專(zhuān)題08幾何中的面積問(wèn)題

I羈津概述

面積問(wèn)題是壓軸題中?？嫉膯?wèn)題，不僅在幾何壓軸題中，在函數(shù)壓軸題中考查的頻率也很高。幾何壓軸

題中的面積問(wèn)題往往比較抽象，并不是簡(jiǎn)單幾何圖形的面積，通常情況下，我們需要對(duì)所求的幾何圖形面

積進(jìn)行轉(zhuǎn)化為我們熟悉的可求的類(lèi)型。在幾何壓軸題中的面積考查主要表現(xiàn)為兩個(gè)方面：一是求某個(gè)幾何

圖形的面；二是求變化中的幾何圖形面積的最值。

一、求某個(gè)幾何圖形面積的類(lèi)型，常用的方法：

1.添加輔助線(xiàn)：通常包括做出三角形的高，割補(bǔ)法構(gòu)造三角形等。

2.圖形變換的方式對(duì)所求圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等變化，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為三角形等。

3.可以利用三角形全等，對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

4.利用相似三角形的面積之比等于相似比，構(gòu)建方程進(jìn)行求解。

二、求變化中的幾何圖形的面積問(wèn)題：

(1)方程與函數(shù)的方法：通常需要設(shè)出未知數(shù)無(wú)，并用尤表示出求面積所必需的邊長(zhǎng)和高，構(gòu)建方程求出未

知數(shù)，或構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最值。

(2)幾何的方法：一般情況下，在求變化中幾何圖形的面積的最值時(shí)，需要我們找準(zhǔn)變化的量，討論變化

的量的臨界值，例如：在求變化三角形的面積最值時(shí)，如果底邊長(zhǎng)一定，而底邊上的高在不斷的變化，我

們就要根據(jù)高線(xiàn)變化的規(guī)律，尋找高的最大值或者最小值的情況，從而求得面積的最小值。

真題精析

(2022?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在菱形ABC。中，AB=5,BD為對(duì)角線(xiàn).點(diǎn)E是邊AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的任

意一點(diǎn),

備用圖1備用圖2

⑴求證：ZDBG=90°.

(2)若皮)=6,DG=2GE.

①求菱形ABCD的面積.

②求tan/應(yīng)見(jiàn)的值.

(3)若當(dāng)NZMB的大小發(fā)生變化時(shí)(0。<〃45<180。)，在AE上找一點(diǎn)T,使GT為定值，說(shuō)明

理由并求出屈T的值.

郵踞

(1)由菱形的性質(zhì)可證得/CB￡)=/ABO=TN4BC,由3G平分NC3E交。E于點(diǎn)G,得到NCBG=

NEBG=IZCBE,進(jìn)一步即可得到答案；

(2)①連接4c交30于點(diǎn)0,RfAO0C中，OC=7cD2-OD2=A/52-32=4-求得AC=8,由菱形的面積

公式可得答案；②由3GAC,得至U些=型=工，DH=HG,DG=2DH,又由。G=2GE,得到EG=

DGBD2

DH11QQA

DH=HG則——=-,再證明△CH=-AC=-OH=OC-CH=4--=-,利用正切

9EH233933

的定義得到答案；

(3)過(guò)點(diǎn)G作GT5C,交AE于點(diǎn)T,△5GESZ\A7/E,得AB=3E=5,則EG=GH,再證△DOH^ADBG,

得DH=GH=EG,由△EGTs/\EZM得包=?=,，GT=*,為定值，即可得到ET的值.

ADEA33

［答案與解析】

【答案】(1)見(jiàn)解析

4

⑵①24,②g

(3)ET=與，理由見(jiàn)解析

【詳解】(1)證明：1?四邊形A3C。是菱形，

：.BC=DC,ABCD,

：.ABDC=ZCBD,NBDC=ZABD,

：.ZCBD=ZABD=|ZABC,

,：BG平分NCBE交DE于前G,

：.ZCBG=NEBG=|ZCBE,

：.ZCBD+ZCBG^^(NABC+NCBE)=]xl80°=90°,

:.ZDBG=90°；

(2)解：①如圖1,連接AC交50于點(diǎn)O,

?.,四邊形A3C。是菱形，3。=6,

：.0D=』BD=3,ACA.BD,

：.ZDOC=90°,

在Rt4DOC中，0C=ylB-OUW"=4，

：.AC=2OC=8,

???^CD=1ACXB￡>=1X8X6=24,

即菱形ABC。的面積是24.

