第5章函數(shù)概念與性質(zhì)章末小結(jié)

一、典型題型...................................................................................1

題型1函數(shù)值域的求法.................................................5

題型2函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用10

題型3函數(shù)的圖象與數(shù)形結(jié)合思想....................................14

1

典型例題

題型1函數(shù)值域的求法

反思領(lǐng)悟：常見的求值域的方法

⑴直接法(觀察法)：對于有些函數(shù)直接求出函數(shù)值，并將所有函數(shù)值組成集合，就得到函數(shù)的

值域.例如求函數(shù)4%)=5》+1(》?{1,2,3,4})的值域，只需將所有自變量的函數(shù)值都求出來，即

可得到函數(shù)兀0的值域為{6,11,16,21}.

⑵分離常數(shù)法：對于一些分式函數(shù)，可以利用多項式除法化成一個常數(shù)與一個分式之和的形

式，然后根據(jù)分式的特點去求函數(shù)的值域.

(3)反解法：例如求函數(shù)y=：V(x>—4)的值域.由丁=：二"解出x得》=*學(xué).由x>一4,得

4,即”;>0,，y>|或y<l.故函數(shù)y=17p|(x>—4)的值域為(一8,i)u仔，+°°J

(4)圖象法：通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域.

(5)換元法：根據(jù)解析式的特點，可將解析式中某個關(guān)于x的整體式設(shè)為/,轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的某

種簡單的基本初等函數(shù)，再確定/的取值范圍，進(jìn)而運用簡單的初等函數(shù)求值域的方法求解.

(6)判別式法：對于形如：丁=嗯的函數(shù)，々X)、g(x)是一次函數(shù)或二次函數(shù)，且至少一個二次

函數(shù)）可以將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的整式方程，利用一元二次方程有實數(shù)根，利用根的判別式不

小于零，得到關(guān)于y的不等式，解出其解集，就是函數(shù)的值域.

⑺基本不等式法：創(chuàng)造條件利用基本不等式可以求出函數(shù)的最值，再進(jìn)一步求解.

例1下列函數(shù)，最小值為2的函數(shù)是（）.

A.y=x+—B.y=x+2^/x+3

x

尤2+2?

C.y=-1D.y=x—2x+2

\lx2+l

【答案】C

【分析】對于A,分尤>0和x<0兩種情況用基本不等式求函數(shù)的值域即可；

對于B,用配方法求函數(shù)的值域；

對于C,先分離常數(shù)，再用基本不等式求值域；

對于D,用配方法求函數(shù)的值域.

【詳解】解：對于A,當(dāng)x>0時，y=x+—32./%?-=2（當(dāng)x=l時，等號成立）;

xV%

當(dāng)x<0時，_y=-尤+（-!）？%）?—=232，/了」=2（當(dāng)x=-l時，等號成立）,

尤V-x\x

所以yV-2,故函數(shù)的值域為（-8,-2］U［2,+?>）,不符題意;

對于B,由題意可知x20,y=x+2\/^+3=（^/^++22（0+1尸+2=3（當(dāng)x=0時，等號成立），不符題意;

上2,（當(dāng)x=0時，等號成立上

對于D,y=Y-2x+2=（尤-I）?+121,不符題意.

故選：C.

例2（多選題）如果某函數(shù)的定義域與其值域的交集是可，則稱該函數(shù)為可交匯函數(shù)下列函數(shù)

是"［0,1］交匯函數(shù)"的是（）.

A.y=VxB.y=J］-xC.y=\-x2D.y=yll-x2

【答案】BD

【分析】根據(jù)［0』交匯函數(shù)的含義，分別求解各個選項中函數(shù)的定義域和值域，由交集結(jié)果可得正確選項.

【詳解】由心,以交匯函數(shù)定義可知：［0,1］交匯函數(shù)表示函數(shù)定義域與值域交集為［0』；

對于A,>=?的定義域公=［。,田），值域8=［。,+8）,則An3=［。,-），A錯誤；

對于B,>=/匚7的定義域4=(3,1],值域3=[0,+“)，則AI3=[O,1],B正確;

對于C,y=l--的定義域為A=R,值域3=(F,1],則入門5=(3』，C錯誤；

對于D,y=71^7的定義域為A=值域3=[0』],則AI3=[0』],D正確.

