專題10幾何壓軸中的證明與猜想題型

幾何壓軸中證明與猜想題指有些數(shù)學問題的條件、結論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的

特點進行分析、探索，從而確定出符合要求的答案（一個、多個或所有答案）或探索出解決問題的多種方法.

該題型對考查學生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年各地中考命題的一個熱點.通常這類

題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結論開放和探索，條件與結論都開放與探索及方案設計、命題組

合型、問題開放型等.考生在復習時，首先對于基礎知識一定要復習全面，并力求扎實牢靠；其次是要加

強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.由于題

型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角

度考慮：

1.利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出

規(guī)律.

2.反演推理法（反證法），即假設結論成立,根據(jù)假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致.

3.分類討論法.當命題的題設和結論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重

復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果.

4.類比猜想法.即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴

密的論證.

真題布析

（2022?貴州黔西?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在正方形A8CD中，E,尸分別是BC,CZ）邊上的點（點E不與

點8,C重合），且NE4F=45。.

AAD

(1)當班=￡)?時，求證：AE=AF；

(2)猜想BE,EF,。尸二條線段之間存在的數(shù)量關系，并證明你的結論；

(3汝口圖2,連接AC,G是C8延長線上一點，GHLAE,垂足為K,交AC于點H且G"=AE.若DF=a,

CH=b,請用含a,6的代數(shù)式表示所的長.

哪瓶

(1)先利用正方表的性質求得=ZB=ZD=90°,再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等,

然后由全等三角形的性質求解;

(2)延長CB至M,使BM=DF,連接AM,先易得△ABM/△AT乃(&1S),推出40=AF,

ZMAB=ZFAD,進而得到△必(S45),最后利用全等三角形的性質求解；

(3)過點“作MVLBC于點N,易得AABE絲AGNH(AAS),進而求出附=專。7,再根據(jù)(2)的結

論求解.

【答案與解析】

【答案】(1)見解析

(2)EF=DF+BE,見解析

(3)^-Z7+(z

2

【詳解】(1)證明：I?四邊形ABC。是正方形，

/.AB=AD,ZB=ZD=90°.

在和△>!￡)廠中

AB=AD

<NB=ND,

BE=DF

:.AE=AF；

(2)解：BE,EF,。廠存在的數(shù)量關系為所=。產(chǎn)+3石.

理由如下：

延長。5至使BM=DF,連接4拉，

貝!|NABM=NO=90。.

在△ABM和△ADb中

AB=AD

<ZABM=ZD,

BM=DF

：.AABM^AADF(SAS),

^AM=AF,ZMAB=/FAD.

VZE4F=45°,

:.ZMAB^-ZBAE=ZFAD+ZBAE=45°.

:.ZMAE=ZFAE9

在△A￡M和△的尸中

AM=AF

</MAE=ZFAE,

AE=AE

：.Z\AEM^/\AEF(SAS),

：.EM=EFf

*：EM=BE+BMf

：.EF=DF+BE；

(3)解：過點H作池上BC于點N,

則NHVG=9。。.

VGW1AE,

：.ZAKG=ZABG=90°9

：.ZBGK=ZEAB.

在△ABE和VGNH中

NABE=ZGNH

</BAE=ZNGH,

AE=GH

：.AABE"NGNH〈AAS）,

：.EB=HN.

VZHC7V=45°,ZHNC=90°9

HN

sin45°=

He

：.HN=—CH,

2

由（2）知，EF=BE+DF=HN+DF=烏+

2

總結與點撥

本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線，構建三角

形全等是解答關鍵.

*

（2022?山東濟南?統(tǒng)考中考真題）如圖1,△ABC是等邊三角形，點。在AABC的內部，連接A。，將線段

CE.

圖3

（1）判斷線段8。與CE的數(shù)量關系并給出證明;

（2）延長ED交直線BC于點F.

①如圖2,當點尸與點B重合時，直接用等式表示線段AE,BE和CE的數(shù)量關系為

②如圖3,當點尸為線段8C中點，且EZ）=EC時，猜想NA4D的度數(shù)，并說明理由.