②如圖2,連接AC,分別交60、DE于點(diǎn)0、H9

???四邊形A5CD是菱形，

：.ACLBD,

VZDBG=90°

:,BG工BD,

：.BGAC,

.PHDO_1

??—―，

DGBD2

：.DH=HG9DG=2DH9

,:DG=2GE,

：.EG=DH=HG,

.DH\

??而N

?：ABCD,

：.ZDCH=EAH,ZCDH=ZAEH9

:.ACDH^AAEH9

?CHPH1

99AH~EH~29

：.CH=-AC=-

33f

84

，0H=OC-CH=4——=一，

33

/.tanZBZ>E=-=-；

OD9

10

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)G作GTBC交AE于點(diǎn)T,此時(shí)ET=3.

￡)________tC

ABIE

圖3

理由如下：由題(1)可知，當(dāng)NZM5的大小發(fā)生變化時(shí)，始終有BGAC,

:.△BGEsAAHE,

.EGBE

??一，

GHAB

?:AB=BE=5,

：.EG=GHf

同理可得，ADOHs/\DBG,

?PHDO

,:BO=DO,

：.DH=GH=EG,

VGTBC,

：.GTAD,

:AEGTS/\EDA,

.GTEGET1

??而—訪(fǎng)一說(shuō)一§，

VAZ)=AB=5,

.,.GT=|,為定值，

此時(shí)ET=』AE=』(AB+BE).

333

與翻

此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相似

三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例學(xué)2

(2022?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題)ABC和均為等邊三角形，點(diǎn)E、。分別從點(diǎn)A,8同時(shí)出發(fā)，以

相同的速度沿AB、BC運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8、C停止.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E、￡＞分別與點(diǎn)A、8重合時(shí)，請(qǐng)判斷：線(xiàn)段CZX￡F的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)

系是;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E、。不與點(diǎn)A,8重合時(shí)，(1)中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成

立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CEED的面積是面積的一半，請(qǐng)直接寫(xiě)出答案；此時(shí)，四邊形

BDEF是哪種特殊四邊形？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出圖形并給予證明.

郵轉(zhuǎn)

(1)根據(jù)ABC和△的＞/均為等邊三角形，得至I」A尸=40,AB=BC,ZFAD=ZABC=60°,根據(jù)E、。分

別與點(diǎn)4、8重合，得至IJAB=A￡＞,EF=AF,CD=BC,ZFAD=ZFAB,推出CZ)=EF,CD//EF；

(2)連接BF,根據(jù)NRW=NA4C=60。，推出NB43=NZMC,根據(jù)AF=AD,AB=AC,推出△AF3絲△AOC,

得至!|/43尸=/4。。=60°,BF=CD,根據(jù)AE=8￡),推出5E=CZ),得至!|3歹=5E,推出△8尸E是等邊三角形，

得到BF=EF,ZFEB=60°,推出CD=EF,CD//EFi

(3)過(guò)點(diǎn)E作EGJ_BC于點(diǎn)G,設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a,AD=/i,根據(jù)AB=BC,BO=C0=BD=AE,

推出AE=BE=^AB,根據(jù)A5=AC,推出AD_L3C,得至ljEG〃A。，推出△E3GSZ\A5Z>,推出

黑=娶=:，得到用=\AD=\h,根據(jù)CZ>=E尸，CD//EF,推出四邊形CEFO是平行四邊形，推出

ADAB222

CDEGAHAH

CEFD15VABC?根據(jù)EF=AD,EF//BD,推出四邊形BZ>Eb是平行四邊形，

S==\乙-乙=\乙-乙=乙

根據(jù)3尸=/尸，推出BDEF是菱形.

