第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末測試（提升）

一、單選題（每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分）

1.（2022.全國?高一課時練習）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是（）

【解析】四個圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個交點，所以四個圖像都表示函數(shù)的圖像，

對于A,函數(shù)圖像和x軸無交點，所以無零點，故錯誤；

對于B,D,函數(shù)圖像和x軸有交點，函數(shù)均有零點，但它們均是不變號零點，因此都不能用二分法求零點;

對于C,函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與無軸有交點，并且其零點為變號零點.

故選：C.

2.（2022?全國?高一課時練習）若Iog23xlog36]〃xlog96=；,則實數(shù)機的值為（）

A.4B.6C.9D.12

【答案】A

（解析］：log23Xlog36mxlog96=譬X普9x黑

lg2lg36lg9

lg3Igmlg6Igm1,1

=-^-x——x——=----=—logm=—

lg221g621g341g24922'

log2m=2,m=4.

故選：A.

3.(2022?湖南?長沙一中高一期末)已知函數(shù)/(%)=-兀2+依-；(〃-以(a<i),g(%)=lnx.若

/(x)，/(x)>g(x)

力⑴=在(0,+8)上有三個零點，則a的取值范圍為(

g(x),f(x)<g(x)

C.(0,1)D.

【答案】A

【解析】①當x=l時，因為g(l)=0,所以1為g(x)一個零點,

又〃1)=4一1一；(“一1)2,因為4<1,所以〃1)<0,

所以MD=g⑴=0,

所以1為萬⑺的一個零點.

②當x>l時，g(無)>0,/z(x)>g(x)>0,

所以力⑺在(1,內(nèi))上無零點.

③當0<x<l時，g(x)<0,g(“在(0,1)上無零點,

所以/z(x).在(0,1)上的零點個數(shù)是〃尤)在(0,1)上的零點個數(shù)，

1919

因為〃0)=小T)<0，/(1)=?-1--(?-1)-<0.

函數(shù)/■(%)在(0,1)上有兩個零點，即函數(shù)網(wǎng)力在(0.1)上有兩個零點,

所以A=2o-l>0,0<1-<1,又a<l,

即;<a<l時，在(0,1)上有兩個零點；

綜上，a的取值范圍為

故選：A.

4.(2022?全國?高一課時練習)已知函數(shù)〃x)=811nx--80的零點位于區(qū)間化人+1)內(nèi)，則整數(shù)左=(

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因為函數(shù)y=8Hnx與丫=一1]180在(0,+⑹上均為增函數(shù),

所以函數(shù)/(%)在(o,+°°)上為增函數(shù)，

因為F(2)=811n2—83<0,/(3)=811n3-81>0,/(2)-/(3)<0,

所以函數(shù)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故左=2.

故選：B.

5.(2022.全國.高一課時練習)設函數(shù)〃尤)的定義域為R,滿足〃x+l)=2/(x),且當xe(0,l]時,

Q

/(x)=x(x-l).若對任意xe(yo,〃z],都有則機的取值范圍是()

B.

D.卜；

【答案】B

【角軍析】當一1<X40時，0<%+1<1,則尤)=；/(x+l)=g(尤+1)尤；

當1<%<2時，0<x—lWl,則〃x)=2〃x-l)=2(x—l)(x-2)；

當2<尤43時，0<x-2<l,則〃X)=2/(X—1)=22〃X-2)=22(X-2)(X-3),……由此可得

2(x+l)x,-1<x<0,

x(x-l),0<x<1,由此作出函數(shù)/(力的圖象，如圖所示.

2(x-l)(x-2),l<x<2,

22(X-2)(X-3),2<X<3,

Q7Q

由圖可知當2<x?3時，令22(%—2)(%—3)=—1,整理，得(3x—7)(3%—8)=0,解得x或%=|,將這

兩個值標注在圖中.要使對任意,向都有/(尤)》-§,必有根4鼠即實數(shù)小的取值范圍是卜哈§

故選：B.

y

6.（2022?全國?高一課時練習）已知七，4,當分別為方程才=log；x,QJ=log2%,dog）的根,

則X1,巧，鼻的大小關(guān)系為（）

A.芭<忍<%2B.xY<x2<x3C.工3＜玉〈入2D.兀3＜%2＜玉

【答案】A

【解析】在同一直角坐標系中作出函數(shù)y=2，，y＞=1082彳和〉=1081》的大致圖像，如圖所示.

