+l,對(duì)ln%—ey=0進(jìn)行不等式放縮，求解出k的范

圍即可求解.

【解答過程】設(shè)/(%)=d-%-1,則((%)=心一1,

當(dāng)%>0時(shí),f(x)>0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)光<0時(shí)，f(x)<0,/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

故/(%)>/(0)=0,即e%>%+1,

設(shè)m(X)=Inx—x+L,

則當(dāng)久>1時(shí)=1-1<0,zn(%)在(1,4-8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<1時(shí)，mz(x)>在(0,1)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)血(%)工血(1)=0,故InxWx-l,

因?yàn)镮nx-eY=0,

所以0=lnx-ey<x-l-(y+1)=%-y-2,但顯然等號(hào)無法同時(shí)取得，

所以第一y>2,即2%—2y>4,

又k<2%-2y恒成立，

所以kW4.

故選：ABC.

4.(23-24高二下?四川南充?期中)4知函數(shù)/(%)=一e%,若存在%oW[1,3],使/(孫)之0,則實(shí)數(shù)6的

取值范圍是一序,土區(qū))一

【解題思路】問題等價(jià)于存在Xoe[1,3],使巾2器，令g(x)=1p求出g。)在[1,3]上的最小值即可.

【解答過程】函數(shù)/(幻=mx2-ex,若存在配e[1,3],使/(即)=mxo-ex°>0,

e'o

即存在配€[1,3],使m2商，

令9。)=%W6[1,3]，則g'(x)=e

當(dāng)1W%<2,g'(x)<0；當(dāng)2<xW3,g'(x)>0,

則有g(shù)(x)在口,2)上單調(diào)遞減，在(2,3]上單調(diào)遞增，g(x)min=g(2)=9,

存在久0e[1,3],使m>高，則m>—,

所以實(shí)數(shù)小的取值范圍為由,+00).

故答案為：耳,+8).

5.(23-24高二下?山東臨沂?期中)已知函數(shù)/(x)=ax+必一e",g(x)=ln(x+1)-擊+1

(1)當(dāng)a=0時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若任意久1，%2G[0,+oo),都有/'(久0+1Wg(久2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)利用二次導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)首先由單調(diào)性判斷函數(shù)g(x)的最小值，轉(zhuǎn)化為打打)+1W0,再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,

即可求解.

【解答過程】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2-ex,定義域?yàn)镽,

則=2x-ex,

令尸(x)=2x—e。則尸(%)=2-ex,

令尸'(x)>O解得x<ln2,

F(x)<0,解得%>ln2.

二函數(shù)網(wǎng)嗎在(-8,ln2)上單調(diào)遞增，在(ln2,+8)上單調(diào)遞減,

.?.當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)F(x)取得最大值，

<F(ln2)=21n2-2=2(ln2-l)<0,

."'(為<0,

???函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.

-1

(2)易知g(%)=ln(x+1)--+1^(0,+8)上單調(diào)遞增

???任意％2W[0,+oo),都有g(shù)(%2)N9(。)=。，

???任意》1，%2e[0,+oo),都有/(%i)+1<。(冷)恒成立

'.ax+x2—ex+1<0在[0,+8)上恒成立，

當(dāng)％=0時(shí)，不等式可化為0W0,恒成立，

當(dāng)x>0時(shí)，%e(0,+00)

?QX_v2_1

令"(%)=--->%e(o,+oo),

貝做，(%)_(e--2M)」-(e

??,當(dāng)%>0時(shí)，ex>%4-1,即e^—%—1>0,

???當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，”(%)<0,函數(shù)九(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)％E(L+8)時(shí),廳(%)>0,函數(shù)九(乃單調(diào)遞增,

.,?當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)%(%)取得最小值h(l)=e-2,.,.a<e-2,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,e—2].

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合(共5小題)

1.(23-24高二下?河南洛陽(yáng)?期中)用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共

有()

A.48個(gè)B.24個(gè)C.C個(gè)D.12個(gè)

【解題思路】根據(jù)題意，依次分析三位數(shù)的個(gè)位、百位、十位數(shù)字的情況，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解答過程】根據(jù)題意，三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字必須為1或3,有2種情況，

百位數(shù)字不能為0,有3種情況，

十位數(shù)字在剩下的3個(gè)數(shù)字任選1個(gè)，有3種情況，

則共有2X3X3=18種情況，即有18個(gè)符合題意的三位奇數(shù).