I答案與解析】

【答案】⑴CD=EF,CD//EF

(2)CD=EF,CD//EF,成立，理由見(jiàn)解析

⑶點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，BDEF是菱形,證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)；,ASC和△AZR均為等邊三角形，

：.AF=AD,AB=BC,ZFAD=ZABC=60°,

當(dāng)點(diǎn)E、。分別與點(diǎn)4、3重合時(shí)，AB=AD,EF=AF,CD=BC,ZFAD=ZFAB,

：.CD=EF,CD//EF；

故答案為：CD=EF,CD//EF；

(2)CD=EF,CD//EF,成立.

證明：

連接BF,

'：ZFAD=ZBAC=M°,

二ZFAD-ZBAD=ZBAC-ZBAD,

即NE4B=NZ)AC,

"：AF=AD,AB=AC,

：.AAFB^AADC(SAS),

AZABF=ZACD=60°,BF=CD,

'：AE=BD,

：.BE=CD,

:.BF=BE,

...△3尸E是等邊三角形，

：.BF=EF,ZFEB=60°,

：.CD=EF,BC//EF,

即CD//EF,

：.CD=EF,CD//EFi

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形C跖0的面積是AFC面積的一半，此時(shí)，四邊形瓦）EV

是菱形.

證明：

過(guò)點(diǎn)E作EGLSC于點(diǎn)G,設(shè)AA3C的邊長(zhǎng)為a,AD=h,

"：AB=BC,BD=CD=”C=：a，BD=AE,

：.AE=BE=^AB,

'：AB=AC,

：.AD±BC,

：.EG//AD,

:.AEBGSAABD,

.EGBE1

??——9

ADAB2

：.EG=-AD=^h,

由（2）知，CD=EF,CD//EF,

:.四邊形CEFD是平行四邊形，

??S四邊形CEFD=CD，EG=MC，

此時(shí)，EF=BD,EF//BD,

???四邊形BDEF是平行四邊形，

'：BF=EF,

二，BDEF是菱形.

A

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題主要考查了等邊三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角

形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定.

例早3

(2022?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題)如圖，平行四邊形ABCD中，DB=273,AB=4,AD=2,動(dòng)點(diǎn)E,F同

時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)石沿著A-OfB的路線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)下沿著A-BT。的路線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E,尸相

遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

2

(1)如圖1,設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)尸的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒時(shí)，設(shè)CE與

DF交于點(diǎn)P，求線(xiàn)段EP與CP長(zhǎng)度的比值；

(2)如圖2,設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)尸的速度為出個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，//EF的面積

為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)尤為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？

(3)如圖3,X在線(xiàn)段AB上且M為。尸的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、歹分別在線(xiàn)段A。、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探

究點(diǎn)E、尸在什么位置能使并說(shuō)明理由.

郵甌

⑴延長(zhǎng)。歹交C5的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,先證得AFD-班G,可得勺=段，根據(jù)題意可得A尸=：,AE=j,

FBBG33

可得到CG=3,再證明△PDESAPG。，即可求解；

(2)分三種情況討論：當(dāng)0qW2時(shí)，E點(diǎn)在AD上，尸點(diǎn)在Ab上；當(dāng)2Wx(逑時(shí)，￡點(diǎn)在5。上，F(xiàn)

3

點(diǎn)在AB上；當(dāng)?shù)蟇xV2班時(shí)，點(diǎn)E、尸均在50上，即可求解；

3

(3)當(dāng)EF〃5Z)時(shí)，能使理由：連接根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【答案與解析】

■小自、EP4

【答案】(1)/^=§;

(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為尸-生2+”￥?2〈工〈理］；當(dāng)x=苧時(shí)，y的最大值為2+1道；

6+2A/3-X-V3xf<x<

(3)當(dāng)E尸〃3。時(shí)，能使理由見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：如圖，延長(zhǎng)。下交C8的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,