故選：BD.

例3求值域(用區(qū)間表示)：

(1)y=x2-2x+4,①xe[T,-l]；②尤e[-2,3]；

(2)/(x)=y/x2-2x+3；

【答案】⑴①[7,28]；@[3,12]

(2)[應(yīng),+℃)

⑶(-8,1)S(1,+°0)

【分析】(1)①②，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可，

(2)利用換元法求解，

(3)利用分離常數(shù)法求解

(1)

y=X2—2x+4=(x—I)2+3,

2

①當(dāng)x-1]時，Ax=(-4-1)2+3=28,ymin=(-l-l)+3=7,

回值域為[7,28]；

②當(dāng)xe[-2,3]時，^=(-2-1)2+3=12,^?=(1-1)2+3=3,

團(tuán)值域為[3,12].

(2)

令f=爐_2%+3，則y=〃，

因為/=2x+3=(%—iy+222,所以“20,即

所以函數(shù)的值域為［也+可；

(3)

v」-2_(x+3)-5_15

y————i，

x+3x+3x+3

因為三wO,所以

所以函數(shù)的值域為(-8,1)即1,+8).

題型2函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

反思領(lǐng)悟：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性應(yīng)用常見題型

⑴用定義判斷或證明單調(diào)性和奇偶性.

⑵利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求單調(diào)區(qū)間.

⑶利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較大小，解不等式.

(4)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求參數(shù)的取值范圍.

例1若偶函數(shù)在區(qū)間[5,7]上是增函數(shù)且最小值是6,則在卜7,-5]上是()

A.增函數(shù)，最大值是6B.增函數(shù)，最小值是6

C.減函數(shù)，最小值是6D.減函數(shù)，最大值是6

【答案】C

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性、最值的定義結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)判斷可得出結(jié)論.

【詳解】任取為、三目―7,-5]且再<馬，即一74再<工24-5,則54-尤2<-占47,

由題意可得了(-9)</(-%)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得/&)>/(%)，

且對任意的x7,-5],-xe[5,7],由題意可得6=〃5)W〃r)W〃7),

貝|6=〃-5)"(力"(-7),

因此，在[-7,-5]上是減函數(shù)，最小值是6.

故選：C.

例2(多選題)高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子”稱號，他和阿基米德、

牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)"為：設(shè)xeR,用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則

、=國稱為高斯函數(shù),也稱為取整函數(shù).如[L2]=1,[3.9]=3,[-1.5]=-2,以下關(guān)于"高斯函數(shù)"的性質(zhì)應(yīng)用

是真命題的有()

A.HreR,[2x]=2[x]

B.Vx,yeR,印=[y],貝

C.V%,yeR,[x+y]<[x]+[y]

D.若〃x)=[司的定義域為[0,3],值域為M,g(x)=j2x_f的定義域為N,則MuN={x|0WxW2}

【答案】AB

【分析】A選項可舉出實例；B選項可進(jìn)行推導(dǎo)；C選項可舉出反例；

D選項求出加={0,1,2,3}和"=304元<2},從而求出并集.

【詳解】尤=2時，[2司=[4]=4=2[2]=2國，故A為真命題；

設(shè)[x]=3=keZ,則左k<y<k+l,^x-y<l,故B為真命題；

x=0.5,y=0.6時，有[x]+[y]=0,但[x+y]=[l.l]=l>[%]+3,故C為假命題.

因為/(尤)=田的定義域為[。，3],值域為M={0,1,2,3},

g(x)=j2x-d的定義域為：2x--20,解得：0<x<2,

所以N={W0V},對于D,Afu7V=U|O<x<2}u{3},所以D不正確.

