實(shí)變函數(shù)論測(cè)試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{3,4,5\}\)，則\(A\capB\)是（）A.\(\{1,2,3\}\)B.\(\{3\}\)C.\(\{3,4,5\}\)D.\(\{1,2,4,5\}\)2.下面哪個(gè)集合是可數(shù)集（）A.實(shí)數(shù)集\(R\)B.無(wú)理數(shù)集C.正整數(shù)集\(N\)D.閉區(qū)間\([0,1]\)3.設(shè)\(E\)是\(R^n\)中的點(diǎn)集，則\(E\)的內(nèi)點(diǎn)一定是（）A.聚點(diǎn)B.邊界點(diǎn)C.孤立點(diǎn)D.外點(diǎn)4.若\(f(x)\)是\(E\)上的可測(cè)函數(shù)，則（）A.\(f(x)\)一定連續(xù)B.\(f(x)\)一定有界C.\(f(x)\)的定義域\(E\)是可測(cè)集D.\(f(x)\)一定黎曼可積5.設(shè)\(mE\)表示集合\(E\)的勒貝格測(cè)度，若\(E_1\subsetE_2\)，則（）A.\(mE_1=mE_2\)B.\(mE_1\leqmE_2\)C.\(mE_1\geqmE_2\)D.無(wú)法確定6.函數(shù)\(f(x)\)在\(E\)上幾乎處處等于\(g(x)\)是指（）A.\(f(x)=g(x)\)對(duì)\(E\)中所有點(diǎn)成立B.\(f(x)\neqg(x)\)的點(diǎn)集測(cè)度為0C.\(f(x)\)和\(g(x)\)定義域相同D.\(f(x)\)和\(g(x)\)值域相同7.設(shè)\(E\)是可測(cè)集，\(f(x)\)在\(E\)上可積，則（）A.\(|f(x)|\)在\(E\)上不一定可積B.\(f(x)\)在\(E\)的任意子集上可積C.\(\int_Ef(x)dx\)一定有限D(zhuǎn).\(f(x)\)一定有界8.若\(f_n(x)\tof(x)\)在\(E\)上依測(cè)度收斂，則存在子列（）A.\(f_{n_k}(x)\)幾乎處處收斂到\(f(x)\)B.\(f_{n_k}(x)\)一致收斂到\(f(x)\)C.\(f_{n_k}(x)\)處處收斂到\(f(x)\)D.\(f_{n_k}(x)\)與\(f(x)\)毫無(wú)關(guān)系9.設(shè)\(E\)是\(R\)中的可測(cè)集，\(f(x)\)是\(E\)上的簡(jiǎn)單函數(shù)，則\(f(x)\)（）A.一定連續(xù)B.一定可積C.一定有界D.一定是常數(shù)函數(shù)10.下面關(guān)于可測(cè)函數(shù)列的說(shuō)法正確的是（）A.可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)一定可測(cè)B.可測(cè)函數(shù)列一定幾乎處處收斂C.可測(cè)函數(shù)列一定依測(cè)度收斂D.可測(cè)函數(shù)列一定一致收斂多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些集合運(yùn)算性質(zhì)是正確的（）A.\(A\cupB=B\cupA\)B.\((A\capB)\capC=A\cap(B\capC)\)C.\(A-B=B-A\)D.\(A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC)\)2.下列哪些集合是不可數(shù)集（）A.全體復(fù)數(shù)集B.區(qū)間\((0,1)\)C.有理數(shù)集D.康托爾集3.關(guān)于點(diǎn)集\(E\)的聚點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A.聚點(diǎn)一定屬于\(E\)B.聚點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)都有\(zhòng)(E\)中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)C.孤立點(diǎn)不是聚點(diǎn)D.邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)4.可測(cè)函數(shù)的等價(jià)定義有（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)\(a\)，\(\{x:f(x)>a\}\)是可測(cè)集B.對(duì)任意實(shí)數(shù)\(a\)，\(\{x:f(x)\geqa\}\)是可測(cè)集C.對(duì)任意開集\(G\)，\(f^{-1}(G)\)是可測(cè)集D.\(f(x)\)可以表示為簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限5.設(shè)\(mE\)表示集合\(E\)的勒貝格測(cè)度，以下哪些性質(zhì)正確（）A.\(m\varnothing=0\)B.若\(E_1\subsetE_2\)，則\(mE_1\leqmE_2\)C.\(m(E_1\cupE_2)=mE_1+mE_2\)（當(dāng)\(E_1\capE_2=\varnothing\)時(shí)）D.\(m(-E)=mE\)（\(-E=\{-x:x\inE\}\)）6.函數(shù)\(f(x)\)在\(E\)上幾乎處處有限是指（）A.\(f(x)\)在\(E\)上只有有限個(gè)點(diǎn)取值為無(wú)窮B.\(f(x)\)取值為無(wú)窮的點(diǎn)集測(cè)度為0C.\(f(x)\)在\(E\)的大部分點(diǎn)上取值有限D(zhuǎn).存在\(E\)的一個(gè)子集\(E_0\)，\(m(E-E_0)=0\)，且\(f(x)\)在\(E_0\)上有限7.