第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《特殊平行四邊形》專項檢測卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在中，，CD為角平分線，請用直尺和圓規(guī)在邊上求作一點E，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）2．如圖，中，平分，交于點D，垂直平分，交于點E，交于點F，垂足為點G，連接，．求證：(1)；(2)四邊形是菱形．3．如圖，點分別在的邊上，連接，連接相交于點，請你從以下三個選項：①；②；③中選擇一個合適的選項作為補(bǔ)充條件，使得四邊形是菱形．(1)你選擇的補(bǔ)充條件是______；（填序號）(2)根據(jù)你選擇的補(bǔ)充條件，寫出四邊形是菱形的證明過程．4．如圖，矩形中，在邊上，連接平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，在線段上分別取點，連接，，若，求證：四邊形為菱形；(3)如圖3，在（2）的條件下，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，求的值．5．如圖，菱形的對角線與相交于點，點為中點，連接并延長至點，使得，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若菱形的周長為40，平行線與間的距離為7，求四邊形的周長．6．如圖，已知：菱形的兩條對角線，交于點，，．(1)若，，求菱形的周長；(2)求證：四邊形為矩形．7．如圖，在矩形中，點為對角線、的交點，過點作，且，連接、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)已知菱形的面積為12，邊長為5，連接，求的邊上的高．8．如圖，在中，連接對角線，分別作和的中線、．(1)求證：；(2)從下列條件中任選一個作為已知條件，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．①；②．我選擇的條件：，（填寫序號）．（注：如果選擇①，②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分）9．如圖，在中，O是邊上一點，和關(guān)于點O成中心對稱，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，求證：四邊形是菱形．10．如圖①，在四邊形中，，點從點出發(fā)，沿射線以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，點從點出發(fā)，沿方向以每秒個單位長度的速度向終點運(yùn)動，、兩點同時出發(fā)，當(dāng)點到達(dá)點時，點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)點的運(yùn)動時間為秒．(1)求的長；(2)當(dāng)以，、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值；(3)若點是邊上的一點，且，如圖②．①當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，直接寫出的值；②是平面內(nèi)一點，是否存在點、，使以、、、為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出的長，若不存在，請說明理由．11．已知正方形的邊長為，等腰直角三角形的銳角頂點與正方形的頂點重合，將此三角形繞點旋轉(zhuǎn)，兩邊分別交直線于點，旋轉(zhuǎn)過程中，等腰直角三角形的邊與正方形沒有交點．(1)如圖1，當(dāng)分別在邊上時，學(xué)習(xí)小組通過測量發(fā)現(xiàn)，請給出證明；(2)如圖2，當(dāng)分別在的延長線上時，請寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰直角三角形的一邊正好經(jīng)過正方形邊上的中點，求出此時的長．12．【定義閱讀】若兩個等腰三角形有公共底邊，且滿足兩個頂角和是180°，則稱這兩個頂角的頂點關(guān)于這條底邊互為“和諧點”．

【定義理解】（1）如圖1，點與點都在線段的垂直平分線上，且均在直線上側(cè)，①與的數(shù)量關(guān)系是_____；②若，且點與點關(guān)于互為“和諧點”，則_____；【性質(zhì)操作】（2）如圖2，矩形中，點為邊上一點，且，平分，射線交于點．點與點是否關(guān)于互為“和諧點”？說明理由；【思維拓展】（3）在矩形中，，，點是直線上的動點，點是平面內(nèi)一點，在點運(yùn)動過程中，當(dāng)點與點關(guān)于互為“和諧點”，且，，三點共線時，請直接寫出的長．13．如圖，四邊形為正方形，且，P為上一點（點P不與O，C重合）．(1)如圖1，點P在線段上，連接，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，求的長．(2)如圖2，點P在線段的延長線上，連接，過點P作的垂線，與的平分線交于點Q，試判斷與的大小關(guān)系，并加以證明．(3)在（2）的條件下，連接，，請直接寫出的周長的最小值．14．如圖，在四邊形中，點與點關(guān)于直線對稱，連接交于點為上一點，，連接．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，求的度數(shù)及的長．15．如圖，菱形的對角線相交于點O，．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，求四邊形的周長．16．在Rt中，為射線上一點（不與點重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，線段與直線相交于點．(1)如圖，當(dāng)時，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)若對于任意的點，上一問的結(jié)論總成立，寫出滿足條件的的值，畫出相應(yīng)的圖形，并證明．17．綜合與實踐：在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，孫老師和“希望小組”的同學(xué)們從特殊的幾何圖形入手，探究旋轉(zhuǎn)變換的幾何問題．【建立模型】（1）如圖1，點為等邊內(nèi)部一點，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則．請思考并證明小顏的結(jié)論；【類比探究】（2）小梁進(jìn)一步探究；如圖2，點為正方形內(nèi)部一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接并延長，交于點．求證：；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，點為內(nèi)部一點，．點，是，上的動點，且，若，，，請直接寫出的最小值．18．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．例如：在四邊形中，對角線與相交于點，若，則四邊形為垂美四邊形．(1)下面是垂美四邊形的是_____；（填序號）平行四邊形