故選：AB

^x+h3

例3已知函數(shù)/(工)二丁=是定義域為(一2,2)的奇函數(shù)，

a+45

(1)求a,6的值；

(2)判斷函數(shù);(X)在(-2,2)上的單調(diào)性，并用定義證明；

⑶若函數(shù)加)滿足了(2機(jī)-2)+/(療+1)>0,求m的取值范圍.

【答案】(1)。=-1或a=l,b=0.

⑵單調(diào)增函數(shù)，證明見解析.

(3)(72-1,1)

3

【分析】(])根據(jù)"0)=0"⑴=：，即可求得結(jié)果；

(2)利用單調(diào)性的定義，作差、定號，即可判斷和證明函數(shù)單調(diào)性；

(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性以及(2)中所得單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)定義域，即可求得加的取值范圍.

(1)

因為/(x)是定義在(一2,2)的奇函數(shù)，故可得/(0)=0,則b=0；

因為/(1)==，故可得三三二3,解得〃=1或〃=一1;

5a+45

綜上所述：a=l或。=-1,b=0.

(2)

/(x)是(一2,2)上的單調(diào)增函數(shù)，證明如下：

3

由(1)可知：/(%)=-%,不妨設(shè)-2<玉<々<2,

則」(%)-/(苞)=夕％-蒼)<。即/(%)</(%)>

故"X)是(-2,2)上的單調(diào)增函數(shù)，即證.

⑶

f(2m-2)+f(m2+1)>0等價于/(2z?z-2)>—f(nr+1),

/(元)是奇函數(shù)，故可得“2加—2)>/(-m2-1),

由(2)可知，〃x)是單調(diào)增函數(shù)，故2〃?-2>-療t

即(m+l)2>2,解得機(jī)>陵-1或根<-夜—1.

又〃x)的定義域為(-2,2),貝1]-2<2祖-2<2,且-2V療+1<2

解得0<根<2,且一1<用<1.

綜上所述：me(V2-l,l).

題型3函數(shù)的圖象與數(shù)形結(jié)合思想

反思領(lǐng)悟：作函數(shù)圖象的方法

方法一：描點法一求定義域；化簡；列表、描點、連光滑曲線.

注意：要利用單調(diào)性、奇偶性、對稱性簡化作圖.

方法二：變換法----熟知函數(shù)的圖象的平移、伸縮、對稱、翻轉(zhuǎn).

13,

--X2—X4--x<〃

例1已知函數(shù)〃力=22'一無最大值，則實數(shù)。的取值范圍是()

-2x,x>a

A.(1,+co)B.(-1,0)C.(0,+a?)D.(-00,-1)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合判斷臨界點即可求解.

iQ

【詳解】解：由題可知，當(dāng)XV。時，/(x)=--x2-x+1,其對稱軸為x=-l,

13

當(dāng)a2-L時，函數(shù)〃尤)=1尤2-尤+；有最大值為/(-I)=2,

1313

當(dāng)“<-1時，函數(shù)/⑺=一萬—一龍+^有最大值為了⑷二一萬八^+萬，

當(dāng)x>a時，/(尤)=-2x,在3,也)單調(diào)遞減，故/(無)<f⑷=-2”，

因為函數(shù)/(x)無最大值，故當(dāng)時，需滿足2<-2a,解得。<-1,不符合題意,

13

當(dāng)a<—1時，需滿足一5。~一。+5<—2。，解得1,a>3(舍去).

綜上，實數(shù)。的取值范圍是

例2(多選題)已知/W是定義在區(qū)向c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示，令g(x)=4(x),則下列關(guān)于

函數(shù)g(x)的敘述中，正確的是()

A.若。<0,則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點對稱

B.若80,則函數(shù)|g(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱

C.若40,則g(x)的單調(diào)減區(qū)間[-C,-2],[2,c]

D.若o*0,則方程g(x)=0有3個互異實根

【答案】ABD

【分析】結(jié)合。的正負(fù)和/W的圖像依次判斷選項即可.