若\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(E\)上可積，則（）A.\(f(x)+g(x)\)在\(E\)上可積B.\(f(x)g(x)\)在\(E\)上可積C.\(|f(x)|\)在\(E\)上可積D.\(kf(x)\)（\(k\)為常數(shù)）在\(E\)上可積8.關(guān)于依測(cè)度收斂，以下說(shuō)法正確的是（）A.若\(f_n(x)\tof(x)\)依測(cè)度收斂，\(g_n(x)\tog(x)\)依測(cè)度收斂，則\(f_n(x)+g_n(x)\tof(x)+g(x)\)依測(cè)度收斂B.依測(cè)度收斂一定能推出幾乎處處收斂C.若\(f_n(x)\tof(x)\)依測(cè)度收斂，則存在子列幾乎處處收斂到\(f(x)\)D.依測(cè)度收斂的函數(shù)列一定是可測(cè)函數(shù)列9.簡(jiǎn)單函數(shù)的特點(diǎn)有（）A.值域是有限集B.定義域一定是可測(cè)集C.一定可表示為有限個(gè)特征函數(shù)的線性組合D.一定連續(xù)10.關(guān)于勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系，以下正確的是（）A.黎曼可積的函數(shù)一定勒貝格可積B.勒貝格可積的函數(shù)一定黎曼可積C.當(dāng)函數(shù)黎曼可積時(shí)，黎曼積分值等于勒貝格積分值D.勒貝格積分是黎曼積分的推廣判斷題（每題2分，共10題）1.任何集合都有外測(cè)度。（）2.若\(E\)是開集，則\(E\)的邊界點(diǎn)不屬于\(E\)。（）3.可測(cè)函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù)。（）4.若\(mE=0\)，則定義在\(E\)上的任何函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。（）5.函數(shù)\(f(x)\)在\(E\)上可積，則\(f(x)\)在\(E\)上一定有界。（）6.依測(cè)度收斂的函數(shù)列一定幾乎處處收斂。（）7.兩個(gè)可測(cè)函數(shù)的乘積一定是可測(cè)函數(shù)。（）8.勒貝格測(cè)度具有平移不變性。（）9.簡(jiǎn)單函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)。（）10.若\(f(x)\)在\(E\)上幾乎處處等于\(0\)，則\(\int_Ef(x)dx=0\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述集合的可數(shù)性定義。答案：若集合\(A\)能與正整數(shù)集\(N\)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱集合\(A\)是可數(shù)集，也稱\(A\)具有可數(shù)性。2.什么是可測(cè)集？答案：設(shè)\(E\subsetR^n\)，若對(duì)任意點(diǎn)集\(T\subsetR^n\)，都有\(zhòng)(m^T=m^(T\capE)+m^(T\capE^c)\)（\(m^\)為外測(cè)度），則稱\(E\)為可測(cè)集。3.簡(jiǎn)述勒貝格積分與黎曼積分的主要區(qū)別。答案：黎曼積分基于區(qū)間劃分，對(duì)函數(shù)連續(xù)性要求較高；勒貝格積分基于集合測(cè)度，更關(guān)注函數(shù)取值情況，能處理更廣泛的函數(shù)，積分范圍更廣，不依賴函數(shù)連續(xù)性。4.說(shuō)明幾乎處處相等的含義。答案：函數(shù)\(f(x)\)和\(g(x)\)在集合\(E\)上幾乎處處相等，是指\(f(x)\neqg(x)\)的點(diǎn)所構(gòu)成的集合的測(cè)度為\(0\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂之間的關(guān)系。答案：幾乎處處收斂和依測(cè)度收斂是實(shí)變函數(shù)中可測(cè)函數(shù)列的重要收斂方式。幾乎處處收斂不一定依測(cè)度收斂，但依測(cè)度收斂能推出存在幾乎處處收斂的子列。一致收斂是更強(qiáng)的收斂，一致收斂可推出幾乎處處收斂和依測(cè)度收斂。2.談?wù)劺肇惛駵y(cè)度在實(shí)變函數(shù)論中的重要性。答案：勒貝格測(cè)度是實(shí)變函數(shù)論基礎(chǔ)。它為定義可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)及勒貝格積分提供依據(jù)，拓展積分范圍，克服黎曼積分局限，使積分理論更完善，能處理復(fù)雜函數(shù)和集合，在現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中有重要地位。3.分析不可數(shù)集的存在對(duì)實(shí)變函數(shù)研究的意義。答案：不可數(shù)集的存在豐富了實(shí)變函數(shù)研究對(duì)象。它促使測(cè)度論發(fā)展，以處理不可數(shù)集的度量問題。在函數(shù)性質(zhì)研究上，不可數(shù)集上的函數(shù)展現(xiàn)出與可數(shù)集不同特點(diǎn)，推動(dòng)了可測(cè)函數(shù)、積分理論等深入發(fā)展，讓理論更具一般性。4.舉例說(shuō)明可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)。區(qū)別：可測(cè)函數(shù)不一定連續(xù)，如狄利克雷函數(shù)，處處不連續(xù)但可測(cè)。可測(cè)函數(shù)基于集合可測(cè)性定義，范圍更廣；連續(xù)函數(shù)要求在定義域內(nèi)每點(diǎn)滿足特定極限條件，限制更多。答案單項(xiàng)選擇題