菱形

矩形

正方形(2)如圖，已知四邊形是垂美四邊形，則邊，，，存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由；(3)如圖，已知四邊形是垂美四邊形，若，，，分別是邊，，，的中點，順次連接，，，，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(4)如圖，分別以的邊，為邊向外作正方形和正方形，連接，，，若是直角三角形，，，直接寫出的長．參考答案1．見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)題意得為直角三角形，作斜邊的垂直平分線交于點，則為的中點，連接，則為斜邊的中線，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，點即為的作．2．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，結(jié)合平分，得，即可證明；（2）先由等邊對等角得，進(jìn)行角的等量代換得，證明，故四邊形是平行四邊形，結(jié)合一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可作答．【詳解】（1）證明：∵垂直平分線段，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．3．(1)①（③）(2)見解析【分析】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）添加合適的條件即可；（2）證四邊形是平行四邊形，再由一組臨邊相等的平行四邊形是菱形，或?qū)蔷€垂直的平行四邊形是菱形即可證明．【詳解】（1）解：補(bǔ)充條件①或③皆可，（答案不唯一）；故答案：①或③（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，即．∵，∴四邊形是平行四邊形．補(bǔ)充條件①：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形．補(bǔ)充條件③：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形．4．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)角平分線的定義得到，則，根據(jù)等角對等邊判定等腰三角形得到，等了待會即可求解；（2）根據(jù)題意得到四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到，由角平分線的定義得到，根據(jù)平角，三角形外加和的性質(zhì)得到，則，結(jié)合菱形的判定即可求解；（3）如圖所示，過點作于點，過點作于點，作，交延長線于點，四邊形，，是矩形，根據(jù)勾股定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識得到，在中，，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，即，且，∴四邊形是平行四邊形，∴設(shè)，則，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；（3）解：∵四邊形是矩形，∴，如圖所示，過點作于點，過點作于點，作，交延長線于點，∴，，，∴四邊形，，是矩形，∴，，，由（1）可得，，∴在中，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，，即，∴，∵將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，且，∴，∴，，∴，∴，在中，．【點睛】本題主要考查矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的定義，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識的綜合運(yùn)用，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用是關(guān)鍵．5．(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，即可得證；（2）根據(jù)題意證明是直角三角形，設(shè)平行線與間的距離為，即，進(jìn)而根據(jù)菱形的周長公式求得的長，即可求解．【詳解】（1）證明：點為中點，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，四邊形是矩形．（2）解：菱形的周長為40，，，，是直角三角形，，設(shè)平行線與間的距離為，，，又，，，，四邊形是矩形，．6．(1)菱形的周長為；(2)證明見解析．【分析】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)四邊形是菱形，則，，，，由勾股定理得，然后求出菱形周長即可；（）由，，則四邊形是平行四邊形，通過菱形的性質(zhì)得出，所以，然后由矩形的判定方法即可求證．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，，，，∴，∴，∴菱形的周長為；（2）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴四邊形為矩形．7．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握菱形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，再根據(jù)證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意易得，進(jìn)而可知，再根據(jù)面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．（2）解：如圖，