【詳解】定義域為[-C,C],當(dāng)。<0時，由g(-x)=(^(-x)=-/(x)=-g(x),A正確；由0時,

|g(-x)|=\af(-x)\=|of(x)|=|^(x)|,B正確；

g(x)=O等價于/(x)=0,D正確；a>0時，g(x)的單調(diào)減區(qū)間和/(x)的單調(diào)減區(qū)間相同，C錯誤.

故選：ABD.

例3函數(shù)〃尤)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x2-2x.

⑴求的解析式，并畫出函數(shù)的圖像；

(2)求不等式“x)-2〃r)>。

X

x2-2x,x>0

【答案】⑴〃尤)=<0，x=0,

-x?-2x,x<0

圖象見解析

(2)(-co,-2)U(2,+oo)

【分析】(1)由奇偶性求出函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象；

(2)利用奇偶性對不等式化簡，數(shù)形結(jié)合求不等式解集.

(1)

由于〃x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以"0)=0，

當(dāng)了<0,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=%2+2x,

又因為/(—%)=—/(%),所以一/(x)=無2+2X,所以/(%)=一％2一％,

x1-2x,x>0

綜上：〃x)=<O,x=O；

-x2-2x,x<0

圖象如圖所示:

(2)

由〃=可得：,x)-2/(r)=/(x)+2/(x)=^)>0,

XXX

由于X在分母位置，所以XHO,

當(dāng)x<0時，只需〃力<。，由圖象可知：尤<-2；

當(dāng)x>0時，只需/(x)>。，由圖象可知：x>2；

綜上：不等式的解集為(―—內(nèi)伍心).

活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練

一、單項選擇題：(本題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題意要求的.)

1.已知全集&=卜|4=，％-1卜集合3=卜|/<1},則人口3=()

A.—?+B.[1,+℃)C.(1,+0°)D.0>—

【答案】D

【分析】先求函數(shù)>=4^得4=。，；，再解不等式V<1得3=(-1,1)，再求集合交集運算即可.

【詳解】解：因為y=4^7的定義域為[?！?，所以函數(shù)y=G9的值域為0,1,

所以A={y|y=J尤-尤2}=0,g,

又因為3=卜|/<1}=(-1,1),

所以4口3=0,1

故選：D

V2

2.某同學(xué)在研究函數(shù)/(幻=1三時，分別給出下面四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是()

|x|+l

A.函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)B.函數(shù)/'(x)的值域是(L+℃)

C.函數(shù)在R上是增函數(shù)D.方程〃尤)=2有實根

【答案】D

【分析】由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等對選項逐一判斷

【詳解】對于A,/(-x)=(告=/(x),故AM是偶函數(shù)，/(-I)=/(1)=1,/(尤)不是奇函數(shù)，故A錯

誤,

對于B,當(dāng)xNO時，/(x)=^-=x+l+——一2,由對勾函數(shù)性質(zhì)知/(%)2/(0)=0,

X+lX+1

而了(X)是偶函數(shù)，/(元)的值域是?？?，故B錯誤，

r21

對于C,當(dāng)x>0時，/(%)=——=尤+1+-----2,由對勾函數(shù)性質(zhì)知/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，

X+lX+1

而了⑴是偶函數(shù)，故/⑴在(-8,0)上單調(diào)遞減，故C錯誤，

對于D,當(dāng)x>。時，f(x)=2,即/_2..2=0,解得了=道+1,故D正確，

故選：D

3.已知偶函數(shù)的定義域為R,且當(dāng)X20時，/(月="，則使不等式/(〃-2a)<g成立的實數(shù)。的

取值范圍是()

A.(—1,3)B.(—3,3)C.D.(—8,3)

【答案】A

【分析】分析可知〃x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，且〃3)=g,將所求不等式轉(zhuǎn)化為川/一24)<”3),可得

出|"-24<3,解此不等式即可得解.

【詳解】當(dāng)xNO時，〃X)=3=(X+1)2=]_3,所以在[0,+司上單調(diào)遞增，

x+1x+lX+1

且/(3)=：,不等式/(1-2a)<；即為f一2")<"3).

又因為〃x)是偶函數(shù)，所以不等式/(/-2.<〃3)等價于川/一24<〃3),

則尸-24<3,所以，fa-2?<3解得一1<°<3.