4戶(hù)、、/B

''、、/

7

G

圖1

V四邊形ABCD是平行四邊形，

：.CG//AD,

：.AFD-BFG,

.AFAD

**BGJ

2

V點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒,

82

..AF=—,AE=—,

33

VAB=4,AD=29

?44

??BF=—，ED=—,

33

8

.?二2

*e4-BG，

3

：.BG=1,

：.CG=3,

9

\CG//ADf

：.APDE^APGC,

?EP_ED

??一9

PCGC

.EP_4

??=一；

PC9

(2)解：根據(jù)題意得：當(dāng)OW爛2時(shí)，E點(diǎn)在A￡)上，尸點(diǎn)在43上，此時(shí)4E=x,AF

VDB=2A/3,AB=4,AD=2,

AD2+BD2=AB2,

.?.△ABO是直角三角形，

..AD_1

?AB~2'

:.ZABZ)=30°,

：.ZA=60°,

如圖，過(guò)點(diǎn)E作交于H,

:.y=—xAFxEH=—x^xx—^-x=—x2;

2224

.?.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，

此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值3；

當(dāng)24x4拽時(shí)，E點(diǎn)在30上，尸點(diǎn)在45上,

3

如圖，過(guò)點(diǎn)E作交于N,過(guò)點(diǎn)。作。交于M,則EN〃￡>M,

根據(jù)題意得：DE=x-2,

??BE=+2-x,

在出AABO中，DM=ADsinA=^,AM=1,

'：EN//DM,

:ABENs^BDM,

.EN_BE

''~DM~~BD'

.EN2+2A/3-X

*'A/3-26

**?EN=1+y/3—x,

2

:.y=—xAFxEN=—x(V3x)x(l+V3-—x)=-—x2+3+，*,

'22242

此時(shí)該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=b+l,

.?.當(dāng)2WxV逑時(shí)，y隨x的增大而增大，

3

此時(shí)當(dāng)x=孚時(shí)，y有最大值2+：占；

當(dāng)拽《尤426時(shí)，點(diǎn)E、F均在80上，

3

過(guò)點(diǎn)E作交于。，過(guò)點(diǎn)F作EPLAB交于尸，過(guò)點(diǎn)。作OML4B于點(diǎn)M,

'：AB=4,AD=2,

ABE=2yl3-x+2,DF=4+出,

■:PF//DM,

:.△BFPs/\BDM,

.BFPFBnV3x-4PF

BDDM2A/36

?DZ78n

??PF=——x-2,

2

VEQI/DM,

:?ABEQsABDM,

?BEEQnn2V3+2-XEQ

BDDM273也

：.EQ=^+l-g尤，

一日尤+一司龍,

二y=gxABx(E。一尸/)=：X4X(6+1-gx2)=6+26(1+

此時(shí)y隨x的增大而減小，

此時(shí)當(dāng)x=時(shí)，y有最大值2+：石

3

—X2(0<x<2)

一旦2+二+與［2?！醋В?/p>

綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為產(chǎn)

422(3)

6+2班一x—拽2g

.V7

當(dāng)了=遞時(shí)，y最大值為2+]g；

33

(3)解：當(dāng)E歹〃8。時(shí)，能使M.理由如下：

連接OH,如圖，

/。

AHFB

VAH=-HB,AB=4,

3

:AH=1,

由(2)得：此時(shí)AHLAB,

???拉是。尸的中點(diǎn)，

：.HM=DM=MFf

YEF〃BD,BDLAD,

：.EF±ADf

：.EM=DM=FM,

,儂與題

本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論，數(shù)

形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

精酬膜雙題

1.(2022?廣東江門(mén)??？家荒?點(diǎn)E為正方形ABCD的邊。上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AE與3D相交于點(diǎn)尸，與BC

的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G.

圖①圖②

(1)如圖①，若正方形的邊長(zhǎng)為2,設(shè)止=x,△DEG的面積為y,求y與X的函數(shù)關(guān)系;

(2)如圖②，求證：C尸是ECG的外接圓的切線(xiàn);

(3)如果把正方形ABCD換成是矩形或菱形，(2)的結(jié)論是否是否仍然成立?

