解三角形測(cè)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.在$\triangleABC$中，若$A=60^{\circ}$，$a=\sqrt{3}$，則$\frac{a+b+c}{\sinA+\sinB+\sinC}=$（）A.2B.$\frac{1}{2}$C.$\sqrt{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$2.在$\triangleABC$中，已知$a=4$，$b=4\sqrt{3}$，$A=30^{\circ}$，則$B$等于（）A.$30^{\circ}$B.$30^{\circ}$或$150^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$60^{\circ}$或$120^{\circ}$3.已知$\triangleABC$中，$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$B=45^{\circ}$，則角$A$等于（）A.$150^{\circ}$B.$90^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$30^{\circ}$4.在$\triangleABC$中，若$a=2$，$b=2\sqrt{2}$，$c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，則$A$的度數(shù)為（）A.$30^{\circ}$B.$45^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$120^{\circ}$5.在$\triangleABC$中，已知$a^{2}=b^{2}+c^{2}+bc$，則角$A$為（）A.$\frac{\pi}{3}$B.$\frac{\pi}{6}$C.$\frac{2\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}$6.已知$\triangleABC$的三邊分別為$a$，$b$，$c$，且$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{3}$，則角$C$為（）A.$90^{\circ}$B.$120^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$45^{\circ}$7.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=5$，$\sinA=\frac{1}{3}$，則$\sinB=$（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{5}{9}$C.$\frac{\sqrt{5}}{3}$D.18.已知$\triangleABC$中，$a$，$b$，$c$分別是角$A$，$B$，$C$所對(duì)的邊，若$a=10$，$b=8$，$A=75^{\circ}$，則$B$等于（）A.$30^{\circ}$B.$45^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$90^{\circ}$9.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=3$，$C=120^{\circ}$，則$\sinA:\sinB$的值是（）A.$\frac{5}{3}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{3}{7}$D.$\frac{5}{7}$10.在$\triangleABC$中，若$a=2b\sinA$，則角$B$為（）A.$\frac{\pi}{3}$B.$\frac{\pi}{6}$C.$\frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}$D.$\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}$答案：1.A2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A10.C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.在$\triangleABC$中，下列等式正確的是（）A.$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$B.$a\sinB=b\sinA$C.$a=b\sinA$D.$\sinA=\frac{a\sinB}$2.已知$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對(duì)的邊分別為$a$，$b$，$c$，則以下能使$\triangleABC$有兩解的條件是（）A.$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$A=30^{\circ}$B.$a=\sqrt{2}$，$b=2$，$A=45^{\circ}$C.$a=5$，$b=4$，$A=60^{\circ}$D.$a=1$，$b=\frac{3}{2}$，$A=30^{\circ}$3.在$\triangleABC$中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是（）A.$b=7$，$c=3$，$C=30^{\circ}$B.$b=5$，$c=4\sqrt{2}$，$B=45^{\circ}$C.$a=6$，$b=6\sqrt{3}$，$B=60^{\circ}$D.$a=20$，$b=30$，$A=30^{\circ}$4.由下列條件解$\triangleABC$，其中有兩解的是（）A.$b=20$，$A=45^{\circ}$，$C=80^{\circ}$B.$a=30$，$c=28$，$B=60^{\circ}$C.$a=14$，$c=16$，$A=45^{\circ}$D.$a=12$，$c=15$，$A=120^{\circ}$5.在$\triangleABC$中，已知$a=2\sqrt{3}$，$b=2$，$A=60^{\circ}$，則角$B$的值可能為（）A.$30^{\circ}$B.$150^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$90^{\circ}$6.已知$\triangleABC$中，$a$，$b$，$c$分別為角$A$，$B$，$C$所對(duì)的邊，且$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$，則下列說(shuō)法正確的是（）A.$B=60^{\circ}$B.$\triangleABC$的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$C.$\triangleABC$為銳角三角形D.$\sinA=\frac{3\sqrt{21}}{14}$7.