∵四邊形是菱形，四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，設(shè)的邊上的高為，，，則的邊上的高為．8．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的判定、菱形的判定、斜邊中線定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得到，，由中線的定義得到，，得出，再利用平行四邊形的性質(zhì)與判定即可證明；（2）根據(jù)矩形、菱形的判定即可解答．【詳解】（1）證明：，，，、分別是和的中線，，，，又，四邊形是平行四邊形，．（2）解：若選擇條件①，則四邊形是矩形．理由如下：，是的中線，，，由（1）得，四邊形是平行四邊形，平行四邊形是矩形；若選擇條件②，則四邊形是菱形．理由如下：，是的中線，，由（1）得，四邊形是平行四邊形，平行四邊形是菱形．9．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了中心對稱圖形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．（1）根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)得到，，推出，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）連接．先證得四邊形是平行四邊形，求得，得到，推出四邊形是菱形．推出，即可證明四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：和關(guān)于點O成中心對稱，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：連接，和關(guān)于點O成中心對稱，B，O，F(xiàn)三點共線，，四邊形是平行四邊形，，，即，，，，，四邊形是菱形，，又四邊形是平行四邊形，是菱形．10．(1)(2)的值為或(3)①的值為或或；②存在，或或【分析】（1）過點作，則四邊形是矩形，得出，，根據(jù)勾股定理得，即可得；（2）點運(yùn)動到點時，共用了，總共運(yùn)動了，分兩種情況討論：當(dāng)時，進(jìn)行計算即可得，當(dāng)時，得出，若四邊形為平行四邊形，則，根據(jù)題意得，，分兩種情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，進(jìn)行計算即可得；（3）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，當(dāng)點在線段上，且，則，進(jìn)行計算即可得，當(dāng)點在線段上，且，過點作，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，進(jìn)行計算即可得，當(dāng)點在線段的延長線上，且，過點作，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，進(jìn)行計算即可得；②分三種情況討論，為邊，或為對角線，分別畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故答案為：．（2）解：點運(yùn)動到點時，共用了，總共運(yùn)動了，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，．若四邊形為平行四邊形，則，根據(jù)題意得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形時，或．（3）解：①當(dāng)點在線段上，且，則，∴，，當(dāng)點在線段上，且，如圖所示，過點作，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得，，當(dāng)點在線段的延長線上，且，如圖所示，過點E作，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得，，綜上，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，的值為或或．②當(dāng)是菱形的邊時，如圖，∴，當(dāng)時，如圖，設(shè)交于點，∴，，∴，如圖，當(dāng)是菱形的對角線時，∵，∴，∴，在中，，綜上所述，或或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．11．(1)證明過程見詳解(2)，理由見詳解(3)的長為或【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，如圖所示，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，點重合，點對應(yīng)點為點，則，，可證，由此即可求解；（2）同理，如圖所示，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，點重合，點對應(yīng)點為點，可證，得，由此即可求解；（3）分類討論：如圖所示，點與中點重合時，設(shè)，則，，在中，由勾股定理列式求解即可；如圖所示，經(jīng)過中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，設(shè)，，，在中，由勾股定理列式求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，如圖所示，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，點重合，點對應(yīng)點為點，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：，理由如下，同理，如圖所示，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，點重合，點對應(yīng)點為點，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖所示，點與中點重合時，∴，結(jié)合上證明，設(shè)，則，，在中，，∴，整理得，，解得，，∴；如圖所示，經(jīng)過與中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，同理可證，，∵點是中點，∴，又，，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，在中，，∴，整理得，，∴；綜上所述，的長為或．