2

由函數(shù)＞=2工與＞=10§1x圖像的交點的橫坐標為xr

2

函數(shù)y=[g]與y=log2X圖像的交點的橫坐標為X],

函數(shù)y=[[與y=l°g；X圖像的交點的橫坐標為工，知當＜三＜x2.

故選：A.

7.（2022.全國?高一專題練習）已知函數(shù)〃彳）="二，g（x）=log2尤+。，若存在占＜3,4],對任意%e[4,8],

X

使得/（西）2g（龍2），則實數(shù)°的取值范圍是（）

A-口B.［不+刃C.^0,-JD.（1,4）

【答案】A

【解析】由題意知：/（x）在［3,4］上的最大值大于或等于g（x）在［4,8］上的最大值即可.

當xe［3,4］時，/（X）=^+x,

由對勾函數(shù)的性質(zhì)得：AM在［3,4］上單調(diào)遞增，故y（x）1nslt=〃4）=卷+4=苧.

當xe［4,8］時，g（x）=log2X+a單調(diào)遞增，貝ljg（x）a=8⑻Tog?8+。=3+。，

所以f23+a,可得

44

故選：A

8.（2022?全國?高一課時練習）函數(shù)〃同=1。82（3'+1）的反函數(shù),=尸（力的定義域為（）

A.(1,+(?)B.[0,+(?)

C.（0,+s）D.［1,+co）

【答案】C

【解析】1嗚（3"+1）>。，

函數(shù)=log2（3,+1）的值域為（0,+動，

VV=廣⑴的定義域即函數(shù)"X）=log2（3*+1）的值域，

...」=尸（對的定義域為（0,+8）.

故選：c

二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）

/、a+ax,x>0/、

9.（2022?山東?臨沂二十四中高一階段練習）若函數(shù)〃x）=°/八八（。>0且awl）在R上為單調(diào)遞

3+（〃-iIx,xU

增函數(shù)，則。的值可以是（）

2

A.3B.—C.yf2D.2

【答案】AD

a>l

【解析】/（%）在R上單調(diào)遞增，，1〉。，解得：.二。的取值可以為選項中的3或2.

3<a+l

故選：AD.

10.（2022.湖南師大附中高一開學考試）已知％1，%2為函數(shù)?腕2]|=1的兩個零點，且玉＜馬，則

A.玉e（O,l）B.々￡（"2）

西光2€。，2）

C.D.%1+x2e（2,3）

【答案】ABD

【解析】令/（*）=U-|logx|-l=0,3

2貝1J|log2%|=

33巧

所以.log2再=,log2x2=

3

作出函數(shù)丁=11。82刈和＞=的圖象,易知％￡（。,1）,故A正確;

OL1「＜（一]|）＜0,,故馬€（虛,2）,故B正確;

又g（2）=l-->0,g（拘=-3

lo2

作直線yTog2%2與y=-log2X交于點（％，為），則有％2%3=1，％3＞再，故玉馬＜1,故C錯誤;

又因為g||）=bg2|-匕『=1唯1后<1嗎!一<°,故

所以再+%2e（2,3）,故D正確，

綜上，正確答案為ABD.

故選：ABD

2

11.（2022.全國?高一課時練習）已知函數(shù)/■（尤）=log3（尤2—1）,g（x）=x-2x+a,初42,+?）,Vx2e1,3

有〃片）vg（%）,則實數(shù)。的可能取值是（）

A.gB.1C.-D.3

22

【答案】CD

【解析】期Vx2eI，3有/⑺海㈤等價于當％e[2,+oo）,x2e1,3時，f<g（x2.

當尤e[2,+e）時，令/=二-1,則y=log3f,因為/=￡-1在[2,+oo）上為增函數(shù)，y=logst在定義域內(nèi)為增

函數(shù)，

所以函數(shù)〃x）=log3任一1）在⑵+◎上單調(diào)遞增，所以/⑴1rfli="2）=1.

