第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末測(cè)試(基礎(chǔ))

一、單選題(每題5分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，8題共40分)

1.(2022?廣東?惠來(lái)縣)函數(shù)>=必+3(5—3x)的定義域是()

\5、r,5、5]r,s'

A.0,—B.1,7C.0,—D.1,—

L3JLL3jL3j

【答案】B

x>0

I，!"]故選：B

【解析】由題設(shè)，IgxN。，可得所以函數(shù)定義域?yàn)?/p>

2.(2022?寧夏)下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞增的為()

A./(.X)=X--B./(x)=C.=?D./(x)=lnx

【答案】B

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,f(-x)=-x+1=-f(x),/(x)為奇函數(shù)，不合題意；

對(duì)于選項(xiàng)B,/(-x)=eH=eW=/(x),/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=e，為增函數(shù)，符合題意;

對(duì)于選項(xiàng)C,/(X)的定義域?yàn)?。?nèi))，f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)D,“幻的定義域?yàn)?0,+8),了⑴既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；

故選：B.

3.(2021.全國(guó)?高一單元測(cè)試)已知&+；=3,則/+二的值是()

A.47B.45C.50D.35

【答案】A

【解析】；=3,2

=a+2+ai=9,即〃+a'=7,??(〃+〃1|=a2+a2+2=49，

2=47.故選：A.

4.(2022廣西)用二分法求方程logg尤-4=。近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是()

3x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)

【答案】B

【解析】令"X)=log8X-；,因?yàn)楹瘮?shù)y=log8羽y=-1在(。,+。)上都是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)=log8X-[在(0，+8)上是增函數(shù)，/(l)=-^-<0,/(2)=log82-^=^--1=1>0,

5x3o3oo

所以函數(shù)〃尤)=log8X-1在區(qū)間(1,2)上有唯一零點(diǎn)，

所以用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是(1，2).故選：B.

3x

5.(2022云南)函數(shù)丫=1。82(2'+1)的值域是()

A.[l,+oo)B.(0,1)C.(-oo,0)D.(0,+oo)

【答案】D

【解析】設(shè)公2,+1,則y2'+1>1,故log2(2，+l)>0,故>=1。82(2*+1)的值域?yàn)?0,+8),故選：D.

112

6.(2022青海)已知a=3§，b=9i,c=5^,則叫b,。的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】c

.,..LL1.2iii.,

LItW1a=y=96<9s=b，c=5^=25§<27§=3)=a，--c<a<b.1.^：C.

7.(2021.江蘇)若函數(shù)〉=1。82(尤2-公+3々)在[2,+00)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(-8,4]B.(0,4]

C.(-4,4]D.[4,+<?)

【答案】C

【解析】由題意得，設(shè)g(x)=~-依+3a,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：

[￡<2

g(x)在2+◎上是單調(diào)增函數(shù)，且g⑵>0,所以2",所以T<a<4,故選:C.

4+〃>0

r)x1

8.(2022北京)若函數(shù)=是奇函數(shù)，則使/(X)>3成立的x的取值范圍為()

A.(-oo,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+oo)

【答案】C

【解析】=是奇函數(shù)，一元)=-/(尤)，即上士=一■,整理可得」±二=1±」，

八'2x-aTx-aa-2xl-a-2'a-2x

2,+1

.-.l-a-2A=a-2x,\a=1,/(x)=----,

2X-1

X

/(x)=^>+^1>3,2'+1=4_9.2整理可得^2*^-<20,;.1<2'<2,解可得0<x<L

2-12-12-12-1

故選：C.

二、多選題(每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分)

9.(2022?黑龍江)下列函數(shù)中，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的有().

r2r+1

A./(x)=3-lB./(x)=x-2x+lC./(x)=log4xD./(x)=e-2

【答案】ACD

【解析】ACD選項(xiàng)，在定義域內(nèi)都是連續(xù)且單調(diào)遞增，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)，

B選項(xiàng)，/(X)=X2-2X+1=(X-1)2,/(1)=0,當(dāng)彳<1時(shí)，/(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)，/(%)>0,在零點(diǎn)兩側(cè)

函數(shù)值同號(hào)，不能用二分法求零點(diǎn)，故選：ACD.

10.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)若函數(shù)y=a"(。>0,"1)在區(qū)間［0,1］上的最大值與最小值的差為;，

則實(shí)數(shù)。的值為().

231

A.2B.-C.-D.3

322

【答案】CD

【解析】當(dāng)。>1時(shí)，y=優(yōu)在［0,1］上單調(diào)遞增，

13

此時(shí)/(l)_/(0)=Q_qO=〃_］=萬(wàn)，解得：

當(dāng)Ovavl時(shí)，y="在［0,1］上單調(diào)遞減，

止匕時(shí)解得：〃=；，

所以則實(shí)數(shù)0的值為:或;，

故選：CD.