【答案】⑴>=2-尤

(2)見(jiàn)解析

(3)正方形ABCZ)換成矩形ABCD時(shí)，(2)結(jié)論不成立；當(dāng)正方形ABCD換成菱形ABCD時(shí)，(2)結(jié)論成

【分析】(1)延長(zhǎng)過(guò)G作RGLAD交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于凡利用三角形面積公式即可得出結(jié)果;

(2)取EG中點(diǎn)。，連接OC,根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得出，ZMb="CF,再由

各角之間的等量代換得出，OCb=90。，即可證明;

(3)當(dāng)正方形ABCD換成矩形ABCD時(shí)，根據(jù)題意得出/OCF+/OCE#90。，CF不是ECG的外接圓的

切線(xiàn)；當(dāng)正方形ABCD換成菱形A5CD時(shí)，同(2)中的方法一致，證明即可

【詳解】(1)解：如圖，延長(zhǎng)AT>,過(guò)G作RGLAD交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于R,

由題意可知，正方形ABC。邊長(zhǎng)為2,

???AD=RG=2,

SAnr=—?AD-RG=—x2x2=2,SAr>F=—?AD-DE=x,

?e?SDEG=SADG-SADE=2-x,即y=2—x；

(2)證明：如圖,取EG中點(diǎn)O,連接OC,

???/ECG=90。，

???EG是$￡CG外接圓的直徑，。為圓心,

在正方形ABC。中，5D是對(duì)角線(xiàn)，

；?NADF=NCDF,

VAD=CD,DF=DF,

：.ADFCDF(SAS),

:?/DAF=/DCF,

ADCG,

:?NDAF=NOGC,

在圓。中，OC=OG,

:.NOCG=NOGC,

:?NOCG=NDCF,

???/OCG+/OC石=90。，

???，OC尸=90。，即OC_LCF,

:.CF是，ECG的外接圓的切線(xiàn)；

(3)當(dāng)正方形ABCD換成矩形45co時(shí),

ZOCG=ZOGC=ZDAF,但是AD尸與“CD9不全等，

：.ZDAF^ZDCF,

：.N0CG豐NDCF,

ZOCG+NOCE=90°,NDCF+ZOCE豐90°,

/.C/不是八ECG的外接圓的切線(xiàn)；

當(dāng)正方形ABCD換成菱形ABCD時(shí)，在菱形ABCD中，是對(duì)角線(xiàn),

:.NADF=NCDF,

，，ADF/..CDF(SAS),

:.NDAF=/DCF,

■:ADCG,

：.ZDAF=ZG,

:./DCF=NG,

在圓。中，連接CO并延長(zhǎng)交圓。于“，

:?NG=NH=NDCF,

???c”是直徑，

：?NCEH=90。,

；?NECH+NH=90。，

NDCF+ZECH=90°,即OC_LCE,

???CF是、ECG的外接圓的切線(xiàn).

2.（2022?山東青島.山東省青島第二十六中學(xué)校考二模）問(wèn)題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三

角形的面積.

問(wèn)題探究：為了解決上述問(wèn)題，我們先由特殊到一般來(lái)進(jìn)行探究.

探究一：如圖1,在3ABe中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求上ABC的面積.

在RtZXABC中，ZABC=90°,

..AB

..sincc----

AC

..AB=b?sina.

.SAABC=^BC?AB=^a?bsina.

探究二：如圖2,ABC中，AB=AC^b,BC=a,ZB=Na,求ABC的面積（用含“、b、1代數(shù)式

表示），寫(xiě)出探究過(guò)程.

探究三：如圖3,A5C中，AB=b,BC=a,NB=Na,求ABC的面積（用。、b、a表示）寫(xiě)出探究

過(guò)程.

問(wèn)題解決：己知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字?jǐn)⑹觯?

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4,已知平行四邊形A8CD中，AB=b,BC=a,ZB=a,求平行四邊形ABC。的面積（用

a、b、a表示）寫(xiě)出解題過(guò)程.

問(wèn)題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫(xiě)出任意四邊形的面積（用。、6、c、d、a、4表示），

其中AB=b,BC=c,CD=d,AD=a>NA=tz,NC=/7.