11[a2-2a>-3

綜上可知，實數(shù)。的取值范圍為(-1,3),

故選：A.

4.已知/(無)是定義域為(-吟+◎的奇函數(shù)，滿足/(x)=/(2-x).若/⑴=1,貝U

/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+..■+/(30)-()

A.13B.0C.-1D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到"0)=0,f(-%)=-/(%),再由/(x)=/(2-X),即可得到了⑴是以4為周

期的周期函數(shù)，再求出了⑵、“3)、/(4)的值，即可得解.

【詳解】解：因為/(尤)是定義域為(f,+8)的奇函數(shù)，所以"0)=0,/(-%)=-/(%),

X/(x)=/(2-x),所以/(x)=/(2—x)=—/(f),即一/(x)=/(2+x),

所以/(2+x+2)=-〃2+x)="x),即/*)是以4為周期的周期函數(shù)，

又/⑴=1,所以〃2)=〃0)=0,f(3)=/(4-l)=f(-l)=-/(l)=-l,

f(4)=/(0)=0,

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=0,

所以/(D+/(2)+/(3)+/(4)+…+/(3O)

=[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]x7+/(l)+/(2)=l.

故選：D

5.形如/(x)=\的函數(shù)，因其圖象類似于漢字"冏"，故被稱為"冏函數(shù)"，則下列說法中正確的個數(shù)為()

①函數(shù)的定義域為何尤工1｝；

②〃“2019))=-黑；

③函數(shù)的圖象關(guān)于直線尤=1對稱；

④當(dāng)無?-u)時,小)2=一1；

⑤方程+4=0有四個不同的根.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)分式分母不為零可求得“X)定義域，知①錯誤；利用解析式可求得了(一(2019)),知②正確；

通過了⑵工八。)可知③錯誤；分別在xe(T0]和x且0,1)的情況下得到/(x)1rax,知④正確;作出與

>=尤2-4的圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)可知⑤正確.

【詳解】對于①，由國一1工。得:中±1,.?"(X)的定義域為｛小w±l｝,①錯誤；

2018

對于②，7/(2019)=-1-

，”(MAH二一一2017，②正確;

ZU1O-1

2018

對于③，v/(2)=-l-=l,/(0)=高-(2沖〃0),

Z—1u—1

.."（可不關(guān)于直線兀=1對稱，③錯誤;

對于④，當(dāng)xe(T,0］時，/(%)=^-=--二,止匕時〃x)W〃0)=T；

—x—1x+1

當(dāng)xe[0,l）時，〃尤）=工，此時/（x）V/（O）=-l；

X~1

綜上所述:當(dāng)時,/（X）1Mx=-1,④正確;

對于⑤，在平面直角坐標(biāo)系中，作出“X）與y=爐-4的圖象如下圖所示,

由圖象可知：〃x）與y=V-4有四個不同交點,

；?方程〃力-爐+4=0有四個不同的根，⑤正確.

故選：B.

6.已知函數(shù)〃工）=同匕

,則下列說法正確的個數(shù)為（

①函數(shù)"X）的定義域為何無H1};

2019

(2)/(/(2020))=-

2018

③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線尤=1對稱;

④當(dāng)xe（T，l）時，/（力2=一1；

⑤函數(shù)g（x）=/（x）-f+4的圖象與x軸有4個交點.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)分母不等于0,求解函數(shù)的定義域，判斷①；代入驗證判斷②；畫出函數(shù)/（X）的圖象，判斷

④⑤；畫出函數(shù)/（x）和y=d-4的圖象，即可判斷函數(shù)圖象的交點個數(shù).

【詳解】函數(shù)的定義域為{x|x*±l},故①錯誤;

12019

1J—2018,故②正確;

2019-

1

作出］后的圖象如圖所示，由圖可知③錯誤，④正確.

令g(x)=/(x)-x?+4=。，得方程〃x)=x2-4,

在上圖中作出拋物線y=x2-4,由圖可知/（尤）的圖象與拋物線有4個交點，

故函數(shù)g（x）的圖象與無軸有4個交點，故⑤正確.