8⑺=%2"無+a的圖象開口向上且對稱軸為x=l,

二當xe；,3時一,且⑴而小且⑴5-1,

l<a-l,解得aN2.

故選：CD.

12.(2022.全國?高一課時練習)(多選)定義在［-M］上的函數(shù)/(尤)=-29+4守，則下列結(jié)論中正確的是

()

A.〃尤)的單調(diào)遞減區(qū)間是［0』B.""的單調(diào)遞增區(qū)間是

C.〃尤)的最大值是〃0)=2D.〃尤)的最小值是〃1)=-6

【答案】ACD

【解析】設f=3l貝卜=3,是增函數(shù)，且小1,3,

又函數(shù)>=-2/+4/=-2”-1)2+2在1,1上單調(diào)遞增，在［1,3］上單調(diào)遞減，

因此f(x)在上單調(diào)遞增，在［0』上單調(diào)遞減，故A正確，B錯誤；

〃x)a=〃°)=2,故C正確；

/(-l)=y,/(1)=-6,因此的最小值是一6,故D正確?

故選:ACD.

三、填空題(每題5分，4題共20分)

2尤+2x<\

13.(2022?全國?高一課時練習)若函數(shù)"x)=_,?在(…⑷上的最大值為4,則0的取值范圍

為.

【答案】［1,17］

,、2x+2,x<l,

【解析】因為“x=?

log2(x-l),x>l

當時，易知/'("=2工+2在上單調(diào)遞增，

當xe(L-)時，/(彳)=1082(彳-1)在(1,+00)上單調(diào)遞增.

作出〃x)的大致圖象，如圖所示.

由圖可知，/(1)=4,/(17)=log2(17-l)=4,

因為“力在(-80上的最大值為4,所以。的取值范圍為[1,17].

故答案為：[U7]

14.(2022?全國?高一課時練習)函數(shù)〃司=22，-2句+2的定義域為跖值域為N=[l,2],則

【答案】(-*1](答案不唯一)

x+1

r92X_2<o

【解析】因為函數(shù)的值域為N=[l,2],所以1422-2向+242,所以%2一？向+；>0，

即《…八，故0<2，W2,所以則函數(shù)的定義域為.

(2l-I)2>0、」

實際上，只要xe[O,l]即可滿足條件，即M可以為[0,1]并上任意一個(-j0)的子集均可.

故答案為：(-*1](答案不唯一)

尤2+x)的最大值為M,最小值為N,貝UM+N

15.(2022?全國?高一課時練習)設函數(shù)

，(卜Y+

1

的值為________.

【答案】2

【解析】由已知得〃x)=l+型廿*”，

因為In+1+%)+]n[J(—JV)+1+(—x)=In1=0,

所以x)+1+(—x)]=—In[，/+]+工)，

易知函數(shù)y=ln(Jf+1+X)的定義域為R,因此函數(shù)y=ln(Jj+l+x)是奇函數(shù).

令g⑴=2x+ln(^7T+x),則g(_x)=-2x-ln(y77T+x)=⑴,g⑺為奇函數(shù)，

則g⑺的最大值M和最小值M滿足弧+乂=0.

因為M=M+1,N=M+1,所以M+N=2.

故答案為：2.

16.(2022?全國?高一課時練習)已知、=，lg2+坨5-41g21g5?(1g27+1g64-/3),&=1741(則

0.31gl.21g2.59

3/。2。-/必+1的值為.

【答案】2022

2

71-41g2(l-lg2)-(31g3+61g2-3)=71-41g2+41g2.10(lg3+21g2-1)1Q4左

【解析】3i?5—io--A!_____g)

砂而叼(Ig3+21g2-l)lg--l-21g2

W(l-21g2)

=10.

l-21g2

lg9lg7-21g3

llg7;;

Z?=log7-log=

3499-lg3Ig49-lg3-21g7

所以1gG2020-Z?2021+l=lgIO2020-(-1)2°21+1=2020-(-1)+1=2022

故答案為：2022

四、解答題(17題10分，其余每題12分，6題共70分)

2

17.(2022.云南麗江.高一期末)已知函數(shù)y=/(x)(xeR)是偶函數(shù).當x?0時，f(x)=x-4x.