11.(2022?江蘇)已知函數(shù)/(x)=|lgx|,則()

A./(x)是偶函數(shù)B.7(尤)值域?yàn)椋邸?+8)

C.Ax)在(0,xo)上遞增D./(X)有一個(gè)零點(diǎn)

【答案】BD

【解析】畫出/(尤)=弛尤|的函數(shù)圖象如下：

6上刎

AK

由圖可知，/（尤）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

F（X）值域?yàn)椋?,+00）,故B正確；

/（X）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+8）單調(diào)遞增，故c錯(cuò)誤;

/（無(wú)）有一個(gè)零點(diǎn)1，故D正確.

故選：BD.

12.（2022?重慶）已知函數(shù)/（%）二一^,下面說(shuō)法正確的有（）

2"+1

A.了（尤）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B.7（元）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C./（%）的值域?yàn)椋?M）

/(%)/(%)<0恒成立

D.Vxpx2eR,且西。馬，

玉-x2

【答案】BC

【解析】個(gè)）一公的定義域?yàn)槲谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

仆廣27一1_(2-,叫2112工

=-/（%）,所以/（%）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

2-"+1(才。"1+2”

故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；

2X_1?x-I-1-221

/⑴二?二：，二]_二,因?yàn)?、>0,所以丁+1>1，所以0<有二<1,

2*+12X+12X+12X+1

_97

-2<—-<0,所以—1<1—可得“%)的值域?yàn)?-")，故選項(xiàng)C正確；

2+12X+1

設(shè)任意的％1<%2，

22

則/&)-/(入2)=1-^71

i-2”+12司+1(2為+1](2巧+[

2(2為2當(dāng))

因?yàn)?'，+1>0,2*+1>0,2』一2*<0,所以<0,

付+1)(2*+1)

即/(%)一/(尤2)<0,所以>0,故選項(xiàng)D不正確;

%一％2

故選：BC

三、填空題(每題5分，4題共20分)

13.(2022上海)若。>0且則函數(shù)y=a㈤+2的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】(一1,3)

【分析】由x+l=0,求出尤的值，再代入函數(shù)解析式即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由x+l=0,可得X=-1,此時(shí)y=o°+2=3,

因此，函數(shù)丁=。,+2的圖像恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,3).

故答案為：(-L3).

14.(2022南京)已知函數(shù)"。的值域是R,則實(shí)數(shù)。的最大值是一

[3-x,x<0

【答案】8

【解析】當(dāng)X<0時(shí)，/(x)=3-x2e(-oo,3).

因?yàn)閒(x)的值域?yàn)镽,則當(dāng)X..0時(shí)，3.

當(dāng)x..0時(shí)，y=x2+2%+a=(x+1)2+a—1,

故/(X)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

=f(O)?3,gplog2a,,3,

解得。<6,8,即。的最大值為8.

故答案為：8.

15.(2022?河南)若/。)=山(丈2-2依+1+。)在區(qū)間(-*1)上遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】[1,2]

【解析】令g(x)=x2-2ax+l+a,其對(duì)稱軸方程為x=a

外函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)且為增函數(shù)，

要使函數(shù)/(%)=ln(f_2依+1+°)在(-co,1)上遞減，

[a>\

則IG=l1-2、a+l+<7>0即：lWaW2

/.實(shí)數(shù)。的取值范圍是工2]

故答案為：口,2]

16.（2022新疆）已知函數(shù)/（x）=lg（2'-。）"為常數(shù)），若xe[L+?）時(shí)，/（同士。恒成立，貝昉的取值范

圍是.

【答案】（-8』

【解析】依題意xw[l,y）時(shí)，〃上0恒成立，即lg（2,6）N0,2x-b>l,b<2x-l,在時(shí)成

立.而在區(qū)間[1,y）上，y=2=l為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)》=1時(shí)有最小值為2|-1=1，故〉=2*-121,所以8<1.

故答案為（-8』

四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）

17.（2022山東）已知指數(shù)函數(shù)/（x）=a%a>0且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,；）.

⑴求指數(shù)函數(shù)”無(wú)）的解析式；

（2）求滿足不等式川乂）的實(shí)數(shù)K的取值范圍.

【答案】（l）f（x）=（夕,"R⑵{小<-2或x>2}

（2!）a2=—a=-

【解析】（1）因?yàn)?（尤）="3>°且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)’4,所以4,"0,得2,

所以/（x）=（；）*,xeR.

（2）由題可得BP（2）H<（2）2,得崗>2,{小<-2或X>2}

18.（2022山西）已知函數(shù)/（x）=k>g3（l+ox）,g（尤）=log3[（2a-l）x2+（3。一2）尤],a&R.

⑴若a=2,求不等式〃2x+l）>〃x）的解集；

（2）若函數(shù)〃（x）=/（x）-g（x）有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴,3，+°°]；⑵{0}ou[l,+=o）.