故選：B.

二、多選題

7.給定函數(shù)/（%）=1%1,g（，）=B,皿X）表示，（尤），g（x）中的較小者，記為皿%）={/（%），g（X）}，則（）

A.m(-l)=-1

B.函數(shù)，心)的定義域為(72,0)U(0,+8)

C.函數(shù)機(jī)(X)的值域為(-00,1]

D.函數(shù)見x)的單調(diào)區(qū)間有3個

【答案】ABD

【分析】當(dāng)x=-l時,/(-D=l,gW=-l,可判斷A;作出函數(shù)機(jī)⑶的大致圖象，由此可判斷B,C,D.

【詳解】當(dāng)x=—l時，/(-l)=l,g(x)=-l,故〃2(-1)=一1,A正確；

作出函數(shù)〃x)=|x|,8龕)=：的圖象，可得到Mx)={/(x),g(x)}的圖象如圖：(實線部分)

函數(shù)m(x)的定義域為(-<?,0)U(。,,B正確；

函數(shù)機(jī)(x)的值域為(-8,0)U(0,l],故C錯誤；

函數(shù)機(jī)(x)的單調(diào)區(qū)間有(-8,0),(0,1],(1,一),故D正確，

故選：ABD

8.已知函數(shù)〃尤)對任意都有/(x+y)+〃x—y)=〃x)〃y),且/(0)w0.則下列結(jié)論正確的是

()

A.〃尤)為偶函數(shù)B.若〃萬)=0,則"2萬)=0

C.〃2耳=尸(力—2D.若/⑴=0,則/(x+4)=/(x)

【答案】ACD

【分析】根據(jù)“X+y)+/(x-y)=/(x)/(y)分別取特殊情況驗證各選項即可.

【詳解】選項A：因為"0)*0,令無=y=0可得/?(0)+〃0)=/⑼，解得"0)=2.令x=0可得

〃y)+/(-y)=〃o)/(y)=2/(y),所以/(>)"(-y),故為偶函數(shù),A正確;

選項B：令x=y="可得八2萬)+/(0)=/(萬)〃下)，所以/(2萬)=-2,B錯誤；選項C:令尸工可得

/(2X)=/2(X)-2,C正確;

選項D：令y=l可得/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=O,所以/(x+l)=—/(x-1),所以

/(x+4)=-/(x+2)=/(x),D正確.

故選：ACD.

9.定義域和值域均為[-的函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象如圖所示，其中。>6>c>0,給出下列四個

結(jié)論正確結(jié)論的是()

B.方程g[f(x)]=O有且僅有三個解

C.方程，[/(尤)]=。有且僅有九個解

D.方程g[g(x)]=。有且僅有一個解

【答案】AD

【分析】由函數(shù)圖象和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可.

【詳角軍】由〃可得一av—c<0,

對于A,/[g(x)]=O,結(jié)合y=/(x)圖象可得g(x)=-b,g(x)=O或g(x)=b,

結(jié)合y=g(x)的圖象可得，g[x}=-b,g(尤)=0,g(x)=6各有一個解，即方程/[g(x)]=O有且僅有三個

解，A正確；

對于B,g"(x)]=O,結(jié)合y=g(x)圖象可得〃x)=b,結(jié)合y=/(x)的圖象可得，/(司=6有一個解,

即方程g[f(x)]=O有且僅有一個解，B錯誤；

對于C,/[/(x)]=0,結(jié)合y=/(x)圖象可得〃尤)=-6,〃尤)=0或/")=6,又〃x)=0有3個解，

f(x)^-b,=b各有一個解，

即方程f[/(x)]=O有且僅有五個解，C錯誤；

對于D,g[g(初|=0,結(jié)合y=g(x)圖象可得g(x)=b,又g(x)=6有一個解，即方程g[g(x)]=o有且僅

有一個解，D正確.

故選：AD.

三、填空題

10.函數(shù)y=-X+2gl的值域是.