⑴求函數(shù)/(%)在上的解析式；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［〃,〃+3］上單調(diào)，求實數(shù)〃的取值范圍；

(3)已知加x)="")|-相，試討論力食)的零點個數(shù)，并求對應的根的取值范圍.

X2+4x,x<0

【答案】(1)/(%)=

x2-4x,x>0

(2)aK-5或a22

⑶答案見解析

［解析】(1)設x則_%>o

/(-%)=Y+4%

/⑴為偶函數(shù)

?，-f(x)=f(-x)=x2+4x

尤2+4x,x<0

綜上,有f(x)=

元2-4.x,尤20

由圖可得。+34-2或“22,解得。4一5或。22；

故實數(shù)。的取值范圍是aW-5或a22.

（3）

由⑴作出If（幻1的圖像如圖:

由圖像可知：

當加＞4時，〃（龍）有兩個零點;

當機=4時，M尤）有四個零點；

當0<〃?<4時，M尤）有六個零點；

當〃?=0時，〃（%）有三個零點；

當機<0時，，7（x）沒有零點.

18.（2022?河南信陽?高一期末）已知函數(shù)〃x）=log.（2+x）-log.（2-x）（a>0且awl）.

⑴求函數(shù)/（x）的定義域，并判斷外力的奇偶性；

（2）是否存在實數(shù)加，使得不等式/（log?m）</（1。84（2+m））成立？若存在，求出機的取值范圍，若不存在，

請說明理由.

【答案】⑴定義域為3-2。<2},奇函數(shù)

（2）存在，當a>l時，—<m<2,當0<。<1時，2<〃z<4

4

J2+x>0,

【解析】⑴由12r>0,得—2<X<2,所以〃x）的定義域為{+2<X<2},

因為函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且/■（-x）=log.（2-x）-log“（2+x）=-〃x）,

所以/'（x）為奇函數(shù).

（2）①當。>1時，在（-2,2）上為增函數(shù)，假設存在實數(shù)處使得不等式/（現(xiàn)2機）<〃陛4（2+機））成

log2m<log4（2+m）

<-2<log2m<2]

立，則：2<k>g4（2+M<2,解得

②當0<a<l時，〃x）在（一2,2）上為減函數(shù)，假設存在實數(shù)相，使得不等式〃log2m）</。叫（2+機））成立，

log2m<log4（2+m）

則<-2<log2機<2,解得2〈機<4.

-2<log4（2+m）<2

綜上，①當。>1時，存在;<機<2,使得不等式/（k）g2M）</0Og4（2+根））成立；②當。<“<1時，存在

2Vm<4,使得不等式/（log?祖）<f（log4（2+嘲成立.

19.（2022?全國?高一單元測試）已知函數(shù)〃x）=log.（l+狗（a>0且awl）,/（1）=1,/（3）=2.

⑴求函數(shù)〃尤）的解析式；

(2)請從①y=〃尤)-"r),?y=fi-x)-f(x),@y=f(x)+f(-x)這三個條件中選擇一個作為函數(shù)g⑺

的解析式，指出函數(shù)g(x)的奇偶性，并證明.

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(l)/(^)=log2(l+x)；

(2)答案見解析.

Jlog“(l+b)=l[a=l+bfa=2

【解析】⑴依題意，h°g"(l+")=2,]/=1+36,而”＞0且解得'=1,

所以函數(shù)〃X)=lOg2(l+X).

Jl+x＞0

⑵選擇①，g(x)=log2(l+x)-log2(l—X),貝|J有11-無＞0,解得即g(x)的定義域為(Tl),

又g(-X)=log2(1-x)-log2(1+X)=-[log2(1+X)-log2(1-x)]=-g(x),

所以函數(shù)g(“是定義在(Tl)上的奇函數(shù).

選擇②，

g(x)=log2(l-%)-log2(l+x),則有卜_尤＞0，解得即g(元)的定義域為(-1,1),

又g(—X)=log,(l+x)-log2(l-x)=41og2(1-X)-log2(1+x)]=-^(x),

所以函數(shù)g(x)是定義在(T，l)上的奇函數(shù).