AA

AAA

C圖1''圖2cB圖3c

口ADA口D

BgCBgC

圖4圖5

【答案】；a6sina,見(jiàn)解析;gabsina,見(jiàn)解析；一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半；absina；

smABco=\ab-sma+^cd-sin尸

【分析】探究二：如圖2中，作AHLCB于H.求出高AH,即可解決問(wèn)題;

探究三：如圖3中，作AHLCB于H.求出高4/,即可解決問(wèn)題；

問(wèn)題解決：S=^absinZC(NC)是。、b兩邊的夾角)；

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4中，作AH_LCB于H.求出高AH,即可解決問(wèn)題；

問(wèn)題拓廣：如圖5,連接由探究三的結(jié)論可得出答案.

【詳解】解：探究二：如圖2中，作AHD于H.

圖2

AB=AC=b,BC=a,NB=Na,

ZJB=Z.C=a,

在MAWC中，ZAHC=90°,

.AH

:.sma=----,

AC

:.AH=bsina,

S^c=^BC?AH=^absina.

探究三：如圖3中，作AH_LCB于H.

圖3

在RfAHC中，ZAHC=90°

AC

:.AH=b-sma

S^ABC=—BC?AH=—absina

22

問(wèn)題解決：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

故答案為：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4中，作AH_LCB于H.

圖4

在咫中，ZAHB=90°

AH

sincr=----

AB

AH=bsina

S平行四邊形AB8=BC?AH=absina.

問(wèn)題拓廣:

A__________D

D

BC

圖5

連接BO,由探究三的結(jié)論可得：SMBD=^xABxADxsma=^ab.sina.

5ABe°=gxBCxCD=^cd?sinp.

S四邊形ABC。=^ab-sma+^cd-sin/3.

3.(2022?寧夏銀川??？家荒?如圖，AB,AC分別是O的直徑和弦，半徑OE1AC于點(diǎn)￡>.過(guò)點(diǎn)A作

。的切線(xiàn)與OE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P,PC,A3的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)歹.

⑴求證：PC是，:。的切線(xiàn)；

(2)若尸C=2AD,AB=10,求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

e25,25萬(wàn)

【分析】（1）連接OC,可以證得△Aaw^COP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及切線(xiàn)的性質(zhì)定理可以得到

ZOCP=90°,即OC_LPC,即可證得PC是」。的切線(xiàn)；

（2）根據(jù)垂徑定理得到AO=C￡>=（AC,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到9=PC,求得

ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/C4F=NACO=30。，根據(jù)勾股定理得到

CF=《OF。-OC?=J10?-5?=5后，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接OC,

Pz

以是f0的切線(xiàn)，AB是。的直徑,

.?.々40=90°,

(如_14。于點(diǎn)￡),

AE=CE,

:.ZAOE=ZCOE,

在AAO尸和ACO尸中，

AO=CO

<ZAOP=ZCOP,

OP=OP

:./\AOP^ACOP(SAS),

:.ZPCO=ZPAO=90°,

OCLPC,

oc是。的半徑，

.?.PC是o的切線(xiàn).

(2)解：。￡'_14。于點(diǎn)￡),

AD=CD=-AC,

2

PA,尸。是（。的切線(xiàn),

:.PA=PC,

PC=2AD,

：.PA=PC=ACf

：.ZPAC=6Q0,

/.ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,

OA=OC,

.\ZCAF=ZACO=30°,

ZCOF=2ZCAF=60°,

ZF=90°-Z.COF=30°,

..OF=2OC=W,

在加一OCF中，CF=y]OF2-OC2=^102-52=5A/3，

60，-52_254251

?*-S陰影=S^COF_S扇形30c=2X5PX5一

36026

故答案為：挈號(hào)

4.（2022.四川南充.模擬預(yù)測(cè)）如圖，有兩塊量角器完全重合在一起（量角器的直徑AB=4,圓心為。），

保持下面一塊不動(dòng)，上面的一塊沿所在的直線(xiàn)向右平移，當(dāng)圓心與點(diǎn)B重合時(shí)，量角器停止平移，此時(shí)

半O與半B交于點(diǎn)尸，連接AP.