（1）利用等邊三角形的性質和旋轉的性質易得到△ABD/△ACE（S45）,再由全等三角形的性質求解;

（2）①根據(jù)線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60。得到AE得到VADE是等邊三角形,

由等邊三角形的性質和（1）的結論來求解；②過點A作于點G,連接AF,根據(jù)等邊三角形的性

ArzAF

質和銳角三角函數(shù)求值得到ZBAF=ZDAG,—=—，進而得到4rs4G,進而求出ZADB=90°,

ADAB

結合BD=CE,EO=EC得到%>=AD,再用等腰直角三角形的性質求解.

［答案與解析】

【答案】⑴BD=CE,理由見解析

（2）@BE=AE+CEt②440=45。，理由見解析

【詳解】（1）解：BD=CE.

證明：???△ABC是等邊三角形，

/.AB=AC,Zfi4c=60°.

?.?線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60。得到AE,

/.AD=AE9ZZME=60。，

???ZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ADAC=Z.DAE-ZDAC,

即NBA。=NC4E.

在△ABQ和ZXACE中

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

：.AABZ）^AAC￡（S4S）,

:?BD=CE；

⑵解：①BE=AE+CE

理由：??,線段A。繞點A按逆時針方向旋轉60。得到AE,

???VAD￡是等邊三角形，

/.AD=DE=AE,

由（1）得BD=CE,

：.BE=DE+BD=AE+CE；

②過點A作AGLE廠于點G,連接AH如下圖.

:.ZDAG=-ZDAE=30°,

2

：,-----=cosZ.DAG=——.

AD2

???AABC是等邊三角形，點尸為線段3C中點，

：.BF=CF,AFIBC,ZBAF=-ZBAC=30°,

2

：,-----=cos/BAF=—

AB2

/.ZBAF^ZDAF=ZDAG^-ZDAF9

即NB40=NE4G,

:.△BADs△融G,

：.ZADB=ZAGF=9Q°.

?:BD=CE,ED=EC,

:.BD=AD,

即△ABD是等腰直角三角形，

:.ZBAD=45°.

總結與點撥

本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，相似三角形

的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，理解相關知識是解答關鍵.

例孽3

（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形A3CD中，E為AD邊上一點，將

八4￡?沿BE翻折到△BEF處，延長交8邊于G點.求證：△毋G絲zXBCG

ED

圖①

（2）【類比遷移】如圖②，在矩形ABCD中，E為AT＞邊上一點，且AO=8,AB=6,將"EB沿BE翻折到

ABEF處,延長EF交BC邊于點G,延長BF交。邊于點H,且FH=CH,求AE的長.

(3)【拓展應用】如圖③，在菱形ABC。中，AB=6,E為8邊上的三等分點，=

翻折得到"FE，直線跖交BC于點P,求CP的長.

備用1備用2

(1)根據(jù)將AAEB沿3E翻折到ABEF處，四邊形ABCD是正方形，得AB=BF,ZBFE=ZA=90°,即得

ZBFG=90°=ZC,可證RIABFG/RMBCG(HL)；

711

(2)延長3H,AD交于Q,設M=〃C=x,在中，有8?+，=(6+無)2,得彳=—,DH=DC-HC=~,

6_BG_FGI

由ABFGsABCH,得飛=＞二丁，BG=§,FG=,而EQ//GB,DQ//CB,可得存=照，即2,

o+——44DQDHDQ

33~3

144

DQ=^,設AE=EF=m,則DE=8rw,因祟=/，有不二-=?,即解得AE的長為。；

/D(jrr(jr±2._2

T4

(3)分兩種情況：(I)當DE=；OC=2時，延長FE交AD于。，過。作。于設。。=》，QE=y,

2

貝?。軦Q=6-x,CP=2x,由AE是AA。尸的角平分線，有歲二三①，在RtAHQE中，(l--x)+=y2@9

622

33

可解得x=“CP=2x=]

1I?