故選：C.

2.（23-24高二下?貴州?期中）高二某班級(jí)4名同學(xué)要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，其中

甲同學(xué)不能報(bào)名足球，乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，則不同的報(bào)名種數(shù)有（）

A.54B.12C.8D.81

【解題思路】直接由分步計(jì)數(shù)原理求解即可.

【解答過程】由甲同學(xué)不能報(bào)名足球，可得甲有2種報(bào)名方式，

乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，

可得乙有3種報(bào)名方式，丙有2種報(bào)名方式，丁只有1種報(bào)名方式，

共分步計(jì)數(shù)原理可得共有2x3x2x1=12種.

故選：B.

3.（23-24高二下?江蘇宿遷?期中）下列正確的是（）

A.由數(shù)字1,2,3,4能夠組成24個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

B.由數(shù)字1,2,3,4,能夠組成16個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)

C.由數(shù)字1,2,3,4能夠組成64個(gè)三位密碼

D.由數(shù)字1,2,3,4能夠組成28個(gè)比320大的三位數(shù)

【解題思路】利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答過程】由數(shù)字1,2,3,4能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有A：=24個(gè)，故A正確；

若三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位可以是2,4,則共有沒有重復(fù)數(shù)字有=12個(gè)，故B錯(cuò)誤；

數(shù)字1,2,3,4能夠組成三位密碼有4x4x4=64個(gè)，故C正確；

若三位數(shù)比320大，則百位是4時(shí)，有4x4=16個(gè)，

若百位是3,則十位可以是2,3,4時(shí)，個(gè)位可以是1,2,3,4,共有3x4=12個(gè)，則比320大的三位數(shù)

有12+16=28個(gè)，故D正確.

故選：ACD.

4.（23-24高二下?天津紅橋?期中）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)

物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位

同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果

讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有50種.

【解題思路】分甲選龍和甲不選龍兩種情況，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【解答過程】第一種情況是甲選龍，乙只能選馬，丙有10種方法，

第二種情況是甲選?；蝰R，甲有2種方法，乙也有2種方法，那么丙有10種方法，則共有2x2x10=40

種方法，

所以共有10+40=50種方法.

故答案為：50.

5.(23-24高二下?四川眉山?期中)已知0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字.

(1)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

(2)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)？

(3)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的小于1000的自然數(shù)？

(4)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的大于3000且小于5421的四位數(shù)？

【解題思路】(1)(2)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可分別求解百位，十位以及個(gè)數(shù)的選擇相乘求解，

(3)(4)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分步乘法即可求解.

【解答過程】(1)分3步:①先選百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；

③個(gè)位數(shù)字有4種選法；

由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5x5x4=100個(gè)

(2)分3步：

①先選個(gè)位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種選法；

②再選百位數(shù)字有4種選法；

③十位數(shù)字也有4種選法；

由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有3X4X4=48個(gè).

(3)分3類：

①一位數(shù)，共有6個(gè)；

②兩位數(shù)，先選十位數(shù)字，有5種選法；再選個(gè)位數(shù)字也有5種選法，共有5x5=25個(gè)；

③三位數(shù)，先選百位數(shù)字，有5種選法；再選十位數(shù)字也有5種選法；再選個(gè)位數(shù)字，有4種選法，共有

5x5x4=100個(gè)；

因此，比1000小的自然數(shù)共有6+25+100=131個(gè).

(4)分4類：

①千位數(shù)字為3或4時(shí)，后面三個(gè)數(shù)位上可隨便選擇，此時(shí)共有2x5x4x3=120個(gè)；

②千位數(shù)字為5,百位數(shù)字為0,1,2,3之一時(shí)，共有4x4x3=48個(gè)；

③千位數(shù)字為5,百位數(shù)字是4,十位數(shù)字為0,1之一時(shí)，共有2X3=6個(gè)；

④5420也滿足條件；

故所求四位數(shù)共有