【解析】（1）解：若。=2,則有〃x）=log3（l+2x）,函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)?-g+R

2Cx+11〉—1

2

1

易知函數(shù)/(無(wú))在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則有<x>——,解得

2

2x+1>x

:.不等式得解集為6,+，].

(2)函數(shù)/J(x)="x)-g(x)有唯一的零點(diǎn)，可知方程〃尤)=g(x)的解集中恰有一個(gè)元素,

即1+辦=(2°-1卜2+(3。-2卜的解集中恰有一個(gè)元素,

即當(dāng)1+依>0時(shí)，方程(2°-1)*+(24-2卜-1=0的解集中恰有一個(gè)元素.

若2?—1=0時(shí)，即a時(shí)，解得x=T,止匕時(shí)1+辦=：>0,滿足題意.

若(時(shí)，方程[(2。-1八一1](尤+1)=0的根為玉=,，x2=-l

22?！?

當(dāng)。=0時(shí)，xl=x2=~l,此時(shí)1+ax=1>0,滿足題意

當(dāng)口力0時(shí)，由1+依>0時(shí)，方程尤一l](x+l)=0恰有一個(gè)元素，

1+。---1-->0n+>01]

\2a-l或《1,解得aNl或不工4<7.

1+〃-(-1)40I"

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為｛。｝031，+s)-

19.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)"x)=log“S-l)(a>0,awl)

(1)當(dāng)。=；時(shí)，求函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)。=2時(shí)，存在xe[l,3]使得不等式〃x)-k)g2(l+2，)>機(jī)成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

7

【答案】(1)(f0)；⑵rn<log2-,.

【解析】⑴當(dāng)時(shí)，小)=呵]，1]，故：，1>。，解得：元<0,故函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0);

(2)由題意知，/(x)=log2(2^-l)(?>1),定義域?yàn)閤e(O,—),易知〃x)為xe(O,—)上的增函數(shù)，

設(shè)g(無(wú))=/(x)-log2(l+2x)=log2]|r^]，xe[l,3],^r=|7^-=l-^-^-,%e[l,3],故2*+le[3,9],

2「17'|「17一

r=l一兄不6,因?yàn)間(x)=log2/單調(diào)遞增，貝ljg(x)elog2j,log2-.

%

因?yàn)榇嬖赬e［1,3］使得不等式/（x）-log2（l+2）＞m成立故：機(jī)＜g（x）11ax，即m＜log，.

20.（2021.全國(guó)?高一單元測(cè)試）已知/（u）=9：-2x3*+4,xe［0,2］

（1）設(shè)f=3",xe［0,2］,求/的最大值與最小值；

（2）求/（X）的最大值與最小值.

【答案】（D最大值為9,最小值為1；（2）最大值為67,最小值3.

2

【解析】（1）設(shè)f=3，,XG［0,2］,則度13,即,

即t的最大值為9,最小值為1；

（2）設(shè)”3，，》注0,2］,則1和9,

函數(shù)Ax）轉(zhuǎn)化為、=〃-2/+4=?-1）2+3,

W9,y=〃-2f+4在［1,9］上單調(diào)遞增，

.,.當(dāng)，=1時(shí)，y最小為y=3,

當(dāng)1=9時(shí)，y最大為64+3=67,

即Ax）的最大值為67,最小值3.

21.（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)y=log“x過(guò)定點(diǎn)（加,〃），函數(shù)=+”的定義域?yàn)椋?U］.

x+m

（I）求定點(diǎn)（根,“）并證明函數(shù)“X）的奇偶性；

（II）判斷并證明函數(shù)/（X）在［-M］上的單調(diào)性；

（III）解不等式f（2x-l）+〃x）＜0.

【答案】（I）定點(diǎn)為。,0）,奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（H）/?（%）在［-1,1］上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（III）

卜104x＜1

【解析】（I）函數(shù)產(chǎn)bg0％過(guò)定點(diǎn)（"?），.?.定點(diǎn)為。,0）,

=定義域?yàn)椋?1』，

???/（-加言=-?。?

，函數(shù)”X）為奇函數(shù).

（IDf（x）在［-1,1］上單調(diào)遞增.

證明：任取當(dāng),%e[T』]，且占＜三,

%2_玉(々~+1)_4(占2+1)(占一尤2)(1一占9)

22

X2+1(占2+1)(1+1)(<+1)(X2+1)

%,X]e[—1,1],不<%,

/.x1-x2<0,1-X1X2>0,

；"(%)-/(々)<。，即〃％)<〃務(wù))，

，函數(shù)〃尤)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).

(III)/(2x-l)+/(x)<0,BP/(2x-l)<-/(x),

函數(shù)/(尤)為奇函數(shù)

.-./(2x-l)</(-%)

在[-1』上為單調(diào)遞增函數(shù)，

-1<2X-1<10<x<l

?.<-1<-x<1-1<^<1,解得：0<x<-.

13

2x—1<-x

X<一

3

故不等式的解集為：｛x|OVx