A0

⑴針與半3有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）在半（。的量角器上，A、5點(diǎn)的讀數(shù)分別為180。、0。時(shí)，問(wèn)點(diǎn)尸在這塊量角器上的讀數(shù)是多少？

（3）求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴”與半（8相切，理由見(jiàn)解析;

(2)60°；

(3):+技

【分析】（1）連接尸3,利用直徑所對(duì)的圓周角等于90?？勺C明NAP3=90。，即AP與半2相切;

(2)求出NO3P=60。，即可知點(diǎn)尸在這塊量角器上的讀數(shù)是60。；

⑶由圖可知：S陰影=S扇形PBC一(S扇形OPB—S^OPB)，代入可求出

_120TTX2260^7x221

----------x2x73=y+V3..

陰影=3603602

【詳解】(1)解：AP與半B相切，理由如下：連接尸3,

AB是直徑，

AZAPB=9Q°,即AP與半3相切.

(2)解:連接OP,

?/OP=OB=BP,

二△OPB為等邊三角形，

NPOB=60。，點(diǎn)P在這塊量角器上的讀數(shù)是60。.

AOBC

(3)解：作交于點(diǎn)

:△OP5為等邊三角形，OP=OB=BP=2,

,,PD=V22—I2=C,

:由圖可知：S陰影=S扇形詠―(S扇形OHJ—,

即S陰影=12*；2

3

5.(2022.吉林長(zhǎng)春.?？寄M預(yù)測(cè))定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，我們稱(chēng)這個(gè)四邊形為對(duì)角互

余四邊形.

圖①圖②圖③

(1)問(wèn)題1.利用下面哪組圖形可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形()

①兩個(gè)等腰三角形；②兩個(gè)等邊三角形；③兩個(gè)直角三角形；④兩個(gè)全等三角形.

(2)如圖①，在對(duì)角互余四邊形ABCD中，Z￡>=30°,且ACA.AD.若8c=1,求四邊形ABCD

的面積和周長(zhǎng).

⑶問(wèn)題2.如圖②，在對(duì)角互余四邊形A5CD中，AB=BC,BD=13,ZABC+ZADC=90°,AD=8,CD=6,

求四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng).

3

⑷問(wèn)題3.如圖③，在對(duì)角互余四邊形ABCD中，BC=2AB,sinZABC=~,ZABC+ZADC=90°,BD=1O,

求，ACD面積的最大值.

【答案】(1)①③④

⑵6四邊物地=2石，四邊形ABCD的周長(zhǎng)=6+2石

⑶$四邊形Ms=36,四邊形ASCD的周長(zhǎng)=+M

(4)ACD面積的最大值=18

【分析】(1)結(jié)合定義來(lái)判斷，重點(diǎn)是拼成的四邊形一對(duì)對(duì)角互余.

(2)因?yàn)锳C1BC,AC±AD,所以NACB==90。，所以在對(duì)角互余四邊形ABCD中，只能

NB+ND=90°.這樣利用含30。直角三角形三邊的特殊關(guān)系，就可以解決問(wèn)題；

(3)如圖，將84。繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到_BCE,則30￡&54￡),連接。“，作8”，￡)后于”,作。6，?！?/p>

于G,作皿于凡這樣可以求"CE=90。，則可以得到DE的長(zhǎng)，進(jìn)而把四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化

為△38和二3CE的面積之和，ABDE和CDE的面積容易算出來(lái)，則四邊形ABCD面積可求.再求出CG

和龍的長(zhǎng)度，就可以得到"和CF的長(zhǎng)，利用勾股定理可以求出8C的長(zhǎng)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)可求.

3

(4)構(gòu)造“54PS.A8,根據(jù)sinNABC=sinNPAO=《，禾I」用相似的性質(zhì)和勾股定理求出產(chǎn)。=3岔，然

后根據(jù)對(duì)角互余四邊形的性質(zhì)得到N%D=90。，從而得到BID”四點(diǎn)共圓，而3上4。與，ACD同底，高成比

Q

例，從而得出sA8=gSRw，根據(jù)二Q4。面積最大值可求，ACO面積的最大值.