在$\triangleABC$中，$a$，$b$，$c$分別是角$A$，$B$，$C$的對(duì)邊，且滿足$(a+b)^{2}-c^{2}=4$，$C=60^{\circ}$，則$ab$的值為（）A.$\frac{4}{3}$B.$8-4\sqrt{3}$C.1D.$\frac{2}{3}$8.已知$\triangleABC$的內(nèi)角$A$，$B$，$C$所對(duì)的邊分別為$a$，$b$，$c$，下列說(shuō)法正確的是（）A.若$\frac{a}{\cosA}=\frac{\cosB}=\frac{c}{\cosC}$，則$\triangleABC$一定是等邊三角形B.若$a\cosA=b\cosB$，則$\triangleABC$一定是等腰三角形C.若$b\cosC+c\cosB=b$，則$\triangleABC$一定是等腰三角形D.若$a^{2}+b^{2}-c^{2}>0$，則$\triangleABC$一定是銳角三角形9.在$\triangleABC$中，$a$，$b$，$c$分別是角$A$，$B$，$C$的對(duì)邊，若$a=2$，$b=3$，$c=4$，則（）A.$\cosA=\frac{7}{8}$B.$\cosB=\frac{11}{16}$C.$\cosC=-\frac{1}{4}$D.$\sinC=\frac{\sqrt{15}}{4}$10.關(guān)于解三角形，下列說(shuō)法正確的是（）A.已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，一定能唯一確定三角形B.正弦定理適用于任意三角形C.余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系D.利用正弦定理或余弦定理，可實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化答案：1.ABD2.ABD3.BC4.C5.A6.AD7.A8.AC9.ABC10.BCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.在$\triangleABC$中，一定有$a\sinA=b\sinB$。（）2.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=5$，$\sinA=\frac{1}{3}$，則$\sinB=\frac{5}{9}$。（）3.已知$a$，$b$，$c$是$\triangleABC$的三邊，若$a^{2}+b^{2}>c^{2}$，則$\triangleABC$是銳角三角形。（）4.在$\triangleABC$中，若$a=2b$，則$\sinA=2\sinB$。（）5.正弦定理和余弦定理對(duì)任意三角形都成立。（）6.在$\triangleABC$中，已知三邊能唯一確定三角形的三個(gè)內(nèi)角。（）7.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=6$，則$\triangleABC$是鈍角三角形。（）8.在$\triangleABC$中，若$A>B$，則$\sinA>\sinB$。（）9.利用余弦定理，可由已知三邊求三角。（）10.在$\triangleABC$中，$a=2$，$b=3$，$C=60^{\circ}$，則$c=\sqrt{7}$。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.在$\triangleABC$中，已知$a=3$，$b=4$，$C=60^{\circ}$，求$c$的值。答案：根據(jù)余弦定理$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC$，將$a=3$，$b=4$，$C=60^{\circ}$代入，得$c^{2}=3^{2}+4^{2}-2×3×4×\cos60^{\circ}=13$，所以$c=\sqrt{13}$。2.在$\triangleABC$中，已知$a=5\sqrt{2}$，$c=10$，$A=30^{\circ}$，求角$C$。答案：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}$，可得$\sinC=\frac{c\sinA}{a}$。把$a=5\sqrt{2}$，$c=10$，$A=30^{\circ}$代入，得$\sinC=\frac{10×\sin30^{\circ}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。因?yàn)?c>a$，所以$C=45^{\circ}$或$135^{\circ}$。3.在$\triangleABC$中，已知$a=2$，$b=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{7}$，求角$C$。答案：根據(jù)余弦定理$\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，將$a=2$，$b=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{7}$代入，得$\cosC=\frac{2^{2}+\sqrt{3}^{2}-\sqrt{7}^{2}}{2×2×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$0^{\circ}<C<180^{\circ}$，所以$C=150^{\circ}$。4.在$\triangleABC$中，已知$\sinA:\sinB:\sinC=3:5:7$，求最大角。答案：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，可得$a:b:c=\sinA:\sinB:\sinC=3:5:7$。設(shè)$a=3k$，$b=5k$，$c=7k$（$k>0$），$c$邊最大，所以角$C$最大。由余弦定理$\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，可得$\cosC=-\frac{1}{2}$，所以$C=120^{\circ}$。五、討論題（每題5分，共20分）1.在$\triangleABC$中，已知$a$，$b$，$c$分別為角$A$，$B$，$C$的對(duì)邊，且$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$，討論角$A$的大小。答案：對(duì)$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$進(jìn)行變形，得$(b+c)^{2}-a^{2}=3bc$，即$b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc$。由余弦定理$\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，將$b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc$代入，得$\cosA=\frac{1}{2}$。因?yàn)?0^{\circ}<A<180^{\circ}