【答案】〔T，田)

【分析】令^/^7=f,換元后利用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求出答案.

【詳解】設(shè)"二7=f則尤=1-/,此0

所以y=—x+2Jl-x=廠_]+2t=Q+1)-_2(f20)

因為函數(shù)y=(f+l)2-2在[0,+向上單調(diào)遞增，

當(dāng)，=0,y=-1,

所以函數(shù)、=-了+2G的值域為[-1,田)

故答案為：

11.請寫出一個同時滿足條件①②③的函數(shù)〃力=.

①V尤eR,/(l-x)=/(l+x)；②函數(shù)“X)的最小值為1；③函數(shù)“X)不是二次函數(shù).

【答案】|%-1|+1

【分析】根據(jù)給定信息可得了(尤)是圖象關(guān)于x=l對稱，最小值為1且不是二次函數(shù)的函數(shù)，寫出一個含

絕對值符號的函數(shù)即可.

【詳解】由VxeR,"1—x)=〃l+x)可得：函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線x=l.

因為函數(shù)/(尤)的最小值為1,且函數(shù)/(X)不是二次函數(shù)，

所以可選取〃x)=|x-1+L(答案不唯一)

故答案為：|x-l|+l

x(3-X),XG[0,3]

12.已知偶函數(shù)了(%),當(dāng)x＞0時，/(%)=J30、，若函數(shù)y=/(%)-根恰有4個不同的零點，則

1——,1￡(3,+。)

、X

實數(shù)加的取值范圍為

【答案】中

【分析】作出函數(shù)/(X)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)丁二人均與丫二機(jī)有4個不同的交點，由圖示可得答案.

【詳解】解：作出函數(shù)“X)的圖象如下圖所示，令y=/(x)-7〃=0,則“r)=機(jī)，

若函數(shù)y=/(x)-機(jī)恰有4個不同的零點，則需函數(shù)＞=/。)與'=m有4個不同的交點，所以實數(shù)m的取

9

值范圍為14加＜二，

13.求下列函數(shù)的值域:

(1)/(^)=—

-X—1

(2)"號

(3)/(x)=J-2%2+%+3；

(4)/(x)=x-y/l-2x.

【答案】⑴[TO)

(2)(-<X),2)U(2,-KX))

【分析】(1)利用不等式的性質(zhì)即可得到值域;

77

(2)將原函數(shù)化簡為y=2+-根據(jù)一即可得到值域；

x-3x-3

(3)將原函數(shù)化簡為y=J一獲，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和根號的取值，即可得到值域；

(4)令，=行石，/NO,所以可將原函數(shù)化簡為>+1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得值域

(1)

因為dzO，-x2<0，所以-Y-lV-l恒成立，

所以-IV一二<0,所以所求函數(shù)的值域為

—X—1

(2)

E4,2X+12(x-3)+77口7

因為-----=△----』—=2+----，且一-^0,

x-3x-3x-3x—3

所以至7Y-J9-1*2,所以函數(shù)的值域為(3,2)U(2,田)；

X-J

(3)

因為‘-2/+4+3=］21一；：+1,所以O(shè)WJ-2x2+x+3W半,所以函數(shù)的值域為。，乎；

(4)

設(shè)方=J1-2%，貝h>0且％=—產(chǎn)H—,得％-J1-2x=—t2-t-\—=—('+1)+1，

22222

因為此o,所以-gu+iy+iv；,所以函數(shù)的值域為卜雙g

14.已知函數(shù)/(x)=1-￡.

⑴是否存在實數(shù)6,使得函數(shù)“X)在區(qū)間可上的值域為［?；?？請說明理由；

(2)若存在實數(shù)6,使得函數(shù)/(x)在區(qū)間6］上的值域為［加4〃刃，求實數(shù)"?的取值范圍.