12．（1）①；②；（2）點與點是關(guān)于互為“和諧點”，理由見解析；（3）或【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．（1）①利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得答案；②根據(jù)題中定義可得，再根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而可求解；（2）證明得到，進(jìn)而可得，根據(jù)題中定義可得結(jié)論；（3）分當(dāng)點F在的延長線上時，當(dāng)點F在的延長線上時，當(dāng)點F在線段上時三種情況，根據(jù)題中定義，結(jié)合勾股定理和矩形性質(zhì)分別求解即可．【詳解】解：（1）①∵點與點都在線段的垂直平分線上，且均在直線上側(cè)，∴；②點與點關(guān)于互為“和諧點”，且，，又點與點都在線段的垂直平分線上，，，∴，，∴；（2）點與點是關(guān)于互為“和諧點”，理由如下：平分，，在和中，，，，，又均為等腰三角形，其中，點與點關(guān)于互為“和諧點”；（3）∵四邊形是矩形，，，∴，，，當(dāng)點F在的延長線上時，如圖，∵點與點關(guān)于互為“和諧點”，∴，，，∴，在中，，∴；當(dāng)點F在的延長線上時，如圖，∵點與點關(guān)于互為“和諧點”，∴，，，∴，在中，，∴；當(dāng)點F在線段上時，不存在，故不存在點與點關(guān)于互為“和諧點”，綜上，滿足條件的的長為或．13．(1)(2)．證明見解析(3)【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及正方形的性質(zhì)，（1）過點Q作于點H，證明，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出結(jié)論；（2）在延長線上取點D，使，在延長線上取點M，證明即可證明結(jié)論；（3）先確定Q點在的平分線上運(yùn)動，作點B關(guān)于的對稱點，則點在上，連接交于點，則，根據(jù)勾股定理求出結(jié)論即可；【詳解】（1）解：由題意得：，如圖，過點Q作交的延長線于點H，四邊形為正方形，且，，，，，，，，，，；（2）解：，理由如下：在延長線上取點D，使，連接，在延長線上取點M，四邊形為正方形，，，，為的角平分線，，，，，，，，，；（3）解：由（2）知，連接，，點為直線上的動點，即Q點在的平分線上運(yùn)動，作點B關(guān)于的對稱點，則點在上，連接交于點，，即當(dāng)在同一直線上時的周長最小，四邊形為正方形，且，，有，在中，，，的周長的最小值為．14．(1)見解析(2)，【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可得證；（2）根據(jù)等邊對等角得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵點與點關(guān)于直線對稱∴，，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形；（2）∵∴∴∵四邊形為菱形；∴，，∴∴是等邊三角形，∵∴∴∴∴15．(1)四邊形是矩形，理由見解析(2)．【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各知識點并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）先證明四邊形是平行四邊形，再由菱形得到，即可證明其為矩形；（2）先根據(jù)菱形對角線互相平分的性質(zhì)得到，再根據(jù)矩形對邊相等，即可求解周長．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，理由如下：證明：，，∴四邊形是平行四邊形．∵四邊形是菱形，，則．∴四邊形是矩形；（2）解∵四邊形是菱形，．．∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形的周長為．16．(1)，證明見解析(2)，圖形和證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等待，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵。（1）連接．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得．可證明垂直平分，得到．則，證明，則．即可證明．（2）作于點．證明．得到．再證明．得到．證明．得到．則．再證明．即可證明．【詳解】（1）解：，證明如下：如圖所示，連接．由題意可知，．，∴垂直平分，．．，∴，∴，．．（2）解：．證明如下：如圖，作于點．由題意可知，．．，．．．．．，．．．，．．．，．．17．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意證明，即可得到本題答案；（2）過點B分別作于點F，于點G，再證明出和，再證明出四邊形為矩形，后得到為正方形，繼而利用正方形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)得到，使得，連接，當(dāng)M，Q，N三點共線時，有最小值是的長度，再利用勾股定理即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴．∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴．∴；（2）證明：如圖，過點B分別作于點F，于點G，則∵繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴．∵四邊形為正方形，∴．∵，∴．∴．在和中，，∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴四邊形為矩形．∵，∴矩形為正方形．∴．∴．∵四邊形為正方形，∴，∴，