(II)當CE=$OC=2時，延長正交AD延長線于。'，過。作ON，AB交助延長線于N,同理解得％=彳,

CP=-

［答案與解析1

【答案】(1)見解析；(2)9(3)CP的長為'3或］6

【詳解】證明：(D???將AAEB沿跖翻折到AB￡尸處，四邊形ABCD是正方形,

:.AB=BF,ZBFE=ZA=90°9

..ZBFG=90。=NC,

-AB=BC=BF,BG=BG,

RtABFGmRtABCG^HL)；

(2)解：延長跳，A。交于。，如圖：

在Rt^BCH中，BC2+CH2=BH2,

82+x2=(6+x)2,

7

解得一

:.DH=DC-HC=—

3

-,-ZBFG=ZBCH=90°,ZHBC=ZFBG,

FG=-

?：EQ!!GB,DQ//CB,

/.\EFQ^\GFB,NDHQ^\CHB,

7

BCCH

.=即8二§

-DQ~DH'即質"/I，

~3

^AE=EF=m,貝!)0石=8—根，

88144

.\EQ=DE+DQ=S-m+—=------m,

77

???AEFQsAGFB,

144

m

.EQEF^EV-=m

-BG—=PG，即25~7J

44

9

解得機=］，

.：AE的長為，

(3)(I)當?！?"。=2時，延長FE交AD于。，過。作QH1C。于H,如圖:

DQ=x,QE=y,貝1)AQ=6_%,

-CP//DQ,

\CPE^\QDE,

?空=里=2

"DQDE'

:.CP=2x,

?.?AADE沿AE翻折得到AAFE,

:.EF=DE=2,AF=AD=6,NQAE=NFAE,

J.AE是AAQF的角平分線，

.噂嚕，即等*

-.?ZD=60°,

DH=—DQ=—x9HE=DE—DH=2——x,HQ=>/3DH=x,

在放△“Q￡中，HE2+HQ2=EQ2,

(1『+(-^-x)2=V②，

聯(lián)立①②可解得冗

4

3

..CP=2x=-；

2

(ID當CE=；OC=2時，延長莊交AO延長線于。，過。作交及延長線于N,如圖:

NAB

同理NQ'AE=NE4尸，

Ar，E

.Q=Q即6+x=y

??AF-EF'6-4'

由亭)2+j+4)2=y2,

I?

可解得％=

/.CP=—x=—,

25

綜上所述，CP的長為g或

總結與點撥

本題考查四邊形的綜合應用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質，三角形角平分線的性質,

勾股定理及應用等知識，解題的關鍵是方程思想的應用.

睛由眼期題

1.(2022.安徽合肥?校聯(lián)考三模)已知AC,EC分別是四邊形ABCD和四邊形EFCG的對角線，點E在AABC

的內部，ZCAE+ZCBE=90°.

(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖1,當四邊形ABCD和四邊形EFCG均為正方形時，則NEBb的度數(shù)為

⑵引申運用：如圖2,當四邊形A3CD和四邊形EfCG均為矩形時，

ARFF

①若黑==，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

BCFC

②若要=要=1，/a=2,BE=1,求線段CE的長；

BCFC4

(3)聯(lián)系拓展：如圖3,當四邊形ABCD和四邊形EFCG均為菱形且NDW=NGEF=30。時，設

BE=a,AE=b,CE=c,試探究a,b,c三者之間的等量關系，并說明理由.

2.(2022?浙江寧波?校考三模)【基礎鞏固】

(1)如圖①，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZACD=ZB,求證：AABC^ADCA；

(2)【嘗試應用】如圖②，在平行四邊形ABCD中，點E在BC上，/血＞與NC互補，BE=2,EC=4,

求AE的長；

(3)【拓展提高】如圖③，在菱形ABCD中，E為其內部一點，與NC互補，點廠在CD上，EF//AD,

且AD=2EF,AE=3,CF=1,求DE的長.

3.(2022?山東濟南?統(tǒng)考模擬預測)(1)【問題情境】如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的一

個動點，以CE為邊在CE的右側作正方形CEFG,連接DG、BE,則。G與班的數(shù)量關系是；

圖1

(2)【類比探究】如圖2,四邊形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,點E是AO邊上的一個動點，以CE為

邊在CE的右側作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,連接OG、BE.判斷線段。G與班有怎樣的數(shù)量關系和

位置關系，并說明理由;

(3)【拓展提升】如圖3,在(2)的條件下，連接BG,則23G+BE的最小值為

4.(2022?江蘇蘇州??？家荒?【理解概念】

定義：如果三角形有兩個內角的差為90。，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”.

⑴已知△ABC是“準直角三角形"，且NC>90。.

①若/A=60。，則N3=

②若NA=40。，貝l|/B=

【鞏固新知】

(2)如圖①，在RtaABC中，ZACB=90°,AB=6,BC=2,點。在AC邊上，若是"準直角三角形”,

求8的長;

圖①

【解決問題】

(3)如圖②，在四邊形A3CD中，CD=CB,ZABD=ZBCD,A