【答案】⑴不存在。力，使得函數(shù)/⑺在區(qū)間句上的值域為可,理由見解析

⑵心

【分析】(1)分類討論可得分段函數(shù)解析式，由止匕可得/(了)圖象，由/(丈)？0可知分另U在

人的情況下，結(jié)合單調(diào)性可構(gòu)造方程組，由方程組結(jié)果可知不存在滿足題意的6；當(dāng)0<a<146時,

由1目凡6］可推導(dǎo)得到Oc［a,可，可知不合題意；綜合三種情況可得結(jié)論；

fmb>ma/、

(2)由「和"x)ZO可推導(dǎo)得至ljm>0,。>0,當(dāng)0<°<分<1和0<a<146時，結(jié)合(1)的方法可知

［b>a

不合題意；當(dāng)IV，V》時，可知〃力是m，一"+1=0的大于1的兩根，由一元二次方程根的分布可構(gòu)造不等

式組求得結(jié)果.

(1)

l--,x<0

由題意知：/(x)=-1-1,0<X<1,則"%)圖象如下圖所示,

1--,X>1

X

假設(shè)存在a,b,使得函數(shù)7■(x)在區(qū)間［a,b］±.的值域為［a,b］,

,,-.b>0,貝iJa>0；

"a)=1-l=6

①當(dāng)0<“<6<1時，〃尤)在可上單調(diào)遞減，J

兩式作差得-b-a,:.a-b^ab-\；

abab

當(dāng)。=6時，不滿足

當(dāng)而=1時，--l=b-l^b,不合題意;

a

,此時不存在。,b,使得函數(shù)〃x)在區(qū)間［a,句上的值域為［a,句;

f^a)=\-^-=a

②當(dāng)時，在,,國上單調(diào)遞增，I

46)=1-：=%

則。力是方程1--=x,即方程％2-犬+1=0的兩根，但方程爐-工+1=0無實根;

,此時不存在。也使得函數(shù)在區(qū)間句上的值域為［名以；

③當(dāng)0<a<lM6時,此時lw[a,可,又/⑴=0,.-.Oe[?,&],不合題意;

,此時不存在,使得函數(shù)〃x）在區(qū)間［a,句上的值域為［a,句;

綜上所述：不存在”,匕，使得函數(shù)〃x）在區(qū)間可上的值域為可.

⑵

若存在實數(shù)”,6,使得函數(shù)在區(qū)間［a,b］上的值域為a,“回,

"zZ?>mti

則b>&'則機(jī)>0，又/(x)>0,,\ma>Q,則a>0；

/(a)=--1=mb

①當(dāng)0<”8<1時，〃X）在［a,6］上單調(diào)遞減，

/(")=<—1=""

兩式作差得：—-^-=^—^-=m(b-a),:.a=b^ab=—

ababm

當(dāng)a=b時，不滿足Ovav〃<l；

當(dāng)M=_時，--l=mb-l^mb,不合題意;

ma

②當(dāng)1什<6時，在目上單調(diào)遞增,

,.Te[q,〃|時，/(1)=0,即0e[a,b],不合題意，.,.l<a<b；

=1--=ma

:,則。,6是方程1一人=機(jī)工，即帆必一%+1=0的大于1的兩根,

/(Z?)=1--=mbX

A=l-4m>0

-—>1，解得：。<根〈:；

2m4

m-1+1>0

③當(dāng)OvavlKb時,此時l?a,句,又“1）=0,「.Ow［叫,不合題意;

綜上所述：實數(shù)機(jī)的取值范圍為(0,；］

15.已知函數(shù)/(x)=1臺,曲(-2,2).

⑴試判斷函數(shù)f(可在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

(2)若/(2+a)+/(l-2a)>0,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴/⑺在(-2,2)上單調(diào)遞增,證明見解析

(2)］一則

【分析】(1)判斷出函數(shù)在(-2,2)上單調(diào)遞增，然后任取毛、%?-2,2)且不<%,作差

通分、因式分解后判斷了(西)-/(超)的符號，即可證得結(jié)論成立；

(2)推導(dǎo)出函數(shù)為奇函數(shù)，將所求不等式變形為〃a+2)>〃2a-l),利用函數(shù)〃尤)的單調(diào)性與定

義域可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式組，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

(1)

證明：函數(shù)/