選擇③，

g(x)=log2(l+x)+log2(l-x),則有嚴”＞：，解得即g(x)的定義域為(T，l),

又g(-X)=log2(1-x)+Iog2(l+X)=g(x),

所以函數(shù)g(“是定義在(Tl)上的偶函數(shù).

20.(2022?全國?高一課時練習)已知〃x)是對數(shù)函數(shù)，并且它的圖像過點上")

g(x)=[f(x)]2-2b./(x)+3,其中6wR.

⑴當，=2時，求y=g(x)在[忘,16]上的最大值與最小值；

⑵求y=g（x）在［3,16］上的最小值.

【答案】（1）最大值為3,最小值為-1.

13-J

--b,b<—

42

91

⑵Vmin3—<Z?<4

2

19-8Z?,/?>4

【解析】(1)解：設/(.Toga%(。>0,且awl),

???〃司的圖像過點［20,￡|,

A/(2V2)-1,即log.2啦=|,

?,^2_2^/2=2立，即。=2,工/(x)—log2%?

72<x<16，-'-log2V2<log2x<log216,即gW/(%)W4.

設，=/(%),貝1Jy=力⑺=/—期+3=(.-2)2-1,t￡2,4,

???Vmin="2)=—1,

乂彳￡|=1一2］-1=］/Z(4)=(4-2)2-1=3,

?**Vmax=/z(4)=3.

.?.當6=2時，y=g(x)在［夜,16］上的最大值為3,最小值為-I.

(2)解:設'=/(1,則'="/=產(chǎn)-枷+3=(—4+3-〃,

由(1)知fe1,4,對稱軸為直線f=6.

①當bvg時，相⑺在g,4上是增函數(shù).

②當g<b<4時，機⑺在；力上單調(diào)遞減，在也4］上單調(diào)遞減，加伍）=3—

③當人24時，相⑺在p4上單調(diào)遞減，=加（4）=19-8〃.

13771

---b,b<—

42

91

綜上所述，為in="3-Z?2,-<Z?<4.

2

19-8Z?,/?>4

21.（2022?遼寧.東北育才學校高一階段練習）已知函數(shù)〃力=以2-x+2a-l（a>0）.

⑴若〃x）在區(qū)間［L2］為單調(diào)增函數(shù)，求。的取值范圍;

（2）設函數(shù)”X）在區(qū)間［L2］上的最小值為g⑷，求g⑷的表達式;

lgJ_,若對任意小Ze［l,2］,不等式“xJzMw）恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

（3）設函數(shù)/7（x）=+O2

2X+1

【答案】⑴

（2）答案見解析;

(3)4+8).

【解析】（1）因為“x）=加7+2。-1（。>0）的圖象開口向上，對稱軸方程為'一2〃,

所以/（力在區(qū)間［1，2］為單調(diào)增函數(shù)需滿足（工1,〃>0,

ma>~.

0<—<1a>5時,在區(qū)間。）為單調(diào)增函數(shù),

(2)①當2a,即

止匕時g(a)=fCl)=32.

②當1V1-V2,即工時,在區(qū)間1,5上是減函數(shù)，在區(qū)間：，2上為增函數(shù)，此時

2a42

g(a)=/(；)=2a-；-l.

2a4Q

③當（>2即0<Q<；時，"％）在區(qū)間［，2］上為減函數(shù),

此時g(a)=/(2)=6a-3,

6〃一3,Q￡

CI1」L

綜上所述，g（"）=<2a-----1,a￡I—,一J

4a42

3ci—2,a￡(一,+8)

2

(3)

對任意X],%e[1,2],不等式恒成立,

即以xUn2〃(無量"，由(2)知，/(X)1nhi=g(。)，

因為/z(尤)=(g)x+log2

+log1(x+l),

2

所以〃(無)在[L2]上為單調(diào)遞減函數(shù),

所以〃(X)max=九⑴=；+lOgl2=-g,

①當。時，由g(a)2"幻皿得6。一32一彳解得aNR(舍去)

4212

②當彳時，由g(a)2"(x)ma*得2。-----1>—,BP8a2—2a-1>0