大學生極限考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D.-12.當$x\to0$時，$x^2$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小3.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞4.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.無間斷點5.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在點$a$處（）A.一定有定義B.一定無定義C.不一定有定義D.有定義且$f(a)=\lim_{x\toa}f(x)$6.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.2D.37.當$x\to0$時，與$x$等價無窮小的是（）A.$2x$B.$x^2$C.$\sinx$D.$1-\cosx$8.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$（）A.0B.1C.2D.39.極限$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{3n^2-2n+1}=$（）A.0B.$\frac{1}{3}$C.1D.∞10.函數(shù)$y=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的極限為（）A.0B.1C.2D.不存在二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是無窮小量（）A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\pi}\sinx$2.極限存在的準則有（）A.夾逼準則B.單調有界準則C.洛必達法則D.等價無窮小替換3.下列函數(shù)在$x=0$處間斷的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sin\frac{1}{x}$C.$y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x\lt0\end{cases}$D.$y=\frac{x^2-1}{x-1}$4.當$x\to0$時，下列哪些是等價無窮小（）A.$x$與$\tanx$B.$x$與$\arcsinx$C.$x^2$與$1-\cosx$D.$x$與$e^x-1$5.計算極限的方法有（）A.直接代入法B.消去零因子法C.分子分母同除最高次冪法D.利用等價無窮小替換6.以下極限值為1的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$7.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系正確的是（）A.函數(shù)極限存在則某點處數(shù)列極限一定存在B.數(shù)列極限存在則函數(shù)極限一定存在C.海涅定理建立了兩者聯(lián)系D.兩者沒有關聯(lián)8.下列極限存在的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}$C.$\lim_{x\to0}\frac{\vertx\vert}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}$9.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，$\lim_{x\toa}g(x)=B$，則（）A.$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))=A+B$B.$\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))=A-B$C.$\lim_{x\toa}(f(x)g(x))=AB$D.當$B\neq0$時，$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$10.關于無窮大量，以下說法正確的是（）A.無窮大量的倒數(shù)是無窮小量B.兩個無窮大量的和是無窮大量C.無窮大量與有界量的乘積可能是無窮大量D.無窮大量一定是無界變量三、判斷題（每題2分，共10題）1.無窮小量是一個很小很小的數(shù)。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$與$\lim_{x\toa}g(x)$都不存在，則$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$一定不存在。（）3.函數(shù)在某點處極限存在，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。（）4.當$x\to0$時，$x^3$比$x^2$更快趨于0。（）5.極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。（）6.等價無窮小在任何情況下都可以相互替換。（）7.單調遞增有上界的數(shù)列必有極限。（）8.函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$在$x=0$處的極限是無窮大。（）9.若$\lim_{x\toa}f(x)=0$，$\lim_{x\toa}g(x)=\infty$，則$\lim_{x\toa}f(x)g(x)$一定為0。（）10.數(shù)列極限$\lim_{n\to\infty}(-1)^n$不存在。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述無窮小量與無窮大量的關系。答案：無窮小量（非零）的倒數(shù)是無窮大量，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。例如當$x\to0$時，$x$是無窮小量，$\frac{1}{x}$是無窮大量。2.簡述等價無窮小替換的條件。答案：在求極限的乘除運算中，可使用等價無窮小替換。例如$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}$，若$f(x)\simf_1(x)$，$g(x)\simg_1(x)$（$x\to0$），則$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}$，加減運算中一般不能隨意替換。3.簡述極限存在的兩個準則。答案：夾逼準則：若$g(x)\leqf(x)\leqh(x)$，且$\lim_{x\toa}g(x)=\lim_{x\toa}h(x)=A$，則$\lim_{x\toa}f(x)=A$；單調有界準則：單調遞增有上界或單調遞減有下界的數(shù)列必有極限。4.簡述函數(shù)極限與連續(xù)性的關系。答案：函數(shù)在某點連續(xù)，則該點極限存在且等于函數(shù)值，即$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。反之，若函數(shù)在某點極限存在但不等于函數(shù)值，或極限不存在，則函數(shù)在該點不連續(xù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實際生活中的應用。答案：極限在實際生活中應用廣泛。如在經(jīng)濟領域，計算邊際成本、邊際收益等；在物理中，計算瞬時速度、加速度等；在工程中，分析材料的極限承載能力等，都是通過極限思想來精確描述和求解實際問題。2.討論等價無窮小替換在復雜極限計算中的作用與局限。答案：作用是簡化復雜極限計算，通過等價替換將復雜函數(shù)化為簡單形式。局限在于只能用于乘除運算，在加減運算中使用可能導致錯誤結果，使用時需謹慎判斷運算形式及函數(shù)關系。3.討論數(shù)列極限與函數(shù)極限在研究方法上的異同。答案：相同點是都用極限定義研究，都有四則運算法則等。不同點在于數(shù)列極限自變量是離散的正整數(shù)，常用數(shù)列性質和遞推關系研究；函數(shù)極限自變量連續(xù)變化，多借助函數(shù)性質、導數(shù)等工具研究。4.討論函數(shù)間斷點的類型及判斷方法。答案：間斷點分為第一類（可去、跳躍）和第二類（無窮、振蕩等）。判斷時，先看函數(shù)在該點有無定義，再求左右極限。左右極限都存在為第一類，相等是可去間斷點，不等是跳躍間斷點；至少有一個極限不存在為第二類間斷點。答案一、單項選擇題1.B2.A3.C4