【詳解】(1)解：①兩個(gè)等腰三角形底邊相等，頂角互余，就可以，故①可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形；

②等邊三角形不成，即使是全等的等邊三角形拼成四邊形對(duì)角和為120?；?40。，故②得不到對(duì)角互余四邊

形；

③兩個(gè)全等的直角三角形或有一條直角邊相等的相似的兩個(gè)直角三角都可以，故③可以得到一個(gè)對(duì)角互余

四邊形；

④由③可知④可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形；

故答案為：①③④；

(2)ACIBC,ACLAD,

：.ZACB=ZCAD=90°,

:對(duì)角互余四邊形ABC。中，ZD=30°,

，-3=60。，

在RtZXABC中，ZACB=90°,/3=60。，BC=1,

AB=2,AC=6,

在RtAACQ中，ZG4D=90°,ZD=30°,

/.AD=3,CD=24,

'：SARC=--ACBC=-xy/3xl=^-,S?=-ACA￡>=-xV3x3=—,

ABC222222

,,S四邊形7tBe0=SMC+SACD=2A/3,

四邊形ABC。的周長(zhǎng)=AB+2C+C￡>+AD=2+1+2』+3=6+2A；

(3)如圖，將-54。繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，BCE,貝/3CE紂BAD,

連接DE,作3H_LZ)E于作CG_L3E于G,作CF_LBH于F.

???ZCFH=ZFHG=ZHGC=90°,

???四邊形C77/G是矩形，

；?FH=CG,CF=HG,

?：aBCEWBAD,

BE=BD=13fZCBE=ZABD,ZCEB=ZADB,CE=AD=8,

?：ZDCE=ZDCG+AECG=NDBC+NCBE+NBDC+ZCEB；

，ZDCE=ZDBC+ZABD+NBDC+ZADB=ZABC+ZADC；

ZABC+Zz4Z)C=90°,

???ZDCE=90。,

???在史中，根據(jù)勾股定理可得。石=JCC>2+CE2=io,

?：BD=BE,BH±DE,

：.EH=DH=5,

?，?根據(jù)勾股定理可得BH=dBE?-EH?=12，

XX：24,

/.SDRtF^uD=2-BHDE=-21210=60,S-CFr)=2-CDCE=-2x6x8

?:.BCE'BAD,

??S四邊形Age。=SBCD+SBCE=BED~CED=60-24=36,

：

,SCrzFitzn^-2-CG-DE=24,

24

CG=——

5

24

FH=CG=—

5

：.BF=BH-FH=12--=—

55

ZCGE=ZDCE=90°,ZCEG=ZDEC,

：?*CGES、DCE,

.GECG

'~CE~~DC

24

???GE二行，

T~~6

32

：.GE=—

5

VBF2+CF2=^）2+（|）2=^|^,

在RtAB/C中，NBFC=90°,根據(jù)勾股定理可得BC=

...AB=BC=^i,

四邊形ABC。的周長(zhǎng)=A8+8C+CD+A。=-14；

5

(4)如圖：作BAP^BCD,

一.......、、

1

BDBCCD

：.ZDBC=ZPAB,

BPABPA

：.ZPBD=ZABC,

VBC=2AB,BD=10,

：.BP=5,AP=-CD,

2

過(guò)尸點(diǎn)作尸

3

Vsin^ABC=-

5

3

???sin/PBH=—

5

.*?BH=4,PH=3,DH=6,

???連接HXPA,

由作，BAPsbCD可得NR4B=N3CD,由對(duì)角互余四邊形ABC。,

可得ZACD+ABAD=270°,

???ZDAB+ZBAP=270°,

ZPAD=90°,

Q4HD四點(diǎn)在以尸。為直徑的圓上,

作CQLAO,設(shè)CD=尤,

ZABC+ZCZM=90°,

.4

sinZCDA=—,

4

???CQ=-xf

142

??SArr)—